11.2与三角形有关的角经典习题精选.docx
初中数学11.2与三角形有关的角典型例题
《与三角形有关的角》典型例题知识点1 三角形的内角例1 （基础题）在△ABC 中，∠A ＋∠B ＝100°，∠C ＝2∠B ，求∠A 、∠B 、∠C 的度数．精析与解答 解法一：设∠B ＝x °，则∠A ＝100°－x °，∠C ＝2x ° ∴ 100°—x °十x °十2x °＝180°（三角形内角和定理）解方程，得x °＝40°，即∠B ＝40°，∠A ＝60°，∠C ＝80°． 解法二：根据题意可列出方程⎪⎩⎪⎨⎧︒∠∠∠∠∠︒∠∠③＝＋＋②＝①＝＋1802100C B A BC B A把①代入③，得∠C ＝④︒80把④代入②，得∠B ＝⑤︒40 把⑤代入①，得∠A ＝．说明：本题要求出△ABC 的三个内角，除了普遍成立的条件“∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°”以外，只要给出两个独立条件，就可用解方程（组）的方法，得到惟一确定的解．例2 （能力题）如图7-18所示，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD 交AB 于E ，交AC 于F ，交BC 的延长线于H ．求证：∠H ＝21（∠ACB －∠B ）．证明 如何把∠H 、∠B 、∠ACB 联系在一起是此题的关键．当注意到∠H 、∠B 是△EBH 的两个内角时，便会发现：∠3＝∠B ＋∠H ，即∠H ＝∠3－∠B ．而∠3＝90°－∠1＝90°－21∠BAC ＝21（180°－∠BAC ），然后把这个式子中的180°换成∠BAC ＋∠B ＋∠ACB ，就可以证出原结论了．∵ AD ⊥EF ，∴ ∠3＝90°－∠1．∵ AD 平分∠BAC ，∴ ∠1＝21∠BAC ．又∵ ∠3是△HEB 的一个外角，∴ ∠H ＝∠3－∠B ＝90°－∠1－∠B＝90°－21∠BAC －∠B ＝21（180°－∠BAC －B ∠2） ＝21（∠BAC ＋∠B ＋∠ACB －∠BAC －B ∠2） ＝21（∠ACB －∠B ）．故∠H ＝21（∠ACB －∠B ）．说明：①在此题的证明过程中，用△ABC 的三个内角的和去替换180°，是几何证明中的重要的转化思想，有时也可以用21（∠BAC ＋∠B ＋∠ACB ）去替换90°，以达到证题的目的，初学者要注意体会；②上述的证明是借助于∠H ＝∠3－∠B ，本题还可以考虑∠H ＝90°－∠5，∠H ＝∠ACB －∠HFC ，∠H ＝∠ADB －90°等来证明．知识点2 三角形的外角例3 （基础题）一个三角形三个外角之比为2∶3∶4，求三个内角之比． 精析与解答 三角形的外角与相邻内角是互补的关系，只要能求出三个外角，自然三个内角也就容易得到，它们的比也就轻而易举了．由题意，设三角形的三个外角分别为（2x ）°，（3x ）°，（4x ）°，则2x ＋3x ＋4x ＝360，解得x ＝40∴ 2x ＝80，3x ＝120，4x ＝160∴ 三角形的三个内角分别是100°、60°、20°∴ 它们的比为100∶60∶20＝5∶3∶1故三个内角的比为5∶3∶1．说明：“三角形的三个外角和等于360°”是解此题的基础．例4 （能力题）如图7-19所示，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，AE 平分∠BAC ，∠B ＝75°，∠C ＝45°，求∠DAE 与∠AEC 的度数．精析与解答 解法一：∵ ∠B ＋∠C ＋∠BAC ＝180°∠B ＝75°，∠C ＝45°∴ ∠BAC ＝60°，∵ AE 平分∠BAC∴ ∠BAE ＝∠CAE ＝21∠BAC ＝21×60°＝30°∵ AD 是BC 上的高，∠B ＋∠BAD ＝90°∴ ∠BAD ＝90°－∠B ＝90°－75°＝15°∴ ∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝30°－15°＝15°∵ ∠AEC 是△AEB 的外角∴ ∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ＝75°＋30°＝105°解法二：同解法一，得出∠BAC ＝60°∵ AE 平分∠BAC∴ ∠EAC ＝21∠BAC ＝21×60°＝30°∵ AD 是BC 上的高∴ ∠C ＋∠CAD ＝90°∴ ∠CAD ＝90°－45°＝45°∴ ∠DAE ＝∠CAD －∠CAE ＝45°－30°＝15°∵ ∠AEC ＋∠C ＋∠EAC ＝180°∴ ∠AEC ＋45°＋30°＝180°∴∠AEC＝105°故∠DAE＝15°，∠AEC＝105°说明：求角的度数的关键是把已知角放在三角形中，利用三角形内角和定理求解，或转化为与已知角有互余关系或互补关系，有些题目还可以转化为已知角的和或差来求解．例5 （能力题）已知：CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E．求证：∠BAC＞∠B证明证角的不等关系，想到三角形内角和定理的推论3，从而想到看一看大角∠BAC是不是某个三角形外角．由图7-20知∠BAC是△ACE的外角，有∠BAC＞∠1，而∠1＝∠2，故只须证∠2＞∠B，而∠2是△BCE的一个外角，∠B 是△BCE的一个和∠2不相邻的内角，所以有∠2＞∠B，故∠BAC＞∠B．∵CE平分∠ACD（已知），∴∠1＝∠2（角平分线定义）∵∠BAC＞∠1（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠BAC＞∠2，∵∠2＞∠B（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠BAC＞∠B说明：此题证明过程中，除利用“三角形的一个外角大于任一和它不相邻的内角”这一结论外，还借助“∠2”来传递不等关系．在证明两角不等关系时，有时还可将两角放在同一三角形中，利用“大边对大角”来证明．。
八年级上册数学11.2与三角形有关的角练习题(含答案)
11.2与三角形有关的角练习题姓名：_______________班级：_______________考号：______________一、选择题1、在中，，则的度数为（???）A．?????B．??????C．??????D．2、如图，已知直线AB∥CD，∠C=115°，∠A=25°，则∠E=（??）A.70°?????B.80°??????C.90°?????D.100°3、如图8，AB=BC=CD,且∠A=15°,则∠ECD=(????)A.30°??????B.45°??????C.60°???????D.75°4、如图，在ΔABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，则∠B等于（??）A．50°??????B．40°??????C．25°????D．20°第4题第5题5、如图，△ABC中，，点D、E分别在AB、AC上，则的大小为（????）??A、??????B、??????C、?????D、第6题第7题第9题6、如图，已知，∠1=130o，∠2=30o，则∠C=??????．7、如下图所示，已知：∠AEC的度数为110°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D的度数为（??）A．110°?????B．130°?????C．220°???D．180°8、已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（?）A．30°???B．75°???C．105°????D．30°或75°9、如图，已知，若，，则C等于（???）A．20°????B．35°??????C．45°????D．55°10、如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C为（）第10题第11题第12题11、如图，已知△ABC的两条高BE、CF相交于点O，，则的度数为（??）A．95o???B．130o??????C．140o???D．150o12、如图，已知与相交于点，，如果，，则的大小为（???）A．??????B．?????C．???????D．13、如图，在△ABC中，∠C＝90o，∠B＝40o，AD是角平分线，则∠ADC等于A．25o?????B．50o???????C．65o??????D．70o第13题第14题14、如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．?20°????B．40°??????C．30°????D．25°15、如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°,AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是(????)A.45°?????B.54°?????C.40°?????D.50°第15题第16题第18题16、如图7-7，C在AB的延长线上，CE⊥AF于E，交FB于D，若∠F=40°，∠C=20°，则∠FBA 的度数为（?????）．?A．50°??B．60°??C．70°??D．80°17、适合条件的三角形ABC是（????）A.