几何分布的期望与方差的证明
二项分布及超几何分布期望与方差
二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导高中教材中对二项分布和超几何分布数学期望与方差公式没有给出推导公式，现笔者给出一推导过程仅供参考。
预备公式一11--=k n k n nC kC （1≥n ），利用组合数计算公式即可证明。
预备公式二[]22)()()(ξξξE E D -=，证明过程可见教材。
预备公式三22)1()1(---=-k n k n C n n C k k （2,2≥≥k n ），利用组合数计算公式即可证明。
预备公式四),,,,(022110n k m k N k n m C C C C C C C C C kn m m k n k m n k m n k m n ≤≤∈=++++++-- ，利用恒等式m n n m x x x )1()1()1(++=++的二项展开式中k x 的系数相等可证。
一、二项分布在n 次独立重复试验中，每次试验中事件A 发生的概率为p （10<<p ），事件A 发生次数为ξ，则ξ的概率分布列为：二项分布的数学期望np p p np p pC np p p nC p p kC p p kC E n nk k n k k n nk kn k k n nk kn kk nnk kn kkn=+-=-=-=-=-=-=----=---=-=-∑∑∑∑1111111110)1()1()1()1()1()(ξ2.二项分布的方差[])1()1()1()1()1()1()1()()1()1()1()1()1()1()()1()()()(222222n2222222n22222n222n1n122n122n222p np p n np p p p n n p n np p p Cp n n p n np p p C n n p n E p p C k k p n p p kC p p C k k p n p p C k np p p C k E E D n k k n k k n k k n k k n k kn kknk k n kk n k kn kknk k n kk n k kn kk n-=-++--=-+--=-+--=-+--=--+--=--=--=-=-=----=---=-=-=-=-=-∑∑∑∑∑∑∑ξξξξ二、超几何分布一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，N -M 件合格品，从中随机取出n 件产品中，不合格品数X 的概率分布列为：其中（，）。
常见分布的期望与方差的计算
常见分布的期望与方差的计算期望和方差是描述概率分布特征的重要统计量。
在统计学中，期望是对一个随机变量的全体取值的加权平均，而方差则是每个随机变量观察值与期望之间差异的平方的平均。
在本文中，我们将讨论几个常见分布的期望和方差的计算方法。
1.二项分布：二项分布用于描述多次独立的二元试验中成功次数的概率分布。
假设随机变量X服从二项分布B(n,p)，其中n为试验次数，p为每次试验成功的概率。
那么其期望和方差分别为：期望：E(X) = np方差：Var(X) = np(1-p)2.泊松分布：期望：E(X)=λ方差：Var(X) = λ3.正态分布：正态分布是最为常见的连续型概率分布，许多自然现象都可以近似地用正态分布来描述。
假设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ为均值，σ^2为方差。
那么其期望和方差分别为：期望：E(X)=μ方差：Var(X) = σ^24.均匀分布：均匀分布用于描述在一个区间内取值概率相等的随机变量。
假设随机变量X服从均匀分布U(a,b)，其中a为最小值，b为最大值。
那么其期望和方差分别为：期望：E(X)=(a+b)/2方差：Var(X) = (b-a)^2/125.几何分布：几何分布用于描述独立重复进行的同一事件中首次成功所需的次数的概率分布，例如投掷硬币直到出现正面的次数。
假设随机变量X服从几何分布Geo(p)，其中p为每次试验成功的概率。
那么其期望和方差分别为：期望：E(X)=1/p方差：Var(X) = (1-p)/(p^2)以上是几个常见分布的期望和方差的计算方法。
通过了解和计算概率分布的期望和方差，我们可以更好地理解和描述随机变量的特点，从而进行更准确的统计分析和推断。
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导数学期望与方差是概率论和统计学中常见的概念，它们可以帮助我们更准确地测量随机变量，了解概率分布的形状和特性。
