2018年高三一轮复习教学课件2-简单的三角恒等变换
高考数学一轮复习 简单的三角恒等变换课件
1.
的值等于
(
)
解析： tan150 tan(75 75 )
2 tan 75 , 1 tan 75
答案：D
2.如果α∈( (α＋ ) ＝
， )且
，那么sin(α＋
)＋cos ( )
解析：∵sinα＝ <α<π，∴cosα＝ sin( ) cos( ) 2 sin( )
所以 tan( )
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝
又0
2
,0
2
, 故0 2
3 , 2
从而由tan(α＋2β)＝－1得
3 2 . 4
1 13 , 且0 , 2.已知cos ,cos( ) 7 14 2
求证: tan 2 x
观察左、右两边式子间的差异，若选择“从左
证到右”，则“切化弦”的方法势在必行；若选择
“从右证到左”，则倍角公式应是必用公式.
【证明】法一：左边
法二：右边
=左边.
3.求证：
证明：左边
=右边. 故原等式成立
从近几年高考试题来看，本节内容主要灵活运用公 式，利用恒等变换进行三角函数的化简与求值，其考查
或具有某种关系.
3.“给值求角”：实质上是转化为“给值求值”，关键也是变 角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值 结合该函数的单调区间求得角.
(2008· 江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中， 以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆 交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为 (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值.
2018版高考一轮数学文科：第20讲-简单的三角恒等变换ppt课件
RJA第20讲 PART 03简单的三角恒等变换教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题考试说明考情分析教 学 参 考考点考查方向考例考查热度三角函数式的化简三角函数式的化简2013·新课标全国卷Ⅱ6★☆☆三角函数式的求值给值求值、给值求角、给角求值2016·全国卷Ⅲ6★☆☆真题在线真题在线真题在线真题在线真题在线知识梳理课前双基巩固对点演练课前双基巩固课前双基巩固对点演练对点演练课前双基巩固对点演练课前双基巩固◆索引：忽视角的范围出错；用错公式出错．对点演练课前双基巩固对点演练课前双基巩固对点演练课前双基巩固课堂考点探究探究点一 三角函数式的化简课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究探究点二 三角函数式的求值课堂考点探究考向1 给值求值课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究考向2 给角求值课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究考向3 给值求角课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究探究点三 三角恒等变换的综合应用课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究教师备用例题[备选理由]例1 是三角函数与基本不等式的综合问题，例2是三角函数定义与给值求角问题，例3是三角函数的综合问题．希望通过练习提高学生分析问题和解决问题的能力．教师备用例题教师备用例题教师备用例题教师备用例题。
2018版高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换课件新人教A版
π π 5π 有 2x－3＝2kπ＋2，即 x＝kπ＋12 (k∈Z)， 5π ∴所求 x 的集合为{x|x＝kπ＋12，k∈Z}.
解答
反思与感悟
(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型 (余弦型)函数，这是解决问题的前提. (2) 解此类题时要充分运用两角和 ( 差 ) 、二倍角公式、辅助角转换公式
2θ
1－tan 2 1－32 4 ＝ ＝ 2＝－ . θ 5 1 ＋3 2 1＋tan 2
1 2 3 4 5
解析
答案
3.函数 f(x)＝sin x＋ 3sin xcos x
2
π π 在区间4，2 上的最大值是
A.1
B.2 D.3
1－cos 2x π 3 1 f(x)＝ ＋ sin 2 x ＝ sin 2x－ ＋ ， 6 2 2 2
2θ 2θ
1＋cos θ 1 由 cos θ＝2cos 2－1，得 cos 2＝ ＝5. 2 5π θ 3π θ ∵ 4 ＜2＜ 2 ，∴cos 2＝－ sin θ θ tan 2＝ ＝2. 1＋cos θ 1＋cos θ 5 ＝－ . 2 5
解答
反思与感悟
(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论.
学习目标
1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等 变换的基本思想方法. 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等 变换的基本思想方法. 3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三 角恒等式的证明和一些简单的应用.
内容索引
问题导学
题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
半角公式
(1)求函数f(x)的最小正周期；
解
高三数学一轮复习课件：简单的三角恒等变换 新人教A
课堂互动讲练
解：(1)由sin(2α＋β)＝3sinβ， 得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，2分 即sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα ＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα， ∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，
∴tan(α＋β)＝2tanα，于是1t－antαa＋nαttaannββ＝2tanα，
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4分
∵f(B)＝2，∴2sin(2B＋π3)＝2，又 B∈(0，
π)，
∴2B＋π3＝π2，∴B＝1π2.
