有理数运算技巧
有理数计算的六个技巧
有理数计算的六个技巧有理数计算是数学中一个重要的部分，掌握一些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成计算。
以下是六个有理数计算的技巧：1. 分母有理化：对于形如$\frac{a}{b}$的有理数，如果b是平方数（例如4、9、16等），则可以将分母进行有理化处理，即将分子和分母都乘以b的平方根。
例如，$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 2}{4 \times 2} = \frac{2}{8}$。
2. 乘法分配律：对于任意三个有理数a、b和c，有$a \times (b + c) = a\times b + a \times c$。
这个技巧可以用于简化复杂的乘法运算。
3. 提取公因数：对于多个有理数的乘法，如果存在公因数，可以先提取公因数，再进行其他运算。
例如，$2 \times 3 \times 4 = 2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12$。
4. 利用绝对值的性质：对于有理数的绝对值，如果知道某个数的范围，可以利用绝对值的性质来简化计算。
例如，如果知道$a < b$，则可以得出$-b< a < b$。
5. 利用等差数列的性质：对于等差数列中的有理数，可以利用等差数列的性质来简化计算。
例如，对于等差数列$a, b, c, d$，有$b = \frac{a +c}{2}$和$d = \frac{a + d}{2}$。
6. 利用近似值：对于一些复杂的计算，如果不需要精确结果，可以利用近似值来快速得到一个接近真实值的结果。
例如，对于$\sqrt{2}$，我们知道$ < \sqrt{2} < $，所以可以取或作为$\sqrt{2}$的近似值。
这些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成有理数计算。
在掌握这些技巧的基础上，通过多做练习题来提高自己的计算能力和熟练度。
有理数的运算技巧
有理数的运算技巧有理数是指可用整数比值得数，包括整数、分数以及这两者之间的有限小数或循环小数。
有理数具有很多特点和规律，掌握一些运算技巧可以帮助我们更快更准确地进行有理数的运算。
下面将介绍一些常用的有理数运算技巧。
1.整数的加减运算：a)同号相加减：将它们的绝对值相加，结果的符号与原来相同。
b)异号相加减：将绝对值较大的数减去绝对值较小的数，结果的符号与绝对值较大的数相同。
2.分数的运算：a)分数的加减：先找到两个分数的最小公倍数，然后将两个分数的分子乘以最小公倍数除以原分母，再进行相加减即可。
b)分数的乘法：将两个分数的分子乘积作为结果的分子，分母乘积作为结果的分母。
c)分数的除法：将除数分数的分子与被除数分数的分母相乘，除以除数分数的分母与被除数分数的分子的乘积。
3.有理数的混合运算：首先进行混合数的整数部分的加减运算，然后再进行分数部分的运算。
如：31/4+22/5=(3+2)+(1/4+2/5)4.有理数的乘方运算：将有理数的底数按照要求进行相应的运算，然后再求幂。
如：(-2/3)^3=(-2/3)*(-2/3)*(-2/3)5.有理数的开方运算：对于完全平方数的有理数，可以直接提取出有理数的平方根。
对于非完全平方数的有理数，可以先将其化成最简分数形式，再进行开方运算。
6.有理数的逆运算：a)有理数的相反数：改变有理数的符号即可。
如：(-5)的相反数为5b)分数的倒数：将分子与分母互换位置即可。
如：1/4的倒数为4/17.有理数的化简：a)两数的最大公约数：将两数各自分解质因数，然后将公共的质因数相乘，得到的结果即为最大公约数。
b)两数的最小公倍数：将两数各自分解质因数，将各自分解质因数中的若干个质因数按照次数最多的那一组相乘，得到的结果即为最小公倍数。
