有理数运算技巧
有理数计算的六个技巧
有理数计算的六个技巧有理数计算是数学中一个重要的部分，掌握一些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成计算。
以下是六个有理数计算的技巧：1. 分母有理化：对于形如$\frac{a}{b}$的有理数，如果b是平方数（例如4、9、16等），则可以将分母进行有理化处理，即将分子和分母都乘以b的平方根。
例如，$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 2}{4 \times 2} = \frac{2}{8}$。
2. 乘法分配律：对于任意三个有理数a、b和c，有$a \times (b + c) = a\times b + a \times c$。
这个技巧可以用于简化复杂的乘法运算。
3. 提取公因数：对于多个有理数的乘法，如果存在公因数，可以先提取公因数，再进行其他运算。
例如，$2 \times 3 \times 4 = 2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12$。
4. 利用绝对值的性质：对于有理数的绝对值，如果知道某个数的范围，可以利用绝对值的性质来简化计算。
例如，如果知道$a < b$，则可以得出$-b< a < b$。
5. 利用等差数列的性质：对于等差数列中的有理数，可以利用等差数列的性质来简化计算。
例如，对于等差数列$a, b, c, d$，有$b = \frac{a +c}{2}$和$d = \frac{a + d}{2}$。
6. 利用近似值：对于一些复杂的计算，如果不需要精确结果，可以利用近似值来快速得到一个接近真实值的结果。
例如，对于$\sqrt{2}$，我们知道$ < \sqrt{2} < $，所以可以取或作为$\sqrt{2}$的近似值。
这些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成有理数计算。
在掌握这些技巧的基础上，通过多做练习题来提高自己的计算能力和熟练度。
有理数的概念及运算技巧
有理数的概念及运算技巧有理数是数学中的一种数形，它包括整数、分数和零。
有理数可以表示为两个整数的比值或分数的形式。
有理数的运算是数学中重要的一部分，掌握有理数的概念和运算技巧对于解决实际问题和提高数学能力都有着重要的作用。
本文将详细介绍有理数的概念及运算技巧。
一、有理数的概念有理数包括整数和分数两种形式。
整数是不带小数部分的数，可以是正数、负数或零。
分数是带有分子和分母的数，分子和分母都是整数，分母不为零。
有理数可以表示为a/b的形式，其中a和b都是整数，b不为零。
例如，2、-5、0都是整数，可以记作2/1、-5/1、0/1。
而1/2、-3/4等就是分数，其中分子和分母都是整数。
有理数的概念与实数相对，实数包括有理数和无理数。
有理数可以精确地表示，而无理数则无法用有限的小数或分数表示，如根号2、圆周率π等。
二、有理数的运算技巧有理数的运算主要包括四则运算（加法、减法、乘法、除法）和比较大小。
下面将详细介绍有理数的运算技巧。
1. 加法和减法运算有理数的加法和减法运算较为简单，只需按照相同符号相加或相减即可。
例如，对于两个正数相加：2 + 3 = 5；两个负数相加：-2 + (-3) = -5；正数和负数相加：5 + (-3) = 2。
减法运算可转化为加法运算，即将减数变为相应数的相反数，然后进行加法运算。
例如，2 - 3 可转化为 2 + (-3) 进行运算。
2. 乘法运算有理数的乘法运算规则是：同号得正，异号得负。
例如，两个正数相乘：2 × 3 = 6；两个负数相乘：-2 × (-3) = 6；正数和负数相乘：2 × (-3) = -6。
3. 除法运算有理数的除法运算需要注意，除数不能为零。
有理数的除法可以转化为乘法，即将除数的倒数乘以被除数。
例如，2 ÷ 3 可转化为 2 × (1/3) 进行运算。
4. 比较大小有理数的比较大小主要根据绝对值的大小进行判断。
关于有理数运算中的解题技巧
关于有理数运算中的解题技巧
有理数是整数和分数的统称，可以进行加减乘除等基本的四则
运算。
在解题过程中，我们可以通过掌握一些技巧来简化计算和加
快速度。
一、化分做通分
在有理数的加减运算中，需要先将两个有理数化为相同分母的
分数，然后再进行加减运算。
这种方法就叫做化分做通分。
例如：计算1/3 + 1/4
步骤一：先将分数化为相同分母的分数，3和4的最小公倍数
为12，所以将分数化为12的分数：
1/3 = 4/12，1/4 = 3/12
步骤二：将分数进行加法运算，得到：
1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12
二、合并同类项
在有理数的加减运算中，所有同类项可以合并为一个项。