锐角三角形??B.直角三角形C.钝角三角形?D.等边三角形???????????18、如图1，若∠1=110°，∠2=135°，则∠3等于A．55°????B．65°????C．75°????D．85°19、如图，在△AB C中，∠A=60°，∠ABC=50°，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是（?）①∠ACB=70°；??????②∠BFC=115°；③∠BDF=130°；?④∠CFE＝40°；A．①②?????B．③④?????C．①③????D．①②③第19题第20题20、如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于E，D是AE延长线上一点，且∠BDC=120°．下列结论：①∠BEC=120°；②DB=DE；③∠DBE=∠DCE．其中正确结论的个数为( )A．0??????B．1??????C．2??????D．3二、填空题21、如图，∠l=20°，∠2=25°，∠A=35°，则∠BDC=???????????．第21题第22题第23题22、如下图,?∠A＝27°,?∠CBE＝96°,?∠C＝30°,?则∠ADE的度数是________度.?23、如图，∠1，∠2，∠3的大小关系是??????．24、如图，∠A=50°，∠ACD=38°，∠ABE=32°，则∠BFC= _________ ．第24题第25题第26题25、如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=50°，则∠ACD的度数为．26、如图，已知△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，若∠B=42°，∠C=70°，则∠DAE=????°.27、△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC是??????三角形.28、如图，⊿ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=????????度。
八年级上册数学11.2与三角形有关的角练习题(含答案)
八年级上册数学11.2与三角形有关的角练习题(含答案)八年级上册数学11.2与三角形有关的角练习题（含答案）题1：已知三角形ABC，∠B=60°，BM⊥AC于M，且AM=2，MC=4，请计算AC的长度。
解：由于∠B=60°，且三角形ABC为直角三角形，可以计算出BM 的长度。
根据勾股定理，可得AB=√(AM^2+BM^2)=√(2^2+4^2)=√(4+16)=√20=2√5。
由此可知BC=2AB=2*2√5=4√5。
因此，AC=√(AM^2+MC^2)=√(2^2+4^2)=√(4+16)=√20=2√5。
题2：在三角形ABC中，∠B=90°，BD是BC的中线，且∠ADB=30°，请计算∠ACD的度数。
解：由于∠B=90°，且BD是BC的中线，可以得知∠DBC=90°/2=45°。
又∠ADB=30°，因此∠BDC=∠ADB+∠DBC=30°+45°=75°。
根据三角形内角和定理，得知∠ACD=180°-∠BDC=180°-75°=105°。
题3：已知∠A=60°，在三角形ABC中，以下哪两条边相等？A. AB=BCB. BC=ACC. AB=ACD. 无法确定解：由于∠A=60°，根据等角对应定理可得∠B=60°。
根据等角定理可知，∠A=∠B，故可以得出结论AB=BC。
题4：已知三角形ABC，∠A=45°，∠B=30°，请计算∠C的度数。
解：∠A=45°，∠B=30°，可计算出∠C的度数。
根据三角形内角和定理，得知∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-30°=105°。
题5：已知三角形ABC，AC=10，BC=6，且∠A=60°，求三角形ABC的面积。
八年级数学上册11-2《与三角形有关的角》基础同步练习题(含答案)
八年级数学上册11-2《与三角形有关的角》基础同步练习题（含答案）1、在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）．A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形2、若△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC一定是（）．A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 任意三角形3、在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是（）．A. 75°B. 65°C. 55°D. 45°4、△ABC中，∠A=35°，∠B=2∠A，则∠C的度数是（）．A. 55°B. 60°C. 70°D. 75°5、△ABC中，∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，则∠A=（）．A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°6、在下列条件中，①∠A+∠B=∠C，②∠A:∠B:∠C=1:2:3，③∠A=2∠B=3∠C，∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）．④∠A=∠B=12A. 1个C. 3个D. 4个7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，求证：CD⊥AB．8、如图，在△ABC中，高AD，BE交于点O．若∠C=75°，则∠AOE=度．9、如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）．A. 15°B. 25°D. 10°10、如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（）．A. 110°B. 115°C. 120°D. 130°11、如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，用等式表示∠DAE、∠B、∠C的关系正确的是（）．A. 2∠DAE=∠B−∠CB. 2∠DAE=∠B+∠CC. ∠DAE=∠B−∠CD. 3∠DAE=∠B+∠C12、已知：如图，在△ABC中，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B=60°，求∠C、∠DAE的度数．13、若直角三角形的一个锐角为50°，则另一个锐角的度数是°．14、若三角形三个内角度数比为2:3:5，则这个三角形一定是（）．A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定15、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A−∠B=70°，则∠A的度数为（）．A. 80°B. 70°C. 60°D. 50°16、下列条件中，不能确定△ABC是直角三角形的是（）．A. ∠A−∠B=90°∠AB. ∠B=∠C=12C. ∠A=90°−∠BD. ∠A+∠B=∠C17、如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1=°．18、如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=30°，∠C=70°，则∠EAD=°．19、如图△ABC中，∠1=∠2，∠ABC=70°，则∠BDC的度数是（）．A. 110°B. 115°C. 120°D. 130°20、如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A=35°，∠D=15°，则∠ACB的度数为（）．A. 65°B. 70°C. 75°D. 85°21、如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1=20°，则∠2的度数是（）．A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°22、如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE//BC交AC于点E．若∠A= 54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）．A. 44°B. 40°C. 39°D. 38°23、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=度．24、如图，把△ABC的一角折叠，若∠1+∠2=130°，则∠A的度数为．1 、【答案】 D;【解析】∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−20°−60°=100°，∴△ABC是钝角三角形，故选D．