有理数运算常用的技巧
有理数计算的六个技巧
有理数计算的六个技巧有理数计算是数学中一个重要的部分，掌握一些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成计算。
以下是六个有理数计算的技巧：1. 分母有理化：对于形如$\frac{a}{b}$的有理数，如果b是平方数（例如4、9、16等），则可以将分母进行有理化处理，即将分子和分母都乘以b的平方根。
例如，$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 2}{4 \times 2} = \frac{2}{8}$。
2. 乘法分配律：对于任意三个有理数a、b和c，有$a \times (b + c) = a\times b + a \times c$。
这个技巧可以用于简化复杂的乘法运算。
3. 提取公因数：对于多个有理数的乘法，如果存在公因数，可以先提取公因数，再进行其他运算。
例如，$2 \times 3 \times 4 = 2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12$。
4. 利用绝对值的性质：对于有理数的绝对值，如果知道某个数的范围，可以利用绝对值的性质来简化计算。
例如，如果知道$a < b$，则可以得出$-b< a < b$。
5. 利用等差数列的性质：对于等差数列中的有理数，可以利用等差数列的性质来简化计算。
例如，对于等差数列$a, b, c, d$，有$b = \frac{a +c}{2}$和$d = \frac{a + d}{2}$。
6. 利用近似值：对于一些复杂的计算，如果不需要精确结果，可以利用近似值来快速得到一个接近真实值的结果。
例如，对于$\sqrt{2}$，我们知道$ < \sqrt{2} < $，所以可以取或作为$\sqrt{2}$的近似值。
这些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成有理数计算。
在掌握这些技巧的基础上，通过多做练习题来提高自己的计算能力和熟练度。
有理数四则运算技巧
有理数四则运算技巧
1. 哎呀呀，在有理数四则运算中，加法可是基础呢！就像搭积木一样，一块块往上加。
比如 2+3=5，这多简单呀！
2. 嘿，减法其实不就是加法的逆运算嘛！好比你往前走了几步，再往回退几步。
像 5-3 不就是从 5 这个点往回退 3 步嘛，答案就是 2 啦！
3. 哇塞，乘法就像是快速复制粘贴一样！比如说3×4，不就是 3 个 4 或者
4 个 3 嘛，结果就是 12 呀！
4. 哟呵，除法不就是平均分嘛！就像把一堆糖果分给几个小朋友。
比如
12÷3，就是把 12 平均分成 3 份呀，那每份就是 4 咯！
5. 嘿呀，混合运算的时候可得注意顺序呀！先算乘除后算加减，这就好比先解决重要的事再处理小事。
想想看3+4×2，如果先算加法那就错啦，得先
算乘法4×2 得 8，再加上 3 才对呢！
6. 哇，添括号和去括号也有技巧哦！这不就像给式子穿上或脱掉一件外套嘛。
像 5+(3-1)，去括号后就是 5+3-1 呀。
7. 哈哈，转换思维也很重要呢！有时候换个角度看式子，答案就一下子出来了。
比如把 25 看成5×5，是不是思路就开阔啦？
8. 呦，约分和化简能让式子变清爽呢！就像给式子洗了个澡。
比如 10/20
可以约分成 1/2 呀。
9. 记住这些技巧，有理数四则运算就变得容易多啦！难道不是吗？以后遇到这些运算就可以轻松搞定啦！
我的观点结论：有理数四则运算只要掌握了这些技巧，就能变得有趣又简单，大家要多多练习运用呀！。
有理数计算的常用方法
有理数计算的常用方法关于有理数计算竞赛题，种类繁多，特点各异，解法多样，富有技巧．解题时，需要细心观察，深入探究，缜密分析，全面审视，除了发现题中的特征，还应挖掘题中隐含的规律，正确灵活地使用运算法则、性质和定律，实施“化繁为简，化难为易”的手段，达到准确，快捷解题之目的，根据笔者教学实践，总结出解有理数计算题的十一种常用方法，以供参考．一、凑整法例1计算：2002＋98＋997＋9996＋99995．分析题中几个数都与整十、整百、整千……很接近，因此可以凑成整十、整百、整千……来求解．解1 原式＝(2002－2－3－4－5)＋(98＋2)＋(997＋3)＋(9996＋4)＋(99995＋5)＝1988＋100＋1000＋10000＋100000＝113088．例2若S＝11＋292＋3993＋49994＋599995＋6999996＋79999997＋899999998，则和数S的末四位数字之和是____．