这样
可以化简计算，避免漏算或重算。
例如：计算3x + 4y + 2x - 5y
其中3x和2x是同类项，4y和-5y是同类项，所以可以合并为：3x + 2x + 4y - 5y = 5x - y
三、去括号
1。
聚焦有理数运算的简便技巧
聚焦有理数运算的简便技巧（一）把有理数分解成有理分数有理数运算的一个常见技巧就是把分数分解成有理分数，以此建立起有理数之间的联系。
通常可以给定一个有理数，把它分解成几个最简分数之和。
例如，3/5可以分解成1/5与2/5，其它有理数也都可以如此分解。
这样分解后，有理数之间就可以建立起一种“抵消法”的关系，方便有理数运算。
（二）合并带分母的余式合并带分母的余式是有理数运算最常用的技巧之一。
我们知道，当分母相同时，有理数间可以把分子相加，例如：2/5-1/5=1/5，这样就可以更方便进行有理数运算。
当出现不同分母的情况时，可以把余式统一处理成带有相同分母的模式，再进行简化。
例如：3/4-1/5=15/20-4/20，可以把15/20及4/20合并为11/20，把重复度较高的运算简化掉，大大节省了计算量。
（三）利用常数来复杂有理数运算有理数运算也可以利用常数进行复杂的计算，有时可以让符号的变换更加简单。
比如，(a+b)/(a-b)可以改写为(a+b)/a-b/a，即：1/a+b/a-b/a，由此可以方便地进行有理数运算，使杂乱的运算步骤变得更加清楚。
（四）利用特殊比例计算有时候可以利用一些特殊的比例来进行有理数运算。
例如，a1/a2=b1/b2，那么a1/a2+c1/c2=b1/b2+c1/c2。
由此可以方便地转换出一些比较复杂的运算，从而方便有理数的运算。
（五）以底数为底的幂运算有理数的运算中也可以采用一些幂运算技巧，比如：a^b×a^c=a^(b+c)。
例如：2^3×2^2=2^5；上式中就是利用幂运算把有理数中的相乘转换成有理数中的相加，把运算变得更加容易。
有理数的加法与减法运算技巧
有理数的加法与减法运算技巧一、有理数加法运算技巧1.同号有理数相加：–取相同符号，并保留原有绝对值；–将绝对值相加，结果的绝对值即为两数相加的绝对值，符号与原数相同。
2.异号有理数相加：–取绝对值较大的数的符号；–用较大的绝对值减去较小的绝对值，结果的绝对值为两数相加的绝对值，符号与绝对值较大的数相同。
–任何有理数加零，结果为该有理数本身。
3.加法交换律：–对于任何两个有理数a和b，a + b = b + a。
二、有理数减法运算技巧1.同号有理数相减：–取相同符号，并保留原有绝对值；–将绝对值相减，结果的绝对值即为两数相减的绝对值，符号与原数相同。
2.异号有理数相减：–转换为加法运算，即将被减数取相反数后与减数相加；–按照同号有理数相加的方法进行计算。
–任何有理数减零，结果为该有理数本身。
3.减法交换律：–对于任何两个有理数a和b，a - b = b - a。
4.减法的性质：– a - (b + c) = (a - b) - c；– a - b = a + (-b)。
三、加减法运算技巧1.结合律：–对于任何三个有理数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。
2.分配律：–对于任何三个有理数a、b和c，a × (b + c) = a × b + a × c；–对于任何三个有理数a、b和c，(a + b) × c = a × c + b × c。
3.运算顺序：–先算乘除，后算加减；–同一级运算，按照从左到右的顺序进行计算。
4.带符号移项：–将含有未知数的项移到等式的一边，将常数项移到等式的另一边；–移项时，注意改变移项后项的符号。
5.运用括号：–括号前面是加号时，括号内的数不变号；–括号前面是减号时，括号内的数变号。
通过以上知识点的学习与理解，同学们可以掌握有理数加减法的运算技巧，并在实际运算中灵活运用，提高解题速度和正确率。
有理数运算常用的技巧
有理数运算常用的技巧一、归类运算进行有理数的加减运算时,运用交换律、结合律归类加减,常常可以使运算简捷.如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等.例1、计算：－（0.5)－（－3) + 2。
75－(7）变式：计算:二、凑整求和将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．例2、计算：19＋299＋3999＋49999．变式：计算：三、变换顺序在有理数的运算中，适当改变运算顺序,有时可以减少运算量,在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．例3、计算：[4＋（－）]＋［(－）＋6］．变式：计算:四、逆用运算律在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征,对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．例4、计算：17。