2 、【答案】 C;【解析】∵△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，∴设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴x+2x+3x=180，∴x=30，∴∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°，即△ABC是直角三角形．3 、【答案】 C;【解析】90°−35°=55°．故选C．4 、【答案】 D;【解析】∵∠A=35°，∠B=2∠A=70°，∴∠C=180°−∠A−∠B=75°，故选D．5 、【答案】 C;【解析】∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，得∠C=∠B+10°=∠A+20°，内角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°，即∠A+(∠A+10°)+(∠A+20°)=180°，化简得：3∠A+30°=180°，解得∠A=50°．6 、【答案】 C;【解析】①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180∘，∴2∠C=180∘，∴∠C=90∘，∴△ABC为直角三角形．②∵∠A:∠B:∠C=1:2:3，∴设∠A=α，∠B=2α，∠C=3α．∵∠A+∠B+∠C=180∘，∴α+2α+3α=180∘，∴α=30∘，∴∠C=90∘，∴△ABC为直角三角形．③∵∠A=2∠B=3∠C，∴设∠A=6x，则∠B=3x，∠C=2x，∵∠A+∠B+∠C=180∘，∴6x+3x+2x=180∘，∴x=180∘11，∴∠A=1080∘11，∠B=540∘11，∠C=360∘11．∴△ABC不为直角三角形．④∵∠A=∠B=12∠C，∴设∠A=∠B=y，∠C=2y．∵∠A+∠B+∠C=180∘，∴y+y+2y=180∘，∴y=45∘，∴∠C=90∘，∴△ABC为直角三角形．综上①②④可判定△ABC为直角三角形，故选C．7 、【答案】证明见解析．;【解析】在Rt △ABC中，∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，又∵∠ACD=∠B，∴∠ACD+∠A=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB．8 、【答案】75;【解析】∵AD，BE为高，∴∠ADC=AEO=90°，在Rt△ACD中，∠CAD=180°−90°−∠C=15°，在Rt△AOE中，∠AOE=180°−∠AEO−∠CAD=180°−90°−15°=75°．9 、【答案】 A;【解析】∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，∴∠BDF=90°+30°=120°，∠B=∠BAC=45°，在△BFD中，∠BFD=180°−∠B−∠BDF=180°−45°−120°=15°，故答案选A．10 、【答案】 B;【解析】∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−50°=130°，∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12×130°=65°．∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−65°=115°．故选B．11 、【答案】 A;【解析】∵∠BAC=180∘−∠B−∠C，AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=12∠BAC=12(180∘−∠B−∠C)．∵AE是高，∴∠CAE=90∘−∠C，∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=(90∘−∠C)−12(180∘−∠B−∠C)=12(∠B−∠C)，即2∠DAE=∠B−∠C．故选A．12 、【答案】∠C=40°，∠DAE=25°．;【解析】∵∠BAC=80°、∠B=60°，∴∠C=180°−∠BAC−∠B=180°−80°−60°=40°，∵AD⊥BC于D，∴∠DAC=50°，∵AE平分∠DAC，∠DAC=25°．∴∠DAE=1213 、【答案】 40;【解析】∵一个锐角为50°，∴另一个锐角的度数=90°−50°=40°．14 、【答案】 B;【解析】设三个内角度数一份为k°，则三个内角的度数分别为2k°、3k°、5k°，则2k°+3k°+5k°=180°，解得k°=18°，∴2k°=36°，3k°=54°，5k°=90°，∴这个三角形是直角三角形．15 、【答案】 A;【解析】∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，又∠A−∠B=70°，(90°+70°)=80°．∴∠A=1216 、【答案】 A;【解析】 A选项 : ∠A−∠B=90°，∠A=90°+∠B，故∠A为钝角，△ABC不是直角三角形，A选项符合题意．故A正确；∠A，∠A+∠B+∠C=180°，B选项 : ∠B=∠C=12∴∠B=∠C=45°，∠A=90°．故△ABC为直角三角形，B选项不符合题意．故B错误；C选项 : ∠A=90°−∠B，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°．故△ABC为直角三角形，C选项不符合题意．故C错误；D选项 : ∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°．故△ABC为直角三角形，D选项不符合题意．故D错误．17 、【答案】105;【解析】∠1=45°+60°=105°．18 、【答案】20;【解析】∵∠B=30°，∠C=70°，∴∠BAC=180°−30°−70°=80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=40°，∴∠AED=70°，∵AD⊥BC，∴∠ADE=90°，∴∠EAD=20°．19 、【答案】 A;【解析】∵∠ABC=70°，∴∠DBC=∠ABC−∠1，∵∠1=∠2，∴∠BDC=180°−∠DBC−∠2=180°−(70°−∠1)−∠2=110°．故选A．20 、【答案】 B;【解析】∵DE⊥AB，∠A=35°，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=∠CFD=55°，∴∠ACB=∠D+∠CFD=15°+55°=70°．故选B．21 、【答案】 C;【解析】方法一 : 如图，∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=20°，∠F=30°，∴∠BEF=∠1+∠F=50°，∵AB//CD，∴∠2=∠BEF=50°，故选：C．方法二 : 由题得∠2=∠3，且∠3=∠1+30°，又∵∠1=20°，∴∠2=50°．22 、【答案】 C;【解析】∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°−54°−48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，×78°=39°，∴∠DCB=12∵DE//BC，∴∠CDE=∠DCB=39°．23 、【答案】180;【解析】连接BD，由“8”字模型可知，∠A+∠E=∠EDB+∠ABD，∵∠C+∠CDE+∠CBA+∠EDB+∠ABD=180°，∴∠A+∠ABC+∠C+∠CDE+∠E=180°．故答案为：180．24 、【答案】65°;【解析】如图，∵△ABC的一角折叠，∴∠3=∠5，∠4=∠6，而∠3+∠5+∠1+∠2+∠4+∠6=360°，∴2∠3+2∠4+∠1+∠2=360°，∵∠1+∠2=130°，∴∠3+∠4=115°，∴∠A=180°−∠3−∠4=65°．故答案为∶65°．。
【能力培优】与三角形有关的角(含答案)