6分
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(2)f(B)－m＞2 恒成立，
即 2sin(2B＋π3)＞2＋m 恒成立，
8分
因为 0＜B＜π，所以 2sin(2B＋π3)∈[－2,2]，
所以 2＋m＜－2，
∴m＜－4. 12 分
αα 4sin2cos2cosα
＝(cosα2－sinα2)(αcosα2＋sinα2)sinα2 cos2cosα
＝(cos2α2－sin2α2)sin α
α
2＝
α tan2.
cos2cosα
课堂互动讲练
法二：原式
＝[sinα＋(cosα－1)][sinα－(cosα－1)] sin2α
＝sin2α－cos2α＋2cosα－1 sin2α
，得 cos2α＝190，
课堂互动讲练
∴cosα＝－130 10，
∴sin2α－2cos2α sin(α－π4)
＝ 2sinαcosα－2cos2α sinαcosπ4－cosαsinπ4
＝2c2o2s(αs(isniαn－α－cocsoαs)α)＝2
(新课标)高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第3节三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换课件
即 3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα ＋cos(α＋β)sinα，
整理可得 sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)·sinα. 因为 α≠kπ＋π2 ，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)， 所以 cos(α＋β)·cosα≠0， 则有 tan(α＋β)＝2tanα.
第二十三页，共56页。
(2)∵α 为锐角，cosα＋π6 ＝45，∴sinα＋π6 ＝35， ∴sin2α＋π3 ＝2sinα＋π6 cosα＋π6 ＝2245， cos2α＋π3 ＝2cos2α＋π6 －1＝275， ∴sin2α＋π 12＝sin2α＋π3 －π4 ＝ 22sin2α＋π3 －cos2α＋π3 ＝1750 2.
第十二页，共56页。
考向 1 给角求值
【例 2】 sin47°－cosisn1177°°cos30°＝(
)
A．－
3 2
B．－12
C.12
D.
3 2
第十三页，共56页。
【解析】 原式＝sin（30°＋17° cos）17－°sin17°cos30° ＝sin30°cos17°＋cos3c0o°s1s7i°n17°－sin17°cos30° ＝sin3c0o°s1c7o°s17° ＝sin30°＝12. 【答案】 C
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cos2α－π4 ＝cos2α－π4 ＋π4 ＝ 22cos2α－π4 －sin2α－π4 ＝－3510 2.
第十九页，共56页。
解法 2：由 cosπ4 －α＝35，得 22(cosα＋sinα)＝35.① 两边平方，得 1＋2cosαsinα＝1285. sin2α＝2cosαsinα＝－275， (cosα－sinα)2＝1－－275＝3225. 根据 2cosαsinα＝－275<0 及－3π 2 <α<－π2 ，
2018高考数学文科一轮复习讲义 8.6 第六节 简单的三角恒等变换
第六节 简单的三角恒等变换【考点点知】知己知彼，百战不殆新课标高考对三角恒等变换的要求有所降低，但三角函数求值、化简及恒等式证明仍是高考的热点．需要掌握的公式有两角和差、倍角的三角函数公式.新课标主要要求“能用上述公式进行简单的三角函数恒等变换”，这说明备考重点是掌握变换的基本思想方法.而不是盲目地训练繁难的偏题、怪题，应重视通性、通法的运用．考点一: 简单的三角恒等变换1.巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，2αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）.2.三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=与升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=).利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理 ( 1±sin α 可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-±απ2cos 1，再用升次公式) ；22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ααα，22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ααα等．从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化．3.辅助角公式中辅助角的确定：()，ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a )sin ,(cos 2222ba b ba a s +=+=ϕϕ在求最值、化简时起着重要作用.