48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．变式1：变式2：4726342+4726352-472633×472635—472634×472636五、巧拆项(裂项相消)把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷．常见的裂项相消：①②③④例5、计算2005×－1001×．例6、变式1：变式2:变式3：计算：六、变量替换(换元法）通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路,其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．例7、计算×（0.125＋）．例8、(第8届“希望杯"）计算：变式1：计算（2＋）×（）－（2＋）×（）变式2：计算变式3:计算七、分组搭配（巧添括号）观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．例9、计算:2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．变式：计算：八、倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时,常根据所求式结构,采用倒序相加减的方法把问题简化．例10、计算＋（＋）＋(＋＋)＋(＋＋＋)＋…＋（＋＋…＋＋)．变式1：计算变式2：计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．九、添数配对(添项法)添数配对实质上也是一种凑整运算例11、计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．变式:计算十、错位相减对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决,就能收到事半功倍的效果．例12、计算1－＋－＋－＋－＋．例13、计算：变式1：计算：变式2：计算:十一、分解相约对于较复的算式直接运算很困难，抓住其特征，分解化为相同的形式，将相同的部分约去。
有理数运算技巧十招
2
1 1 2 。 12 12
例 6 计算： 2008 200920092009 2009 200820082008 。 解：原式 2008 2009 100010001 2009 2008 100010001
0。
六、转化 将小数与分数或乘法与除法相互转化。 例 7 计算： 42
2 3 0.25 。 3 4
解：原式 28
3 1 4 4
3 28 4 4
28 3 25 。
七、变序 运用运算律改变运算顺序。
1 6
3 4
2009
。
3 2009 1 。 3.75 3 0 ， 1 4
原式 0 1 1 。
妙用字母解题
在我们学习的过程中，常会遇到一些数据大、关系复杂的计算题，令人望而生畏，无从 着手．这时，如果我们仔细观察数据特点，探究数据规律，巧妙利用字母代替数字，将会收 到化繁为简，化难为易的效果． 例 1 计算
-2-
例 8 计算： 12.5 31
4 0.1 5
解：原式 12.5 0.1 31
4 5
1 31 31。
例 9 计算： 1
3 8 8 7 1 。 5 9 15 8
009 9。
四、组合 将分母相同或易于通分的数结合。 例 4 计算： 5
ห้องสมุดไป่ตู้
5 5 11 5 2 10 12 。 24 9 18 6
-1-
解：原式 12
5 5 5 11 5 2 10 6 24 9 18
有理数运算法则口诀
有理数的运算法则可以通过一些简单的口诀来记忆。
有理数的加法运算法则是“同号相加一边倒；异号相加“大”减 “小”,符号跟着大的跑；绝对值相等“零”正好”。
具体来说，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加，和为0。
有理数的减法运算法则是“减正等于加负，减负等于加正”。
有理数的乘法运算法则是“符号法则：同号得正，异号负，一项为零积是零”。
合并同类项的法则为“只求系数代数和，字母指数留原样”。
去、添括号的法则为“去括号或添括号，关键要看连接号。
扩号前面是正号，去添括号不变号。
括号前面是负号，去添括号都变号”。
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有理数运算技巧
山西省朔州市朔城区四中 贾孝伟
学习目标
能够运用运算律对现有的计算进行简便运算． 学习重点（难点）：运算律的灵活运用． 教学过程： 一、学前准备：