11.2与三角形有关的角专题一利用三角形的内角和求角度1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）A．15° B．20° C．25° D．30°2．如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D. 若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．3．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：__________；（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系．（直接写出结论即可）专题二利用三角形外角的性质解决问题4．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）A．15°B．20° C．25° D．30°5．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE的度数；（2）试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．（不必证明）6．如图：（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．状元笔记【知识要点】1．三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°．2．直角三角形的性质及判定性质：直角三角形的两个锐角互余．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．3．三角形的外角及性质外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【温馨提示】1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角．2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角．【方法技巧】1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余”．2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．参考答案:1．C解析：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∴∠1=12∠ACE，∠2=12∠ABC．又∵∠D=∠1－∠2，∠A=∠ACE－∠ABC，∴∠D=12∠A=25°．故选C．2．解：（法1）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°.因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC ，∠BAP=12∠BAC，∠ABP=12∠ABC ，即∠BAP＋∠ABP=45°，所以∠APB=180°－45°=135°.（法2）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°，因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∠DBC=12∠ABC，∠PAC=12∠BAC ，所以∠DBC＋∠PAD=45°.所以∠APB=∠PDA＋∠PAD =∠DBC＋∠C＋∠PAD=∠DBC＋∠PAD＋∠C =45°＋90°=135°.3．解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，∴∠1－∠3=∠P－∠D，∠2－∠4=∠B－∠P，又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P－∠D=∠B－∠P，即2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．（3）2∠P=∠B+∠D．4．B 解析：延长DC，与AB交于点E．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD－∠ABD=60°．设AC与BP相交于点O，则∠AOB=∠POC，∴∠P+12∠ACD=∠A+12∠ABD，即∠P=50°－12（∠ACD－∠ABD）=20°．故选B．5．解：（1）∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°．∵CD平分∠ACB，6．（1）证明：延长BD交AC于点E，∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC=∠A+∠B．∵∠BDC是△CED的外角，∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B．（2）猜想：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°．祝福语祝你考试成功!。
与三角形有关的角练习题(含答案)
第十一章三角形11.2 与三角形有关的角1．关于三角形内角的叙述错误的是A．三角形三个内角的和是180°B．三角形两个内角的和一定大于60°C．三角形中至少有一个角不小于60°D．一个三角形中最大的角所对的边最长2．下列叙述正确的是A．钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和B．三角形两个内角的和一定大于第三个内角C．三角形中至少有两个锐角D．三角形中至少有一个锐角3．在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的3倍，那么这个外角是A．150°B．135°C．120°D．100°4．已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么△ABC是A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形5．在不等边三角形中，最小的角可以是A．80°B．65°C．60°D．59°6．等腰三角形底角的外角比顶角的外角大30°，则这个三角形各内角度数是__________．7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的底角度数为__________．8．如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=__________．9．若直角三角形的一个锐角为50°，则另一个锐角的度数是___________．10．求直角三角形两锐角平分线所夹的锐角的度数．11．一个零件的形状如图所示，按规定A∠、C∠应等于90︒，B∠应分别是21︒、32︒，检验工人量得∠=︒，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？148BDC12．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是A．3 B．4 C．6 D．513．如图，在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC 边上的B′处，则∠ADB′等于A．25°B．30°C．35°D．40°14．一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形15．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC= ___________．16．如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A=___________．17．如图，△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B=70°，∠DAE=18°，则∠C的度数是___________．18．如图，∠BCD为△ABC的外角，已知∠A=70°，∠B=35°，则∠BCD=___________．19．如图，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠△ABC交AD于点E．若∠C=60°，∠BED=70°．求∠ABC 和∠BAC的度数．20．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=76°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF 的度数．21．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD=∠BDC．（1）若∠BCD=70°，求∠ABC的度数；（2）求证：∠EAB+∠AEB=2∠BDC．22．如图，在ABC∠=∠，△中，AD是BC边上的高，E是AB上一点，CE交AD于点M，且DCM MAE 求证：AEM△是直角三角形．23．（2018•黄石）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=A．75°B．80°C．85°D．90°24．（2018•宿迁）如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是A．24°B．59°C．60°D．69°25．（2018•眉山）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是A．45°B．60°C．75°D．85°26．（2018•滨州）在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=__________．27．（2018•淄博）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．28．（2018•宜昌）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC 的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．1．