【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础·2007宁夏卷理科9文科9)若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭则c o s s i n αα+的值为（ ）Ａ．Ｂ．12-Ｃ．12思路透析:解法一: sin(2)sin 2()cos 224sin()sin()sin()444ππαααπππααα--==---2sin()cos()442cos()4sin()4ππααπαπα--==---)αα=-sin )αα=+= ∴1cos sin 2αα+=, 故应选C. 解法二:22cos 2sin()4απα=-sin )2αα=+=-∴1cos sin 2αα+=, 故应选C. 点评:部分考生不能识别2α角与4πα±角间的二倍角关系,致使化简过程出现错误或不能化至最简式,而对余弦二倍角公式的平方差公式的应用既可降低化简过程中的运算量,也简化了思维过程,展示了该题考查了本质问题.例2.(基础·求证：︒=︒-︒20cos 3210cos 310sin 122 =32cos20°. 思路透析: 证法一：左边=︒+-︒-=︒+-︒-20cos 1620cos 12220cos 13220cos 11 右边=︒=︒︒⋅︒=︒︒︒=︒︒+︒-︒-︒=︒︒-︒=︒-︒=︒--︒=20cos 3220sin 20sin 20cos 3220sin 20sin 40sin 1620sin )]2040cos()2040[cos(820sin )60cos 20(cos 820sin )2120(cos 820cos 1420cos 82222222 ∴原式成立.证法二：左边=︒⋅︒︒-︒10cos 10sin 10sin 310cos 2222221116(cos10)(cos10)2222sin 2016sin(3010)sin(3010)16sin 4032cos 20.sin 20sin 20=︒+︒︒-︒=︒︒+︒⋅︒-︒︒===︒=︒︒右边 ∴原式成立.点评:证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.例3.(综合·设3sin β=sin(2α+β),α≠k π+2π,α+β≠k π+2π.(k ∈Z ) 求证：tan(α+β)=2tan α.思路透析:证明: 由3sin β=sin(2α+β），得3sin ［(α+β)－α］=sin ［(α+β)+α］, 即3sin(α+β)cos α－3cos(α+β)sin α=sin （α+β)cos α+cos(α+β)·sin α. 整理得sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α. 因为α≠k π+2π,α+β≠k π+2π(k ∈Z ).将上式两边同除以cos αcos(α+β). 得tan(α+β)=2tan α.点评:要注意观察条件和结论之间的差异.主要是看角，看函数的名称、次数、式子的结构特征.如从角的差异入手，将角变形为2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)－α.从已知条件变形入手，可证得结论.例4.(综合·已知7sin α=3sin （α+β）,求证：2tan22βα+=5tan 2β. 思路透析:证明：由已知7sin α=3sin （α+β），即7sin （22βα+－2β）=3sin （22βα++2β）.∴7sin 22βα+cos 2β－7cos 22βα+sin 2β=3sin 22βα+cos 2β+3cos 22βα+sin 2β,即2sin 22βα+cos 2β=5cos 22βα+sin 2β.两边同除以cos 22βα+cos 2β,即得2tan 22βα+=5tan 2β.点评:盯住欲证等式的左、右两边，根据它们的状况（一般要看角、函数名称、结构特征），采取恰当的措施来对条件等式进行变形，直到目标.例5.(创新探究·求证：αβαsin 2sin ）（+－2cos （α+β）=αβsin sin .思路透析:证明：sin （2α+β）－2cos （α+β）sin α =sin ［（α+β）+α］－2cos （α+β）sin α=sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α－2cos （α+β）sin α =sin （α+β）cos α－cos （α+β）sin α=sin ［（α+β）－α］=sin β.两边同除以sin α得αβαsin 2sin ）（+－2cos （α+β）=αβsin sin .点评:证明三角恒等式，可先从两边的角入手——变角，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略.例6.(创新探究· P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点，且∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=2α，求证：椭圆的离心率为e =2cos α－1.思路透析:证明：在△PF 1F 2中，由正弦定理知α2sin ||1PF =αsin ||2PF =）（α3πsin||21-F F .