有理数的乘法运算法则；（两数相乘，同号得正，异号得负，同零、同1相乘） 小学学过的有关的乘法的运算律：（乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律） 二、自学指导
计算：____)3()5(____)5()3(=-⨯+=+⨯-；
____)]3()6[()4(____)3()]6()4[(=-⨯+⨯-=-⨯+⨯-；
____)3
1()6()21()6(____)]31()21[()6(=-⨯-++⨯-=-++⨯-；
概括：有理数的乘法仍满足交换率、结合律和乘法分配律． 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变． ba ab =
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变． )()(bc a c ab =
乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加． ac ab c b a +=+)(
根据乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘．
三、例题讲解：
（一）、巧用交换律与结合律
（二）、逆用乘法的分配律
1、互为倒数的两数结合
例1、-3×（-57）×（-31）×
74
解：原式=【-3×（-31）】【（-57）×74】=1×（-54）=-5
4
2、能互相约分的两数结合
例2、-23×（-78）×415×52×（-89）×
15
11
解：原式=（-23×52）×【（-78）×（-89）】×（415×
15
11
）
=-53×79×411=-140
297=-2
140173、能凑成整数、十、百等两数结合
例3、-125×（-25）×（-5）×2×（-4）×（-8）
解：原式=-（125×8）×（25×4）×（5×2）
=-1000×100×10
例4、3.59×（-74）+2.41×（-7
4）-6×（-74）
原式=-74×（3.59+2.41-6）=-7
4
×0=0
（三）、应用分配律
1、一个和或差与一个数相乘，且和或差中的分母是这个数的约数。
2、把一个整数拆成两个数的和或差，再利用乘法的分配律。
3、把一个接近1的分数拆成1与另一个分数的差
（四）、逆用分数的减法性质
例5、-36×（－94+65-127）
解：原式=-36×（-94）+65×（-36）-12
7
×（-36）
=16-30+21=7
例6、57×56
55+27×
2827
解：原式=（56+1）×56
55+（28-1）×
2827
=82+56
1
=
56182例7、57×56
55+27×
2827
解：原式=57×（1-56
1
）+27×（1-281）
=57－5657+27-2827
=84-15655=82
56
1
例8、计算
=1-
=
例9、计算
=
=
11x2+12x3+13x4+...+1
2016x2017
原式=1-21+21-3
1
+…+1
2017
20162017
11x3+13x5+15x7+...+12015x2017
12
12015-12017
(
)
解：12016-12017
解：原式=
1
2
11-13
()12
13-15
()+1x3+13x5+1
5x7
+..1201
+
+...
+
12
15-17
(
)
12
11-12017
(
)
12
11-13+13-15+15-17+...+12015-12017
(
)
=
=
四、课堂练习
(1) ()()4
3
85.08⨯
-⨯-+； (2) ()()25.0541653-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-；
(3) )8
7(05)43
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⎝⎛+-⨯4.0322130； (5) ()54.98-⨯；
(6) 16)8()5()12(4+-⨯-+-⨯； (7) )15
14
3118(43--⨯．
五、学习体会：
本节通过结合小学学过的运算律，并对其中数的范围扩充到有理数的范围，在运算中主要要培养学生灵活运用运算律的习惯，并能在运算中把握住运算的准确性． 六、课后作业： 1．计算
(1) －9×(－11)－12×(－8)；(2) ()714
13
2
-⨯． 12
20162017
()
10082017
(3) ()825.12014
-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-；(4) ()5
34.265⨯-⨯； (4)(5) 105527531⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛--。