三角形培优经典题型
初中几何经典培优题型(三角形)
全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．常见辅助线写法：⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F⑵过点A作BC的垂线，垂足为D⑶延长AB至C，使BC＝AC⑷在AB上截取AC，使AC＝DE⑸作∠ABC的平分线，交AC于D⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点例1如图，AB ＝CD ＝1，∠AOC ＝60°，证明：AC ＋BD ≥1。
OC DAB例2(2007年北京中考）如图，已知△ABC⑴请你在BC 边上分别取两点D 、E （BC 的中点除外），连接AD 、AE ，写出使此图中只存在两对面积相 等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； ⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB ＋AC ＞AD ＋AE 。
三角形培优专题 - 参考答案
《三角形培优专题》参考答案【例题讲解】例题1．已知等腰三角形的周长为24，试求腰长x 的取值范围和底边长y 的取值范围．【解答】解：依题意有2x +y = 24 ；对于腰长，有：y < 2x < 24 ，即：24 - 2x < 2x < 24 ，解得：6 <x < 12 ；对于底长，有：0 <y < 2x ，即：0 <y < 24 -y ，解得：0 <y < 12 ．故腰长x 的取值范围是 6 <x < 12 ，底边长y 的取值范围是0 <y < 12 ．例题2．如图，已知∠B =∠C =∠BAD ，∠ADC =∠DAC ，AE ⊥BC ，求∠DAE 的度数．【解答】解： ∠ADC =∠B +∠BAD ，∠B =∠C =∠BAD ，∠ADC =∠DAC ，∴∠B +∠C +∠BAD +∠DAC = 180︒，∴ 5∠B = 180︒，解得∠B = 36︒，∴∠ADC = 72︒．AE ⊥BC ，∴∠DAE = 90︒-∠ADE = 90︒- 72︒= 18︒．例题3．（1）如图1，这是一个五角星ABCDE，你能计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数吗？为什么？（必须写推理过程）（2）如图2，如果点B 向右移动到AC 上，那么还能求出∠A +∠DBE +∠C +∠D +∠E 的大小吗？若能结果是多少？（可不写推理过程）（3）如图，当点 B 向右移动到AC 的另一侧时，上面的结论还成立吗？（4）如图4，当点B 、E 移动到∠CAD 的内部时，结论又如何？根据图3 或图4，说明你计算的理由．【解答】解：（1）如图，由三角形的外角性质，∠A+∠C=∠1，∠B+∠D=∠2，∠1 +∠2 +∠E = 180︒，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180︒；（2）如图，由三角形的外角性质，∠A +∠D =∠1 ，∠1 +∠DBE +∠C +∠E = 180︒，∴∠A +∠DBE +∠C +∠D +∠E = 180︒；（3）如图，由三角形的外角性质，∠A +∠C =∠1，∠B +∠D =∠2 ，∠1 +∠2 +∠E = 180︒，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180︒；（4）如图，延长CE 与AD 相交，由三角形的外角性质，∠A +∠C =∠1，∠B +∠E =∠2 ， ∠1 +∠2 +∠D = 180︒，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180︒．例题4．Rt∆ABC 中，∠C = 90︒，点D 、E 分别是∆ABC 边AC 、BC 上的点，点P 是一动点．令∠PDA =∠1，∠PEB =∠2 ，∠DPE =∠α．（1）若点 P 在线段 AB 上，如图（1）所示，且∠α= 50︒，则∠1 +∠2 =140 ︒；（2）若点P 在边AB 上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2 之间有何关系？（3）若点P 在Rt∆ABC 斜边BA 的延长线上运动(CE <CD) ，则∠α、∠1、∠2 之间有何关系？猜想并说明理由．【解答】解：（1）如图，连接PC ，由三角形的外角性质，∠1 =∠PCD +∠CPD ，∠2 =∠PCE +∠CPE ，∴∠1+∠2 =∠PCD +∠CPD +∠PCE +∠CPE =∠DPE +∠C ，∠DPE =∠α= 50︒，∠C = 90︒，∴∠1+∠2 = 50︒+ 90︒=140︒，故答案为：140︒；（2）连接PC ，由三角形的外角性质，∠1 =∠PCD +∠CPD ，∠2 =∠PCE +∠CPE ，∴∠1+∠2 =∠PCD +∠CPD +∠PCE +∠CPE =∠DPE +∠C ，∠C = 90︒，∠DPE =∠α，∴∠1+∠2 = 90︒+∠α；（3）如图1，由三角形的外角性质，∠2 =∠C +∠1+∠α，∴∠2 -∠1 = 90︒+∠α；如图2，∠α= 0︒，∠2 =∠1+ 90︒；如图3，∠2 =∠1-∠α+∠C ，∴∠1-∠2 =∠α- 90︒．例题 5．