【答案】B【解析】A正确，根据三角形内角和定理可知，三角形三个内角的和是180°；C正确，三角形中至少有一个角不小于60°，否则三角形内角之和将小于180°；D正确，一个三角形中最大的角所对的边最长，不符合题意；B错误，三角形两个内角的和可能小于60°，如三角形的三个内角可以依次为20°，20°，140°，故B错误，故选B．4．【答案】A【解析】因为三角形内角和为180°，根据题意可得：∠B=∠C=80°，所以△ABC是锐角三角形．故选A．5．【答案】D【解析】在不等边三角形中，最小的角要小于60°，否则三内角的和大于180°．故选D．6．【答案】80°，50°，50°【解析】如图所示，AB=AC，∠1=∠2+30°．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠1、∠2分别是△ABC的外角，∴∠1=∠B+∠BAC，∠2=∠B+∠ACB，∵∠1=∠2+30°，∴∠1–∠2=∠B+∠BAC–∠B–∠ACB=∠BAC–∠ACB=30°①，∵∠B=∠ACB，∴∠B+ ∠ACB+∠A=180°，∴2∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°–2∠ACB，代入①得，180°–2∠ACB–∠ACB= 30°，解得，∠ACB=50°，∴∠B=50°，∠BAC=180°–∠B–∠ACB=180°–50°–50°=80°，∴这个三角形各个内角的度数分别是80°，50°，50°．故答案为：80°，50°，50°．7．【答案】70°或20°【解析】如图①，∵AB=AC，∠ABD=50°，BD⊥AC，∴∠A=40°，∴∠ABC=∠C=（180°–40°）÷2=70°；如图②：∵AB=AC，∠ABD=50°，BD⊥AC，∴∠BAC=50°+90°=140°，∴∠ABC=∠C=（180°–140°）÷2=20°，故答案为：70°或20°．9．【答案】40°【解析】因为三角形内角和为180°，一个直角为90°，一个锐角为50°，所以另一个锐角的度数为180°–90°–50°=40°．故答案为：40°．10．【解析】如图，△ACB 为直角三角形，C 为直角，AD ，BE 分别是∠CAB 和∠ABC 的角平分线，AD ，BE 相交于点F ， ∵∠ACB =90°，∴∠CAB +∠ABC =90°， ∵AD ，BE 分别是∠CAB 和∠ABC 的角平分线， ∴∠FAB +∠FBA =21∠CAB +21∠ABC =45°， ∴∠DFB =∠FAB +∠FBA =45°，即直角三角形两锐角平分线所夹的锐角为45°．11．【解析】如图，延长CD 交AB 于点E ．因为CDB∠是BDE△的一个外角，∴CDB B BED∠=∠+∠．因为BED∠是AEC△的一个外角，所以BED C A∠=∠+∠．所以902132143148CDB A B C∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒≠︒．所以可以判定这个零件不合格．12．【答案】A【解析】如图，过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得12×4×2+12×AC×2=7．解得AC=3．故选A．13．【答案】D【解析】∵在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，∴∠B=180°–100°–20°=60°，∵△CDB′由△CDB翻折而成，∴∠CB′D=∠B=60°，∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′=∠CB′D–∠A=60°–20°=40°．故选D．15．【答案】120°【解析】∵∠ABC=42°，∠A=60°，∠ABC+∠A+∠ACB=180°．∴∠ACB=180°–42°–60°=78°．又∵∠ABC、∠ACB的平分线分别为BE、CD，∴∠FBC=12∠ABC=21°，∠FCB=12∠ACB=39°．又∵∠FBC+∠FCB+∠BFC=180°，∴∠BFC=180°–21°–39°=120°．故答案为：120°．18．【答案】105°【解析】∠BCD=∠A+∠B=70°+35°=105°．故答案为：105°．19．【解析】∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，又∵180∠+∠+∠=︒，∠BED=70°，DBE ADB BED∴18020DBE ADB BED∠=︒-∠-∠=︒．∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠DBE=40°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°，∴∠BAC=180°–∠ABC–∠C=80°．20．【解析】∵∠A=40°，∠B=76°，∴∠ACB=180°–40°–76°=64°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=32°，∴∠CED=∠A+∠ACE=72°，∴∠CDE=90°，DF⊥CE，∴∠CDF+∠ECD=∠ECD+∠CED=90°，∴∠CDF=72°．21．【解析】（1）∵∠BCD=70°，∴∠BCD=∠BDC=70°，∴∠ABC=180°–70°–70°=40°．（2）∵∠EAB+∠AEB=180°–∠ABC，∠BCD+∠BDC=180°–∠ABC，即2∠BCD=180°–∠ABC，∴∠EAB+∠AEB=2∠BDC．22．【解析】∵AD是BC边上的高，∴90∠+∠=︒．DMC DCM又∵DMC AMEAME MAE∠+∠=︒，∠=∠，∴90∠=∠，DCM MAE即AEM△是直角三角形．23．【答案】A【解析】∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°-25°=5°，∵△ABC中，∠C=180°-∠ABC-∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，故选A．24．【答案】B【解析】∵∠A=35°，∠C=24°，∴∠DBC=∠A+∠C=59°，∵DE∥BC，∴∠D=∠DBC=59°，故选B．25．【答案】C【解析】如图，∵∠ACD=90°，∠F=45°，∴∠CGF=∠DGB=45°，则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°，故选C．26．【答案】100°【解析】∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，∴∠C=180°-30°-50°=100°．故答案为：100°．27．【解析】如图，过点A作EF∥BC，∵EF∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B+∠C=180°．28．【解析】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°-∠A=50°，∴∠CBD=130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=12∠CBD=65°．（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°-65°=25°．∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．。
(word完整版)八年级上册数学11.2与三角形有关的角练习题(含答案),推荐文档
11.2与三角形有关的角练习题姓名： _______________ 级：__________________ 号： _________________一、选择题1、在二一中，一-…，则匚上的度数为（）A.汀B. C •汕 D.2、如图，已知直线AB// CD /C=115，/ A=25，则/ E=（）A. 70 °B. 80 °C. 90 °D. 1003、如图8, AB=BC=CDJ/ A=15 ,贝U/ECD=( )A.30 °B.45°C.60°D.754、如图，在△ ABC中, AC=DODB / ACI=100°,贝U / B等于( )A. 50°B. 40°C. 25°D. 20°5、如图，△ ABC中，一1 「」，点D E分别在AB AC上，则一［—二】的大小为（）C、-打如图，已知匸丘丿匸二，Z 仁13C o ,Z 2=30^，则Z C=如下图所示，已知：/ AEC 的度数为110°,则/ A +Z B +Z C +Z D 的度数为（已知等腰三角形的一个角为75°,则其顶角为（9、如图，已知-上…匚，若一二’，一三一尤’,已知」打与石二相交于点匸，I '「J ,如果—三二，—二二Y ，则二的大小为6、 7、 A.110°B . 130°C . 220°D . 180°A . 30°B . 75°C . 105°D . 30° 或 75A. 20°B . 35°C . 45°D . 55°10、如图，AD 是Z EAC 的平分线，AD// BC Z B=30° ，则Z C 为（A. 30°B. 60°C. 80°D. 120°第11题 11、如图, 已知△ ABC 的两条高 BE CF 相交于点O, -1—〔「， A. 95o B . 