分析将题中的每个数凑成“整十”、“整百”、“整千”……来计算，很容易解出，解原式＝(11＋9)＋(292＋8)＋(3993＋7)＋(49994＋6)＋(599995＋5)＋(6999996＋4)＋(79999997＋3)＋(899999998＋2)－9＋8＋7＋ (2)＝(20＋300＋4000＋50000＋600000＋7000000＋80000000＋900000000)－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2)＝987654320－44＝987654276．∴S的末四位数字之和是4＋2＋7＋6＝19．二、分组结合法例3计算：1－3＋5－7＋9－11＋…＋2009－2011．分析题中从1到201 1，相邻两个数相加是－2，加号和减号交替出现，因此可以运用分组的方法，即依次两个数两个数为一组，每组的得数都是－2，从而很快计算出结果．解原式＝(1－3)＋(5－7)＋…＋( 2009－2011)＝（－2）×503＝－1006．例4计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋2005＋2006－2007－2008＋2009＋2010－2011．分析观察发现，依次四个数四个数为一组，每组中四个数的和为－4，由1至2008共有502组，式中还余3个数，于是得出解法．解1 原式＝(－4)×502＋2009＋2010－2011＝－2008＋2008＝0．本题若再仔细观察又可发现，2－3－4＋5＝0，6－7－8＋9＝0，…，即从2开始，每连续4项的和为0，式中的一列数，除去开头1以外，中间能分成502组，后面还余下两个数为2010，－2011，于是又得另一种解法．解2 原式＝1＋0×502＋2010－2011＝0．三、分解相约法例5 计算：(10.5×11.7×57×85)÷(1.7×1.9×3×5×7×9×11×13×15)．分析被整式与除式的小数位数相等，可化为整数相除，又被除式与除式部分因数能分解，可采用分解相约．解原式＝＝1 11．四、巧用运算律法例6 计算：23797 0.71 6.6 2.20.7 3.31173118⨯-⨯-÷+⨯+÷．分析本题为有理数的混合运算，其中有公因子，可把公因子先提出，然后进行计算．解原式五、妙用性质法例7计算：1÷(2÷3)÷(3÷4)÷…÷(2010÷2011)．分析本题属于一道连除的计算题，可以利用连除性质：a÷(b÷c)＝a÷b×c＝a×c ÷b．先将原式进行分解，再利用交换律使问题得到解决．解原式＝1÷2×3÷3×4÷…÷2010×2011＝(1×3×4×...×2011)÷(2×3×4× (2010)＝2011÷2＝1005.5．六、添项相加法例8 计算：512＋256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋2＋1．分析 经过观察，发现上式的特点是后一项是前一项的一半，因此，如果我们把后一项加上它本身，就可以得到前一项的值，于是添加一个辅助数l （末项），使问题得以顺利解决．解 原式＝512＋256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋(1＋1)－1＝512＋256＋…＋4＋(2＋2)－1＝…＝512＋(256＋256)－1＝512＋512－1＝1023．七、错位相减法例9 计算：2481621392781243+++++． 分析 观察算式发现，从第二项起，每一项是前一项的23，考虑用错位相减法解．八、活用公式法例10 计算：211133+++ (1013)+． 分析 上式从第二项起，后一项与前一项的比值都是13，因此它是道等比数列求和题．可用公式1(1)1n n a q S q-=-求解，其中S n 表示前n 项的和，n 表示项数，q 表示公比，a 1表示首项，解 原式例11 计算:19492－19502＋19512－19522＋… ＋20092－20102＋20112．分析 上式除末项外，前面的项顺次每两项构成平方差形式，可用平方差公式分解后再计算．解 原式九、拆项法例12 计算：359173365248163264+++++． 分析 和式中每个相加的分数分子都比分母大1，而分母依次是后一个分母是前一个分母的2倍，于是我们可以先拆项，再相加． 解 原式例13 计算：1111121231234++++++++++…1123100+++++．分析本题可用上法拆项．解 原式十、字母代换法例14计算：(1＋0.23＋0.34)×(0.23＋0.34＋0.56)－(1＋0.23＋0.34＋0.56)×(0.23＋0.34)．分析此题如果用常规方法进行计算，步骤多而且复杂，如果我们把算式中的一部分相同的式子用字母代替，可以化繁为简，化难为易，很快巧算出结果．解设0.23＋0.34＝a．则原式＝(1＋a)×(a＋0.56)－(1＋a＋0.56)×a＝a＋0.56＋a2＋0.56－a－a2－0.56a＝0.56．十一、数形结合法例15 计算：当n无限大时，1＋12＋1148++…12n+的值．