本文将分别介绍二项分布和超几何分布的数学期望和方差的推导，并给出其计算公式，以便更深入地理解两个概率分布。
二、二项分布的数学期望二项分布是两个离散随机变量之间的统计分布。
假设有一个二进制试验，其实验结果只有两种情况，即可能出现的次数n有x次成功和(n-x)次失败，而成功的概率为p。
二项分布可以记作$B(n,p)$。
二项分布的数学期望记作$E(x)$，用如下公式表示：$$E(x)=np$$三、二项分布的方差二项分布的方差记作$D(x)$，用如下公式表示：$$D(x)=np(1-p)$$四、超几何分布的数学期望超几何分布是一种概率分布，它是描述一组有限类别，每类之间的不同的观察结果的概率分布，可以用来描述在一组概率分布中样本的数据。
它可以用如下式子来表示：$$P(X=i)=frac{C_i^n}{N^n}*frac{r_i}{N}$$其中，$C_i$表示第i类的总数，$r_i$表示第i类的选择次数，$N$表示总样本数，$n$表示总抽样次数。
超几何分布的数学期望记作$E(x)$，其计算公式为：$$E(x)=frac{sum_{i=1}^nr_iC_i^n}{N^nsum_{i=1}^n{C_i^n}}$$五、超几何分布的方差超几何分布的方差记作$D(x)$，其计算公式为：$$D(x)=frac{sum_{i=1}^nr_iC_i^n(N-r_i)}{N^{n+1}sum_{i=1}^n{ C_i^n}}$$六、结论本文介绍了二项分布和超几何分布的数学期望和方差推导，并给出了计算公式。
从上述内容可以看出，数学期望和方差是概率分布研究的两个重要概念，它们可以帮助我们更好地了解概率分布。
几何分布的定义以及期望与方差的证明
几何分布的定义以及期望与方差中，伯努利试验n次几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。
其中一种定义为：在次成功的概率。
次皆失败，第k试验k 次才得到第一次成功的机率。
详细的说，是：前k-1 公式：它分两种情况：; ...』2，3，概率分布次伯努利实验，n的，取值范围为『1，11. 得到次成功而进行，n. ...』，3，的概率分布，取值范围为『次成功，m0，1，22. m = n-1次失败，第n 由两种不同情况而得出的期望和方差如下：,;,。
的分布列：首次发生所进行的试验次数，则XA的事件A，以X记概率为p，)。
~Geo(pX具有这种分布列的随机变量X，称为服从参数p的几何分布，记为几何分布的期望，方差。
）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中II高中数学教科书新版第三册（选修p?11???D?E）2，而未加以证明。
本文给出证明，并用于解题。
1只给出了结论：（），（2pp1?k?q?)k?p(P）由，知1（供参考．2k?12k?1??p??kq3p??1?E2?p?2pq?3q?pkqq?q)???(?下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。
记2k?1kq3q??S?1?2q??k2k?1k kq?1?2qq??k?qS?q)?(k两式相减，得2k?1k kqq?q?q????(1q)S?1?kkk kqq1?S??k21?q(1?q)k0?limq110?q?p0??，知由，则，故??k111k?2?S???2p?3qkq???1lim??k22(1?q)p??k1??E从而pa1(|q|?1)S?也可用无穷等比数列各项和公式（见教科书91页阅读材料），推导如下：q1?2k?1???3q?kq?S?12q??记2k?1?k?1qqS?q?2q???)(?相减，11k2????????(1q)S1?qqq??1?q11??S则22pq1(?)供参考．nn?1nx?(x)'，推导如下：还可用导数公式2k?1???3xkx?1?2x??23k)'?(xx)'??x'?(x?)'?(??k23)'??x???(x?xx??)?(?xx(1?x)()'??2x?1)x(1?1?2)(1?xq?x上式中令，则得111?2k???3q??kq?1?2q??22p)1?q(22???)EE?D(?来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。
几何分布的数字特征
几何分布的数字特征几何分布是概率论与统计学中常见的一种离散型概率分布，它描述了在一系列独立的伯努利试验中，首次成功所需的试验次数的概率分布情况。