130o C . 140o D . 150o第12题则一I--的度数为（ 12、如图,A. 60"70° 80B 120'BBB13、如图，在△ ABC 中，/ C = 90o ,/ B = 40o , AD 是角平分线，则/ ADC 等于第13题 14、如图，直线a / b,直角三角形如图放置，/ DCB=90 .若/ 1+Z B=70° ,则/2的度数为（ ）17、适合条件一 -一「一「的三角形ABC ＞（ A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形A. 25oB. 50oC . 65oD . 70o A.20B . 40°C . 30°D . 2515、如图，在△ ABC 中，/ B = 46则/ ADE 的大小是（ / C = 54° ,AD 平分/ BAC 交 BC 于 D, DE// AB 交 AC 于 E , A.45B.54C.40D.50第15题 第16题 第18题16、如图7-7 , C 在AB 的延长线上，CE 丄AF 于E ,交FB 于D, 的度数为（ ）. 若/ F=40°,Z C=20O ，则/ FBA A. 50° B. 60° C. 70°D. 80°第14题o18、如图1,若/ 1=110°,/ 2=135°，则/ 3 等于A. 55°B. 65°C. 75°D. 85°19、如图，在△ ABC中，/ A=60°，/ ABC=50 , / B、/ C的平分线相交于F,过点F作DE// BC, 交AB于D,交AC于E,那么下列结论正确的是（）20、如图，△ ABC 中，/ BA(=60°,Z ABC / ACB 的平分线交于E , D 是AE 延长线上一点，且/ BD(=120°.下列结论：①/BE(=120°;②DB=DE ③/ DB 匡/ DCE 其中正确结论的个数为( )A. 0、填空题③/ BDF=130 ; A.①②④/CFI40 ° ； B •③④C.①③D.①②③第19题21、如图，/1=2，/ 2=25°,/ A=35°C第21题第22题第23题/ C= 30° , 则/ ADE的度数是22、如下图, / A= 27° , / CBE= 96° ,第24题第25题25、如图，已知DABC边BC延长线上一点，DF丄AB于F交AC于E，/ A=35°，Z D=50°，则/ ACM 度数为_________________ .26、如图，已知△ ABC中，AD是BC边上的高，AE是/ BAC勺平分线，若/ B=42°,Z 0=70°, 则/DAW _________ °.27、厶ABC中，/ A：Z B ：Z C=1 : 2 : 3,则厶ABC是 ______ 三角形.28、如图，/ ABC中，/ A = 40 °，/ B = 72 °，CE平分/ ACB CDLAB于D, DF丄CE 则/CDF = ________________ 度。
人教版八年级上册：11.2 与三角形有关的角 同步练习 (word版,含解析)
11.2 与三角形有关的角同步练习一．选择题1．已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，下列条件不能确定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝40°，∠B＝50°B．∠A＝90°C．∠A+∠B＝∠C D．∠A+∠B＝2∠C2．若△ABC的三个内角的比为3：5：2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形3．如图，在△ABC中，∠A＝50°，则∠1+∠2的度数是（）A．180°B．230°C．280°D．无法确定4．如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝44°，∠C＝57°，则∠BAC的度数是（）A．89°B．79°C．69°D．90°5．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，如果AD平分∠BAC，那么∠ADB的度数是（）A．35°B．70°C．85°D．95°6．如图，已知CD和BE是△ABC的角平分线，∠A＝60°，则∠BOC＝（）A．60°B．100°C．120°D．150°7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为（）A．20°B．30°C．45°D．50°8．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠E＝90°，则∠BDC 的度数为（）A．120°B．125°C．130°D．135°二．填空题9．在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝45°，则∠C为．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝48°，点D是AB延长线上的一点，则∠CBD的度数是°．11．如图，AD平分∠BAC，其中∠B＝35°，∠ADC＝82°，则∠C＝度．12．如图，AD平分∠EAC，∠B＝70°，∠C＝60°，求∠CAD＝．13．一副三角板如图摆放，其中一块三角板的直角边EF落在另一块三角板的斜边AC上，边BC与DF交于点O，则∠BOD的度数是．14．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1＝α，则∠A2021为．三．解答题15．如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝30°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．16．如图，F A⊥EC，垂足为E，∠F＝40°，∠C＝20°，求∠FBC的度数．17．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，F为边BC上一点，连接AF交CE于点G，∠CGF＝∠CFG．求证：AF平分∠BAC．18．互动学生课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究．小亮：已知，如图三角形ABC，点D是三角形ABC内一点，连接BD，CD，试探究∠BDC与∠A、∠1、∠2之间的关系．小明：可以用三角形内角和定理去解决．小丽：用外角的相关结论也能解决．（1）请你在横线上补全小明的探究过程：∵∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，（）∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，（等式性质）∵∠A+∠1++∠DBC+∠BCD＝180°，∴∠A+∠1+∠2＝180°﹣﹣∠BCD，∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2．（）（2）请你按照小丽的思路完成探究过程．19．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数．（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是；（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠F AD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是．20．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．参考答案一．选择题1．解：选项A：∵∠A＝40°，∠B＝50°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°．∴△ABC是直角三角形．选项B：∵∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形．选项C：∵∠A+B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°．∴∠C＝90°．∴△ABC是直角三角形．选项D：∵∠A+∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴3∠C＝180°．∴∠C＝60°．∴∠A+∠B＝120°．∴无法确定△ABC是直角三角形．故选：D．2．解：∵△ABC的三个内角的比为3：5：2可设此三角形的三个内角分别为2x，3x，5x，∴2x+3x+5x＝180°，解得x＝18°，∴5x＝5×18°＝90°．∴此三角形是直角三角形．故选：C．3．解：∵∠1＝∠A+∠ACB，∠2＝∠A+∠ABC，∴∠1+∠2＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝（∠A+∠ACB+∠ABC）+∠A．又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝50°，∴∠1+∠2＝180°+50°＝230°．