分析建立如下模型，设大正方形的面积为l，当n无限大时，有1＋12＋1148++…12n+＝1．故原式＝2（图形请读者自作）．例16 求S100＝13＋23＋33＋…＋1003的值．分析使用计算器虽能求得结果，但是计算量将十分庞大，而利用数形结合法能使本题得以巧解．解先求出13＋23＋33的值，作出如图．易知13表示第一个┘上黑点的个数，23表示第二个┘上黑点的个数，33表示第三个┘上黑点的个数．图中每行每列黑点的个数均为l＋2＋3＝6，故S3＝13＋23＋33＝6×6＝36．用式子表示：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62．同理可得S100的图中各行各列的黑点个数为：。
关于有理数运算中的解题技巧
关于有理数运算中的解题技巧
有理数是整数和分数的统称，可以进行加减乘除等基本的四则
运算。
在解题过程中，我们可以通过掌握一些技巧来简化计算和加
快速度。
一、化分做通分
在有理数的加减运算中，需要先将两个有理数化为相同分母的
分数，然后再进行加减运算。
这种方法就叫做化分做通分。
例如：计算1/3 + 1/4
步骤一：先将分数化为相同分母的分数，3和4的最小公倍数
为12，所以将分数化为12的分数：
1/3 = 4/12，1/4 = 3/12
步骤二：将分数进行加法运算，得到：
1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12
二、合并同类项
在有理数的加减运算中，所有同类项可以合并为一个项。
这样
可以化简计算，避免漏算或重算。
例如：计算3x + 4y + 2x - 5y
其中3x和2x是同类项，4y和-5y是同类项，所以可以合并为：3x + 2x + 4y - 5y = 5x - y
三、去括号
1。
有理数运算常用的技巧
有理数运算常用的技巧一、归类运算进行有理数的加减运算时,运用交换律、结合律归类加减,常常可以使运算简捷.如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等.例1、计算：－（0.5)－（－3) + 2。
75－(7）变式：计算:二、凑整求和将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．例2、计算：19＋299＋3999＋49999．变式：计算：三、变换顺序在有理数的运算中，适当改变运算顺序,有时可以减少运算量,在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．例3、计算：[4＋（－）]＋［(－）＋6］．变式：计算:四、逆用运算律在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征,对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．例4、计算：17。
48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．变式1：变式2：4726342+4726352-472633×472635—472634×472636五、巧拆项(裂项相消)把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷．常见的裂项相消：①②③④例5、计算2005×－1001×．例6、变式1：变式2:变式3：计算：六、变量替换(换元法）通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路,其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．例7、计算×（0.125＋）．例8、(第8届“希望杯"）计算：变式1：计算（2＋）×（）－（2＋）×（）变式2：计算变式3:计算七、分组搭配（巧添括号）观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．例9、计算:2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．变式：计算：八、倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时,常根据所求式结构,采用倒序相加减的方法把问题简化．例10、计算＋（＋）＋(＋＋)＋(＋＋＋)＋…＋（＋＋…＋＋)．变式1：计算变式2：计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．九、添数配对(添项法)添数配对实质上也是一种凑整运算例11、计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．变式:计算十、错位相减对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决,就能收到事半功倍的效果．例12、计算1－＋－＋－＋－＋．例13、计算：变式1：计算：变式2：计算:十一、分解相约对于较复的算式直接运算很困难，抓住其特征，分解化为相同的形式，将相同的部分约去。