在几何分布中，每次试验只有两个可能结果，成功或失败，且每次试验成功的概率保持不变。
本文将重点介绍几何分布的数字特征，包括期望值、方差和概率生成函数等。
一、期望值几何分布的期望值表示首次成功所需的平均试验次数。
假设每次试验成功的概率为p，则第一次成功的概率为p，第二次成功的概率为(1-p)p，第三次成功的概率为(1-p)^2p，以此类推。
因此，几何分布的期望值E(X)可以表示为：E(X) = 1/p其中，X表示首次成功所需的试验次数。
期望值是几何分布的重要特征之一，可以用于描述试验结果的平均情况。
二、方差几何分布的方差表示首次成功所需的试验次数的平方与其期望值的平方之差的平均值。
方差可以衡量试验结果的离散程度。
几何分布的方差Var(X)可以表示为：Var(X) = (1-p)/p^2方差是几何分布的另一个重要特征，它可以帮助我们了解试验结果的波动情况。
三、概率生成函数概率生成函数是概率论与统计学中常用的一种工具，可以用来描述随机变量的概率分布。
对于几何分布来说，其概率生成函数可以表示为：G(t) = p/(1-(1-p)t)其中，t为实数变量。
概率生成函数可以通过求导来计算几何分布的各阶矩，进而得到几何分布的数字特征。
几何分布的数字特征对于理解和分析随机事件的发生规律具有重要意义。
通过计算期望值和方差，我们可以了解试验结果的平均情况和波动情况。
而概率生成函数则提供了一种计算几何分布各阶矩的方法，进一步帮助我们深入研究几何分布的特性。
除了期望值、方差和概率生成函数，几何分布还有其他一些重要的数字特征，如标准差、偏度和峰度等。
这些数字特征可以帮助我们更全面地了解几何分布的性质和应用。
总结起来，几何分布的数字特征包括期望值、方差和概率生成函数等。
这些数字特征可以帮助我们量化和描述试验结果的平均情况、波动情况以及其他重要特性。
超几何分布期望与方差的证明
超⼏何分布期望与⽅差的证明超⼏何分布是概率与统计⾥⾯常见的分布，但有许多⾼中⽣朋友对这个名称很陌⽣。
其实在⾼中数学中概率与统计部分涉及到超⼏何分布的⾮常多，⼏乎有50%的题型都和它有关。
常见的就是⼩球的问题，⼀共有某某个球，有某某个红球和某某个⽩球，随便拿出⼏个球等等，类似的问题求期望与⽅差，⼤多关系到超⼏何分布……最开始超⼏何分布是由产品抽样调查引出的，⽐如有N件产品，其中有M件不合格，现随便抽出n件做检查，发现其中有x件不合格，那么x就服从超⼏何分布。
由于决定该分布的有N、M、n，所以为了简单起见，⼈们把这样的x服从超⼏何分布记做x～H(n，M，N)。
因此，有些⽼师就根据产品检验的问题编出⼩球的问题，⽐如，今有球N个，其中有M个红球，N-M个⽩球，任意取n个球，⼀系列的问题就来了，先问问取到1个红球的概率，再问问取到x个红球的概率的公式，后来⼜让你把x所有可能的情况列个表，最后⼀个问就是算算期望与⽅差，当然这⾥M、N都给的是具体的数据，这样就能⽅便的算出期望与⽅差，毕竟数据不只⼀个，算错的可能性还是⽐较⾼的，还是研究研究期望与⽅差的具体公式吧。
今天我要把期望与⽅差的公式计算出来，省着⼀个个算，既⿇烦有费⼒……⾸先，不厌其烦地说⼀下期望与⽅差的关系，以便清晰思路。
期望⽤E表⽰，⽅差⽤D表⽰，⼀般把⾃变量记做ξ，如果对于结果为ξ的概率为Pξ那么，其期望为Eξ=∑ξ*Pξ，⽅差为Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ，另外还有⼀个常见的量叫做标准差，⼀般⽤σ表⽰，σξ=√Dξ，根据⽅差的概念，可知：Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ=∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ=∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)=∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ因为∑Pξ=1⽽且Eξ=∑ξ*Pξ所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2⽽∑ξ^2*Pξ，表⽰E(ξ^2)所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2根据题意，如果所得到的次品数(或者说取到红球的个数)为ξ，很容易算出这种情况的概率Pξ=C{ξ，M}*C{n-ξ，N-M}/C{n，N}，因为不清楚n与M哪个⼤，也就是不知道ξ的最⼤值应该是多少，所以“∑”的上标还须要讨论，如果n＞M，那么，这种情况ξ的最⼤值是M，如果n≤M，那么，这种情况ξ的最⼤值是n，可以发现ξ的最⼤值是min(n，M)，所以，数学期望应该是，Eξ=∑{ξ=0，min(n，M)}ξ*C{ξ，M}*C{n-ξ，N-M}/C{n，N}=1/C{n，N}*∑{ξ=0，min(n，M)}ξ*C{ξ，M}*C{n-ξ，N-M}=1/C{n，N}*∑{ξ=0，min(n，M)}ξ*M!