由比例的性质得α3sin ||21F F =ααsin 2sin ||||21++PF PF⇒e =||||||2121PF PF F F +=αααsin 2sin 3sin +=ααααααα2cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin ++ =）（）（αααααcos 21sin cos sin 2cos 2sin 22+⋅+1-=1+-ααcos 21cos 42=2cos α－1. 点评:依据椭圆的定义2a =|PF 1|+|PF 2|，2c =|F 1F 2|，∴e =ac22.在△PF 1F 2中解此三角即可得证.恰当地利用比例的性质有事半功倍之效.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗 1.规律总结:(1)证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更命题等方法，使等式两端的“异”化为“同”.(2)条件等式的证明，通过认真观察，发现已知条件和待证等式之间的关系，选择适当的途径把条件用上去.常用方法有代入法、消去法、综合法（即从已知条件出发，以待证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出待证式）、分析法等.(3)三角函数的应用主要是借用三角函数的值域求最值，这首先应将原函数通过降幂、辅助角公式等化成y =A sin （ωx +ϕ）（A ≠0，ω＞0）的形式，或者通过换元转化成二次函数，然后再求之.2.学以致用:(1)如果tan312=α，那么cos α的值是 ( ) A.53 B.54 C.－53 Ｄ.－54(2)若tan θ＋cot θ＝ｍ，则sin2θ等于 ( ) A.m 1 B.m 2 C.2ｍ Ｄ.21m(3)化简cos2α+6sin 22α－8sin 42α的结果是________.(4)给出下列三角函数式：①)4sin(2x +π; ②2tan 12tan 2tan21)3(),4cos(222xxx x +--+π③22cos 122cos 1xx --+, 当x ∈R 时与cos x －sin x 恒等的是___________.答案:(1) B 解析:cos α＝549119112tan 12tan 122=+-=+-αα. (2)B 解析:∵tan θ＋cot θ＝tan θ＋θtan 1＝ｍ即：m =+θθtan 1tan 2 , 又∵sin2θ＝m 2tan 1tan 22=+θθ.(3)cos α解析:原式=cos2α+3(1－cos α)－2(1－cos α)2=cos2α+3－3cos α－2(1－2cos α+cos 2α) =cos2α+3－3cos α－2+4cos α－2cos 2α=cos2α+cos α+1－2cos 2α=cos2α+cos α－cos2α=cos α(4)②解析: ①原式=cos x +sin x ;②原式=cos x －sin x .③原式=2tan 12tan 22tan 12tan 1222x xx x +-+-=cos x －sin x ，（x ≠2k π+π,k ∈Z ）, ④原式=|cos x |－|sin x |=cos x －sin x ，（2k π≤x ≤2k π+2π,k ∈Z ）.3.易错分析:(1)三角恒等式的证明实际上就是三角函数式的化简过程.(2)有条件的三角函数求值有两个关键：①三角函数各关系式及常用公式的熟练应用.②条件的合理应用：注意条件的整体功能，注意将条件适当简化、整理或重新改造组合，使其与所计算的式子更加吻合(3)注意方程思想的应用.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.满足cos αcos β=23+sin αsin β的一组α、β的值是 A.α=12π13，β=4π3 B.α=2π，β=3πC.α=2π，β=6π D.α=3π，β=6π2.已知tan α和tan （4π－α）是方程ax 2+bx +c =0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 A.b =a +c B.2b =a +c C.c =b +a D.c =ab 3.下列等式中不正确．．．的是 A.sin αcos β＝21［sin （α＋β）＋sin （α－β）］ B.cos αsin β＝21［sin （α－β）－sin （α－β）］C.cos αcos β＝21［cos （α＋β）＋cos （α－β）］D.sin αsin β＝21［cos （α＋β）－cos （α－β）］4.若2π<α<π，且cos α＝a ,则sin2α等于A.21a- B.±21a - C.21a+ D.±21a+ 5.若－2π<α<－23π,则2)cos(1πα--等于A.sin2αB.cos2αC.－sin2αD.－cos2α6.若sin α＝135，α在第二象限，则tan 2α的值为 ( ) A.5 B.－5 C.51 Ｄ.－51二、填空题: 7.已知sin θ＝－53，3π＜θ＜27π，则tan 2θ＝____________. 8.αβαsin 2sin ）（+－2cos （α+β）= .9.化简x x x x 2cos cos sin 2cos 44-++的结果是________. 10.周长为定值L （L ＞0）的直角三角形的面积的最大值为 . 