8.小数的进位和舍位：a)进位：小数的末尾数大于等于5时，前一位数进位。
b)舍位：小数的末尾数小于5时，前一位数舍去(不进位)。
以上是有理数运算的一些常用技巧，通过掌握这些技巧，我们可以更加便捷和准确地进行有理数的运算。
有理数的加法与减法运算技巧
有理数的加法与减法运算技巧一、有理数加法运算技巧1.同号有理数相加：–取相同符号，并保留原有绝对值；–将绝对值相加，结果的绝对值即为两数相加的绝对值，符号与原数相同。
2.异号有理数相加：–取绝对值较大的数的符号；–用较大的绝对值减去较小的绝对值，结果的绝对值为两数相加的绝对值，符号与绝对值较大的数相同。
–任何有理数加零，结果为该有理数本身。
3.加法交换律：–对于任何两个有理数a和b，a + b = b + a。
二、有理数减法运算技巧1.同号有理数相减：–取相同符号，并保留原有绝对值；–将绝对值相减，结果的绝对值即为两数相减的绝对值，符号与原数相同。
2.异号有理数相减：–转换为加法运算，即将被减数取相反数后与减数相加；–按照同号有理数相加的方法进行计算。
–任何有理数减零，结果为该有理数本身。
3.减法交换律：–对于任何两个有理数a和b，a - b = b - a。
4.减法的性质：– a - (b + c) = (a - b) - c；– a - b = a + (-b)。
三、加减法运算技巧1.结合律：–对于任何三个有理数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。
2.分配律：–对于任何三个有理数a、b和c，a × (b + c) = a × b + a × c；–对于任何三个有理数a、b和c，(a + b) × c = a × c + b × c。
3.运算顺序：–先算乘除，后算加减；–同一级运算，按照从左到右的顺序进行计算。
4.带符号移项：–将含有未知数的项移到等式的一边，将常数项移到等式的另一边；–移项时，注意改变移项后项的符号。
5.运用括号：–括号前面是加号时，括号内的数不变号；–括号前面是减号时，括号内的数变号。
通过以上知识点的学习与理解，同学们可以掌握有理数加减法的运算技巧，并在实际运算中灵活运用，提高解题速度和正确率。
有理数运算技巧十招
2
1 1 2 。 12 12
例 6 计算： 2008 200920092009 2009 200820082008 。 解：原式 2008 2009 100010001 2009 2008 100010001
0。
六、转化 将小数与分数或乘法与除法相互转化。 例 7 计算： 42
2 3 0.25 。 3 4
解：原式 28
3 1 4 4
3 28 4 4
28 3 25 。
七、变序 运用运算律改变运算顺序。
1 6
3 4
2009
。
3 2009 1 。 3.75 3 0 ， 1 4
原式 0 1 1 。
妙用字母解题
在我们学习的过程中，常会遇到一些数据大、关系复杂的计算题，令人望而生畏，无从 着手．这时，如果我们仔细观察数据特点，探究数据规律，巧妙利用字母代替数字，将会收 到化繁为简，化难为易的效果． 例 1 计算
-2-
例 8 计算： 12.5 31
4 0.1 5
解：原式 12.5 0.1 31
4 5
1 31 31。
例 9 计算： 1
3 8 8 7 1 。 5 9 15 8
009 9。
四、组合 将分母相同或易于通分的数结合。 例 4 计算： 5
ห้องสมุดไป่ตู้
5 5 11 5 2 10 12 。 24 9 18 6
-1-
解：原式 12
5 5 5 11 5 2 10 6 24 9 18
有理数的加减乘除的混合运算技巧
有理数的加减乘除是数学中非常基础的运算，它们在解决实际问题和其他数学运算中起着重要的作用。
它们的混合运算在解决复杂问题时尤为重要。
下面将介绍有理数的加减乘除的混合运算技巧。
一、有理数的加法运算1.1 正数加正数：两个正数相加的结果仍然是正数，例如3+5=8。