有理数运算技巧十招
2
1 1 2 。 12 12
例 6 计算： 2008 200920092009 2009 200820082008 。 解：原式 2008 2009 100010001 2009 2008 100010001
0。
六、转化 将小数与分数或乘法与除法相互转化。 例 7 计算： 42
2 3 0.25 。 3 4
解：原式 28
3 1 4 4
3 28 4 4
28 3 25 。
七、变序 运用运算律改变运算顺序。
1 6
3 4
2009
。
3 2009 1 。 3.75 3 0 ， 1 4
原式 0 1 1 。
妙用字母解题
在我们学习的过程中，常会遇到一些数据大、关系复杂的计算题，令人望而生畏，无从 着手．这时，如果我们仔细观察数据特点，探究数据规律，巧妙利用字母代替数字，将会收 到化繁为简，化难为易的效果． 例 1 计算
-2-
例 8 计算： 12.5 31
4 0.1 5
解：原式 12.5 0.1 31
4 5
1 31 31。
例 9 计算： 1
3 8 8 7 1 。 5 9 15 8
009 9。
四、组合 将分母相同或易于通分的数结合。 例 4 计算： 5
ห้องสมุดไป่ตู้
5 5 11 5 2 10 12 。 24 9 18 6
-1-
解：原式 12
5 5 5 11 5 2 10 6 24 9 18
有理数运算法则口诀
有理数的运算法则可以通过一些简单的口诀来记忆。
有理数的加法运算法则是“同号相加一边倒；异号相加“大”减 “小”,符号跟着大的跑；绝对值相等“零”正好”。
具体来说，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加，和为0。
有理数的减法运算法则是“减正等于加负，减负等于加正”。
有理数的乘法运算法则是“符号法则：同号得正，异号负，一项为零积是零”。
合并同类项的法则为“只求系数代数和，字母指数留原样”。
去、添括号的法则为“去括号或添括号，关键要看连接号。
扩号前面是正号，去添括号不变号。
括号前面是负号，去添括号都变号”。
专题训练(二)有理数计算的六个技巧
=1.4-51
=-49.6.
11.解:原式=11×36-7×36- 5 ×36+6×(3.93-1.43)
12
9
18
=33-28-10+6×2.5
=-5+15
=10.
12.解:原式= -13 × -42+104+55 +7×36-5×36+3×36
12
7 77 9
6
4
=-13×12+28-30+27
=7.
3.解:原式=
+37 + +47
+
-154 + -194
+
-235 + +225
=(+1)+(-1)+ - 1
25
=- 1 .
25
4.解:原式= 27+ -17 + -2 7 + -3 5 + 53+22
8
8
12
12
55
=1+(-6)+8
=3.
5.解:原式=(-0.25)×(4×4×8)×0.125× -3 =(0.25×4)×(8×0.125)× 3×4 =1×1×3=3.
▶ 技巧六 分解——将一个数拆分成两个或几个数之和的形式,或分解为它的因数相乘的 形式 15.计算:-21+51-41+31.
4 23 6
16.计算:9115×(-8).
16
17.(1)[2019·贺州] 计算 1 + 1 + 1 + 1 +…+ 1 的结果是 ( )
1×3 3×5 5×7 7×9
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有理数运算常用的技巧
一、归类运算
进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷。
如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。
1 1
例1、计算：一(0.5) —( —3 — ) + 2.75 —(7—)
4 2
变式：计算：-2 3 1 ：〔：；：-3 - 2^1-4
二、凑整求和
将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题
效率.
例2、计算：19 + 299 + 3999+ 49999.
变式：计算：36.54 22 -82 63.46
三、变换顺序
在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算.
5 1 2 7
例3、计算：[4 - + (—丄)]+ [( —2) + 6 —].