三、解答题: 11.证明:cos 2A +cos 2（3π－A ）+cos 2（3π+A ）32=.12.(1)若A ＋B ＋Ｃ＝n π(n ∈Ｚ), 证明tan A ＋tan B ＋tan Ｃ＝tan A ·tan B ·tan Ｃ. (2) 若tan A ＋tan B ＋tan Ｃ＝tan A ·tan B ·tan Ｃ,证明A ＋B ＋Ｃ＝nπ(n ∈Ｚ) . 13.求证：.2tan 2sin )1cos )(sin 1cos (sin xx x x x x =+--+14.在△ABC 中，求证：sin 2.2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 222C B A C B A -=++【能力训练】参考答案 一、选择题:1. A2. C3. D4. A5. D6. A 二、填空题:7. －38. αβsin sin 9. 1 10. 4223-L 2三、解答题:11.证明: 原式=2)232cos(12)232cos(122cos 1A A A+++-+++ππ 312322[cos 2(cos cos 2sin sin 2)(cos cos 2sin sin 2)]2233333123113(cos 22cos cos 2)[cos 22()cos 2]2232222A A A A A A A A A πππππ=+++⋅+-=++=++⨯-=12.证明：(1)由A ＋B ＋Ｃ＝n π即A ＋B ＝n π－Ｃ 得tan （A ＋B ）＝－tan Ｃtan A ＋tan B ＋tan Ｃ＝tan （A ＋B ）（1－tanAtan B ）＋tan Ｃ ＝－tan Ｃ（1－tan A tan B ）＋tan Ｃ ＝tan A tan B tan Ｃ.(2)tan tan tan tan()tan 1tan tan tan()1tan()tan 1tan()tan A BCA B C A BA B C A B C A B C++++-++==-+-+tan tan tan tan tan tan 0(1tan tan )[1tan()tan ]A B C A B CA B A B C ++-==--+.πn C B A =++∴（n ∈Z ）13.证明：左边=x x x x x x x x cos sin 2)2sin 22cos 2sin 2)(2sin 22cos 2sin 2(22+- xx x x x x x cos sin 2)2sin 2)(cos 2sin 2(cos 2sin 42+-=2222sin (cos sin )sin cos 2222tan 22sin cos cos cos cos 222x x x xxx x x x x x -⋅====⋅右边.14.证明：左边=2cos 12cos 12cos 1CB A -+-+- 31(cos cos cos )22A B C =-++31[cos()cos()cos ]222222A B A B A B A B C +-+-=-++-+ 231(2cos cos 12sin )22222A B A B C +-=-+- 211(2sin cos 2sin )2222C A B C -=--1sin (cos cos )1sin 2sin sin 222222C A B A B C A B-+=--=-⋅12sinsin sin .222A B C =-。
2018届高三理科数学普通班一轮复习课件：第四篇 第5节 三角恒等变换 精品
.
2sin 20。
tan 5。
解析： (2)原式= 2cos210。 -sin 10°· cos2 5。 sin2 5。
4 sin 10。cos10。
sin 5。cos 5。
= cos10。 - sin 20。 = cos10。 2sin 20。
2sin10。 sin10。
2 sin 10。
cos10。 2sin
②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是
0,
π 2
,选正、余
弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为
π 2
,
π 2
,
选正弦函数较好.
【即时训练】(1)(2016 金华模拟)设α,β为钝角,且 sin α= 5 ,cos β 5
=- 3 10 ,则α+β的值为( ) 10
解:(1)因为 sin +cos = 6 ,
2
22
两边同时平方,得 sin α= 1 . 2
又 π <α<π,所以 cos α=- 3 .
2
2
(2)若 sin(α-β)=- 3 ,β∈( π ,π),求 cos β的值.
5
2
解:(2)因为 π <α<π, π <β<π,所以-π<-β<- π ,
(A) 3π (B) 5π (C) 7π (D) 5π 或 7π
4
4
4
44
解析:(1)因为α,β为钝角,sin α= 5 ,cos β=- 3 10 ,
5
10
所以 cos α=- 2 5 ,sin β= 10 ,
5
10
所以 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β= 2 >0. 2
高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第4讲简单
2 2．求值 2cos 40°(1＋ 3tan 10°)＝________.
