小学数学思维-整除问题初步与进阶

整除问题初步与进阶
知识精讲
一、整除的定义
如果整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b丨a
如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b不能整除a。

二、整除的一些基本性质
1.尾数判断法
（1）能被2、5整除的数的特性：个位数字能被2、5整除
（2）能被4、25整除的数的特性：末两位能被4、25整除
（3）能被8、125整除的数的特性：末三位能被8、125整除2.数字求和法
能被3、9整除的数的特性：各位数字之和能被3、9整除
3.奇偶位求差法
能被11整除的数的特性：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位，……，统称为偶数位。

我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”，把“偶数位上的数字之和”简称为“偶数和”。

例1.判断下面11个数的整除性：23487、3568、8875、6765、
5880、7538、198954、6512、864、407.
（1）这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？
（2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？
（3）哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？
（4）哪些数能被11整除？
练习1.在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314中哪些数能被4整除，哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？
如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还是能被3整除，同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11整除，从中我们可以总结出如下规律：和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数a整除，则它们的和与差也能被a整除。

例2. 173□是一个四位数，毛老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9、11、8整除。

”问：毛老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？
练习2.在23□的方框内先后填入3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次被3、4、5整除。

上面我们已经学习了如何利用“整除特性”，解决单个数的整除问题，下面我们再来看一看涉及多个数的整除问题应该如何解决
例3.毛叔叔给45名工人发完工资后，讲总钱数记在一张纸上，但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“67□8□”，其中方框表示破了的洞，毛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元，请问：这45名工人的总工资有可能是多少呢？
练习3.四位数3□3□能被36整除，那么这个四位数可能是多少？
在例3中，我们并不知道45的整除特性，但是，能被45整除的
数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特性即可。

请同学们注意，虽然45=3×15，但是在考虑能否被45整除时，不能只考虑3和15整除，你们想明白这是为什么吗？
例4.一天，乐乐去电信营业厅为公司安装一部电话，服务人员告诉他，目前只有形如“1234□6□8”的号码可以申请，也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以任意选择，而其余数字不得改动，乐乐打算申请一个能同时被8和11整除的号码，请问，他申请的号码可能是多少？
练习4.七位数23□333□能被44整除，那么这个七位数是多少？
有时候满足题目条件的答案会非常多，如果只要求找出最大的或
最小的，我们只要考虑极端情况即可
例5.在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？最大是多少？
例6.由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？
[分析]要想能被11整除，奇位和与偶位和的差应该是11的倍数，那么奇位和与偶位和的和又是什么呢？
整除问题进阶
知识精讲
上一讲我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用数字和判断等。

现在我们再来学习一些新的判断方法。

一、截断作和
能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数）之和能被99整除。

例1.六位数□2008□能同时被9和11整除，这个六位数是多少？
练习1.四位数□23□能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
例2.已知九位数1234□□789能被99整除，这个九位数是多少？
练习2.已知八位数123□□678能被99整除，这个八位数是多少？
二、截断作差
能被7、11、13整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被7、11或13整除。

例3.毛毛写了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59与89之间拼成一个五位数59□89，使得这个五位数能被7整除，请问：小高写的数是多少？
练习3.四位数57□2能被7整除，那么这个四位数可能是多少？
接下来我们处理一些较复杂的问题
例4.已知51位数55…5□99…9（25个5和25个9）能被13整除，中间方框内的数字是多少？
[分析]本题中这个数的数位太多了。

我们想办法变的简短一些，因为1001是13的倍数，而555555、999999分别是555、999与1001的乘积，说明它们都是13的倍数，那我们是不是可以去掉一些5和9，
并仍然保证它能被13整除？
练习4.已知多位数11…1□33…3（2010个1和3）能被13整除，那么中间方框内的数字是多少？
例5.用数字6、7、8各两个，要组成能同时被6、7、8整除的六位数，请写出一个满足要求的六位数
例6.一个五位数，它的末三位为999，如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？
整除问题初步（作业题）
1.下面有9个自然数：48、75、90、122、650、594、4305、7836、4100.其中能被4整除的有哪些？能被25整除的有哪些？
2.有如下5个自然数：12345、189、72457821、333666、64289，其中能被9整除的有哪些？
3.有如下5个自然数：3124、3823、45235、5289、5588，其中能被
11整除的有哪些？
4.四位数125□，王老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9、11、8整除。

”请问：王老师在方框中先后填入的3个数字之后是多少？
5.毛毛买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落入水中浸湿，单价已无法确认，总价数字也不全，只能认出：□11.4□（□表示不明数字），请问总价应该是多少？
6.在7315、58674、325702、96723、360360中，7的倍数有哪些？13的倍数呢？
7四位数□33□能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
8.四位数27□8能被7整除，那么这个四位数是多少？
9.已知多位数81□258258…258（2012个258）能同时被7和13整除，方格内的数字是多少？
10.已知多位数11…1□33…3（2011个1和3）能被7整除，那么方框里的数字是多少？。