1.2 负数加负数：两个负数相加的结果仍然是负数，例如-4+(-6)=-10。
1.3 正数加负数：两个数符不其绝对值相减，结果的符号取较大绝对值的符号，例如5+(-3)=2。
二、有理数的减法运算2.1 减去一个数相当于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。
2.2 减法运算可以看作加法运算，例如5-3=5+(-3)=2。
2.3 减法运算中，正数减去一个较大的负数，结果为正数，例如7-(-4)=7+4=11。
三、有理数的乘法运算3.1 同号相乘：两个数符相它们的积为正数，例如3×4=12。
3.2 异号相乘：两个数符不它们的积为负数，例如-5×6=-30。
3.3 有理数乘法的结合律和交换律：对有理数a、b、c来说，a×(b×c)=(a×b)×c，a×b=b×a。
四、有理数的除法运算4.1 有理数的除法运算可以看作是乘法运算的倒数，即a÷b=a×(1/b)。
4.2 除法运算中，同号相除结果为正数，异号相除结果为负数。
4.3 有理数除法的分配率：对有理数a、b、c来说，a÷(b÷c)=(a×c)÷b。
五、有理数的混合运算5.1 有理数的混合运算要遵循先乘除后加减的原则，进行括号内的运算。
5.2 混合运算中，可以通过加减号的顺序调整运算的优先级，例如先进行加法运算，再进行减法运算。
5.3 在进行混合运算时，可以通过绝对值大小或符号来判断计算的顺序，避免混合运算时出现混淆。
六、总结有理数的加减乘除的混合运算需要熟练掌握各种运算规则，尤其是混合运算的顺序和优先级。
有理数运算的十种技巧
２ （ １ 一 而 １） ＝ 而 ２ ０ ０
．
孚： ÷（ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ …＋ ５ ９ ） ： 了 １ ×
＝８ ８ ５ ．
说 明 ： 形 如 面的 分 数 。 可 以 拆 成 ÷ （
— －） Ｉ 的形 式 ． ， ｌ ＋ 口
二、 巧用饲序法
例 ２ 计算
解： 设 ＝
Ｉ 、
解 ： 设 ｓ ＝ １ ＋ （ ÷＋ 丁 ２ ） ＋ （ ÷＋ ２ ＋ ３ ） ＋
（１
，
即 ２ Ａ ＝２ Ｘ４ ０１ １ ．
了 了 了 了 ） 一 ＋【 丽
２
３
４、
，１
２
＋ ‘ 一 丽 丽 ） ’
４ ８ ４ ９、
辽一 一 一
有理数的运算是初 中代数运算 中 的基 础运算 ， 它有
一
‘ ． ．
Ａ ＝４ ０ １ １ ． ． ． ．原 式 ＝ ４ ０ １ １ ．
定规律 和技 巧． 只要 认 真 分析 和研 究题 目的 内在 特
三、 巧 用 拆 项 法
征， 并根据这些特 征灵活 巧妙 地运 用运算 法则 、 运算 定 律和有针对性地运用 一定 的方法和技巧 ， 不但可 以使运
解 ： 因 为 （ ÷ ＋ 西 １ 一 ÷ 一 ） ÷ ＝ （ ÷ ＋ 去 一 ÷
一
一
１、
） ，
嘉） 嘉 ９ ３ — １ ４ 一 ｌ 一 ３ ，
所以原式 ＝ 一 ÷一 ３ ：一 ３ ÷
八、 巧 用 添项 法
两式相加得 ２ Ｓ ＝ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４＋… ＋ ４ ９ ．
解 ： 原 式 ＝ ｝ ＋ （ ÷＋ 号 ） ＋ （ ｝＋ ÷ ＋ ÷ ） ＋ …
(完整版)初一有理数的运算法则
一、有理数的运算顺序：有理数的混合运算法则即先算乘方或开方，再算乘法或除法，后算加法或减法。
有括号时、先算小括号里面的运算，再算中括号，然后算大括号。