sin 10° [解析] 原式＝2cos 40°1＋ 3 cos 10 ° cos 10°＋ 3sin 10° ＝2cos 40° cos 10° 2sin（10°＋30°） 2sin 80° ＝2cos 40° ＝ ＝2. cos 10° cos 10°
5π π π 3 ＋ α － α － α cos 6 ＝cosπ－6 ＝－cos6 ＝－ 3 ， π 5π 2 3 2＋ 3 所以 sin α－6－cos 6 ＋α＝ ＋ ＝ . 3 3 3
2
（sin 2α＋cos 2α－1）（sin 2α－cos 2α＋1） tan α 2. ＝________. sin 4α
1－cos 2α ＝ sin 2α 2sin2α ＝ 2sin αcos α sin α ＝ ＝tan α. cos α
x x sin cos 2 2 π 1 2 ． 3．已知函数 f(x)＝ ＋ ，则 f8的值为____ 2tan x 2x 2cos －1 2 1 sin x cos2x＋sin2x cos x 2 1 [解析] f(x)＝ ＋ ＝ ＝ ， 2sin x cos x 2sin xcos x sin 2x
2α
【解】
1 10 (1)因为 tan α＋ ＝－ ， tan α 3
所以 3tan2α＋10tan α＋3＝0， 1 解得 tan α＝－ 或 tan α＝－3. 3 3π 因为 <α<π，所以－1<tan α<0. 4 1 所以 tan α＝－ . 3
1 (2)因为 tan α＝－ ， 3 α α 2α 5sin ＋8sin cos ＋11cos －8 2 2 2 2 所以 π 2sinα－4 1＋cos α 2α 2α 5sin 2＋cos 2＋4sin α＋6· －8 2 sin α－cos α
人教版高三数学一轮复习精品课件：第2课时 简单的三角恒等变换(1)
题型分类 深度剖析
题型一 三角函数式的化简
2sinπ－α＋sin
1.(2017·长沙一模)化简：
cos2α2
2α ＝
4sin
α
.
2sinπ－α＋sin 2α 2sin α＋2sin αcos α
解析
cos2α2
＝ 211＋cos α
2sin α1＋cos α ＝ 121＋cos α ＝4sin α.
解析
f(x)＝
2 －
2(1－cos 2x)
＝ 22sin 2x＋ 22cos 2x－ 2
＝sin2x＋π4－ 2， 所以 T＝22π＝π.
解析 答案
思想方法 化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用 典例 (12 分)(2016·天津)已知函数 f(x)＝4tan x·sinπ2－x·cosx－π3－ 3. (1)求 f(x)的定义域与最小正周期；
(3)(2017·合肥联考)已知 α，β 为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5143，则 cos β 1
＝2 .
解析 答案
命题点2 给值求角 典例 (1)设 α，β 为钝角，且 sin α＝ 55，cos β＝－31010，则 α＋β 的值为
3π
5π
A. 4
B. 4
√C.74π
D.54π或74π
解析 原式＝ cos 10°sin 170° ＝ cos 10°sin 10°
2sin10°－30°
＝1
＝－4.
2sin 20°
解析 答案
(3)定义运算ac π
则 β＝ 3 .
db＝ad－bc.若
cos
α＝17，scions
α α
2018年高考数学一轮复习 专题21 简单的三角恒等变换教学案 理
专题21 简单的三角恒等变换1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1．公式的常见变形 (1)1＋cos α＝2cos 2α2； 1－cos α＝2sin2α2； (2)1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2.(3)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b 2.高频考点一 三角函数式的化简与求值例1、(1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝________.(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝______________________________________________________________.答案 (1)12cos2x (2)268解析 (1)原式＝124x －4cos 2x ＋2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2x －24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝cos 22x 2cos2x ＝12cos2x .【感悟提升】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．【变式探究】(1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9等于( )A ．－18B ．－116C.116D.18(2)若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α等于( )A.54B ．－54C.43D ．－43答案 (1)A (2)D解析 (1)原式＝cos π9·cos 29π·cos(－3π＋49π)＝－cos π9·cos 29π·cos 49π·sinπ9sinπ9＝－12sin 29π·cos 29π·cos 49πsinπ9＝－18sin 89πsinπ9＝－18.(2)1＋cos2αsin2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43. 高频考点二 三角函数的求角问题 例2、(1)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A.3π4 B.π4或3π4C.π4D ．2k π＋π4(k ∈Z )(2)已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α、tan β，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β等于( ) A.π8B ．－3π4C.π8或－3π8D.π4或－3π4答案 (1)C (2)B 解析 (1)由sin α＝55，cos β＝31010且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22， 又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.【感悟提升】通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： (1)已知正切函数值，则选正切函数．(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则选正弦较好．【变式探究】 (1)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6(2)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( )A.π3B.2π3C.π6D.π4答案 (1)C (2)A解析 (1)∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×(－1010)＝22. ∴β＝π4.(2)由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π3.高频考点三 三角恒等变换的应用例3、已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值． 解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，因为x ∈[0，π]，从而π4－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f π＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ1－2a sin θ＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.【感悟提升】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．【变式探究】(1)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． (2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是________．答案 (1)1 (2)π解析 (1)因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)， －1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1. (2)f (x )＝22sin2x －22cos2x －2(1－cos2x ) ＝22sin2x ＋22cos2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.1.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D2.【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．3.【2016年高考四川理数】22cossin 88ππ-= .【解析】由二倍角公式得22cossin 88ππ-=cos42=π【2015高考四川，理12】=+ 75sin 15sin .