/ξ!/(M-ξ)!*C{n-ξ，N-M}=1/C{n，N}*∑{ξ=1，min(n，M)}M!/(ξ-1)!/(M-ξ)!*C{n-ξ，N-M}=M/C{n，N}*∑{ξ=1，min(n，M)}C{ξ-1，M-1}*C{n-ξ，N-M}其他先不考虑，⾸先观察⼀下右⾯的和式，发现每项都是两个组合数的积，⽽且两个组合数中所选的数之和都等于n-1，该和式有⼀定意义，它表⽰在N个球中拿⾛⼀个红球，再在剩下的球中任取n-1个球，看看取到红球的个数有多少种情况，红球的个数可能是0、1、2、…、min(n，M)-1，把以上所有可能的情况数都加到⼀起，根据分类计数原理，所有的情况数加到⼀起就等于在N-1个球中任取n-1个球的情况总数，即C{n-1，N-1}所以，Eξ=M/C{n，N}*C{n-1，N-1}=M*n!*(N-n)!/N!*(N-1)!/(n-1)!/(N-n)!=M*n/N如果要计算⽅差，可以根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2计算，问题就在于E(ξ^2)的计算，根据题意，E(ξ^2)=∑{ξ=0，min(n，M)}ξ^2*C{ξ，M}*C{n-ξ，N-M}/C{n，N}当然，有E(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=0，min(n，M)}ξ^2*C{ξ，M}*C{n-ξ，N-M}/C{n，N}－∑{ξ=0，min(n，M)}ξ*C{ξ，M}*C{n-ξ，N-M}/C{n，N} E(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1，min(n，M)}ξ*(ξ-1)*C{ξ，M}*C{n-ξ，N-M}/C{n，N}E(ξ^2)－M*n/N=1/C{n，N}*∑{ξ=2，min(n，M)}(ξ-1)*M!/(ξ-1)!/(M-ξ)!*C{n-ξ，N-M}E(ξ^2)－M*n/N=1/C{n，N}*∑{ξ=2，min(n，M)}M!/(ξ-2)!/(M-ξ)!*C{n-ξ，N-M}E(ξ^2)－M*n/N=M*(M-1)/C{n，N}*∑{ξ=2，min(n，M)}(M-2)!/(ξ-2)!/(M-ξ)!*C{n-ξ，N-M}E(ξ^2)－M*n/N=M*(M-1)/C{n，N}*∑{ξ=2，min(n，M)}C{ξ-2，M-2}*C{n-ξ，N-M}同理，观察右边的和式，也同样有⼀定的意义，它表⽰先在N个球中拿⾛2个红球，之后再在其中取n-2个球，计算⼀下取到红球个数的情况总数之和，同样红球个数可以是0、1、2、…、min(n，M)-2，根据加法原理，这些情况总数就等于在N-2个球中任取n-2个球的情况总数，即C{n-2，N-2}，那么就有，E(ξ^2)－M*n/N=M*(M-1)/C{n，N}*C{n-2，N-2}E(ξ^2)=M*n/N＋M*(M-1)/C{n，N}*C{n-2，N-2}所以，根据⽅差公式，Dξ = M*n/N＋M*(M-1)/C{n，N}*C{n-2，N-2}－M^2*n^2/N^2= M*n/N－M^2*n^2/N^2＋M*(M-1)*n!*(N-n)!*(N-2)!/N!/(n-2)!/(N-n)!= M*n/N－M^2*n^2/N^2＋M*(M-1)*n*(n-1)/N/(N-1)= M*n(N－M*n)*(N-1)/N^2/(N-1)＋M*N*(M-1)*n*(n-1)/N^2/(N-1)=M*n*[(N－M*n)*(N-1)＋N*(M-1)*(n-1)]/N^2/(N-1)=M*n*(N^2－N－M*N*n＋M*n＋M*N*n－M*N－n*N＋N)/N^2/(N-1)=M*n*(N^2－M*N－n*N＋M*n)/N^2/(N-1)=M*n*(N－M)*(N－n)/N^2/(N-1)看似⽅差⾮常不好记，其实只需记住⼀部分就可以了，因为超⼏何分布的极限可以看成是⼆项分布，如果不合格率是p，合格率是q(p+q=1)，那么p=M/N，q=(N－M)/N，那么超⼏何分布的⽅差可以写作n*p*q*(N－n)/(N-1)。
超几何分布的数学期望和方差的定义求法