在遇到相同类型的运算时，应从左往右运算二、有理数的运算：1）有理数加减法：1、同号相加和取相同的符号，并把绝对值相加例如：+2+3=5 （-2）+（-3）=-52、异号相加和取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值例如：+2+（-3）=-1 （-2）+3=1一个数与零相加仍得这个数，两个互为相反数相加和为零3、减去一个数等于加上这个数的相反数例如：+2-（+3）=2+（-3）=-1 （-2）-（-3）=-2+3=14、异号相减可理解为同号相加例如：+2-（-3）=2+3=5 （-2）-（+3）=-2-3=-5 补充：去括号与添括号：去括号法则：括号前是“+”号时，将括号连同它前边的“+”号去掉，括号内各项都不变；+（4+5+6）=4+5+6 +（4-5+6）=4-5+6括号前是“－”号时，将括号连同它前边的“－”去掉，括号内各项都要变号。
-（4+5+6）=-4-5-6 -（4-5+6）=-4+5-6添括号法则：在“+”号后边添括号，括到括号内的各项都不变；4+5+6=4+（5+6） 4-5+6-7=（4-5+6）-7=（4-5）+6-7在“－”号后边添括号，括到括号内的各项都要变号。
4-5+6=4-（5-6） 4-5+6-7=4-（5-6+7）2）有理数乘法法则：1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘例如：（+2）×（+3）=6 （-2）×（-3）=6 （+2）×（-3）=-6 （-2）×（+3）=-62、任何数与零相乘都得零3、几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正；4、几个有理数相乘，若其中有一个为零，积就为零。
有理数运算常用的技巧
有理数运算常用的技巧理数运算是数学中的基本运算之一，它包括加法、减法、乘法、除法等。
在进行理数运算时，掌握一些常用的技巧能够帮助我们更快更准确地计算，提高计算效率。
本文将介绍一些常用的理数运算技巧。
1.加法与减法的技巧：(1)加法交换律：a+b=b+a，即两个数相加的结果与顺序无关。
(2)减法的加法法则：a-b=a+(-b)，即减法可以转化为加法计算。
(3)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，即三个数相加的结果与计算顺序无关。
(4)减法的结合律：(a-b)-c=a-(b+c)，即减法可以按顺序进行多次运算。
2.乘法的技巧：(1)乘法交换律：a*b=b*a，即两个数相乘的结果与顺序无关。
(2)乘法结合律：(a*b)*c=a*(b*c)，即三个数相乘的结果与计算顺序无关。
(3)0的乘法法则：a*0=0，即任何数乘以0都等于0。
(4)乘法的分配律：a*(b+c)=a*b+a*c，即一个数乘以两个数的和等于这个数分别乘以两个数后的和。
3.除法的技巧：(1)除法的定义：a/b=c，即a除以b等于c。
(2)除法的乘法法则：a/b=a*(1/b)，即除法可以转化为乘法计算。
(3)0的除法法则：0/a=0，即0除以任何非零数都等于0。
(4)除法的分配律：(a+b)/c=a/c+b/c，即两个数的和除以一个数等于每个数除以这个数后的和。
4.有理数的比较：(1)相同符号的两个有理数，绝对值越大，值越大。
(2)不同符号的两个有理数，正数大于负数。
(3)当一个有理数与它的绝对值相等的另一个数相比，绝对值大的数更小。
5.分数的运算技巧：(1)相同分母的分数相加减，只需将分子相加减，分母保持不变。
(2)不同分母的分数相加减，需要先找到它们的最小公倍数作为新的分母，然后按比例进行转化。
转化后再按相同分母的分数相加减。
(3)分数相乘，将分子相乘，分母相乘。
(4)分数相除，将除数的倒数作为乘法计算。
以上是常用的理数运算技巧，掌握了这些技巧，我们在进行理数运算时可以更加灵活和高效。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有理数运算技巧
山西省朔州市朔城区四中 贾孝伟
学习目标
能够运用运算律对现有的计算进行简便运算． 学习重点（难点）：运算律的灵活运用． 教学过程： 一、学前准备：
有理数的乘法运算法则；（两数相乘，同号得正，异号得负，同零、同1相乘）
?