【答案】2【2015高考浙江，理11】函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．【答案】π，]87,83[ππππk k ++，Z k ∈.【解析】1cos 2sin 23()1)22242x x f x x π-=++=-+，故最小正周期为π，单调递减区间为]87,83[ππππk k ++，Z k ∈. 【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈(I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p-上的最大值和最小值. 【答案】(I)π; (II) max ()f x =,min 1()2f x =-. 【解析】(I) 由已知，有1cos 21cos21113()cos22cos2222222x x f x x x x π⎛⎫-- ⎪⎛⎫-⎝⎭=-=+- ⎪⎝⎭112cos2sin 2426x x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数，在区间[,]64p p-上是增函数，11(),(),()34624f f f πππ-=--=-=，所以()f x 在区间[,]34p p-上的最大值为12-. 【2015高考重庆，理18】 已知函数()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性. 【答案】（1）最小正周期为p ，（2）()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减. 【解析】（1）2()sin sin cos sin cos 2)2f x x x x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭11sin 2cos 2)sin 22sin(2)2222232x x x x x p =-+=--=--,因此()f x 的最小正周期为p，最大值为.（2）当2[,]63x ππ∈时，有023x ππ≤-≤，从而当0232x ππ≤-≤时,即5612x ππ≤≤时，()f x 单调递增，当223x πππ≤-≤时,即52123x ππ≤≤时，()f x 单调递减， 综上可知，()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减.（2014·全国卷）直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．【答案】43【解析】 如图所示，根据题意，OA ⊥PA ，OA ＝2，OP ＝10，所以PA ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan∠OPA ＝OA PA ＝22 2＝12，故tan∠APB ＝2tan∠OPA 1－tan 2∠OPA ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43. （2014·全国卷）若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．【答案】(－∞，2]（2014·福建卷）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解析】方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. 方法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.（2014·四川卷）已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 【解析】(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z. (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角， 得α＝3π4＋2k π，k ∈Z，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. （2014·天津卷）已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．【解析】(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14， 所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.（2014·北京卷）如图12，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos∠ADC ＝17.(1)求sin∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．图12（2014·福建卷）在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝2 3，则△ABC 的面积等于________．【答案】2 3【解析】 由BC sin A ＝ACsin B，得sin B ＝4sin 60°23＝1，∴B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝30°，则S △ABC ＝12·AC ·BC sin C ＝12×4×23sin 30°＝23，即△ABC 的面积等于2 3.（2014·湖南卷）如图15所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.图15(1)求cos∠CAD 的值； (2)若cos∠BAD ＝－714，sin∠CBA ＝216，求BC 的长． 【解析】(1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD，故由题设知，cos∠CAD ＝7＋1－427＝277.(2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos∠CAD ＝277，cos∠BAD ＝－714，所以sin∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2772＝217，sin∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7142＝32114.于是sin α＝sin (∠BAD －∠CAD ) ＝sin∠BAD cos∠CAD －cos∠BAD sin∠CAD ＝32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫－714×217 ＝32. 在△ABC 中，由正弦定理，得BCsin α＝ACsin∠CBA.故BC ＝AC ·sin αsin∠CBA＝7×32216＝3.（2014·四川卷）如图13所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)图13【答案】60【解析】 过A 点向地面作垂线，记垂足为D ，则在Rt△ADB 中，∠ABD ＝67°，AD ＝46 m ，∴AB ＝ADsin 67°＝460.92＝50(m)，在△ABC 中，∠ACB ＝30°，∠BAC ＝67°－30°＝37°，AB ＝50 m ， 由正弦定理得，BC ＝AB sin 37°sin 30°＝60 (m)，故河流的宽度BC 约为60 m.1．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2答案 B解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.2．已知sin2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13 C.12 D.23答案 A解析 因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin2α2，所以cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin2α2＝1－232＝16，故选A.3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α的值为( ) A. 118 B ．－118C.1718D ．－1718答案 D4．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4答案 A解析 ∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π.∵sin2α＝55，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，cos2α＝－255.∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，∴cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)] ＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22.又∵α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4.5．函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 答案 C解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3， 由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴θ＝k π－23π(k ∈Z )．∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋23π.