版 社 ，２００５：１ｌＯ一 １２５．
Ｉ －４］（美 ）Ｓｈｅｌｄｏｎ Ｍ．Ｒｏｓｓ．概 率 论 基 础 教 程 ［Ｍ］．郑 忠 国 ．詹
［２］何 春 雄 ．应 用 随 机 过 程 ［Ｍ］．广 州 ：华 南 理 工 大 学 出版 社 ，
从 赞 ，译 ．北 京 ：人 民邮 电 出 版社 ，２００３：２６５— ２９３．
任取 ｎ（ｎ≤ Ｍ）件 产 品 ，设 其 中次 品数 为 Ｘ，则 称 Ｘ服
Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ Ｍ
，
Ｐ｛Ｘ ＝ Ｏ）一 １一 Ｍ
，
从 超几 何分 布． 若 ｘ 服从超 几何 分 布 ，则 其 分布 律 为
Ｅ （ｘ ） 一 Ｍ
，
，、 ，、ｒｒ—ｋ
Ｐ｛Ｘ — ｋ）： — Ｌ，Ｍ ｂ Ｎ－Ｍ（忌一 ０，１，２，… ， ） ．
所 以
Ｅ（Ｘ Ｘ ）一 Ｍ
（Ｍ
一 １）
二＿ ’
则
Ｄ ｃｘ 一
等 ．
Ｄ（ｘ）一Ｄ（∑ ｘ ）一 ∑ Ｄ（Ｘ ）＋
证 明 Ｅ （ｘ ）一
一
２［∑ Ｅ（Ｘ Ｘ ）一 ∑ Ｅ（Ｘ ）Ｅ（ＸＪ）］＝
１≤ ｉ＜ ｊ￣ ｎ
１≤ ＜Ｊ≤
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
奎［志ｃ ｃ ］一
＋２ｃ：（ 一等）：＝＝
二 翌 二 ２
Ｍ （Ｍ 一 １） （ｎ一 １） ．ｎＭ
Ｎ （Ｎ 一 １）
Ｎ ‘
球 和 （Ｎ — Ｍ）个 黑球 ，考 虑从 中任 意抽 取 （ｎ— １）个 所 以
球 的抽法 ．一 方面 ，是 从
Ｄ（ｘ）一 Ｅ（Ｘ。）一 ［Ｅ（ｘ）］ 一
Ｖ ｏ１．１３，ＮＯ．４ Ｊｕ１．，２０１０
几何分布的定义以及期望与方差的证明
几何分布的定义以及期望与方差的证明几何分布的定义以及期望与方差分布。
其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。
详细的说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。
公式：它分两种情况：1. 得到1次成功而进行，n次伯努利实验，n的概率分布，取值范围为『1，2，3，...』;2. m = n-1次失败，第n次成功，m的概率分布，取值范围为『0，1，2，3，...』.由两种不同情况而得出的期望和方差如下：高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1），（2），而未加以证明。
本文给出证明，并用于解题。
（1）由，知下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括E p ξ=1D p p ξ=-12P k q p k ()ξ==-1E p pq q p kq p q q kq pk k ξ=++++=+++++--231232121 ()号内的值。
记两式相减，得由，知，则，故从而也可用无穷等比数列各项和公式（见教科书91页阅读材料），推导如下：记相减，S q q kq k k =++++-12321qS q q k q kq k k k=+++-+-2121 ()()1121-=++++--q S q q q kq k k k S q q kq q k k k=----1112()01<<p 01<<q lim k k q →∞=01231112122+++++==-=-→∞p q kq S q p k k k lim ()E pξ=1S a q q =-<111(||)S q q kq k =+++++-12321qS q q k q k =+++-+-2121()()111121-=+++++=--q S q q q qk则还可用导数公式，推导如下：上式中令，则得（2）为简化运算，利用性质来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。
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几何分布的期望与方差
康永清
高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1）E p ξ=1，（2）D p p ξ=-12
，而未加以证明。
本文给出证明，并用于解题。
（1）由P k q p k ()ξ==-1，知
E p pq q p kq p q q kq p k k ξ=++++=+++++--231232121 ()