故选：B．4．解：∵∠B＝44°，∠C＝57°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝79°．故选：B．5．解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣60°﹣50°＝70°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝35°．∵在△ABD中，∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD．∴∠BDA＝180°﹣60°﹣35°＝85°故选：C．6．解：∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵CD和BE是△ABC的角平分线，∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°，故选：C．7．解：∵∠AOB＝125°，∴∠OAB+∠OBA＝55°，∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∴∠BAC+∠ABC＝2（∠OAB+∠OBA）＝110°，∴∠C＝70°，∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝20°，即∠CAD的度数是20°．故选：A．8．解：在△BEC中，∵∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，∴∠DBC＝∠EBC，∠DCB＝∠ECB，∴∠DBC+∠DCB＝×90°＝45°，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝135°，故选：D．二．填空题9．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣35°﹣45°＝100°．故答案为：100°．10．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝48°，∴∠CBD＝∠ACB+∠A＝90°+48°＝138°，故答案为138．11．解：∵∠ADC是△ABD的一个外角，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝82°﹣35°＝47°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝94°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝51°，故答案为：51．12．解：∵∠EAC＝∠B+∠C，∠B＝70°，∠C＝60°，∴∠EAC＝70°+60°＝130°，∵AD是∠EAC的平分线，∴∠CAD＝∠EAC＝65°，故答案是：65°．13．解：△COF中，∵∠CFO＝45°，∠FCO＝30°，∴∠COF＝180°﹣∠CFO﹣∠FCO＝180°﹣45°﹣30°＝105°，∵∠COF＝∠BOD，∴∠BOD＝105°，故答案为：105°．14．解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，∴∠A1＝∠A，同理理可得∠A2＝∠A1，∠A3＝∠A2，……则∠A2021＝∠A1＝．故答案为：．三．解答题15．解：∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B＝80°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣80°＝70°；∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C，∠C＝30°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝35°，∵∠EAD＝∠DAC﹣∠EAC，∴∠EAD＝25°．16．解：在△AEC中，F A⊥EC，∴∠AEC＝90°，∴∠A＝90°﹣∠C＝70°．∴∠FBC＝∠A+∠F＝70°+40°＝110°．17．解：∵∠ACB＝90°，∠CAF+∠ACB+∠CFG＝180°，∴∠CAF+∠CFG＝90°，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∵∠AEC+∠AGE+∠F AE＝180°，∴∠AGE+∠F AE＝90°，∵∠AGE＝∠CGF＝∠CFG，∴∠CAF＝∠F AE，∴AF平分∠BAC．18．解：（1）∵∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，（三角形内角和定理）∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，（等式性质）∵∠A+∠1+∠2+∠DBC+∠BCD＝180°，∴∠A+∠1+∠2＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2 （等量代换），故答案为：三角形内角和定理；∠2；∠DBC；等量代换；（2）如图，延长BD交AC于E，由三角形的外角性质可知，∠BEC＝∠A+∠1，∠BDC＝∠BEC+∠2，∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2．19．解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠BAP＝∠P AD，∠BCP＝∠PCD，由（1）的结论得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP，①，∠P+∠P AD＝∠ADC+∠PCD②，①+②得，2∠P+∠BCP+∠P AD＝∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC，∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，∴∠P＝26°．（3）∵直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠P AB＝∠P AD，∠PCB＝∠PCE，∴2∠P AB+∠B＝180°﹣2∠PCB+∠D，∴180°﹣2（∠P AB+∠PCB）+∠D＝∠B，∵∠P+∠P AD＝∠PCB+∠AOC＝∠PCB+∠B+2∠P AD，∴∠P＝∠P AD+∠B+∠PCB＝∠P AB+∠B+∠PCB，∴∠P AB+∠PCB＝∠P﹣∠B，∴180°﹣2（∠P﹣∠B）+∠D＝∠B，即∠P＝90°+（∠B+∠D）．故答案为：∠P＝90°+（∠B+∠D）．（4）∵直线AP平分∠BAD的外角∠F AD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠F AP＝∠P AO，∠PCE＝∠PCB，在四边形APCB中，（180°﹣∠F AP）+∠P+∠PCB+∠B＝360°①，在四边形APCD中，∠P AD+∠P+（180°﹣∠PCE）+∠D＝360°②，①+②得：2∠P+∠B+∠D＝360°，∴∠P＝180°﹣（∠B+∠D）．故答案为：∠P＝180°﹣（∠B+∠D）．20．（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．。
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11.2与三角形有关的角经典习题
(1) _________________________________________________ 在△4BC 中，若乙4 = 78 36', ZB = 57 24z ,贝ij ZC = ____________________________________ ・
⑵ 在AABC 中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，越来越小，ZB, ZC 越来越大.若ZA 减 少&度，ZB 增加0度，ZC 增加了度，则© 0, 丫三者之间的等量关系是.
(
A.10 B 20 C.30 D40 例题1・已知△ /\BC 中,
(1) ZA=20° —040。
，则ZB 二 (2) Z2120。
, 2ZB+ZC=80°，则ZB 二
(3) ZB 二ZA+40。
, ZC=ZB-50°，则ZB 二
(4) ZA:ZB:ZC=1:3:5,则ZB 二
例题2如图所示，则△A3C 的形状是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
练习：下列选项中，能确定三角形是直角三角形的是()
A. ZA+ZB 二90°
B. ZA=ZB=0. 5ZC
C. ZA~ZB=ZC
D. ZA-ZB=90°
例题3如图，一个顶角为40的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边 例题4.如图，已知△ ABC 中，ZA 二40。
, ZABC 与ZACB 的平分线交于点0,求Z0的度数.