小学学过的有关的乘法的运算律：（乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律） 二、自学指导
计算：____)3()5(____)5()3(=-⨯+=+⨯-；
____)]3()6[()4(____)3()]6()4[(=-⨯+⨯-=-⨯+⨯-；
____)3
1()6()21()6(____)]31()21[()6(=-⨯-++⨯-=-++⨯-；
概括：有理数的乘法仍满足交换率、结合律和乘法分配律． 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变． ba ab =
:
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变． )()(bc a c ab =
乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加． ac ab c b a +=+)(
根据乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘．
三、例题讲解：
（一）、巧用交换律与结合律
/1、互为倒数的两数结合
例1、-3×（-
5
7
）×（-
3
1
）×
7
4
解：原式=【-3×（-
3
1
）】【（-
5
7
）×
7
4
】=1×（-
5
4
）=-
5
4
2、能互相约分的两数结合
例2、-
2
3
×（-
7
8
）×
4
15
×
5
2
×（-
8
9
）×
15
11
解：原式=（-
2
3
×
5
2
）×【（-
7
8
）×（-
8
9
）】×（
4
15
×
15
11
）
=-
5
3
×
7
9
×
4
11
=-
140
297
=-2
140
17
#
3、能凑成整数、十、百等两数结合
例3、-125×（-25）×（-5）×2×（-4）×（-8）解：原式=-（125×8）×（25×4）×（5×2）
=-1000×100×10
`
（二）、逆用乘法的分配律 例4、3.59×（-74）+2.41×（-7
4）-6×（-74
）
原式=-74×（3.59+2.41-6）=-7
4
×0=0
（三）、应用分配律
1、一个和或差与一个数相乘，且和或差中的分母是这个数的约数。
`
2、把一个整数拆成两个数的和或差，再利用乘法的分配律。
3、把一个接近1的分数拆成1与另一个分数的差
例5、-36×（－94+65-127）
解：原式=-36×（-94）+65×（-36）-12
7
×（-36）
=16-30+21=7
例6、57×56
55+27×
2827
解：原式=（56+1）×56
55+（28-1）×
2827
=82+56
1
=
56182
（四）、逆用分数的减法性质
例8、计算
】
=1-
=
例9、计算
例7、57×56
55+27×
2827
解：原式=57×（1-56
1
）+27×（1-281）
=57－5657+27-2827
=84-15655=82
56
111x2+12x3+13x4+...+12016x2017
原式=1-21+21-3
1
+…+12017
20162017
11x3+13x5+15x7+...+12015x2017
解：12016-1
2017
解：原式=
1
2
11-13
()12
13-15
()
+1x3+13x5+15x7
+..1201
…
+
+...
12
15-17
(
)
=
=
<
=
=
四、课堂练习 (1) ()()4
3
85.08⨯
-⨯-+； (2) ()()25.0541653-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-；。
(3) )8
7(05)43
(⨯⨯⨯－； (4) ⎪⎭
⎫
⎝⎛+-⨯4.0322130； (5) ()54.98-⨯；
12
12015-12017
(
)
+
1
2
11-12017
(
)
12
11-13+13-15+15-17+...+12015-12017
(
)
12
20162017
()
10082017
(6) 16)8()5()12(4+-⨯-+-⨯； (7) )15
143118(43--⨯．
、
五、学习体会：
本节通过结合小学学过的运算律，并对其中数的范围扩充到有理数的范围，在运算中主要要培养学生灵活运用运算律的习惯，并能在运算中把握住运算的准确性． 六、课后作业： 1．计算
(1) －9×(－11)－12×(－8)；(2) ()714
13
2-⨯．
(3) ()825.12014
-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-；(4) ()5
34.265⨯-⨯； (4)(5) 105527531⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛--。