下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。
记
S q q kq k k =++++-12321
qS q q k q kq k k k =+++-+-2121 ()
两式相减，得
()1121-=++++--q S q q q kq k k k
S q q kq q k k k
=----1112()
由01<<p ，知01<<q ，则lim k k
q →∞=0，故 1231112122+++++==-=-→∞p q kq S q p
k k k lim () 从而E p
ξ=1 也可用无穷等比数列各项和公式S a q q =
-<111(||)（见教科书91页阅读材料），推导如下：
记S q q kq k =+++++-12321
qS q q k q k =+++-+-2121 ()
相减，
()111121-=+++++=--q S q q q q
k 则S q p
=-=11122() 还可用导数公式()'x nx n n =-1，推导如下：
12321+++++-x x kx k
=+++++=+++++x x x x x x x x k k '()'()'()'()'
2323
=-=----=-(
)'()()()()x x x x x x 111112
2 上式中令x q =，则得 1231112122
+++++=-=-q q kq q p k () （2）为简化运算，利用性质D E E ξξξ=-22()来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。
可见关键是求E ξ2。
E p qp q p k q p k ξ22222123=+++++-
=+++++-p q q k q k ()12322221
对于上式括号中的式子，利用导数，关于q 求导：k q
kq k k 21-=()'，并用倍差法求和，有
12322221+++++-q q k q k
=+++++()'q q q kq k 2323
=-=-+--=--=+-=-[()]'()()()()()q q q q q q q q q q p p 1121111112224
2433
则E p p p p p ξ23222=-=-()，因此D E E p p p p p
ξξξ=-=--=-22222211()() 利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。
例1. 一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。
求取球次数ξ的数学期望E ξ与方差D ξ。
解：每次从袋内取出白球的概率p =57
，取出黑球的概率q =27。
ξ的取值为1，2，3，……，有无穷多个。
我们用ξ=k 表示前k －1次均取到黑球，而第k 次取到白球，因此
P k q p k k k ()()()(,,,)ξ====--112757
123 。
可见ξ服从几何分布。
所以 E p ξ==175 D p p ξ=-=-
=115
757142522
()
例2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p （0<p<1）。
他有10发子弹，现对某一目标连续射击，每次打一发子弹，直到击中目标，或子弹打光为止。
求他击中目标的期望。
解：射手射击次数的可能取值为1，2，…，9，10。
若ξ==k k (,,,)129 ，则表明他前k -1次均没击中目标，而第k 次击中目标；若k ＝10，
则表明他前9次都没击中目标，而第10次可能击中也可能没击中目标。
因此ξ的分布列为
P k ()ξ==-=-=⎧⎨⎪⎩⎪-()(,,,)()()
112911019p p k p k k E p p p p p p p ξ=⨯-+⨯-++⨯-+⨯-112191101089()()()()
=+-++-+⨯-[()()]()1219110189p p p p
用倍差法，可求得
121918+-++-()()p p
=--------=----111191111191929
929()[()]
()()()()p p p p p p p p 所以E p p
p p p p p p ξ=----+-=--[()()]()()119110111929910
说明：本例的试验是有限次的，并且P p ()()ξ==-1019
，不符合几何分布的概率特征，因而随机变量ξ不服从几何分布，也就不能套用几何分布的相关公式。
但求解过程可参照相关公式的推导方法。