(3妆口图，在Rt/\ADB 中，Z£> = 90 , C 为AD ±一点，则兀可能是
(4)如图，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高， 且
CD 、 若ZA 二50。
，则ZBPC 的度数是(
BE 交于一点P, (A) 150° (B) 130° (C) 120° (D) 100°
(5)四边形ABCD 中，如果ZA+ZC+ZD=280° ,则ZB 的度数是 (A) 80° (B) 90° (C) 170° (D) 20°
(6)若一个多边形的内角和等于
第⑶题 1080°，则这个多边形的边数是 (A) 9 (B) 8 (C) 7
(D) 6
形，则 Zl + Z2 =
练习：如图,AABC,ZA=40°，则
(1)Z1+Z2+ZB+ZC=. (2)Z3+Z4=.
6x Q. D A
变式:已知△ ABC,
① 如图1,若P 点是利Z4C3的角平分线的交点，请说明ZP = 90 +丄乙4； 2
② 如图2 ,若P 点是ZABC 和外角Z ACE 的角平分线的交点，你能说明ZP 二ZA 吗？ ③ 如图3,若P 点是外角ZCmnZBCE 的角平分线的交点，你能说明ZP = 90 -丄厶吗? 2
练习：(1)直角三角形两锐角的角平分线所成的角为 ______ 度；
(2) 如图，已知AABC 屮，ZA=50° , ZABC 与ZACB 的平分线交于点0,求ZD0E 的度数；
(3) 如上图，已知ZSABC 中，ZA=80° , ZABC 与ZACB 的平分线交于点0,求ZB0D 的度数
练习：(1)如上左图中,Zl=40° , Z2=45° , ZC=50°，则ZB 二
⑵如上右图屮，ZA 二40。
, ZB=45° , ZC=50°，则ZD 二
例题7 (1)如图1,五角形的顶点分别为A 、B 、C 、D 、E.求ZA+ZB+ZC+ZD+ZE 的度数;
例题5 (1)—个三角形的最大的外角是钝角，则这个三角形是 _____ 三角形；
(2)—个三角形的不共顶点的三个外角中，最多可以有 ____ 个锐角;最多可以有 ______ 个直角；最多有 _____ 个钝角；
例题 6(1)如图 1, ZA4-ZB + ZC + ZD + ZE = ________ ・
(2) .女II 图 2, Zl + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 + Z6= _____
(3) .如图 3,Z1 + Z24-Z3 + Z4 = _____ ・
D.熟悉几个基本图形
B
(2) 如图 2,求ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF 的度数.
(3) 如图 3、4 中，求Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6 的度数.
第1题.三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形一定是（ ）
A.直角三角形
B.锐角三角形 C •钝角三角形 D.等腰三角形
第2题.如图，Zl, Z2, Z3的大小关系为（ ）
A. Z2 > Zl > Z3 B . Zl > Z3 > Z2 c. Z3>Z2>Z1 D . Z1>Z2>Z3
第3题.如图，已知AB//CD f 则()
A. Z1 = Z2 + Z3 B . Z1 = 2Z2 + Z3C . Z1 = 2Z2-Z3 D . Z1 = 18O -Z2-Z3
第 4 题.在△ABC 屮，ZA = 8O, ZB = 60 ,则ZC = ------------ .
第6题•如图，P 为厶A3C 屮B C 边的延长线上一点，ZA = 5O , ZB = 7 0,则 ZACP= 第7题.如图，将一等边三角形剪去一个角后，Z1 + Z2等于（ A. 120 B. 240 c. 300 D. 360
第8题.如右图，已知ZAB£ = 142 , ZC = 72 ,则ZA =
例题8已知，如图5,在△ABC 中，0是高AD 和BE 的交点，观察图形, 试猜
想ZC 和ZDOE 之间具有怎样的数量关系，并论证你的猜想.
例题9 （2006吉林课改）把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角 ____________
)
ZABC = 图
B
C
第10题.如图12,三角形纸片4BC 中，将纸片的一角折叠，使点C 落在AABC 内, （1） ___________________________________________________ 若ZA=65° , ZB=15° , Zl = 20° ,则Z2 的度数为 _________________________________________ ・
（2） Z1, Z2, ZC 有何关系？
课后练习 1. ____________________________________________________ 在△ABC 屮，ZA=55° ,高 BE 、CF 交于点 O,则 ZBOC= _______________________________ .
2. 如图所示，已知点D 是AB±的一点，点E 是AC 上的一点，BE, CD 相交于点F,
,ZACD=40°
, ZABE=28° ,则 ZCFE 的度数为
5. 上午9时，一艘船从A 处出发以每小时20海里的速度向正北航行，11时到
达3处，若在A 处测得灯塔C 在北偏西34。
, fiZACB=-ZBAC,则在3处 2
测得灯塔C 应为（ ）.
A.北偏西68°
B.南偏西85°
C.北偏西85°
D.南偏西68。
6. 如图，AC.LBC, CD 丄AB, DE 丄BC,分别交 BC, AB, BC 于点 C, D, E,
则下列说法中不正确的是（ ）. A. AC 是△ABC 和ZVIBE 的高 B. DE, DC 都是 △BCD 的高
C. DE 是ADBE 和△ABE 的高 D ・AD, CD 都是ZVICD 的高
7. 如图所示，在绿茵场上，足球队员带球进攻时，总是尽力向球门冲进，你能说明这是为什
ZA=50° 3.如图, AM 是ZVIBC 的屮线，△ABC 的面积为4cm 2,则△ABM 的面积为（
).
A. 8cm 2 4cm 2 C. 2cm 2 D.以上答案都不对 4.现有两根木棒,
它们的长分别为40cm 和50cm,若要钉成一个三角形木架, 则在下列四根
木棒屮应选取（ ). A- 10cm 的木棒 B. 50cm 的木棒C- 100cm 的木棒 D- 110cm 的木棒 A
（图⑵
B. C
么吗？
& 已知在斜AABC中，ZA=45°,高BD和CE所在直线交于II,求ZBHC的度数.
9.（综合题）如图，在Z\ABC中，ZB=66° , ZC=54° , AD是ZBAC的平分线，DE平分ZADC交AC于E,则ZBDE二 _________ ・。