12 7 7 12
’’ f 4)
变式：计算：-12.5 31 0.1
I 5丿
四、逆用运算律
在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征, 妙地逆用分
对此加以灵活变形，便可巧配律，使解题简洁明快.
例4、计算：17.48 X 37+ 174.8 X 1.9 + 8.74 X 88.
3 3 2 3 3 25 12 3 3 3 3 3
变式1： (-一) 0.75 0.5 (-―)(1 )(—) 4 "(-一)
4 4 37 2
5 4 4
2 2
变式2：472634 +472635 - 472633X 472635 -472634X 472636
五、巧拆项(裂项相消)
把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷.
常见的裂项相消：
①亠丄丄
n(n 1) n n 1
变式2：
1 1 1 ------ + ........ + ------------ +
4 7 7 10 100 103
变式
3：
1 1 1
计算：
_
_ --
11 13 15 13 15 17 29 31 33
六、变量替换（换元法）
量在解题过程中起到桥梁作用.
七、分组搭配（巧添括号）
观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算. 例 9、计算：2 - 3 -4+ 5 + 6 -7 — 8 + 9…+ 66 - 67-68 + 69. 变式：计算：
训2-(3-4 + 5"-7-&4|弭1[]一|11「12* ••■141997 + 1998 -19P9 - 2000 d| 如机
八、倒序相加
在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化.
③
n(n 1)(n
2)
冷治-(n 1)(n 2)]
1 (n - 1)(n 1)
例5、计算 2003 - 1001 X 竺.
2004 1002
1 1
+ ----- + ------ +||| + -----------
3 5 57 99 101
1 1 1 1 「 1
+— +
| | + -------- 9900 2005
X
1 例6、 - 1x3 变式1: 1 -
2 6 12 20 30
通过引入新变量转化命题结构，
这样不但可以减少运算过程, 还有利于寻找接题思路， 其中的新变
1 2 7- 3-
例7、计算 4 3
X
12
6
1
0.125 (7 — 3 —) 9
2 4 3
7 5
例8、(第8届“希望杯”)计算： 变式1:计算
(2+丄+】+丄+ +
—)
3 4……2010 1 1 1
(丄 +_ +-L + +_
变式1 :计算（2+ 一
2
—）
2011
11. 3 4
变式2: 计算
丄
2006
1・11…丄
2 3 2005
变式3:
96
(0.125 + 丄 71 +3 二 4
L 1+1+1 +
<23
‘7
1 37、 f 12
计算17厶+27丄-1137" 13生+8
I 27 17 39 丿 -21 5).
-2 '3
1 )-(
2 +
2011
2006
2 3 2005
一5峯
17 27
39
17
+ 3)+( 31 2 + 3 + 3)+•••+ (丄+ Z +•••+ 兰
5 5 60 60 60
错位相减
就能收到事半功倍的效果.
例12、计算1 —1+ 1—1+ ——— + ——
2 4 8 16 32 64
对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征, 运用整体运算的思维，创造性地加以解决,
例13、计算: 2 3 2010 S =1 2 2 2 HI 2
变式1: 计算: —却丄
22010
变式2: 计算:
1 1 1
1 ■
3 32 33
丄
2013
3
卜一、分解相约
对于较复的算式直接运算很困难，抓住其特征，分解化为相同的形式，将相同的部分约去。
例14、计算: '1><2X：4*2X：4X：8* n ‘2n ‘4n 1
------------------------------------------- i 订><3x9+2^6汉18+ …+ n ‘3n ‘9n
丿
变式1:计算变式2:计算1 _202 50505 13131313
21 2121 212121 21212121
2013 20132013 201320132013 2013201320132013 2014 20142014 201420142014 2014201420142014
1
例10、计算—+ （
2 50).
变式1: 变式2:
4005 +
-------
2003 计算1+3+5+7+…+ 1997+1999 的值.
计算
2003 2003 2003
九、添数配对（添项法）添数配对实质上也是一种凑整运算
例11、计算
变式：计算211111 1
+ —+—+—+——+——+--------+
4 8 16 32 64 128
1 + 256 512
3)+(丄 + -
4 5 5
1 1
+ -
128 256。