由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z )．故选C.6．已知tan(π4＋θ)＝3，则sin2θ－2cos 2θ的值为________．答案 －45解析 ∵tan(π4＋θ)＝3，∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.∵sin2θ－2cos 2θ＝sin2θ－cos2θ－1 ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 7．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为________．答案 －2108．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________.答案 －73解析 ∵sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝12，即2－2cos(α－β)＝12，∴cos(α－β)＝34.∵α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0，∴0＜α＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－1－cos 2α－β＝－74. ∴tan(α－β)＝α－βα－β＝－73. 9．已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin2x ＋cos2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .10．已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是f (x )图象的一条对称轴．(1)试求ω的值；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值． 解 f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx ＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.- 21 - (1)由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6图象的一条对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1.∴2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴ω＝32k ＋12(k ∈Z )．又0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13.又∵k ∈Z ，从而k ＝0，∴ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g (x )＝2cos 12x .∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π6＜α＋π6＜2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45.∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.。
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2tan α tan 2α＝ . 1－tan2α
第三章
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整合·主干知识 聚焦·热点题型 提升·学科素养 提能·课时冲关
切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变
换 ( 包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公 式不要求记忆)．
第三章
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整合· 主干知识
第三章
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三角恒等变换
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Ⅰ.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
式．
Ⅱ. 能
利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公 Ⅲ. 能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余 Ⅳ. 能运用两角和与差的正弦、余弦、正 弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解 它们的内在联系．
(k∈Z)
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5．设 α 为锐角，若 ________．
解析：∵α 为锐角且
π 3 ∴sinα＋6 ＝ . 5
π 4 cosα＋6 ＝ ，则 5
π sin2α＋12的值为
解析：原式＝sin 48° cos 18° －cos 48° sin 18° 1 ＝sin(48° －18° )＝sin 30° ＝ . 2
答案：A
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2．设
π 1 sin4＋θ＝ ，则 3
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1． (郑州模拟)计算 cos 42° cos 18° －cos 48° sin 18° 的结果等 于( ) 1 A. 2 2 C. 2 3 B. 3 3 D. 2
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3．半角公式 α sin ＝± 2 α tan ＝± 2 1－cos α α ；cos ＝± 2 2 1＋cos α ； 2
1－cos α 1－cos α sin α ＝ ＝ . sin α 1＋cos α 1＋cos α
α 根号前的正负号，由角 所在象限确定． 2 4．函数 f(α)＝acos α＋bsin α(a，b 为常数)，可以化为 f(α) ＝ a2＋b2sin(α＋φ)或 f(α)＝ a2＋b2cos(α－φ)，其中 φ 可由 a， b 的值唯一确定．
π 2sin2x－ 4 ＋1，
π π π 由－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z， 2 4 2 π 3π 得－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z. 8 8
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π 3π 所以所求区间为－8＋kπ， 8 ＋kπ(k∈Z)． π 3π 答案：－8＋kπ， 8 ＋kπ
sin2θ＝( 1 B．－ 9 7 D. 9
)
7 A．－ 9 1 C. 9
解析：sin 7 ＝－ . 9
答案：A
π 1 2 π 2θ＝－cos2＋2θ＝2sin 4＋θ－1＝2×32－1
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2 1 tan α 3 ．已知 sin(α ＋ β) ＝ ， sin(α － β) ＝－ ，则 的值为 3 5 tan β ____________．
2 解析：由 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝ ， 3 1 sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－ ， 5 7 13 得 sin αcos β＝ ，cos αsin β＝ ， 30 30 sin αcos β tan α 7 所以 ＝ ＝ . cos αsin β tan β 13
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(Cα－β)
cos(α＋β)＝______________________(C cos αcos β－sin αsin β α＋β) sin(α－β)＝______________________(S sin αcos β－cos αsin β α－β) sin(α＋β)＝______________________(S sin αcos β＋cos αsin β α＋β)
tan α－tan β tan(α－β)＝ (T ) 1＋tan αtan β α－β tan α＋tan β tan(α＋β)＝ (T ) 1－tan αtan β α＋β
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整合·主干知识 聚焦·热点题型 提___________ 2sin αcos α ；
7 答案： 13
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4 ． 函 数 f(x) ＝ 2sin x(sin x ＋ cos x) 的 单 调 增 区 间 为 ____________．
解析：f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x 1－cos 2x ＝ 2× ＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x＋1 2 ＝