如图 1，在 ∆ABC 中， BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，若∠A = 82︒，则∠BEC = 131︒；若∠A =a︒，则∠BEC = ．【探究】（1）如图2，在∆ABC 中，B D ，B E 三等分∠ABC ，CD ，CE 三等分∠ACB ，若∠A =a︒，则∠BEC = ；（2）如图3，O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 和∠A 有怎样的关系？请说明理由；（3）如图4，O 是外角∠DBC 与外角∠BCE 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？请说明理由．【解答】解： ∠A = 82︒，∴∠ABC +∠ACB = 180︒-∠A = 180︒- 82︒= 98︒， BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠EBC =1∠ABC ，∠ECB =1∠ACB ，2 2∴∠EBC +∠ECB =1(∠ABC +∠ACB) =1⨯ 98︒= 49︒，2 2∴∠BEC = 180︒- (∠EBC +∠ECB) = 180︒- 49︒= 131︒；由三角形的内角和定理得，∠ABC +∠ACB = 180︒-∠A = 180︒-a︒， BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠EBC =1∠ABC ，∠ECB =1∠ACB ，2 2∴∠EBC +∠ECB =1(∠ABC +∠ACB) =1⨯ (180︒-a︒) = 90︒-1a︒，2 2 2∴∠BEC = 180︒- (∠EBC +∠ECB) = 180︒- (90︒-1a︒) = 90︒+1a︒；2 2故答案为：131︒，90︒+1a︒；2探究：（1）由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180︒-∠A=180︒-a︒， BD ，BE 三等分∠ABC ，CD ，CE 三等分∠ACB ，∴∠EBC =2∠ABC ，∠ECB =2∠ACB ，3 3∴∠EBC +∠ECB =2(∠ABC +∠ACB) =2⨯ (180︒-a︒) = 120︒-2a︒，3 3 3∴∠BEC = 180︒- (∠EBC +∠ECB) = 180︒- (120︒-2a︒) = 60︒+2a︒；3 3故答案为：60︒+2a︒；3（2）∠BOC =1∠A ．2理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD =∠A +∠ABC ，∠OCD =∠BOC +∠OBC ，O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，∴∠ABC = 2∠OBC ，∠ACD = 2∠OCD ，∴∠A +∠ABC = 2(∠BOC +∠OBC ) ，∴∠A = 2∠BOC ，∴∠BOC =1∠A ；2（3）∠BOC = 90︒-1∠A ．2理由如下： O 是外角∠DBC 与外角∠BCE 的平分线BO 和CO 的交点，∴∠OBC =1(180︒-∠ABC) = 90︒-1∠ABC ，∠OCB =1(180︒-∠ACB) = 90︒-1∠ACB ，2 2 2 2在∆OBC 中，∠BOC =180︒-∠OBC -∠OCB =180︒- (90︒-1∠ABC) - (90︒-1∠ACB) =1(∠ABC +∠ACB) 2 2 2，由三角形的内角和定理得，∠ABC +∠ACB = 180︒-∠A ，∴∠BOC =1(180︒-∠A) = 90︒-1∠A ．2 2【巩固练习】1．已知线段AB = 3cm ，BC =1cm ，则线段AC 的长度为( )A ．一定是4cmB ．一定是2cmC ．一定是2cm 或4cmD ．以上都不对【解答】选：D．2．如图，∠ABC =∠ACB ，AD ，BD ，CD 分别平分∆ABC 的外角∠EAC 、内角∠ABC 、外角∠ACF ．以下结论：①AD / / B C ；②∠ACB = 2∠ADB ；③DB 平分∠ADC ；④∠ADC = 90︒-∠ABD ；⑤∠BDC =1∠BAC ．其中正确的结论有( ) 2A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【解答】解： AD 平分∠EAC ，∴∠EAC = 2∠EAD ，∠EAC =∠ABC +∠ACB ，∠ABC =∠ACB ，∴∠EAD =∠ABC ，∴AD / / BC ，∴①正确；AD / / BC ，∴∠ADB =∠DBC ，BD 平分∠ABC ，∠ABC =∠ACB ，∴∠ABC =∠ACB = 2∠DBC ，∴∠ACB = 2∠ADB ，∴②正确；BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ，∠ADB =∠DBC ，∠ADC = 90︒-1∠ABC ，2∴∠ADB 不等于∠CDB ，∴③错误； AD 平分∠EAC ，CD 平分∠ACF ，∴∠DAC =1∠EAC ，∠DCA =1∠ACF ，2 2∠EAC =∠ACB +∠ACB ，∠ACF =∠ABC +∠BAC ，∠ABC +∠ACB +∠BAC = 180︒，∴∠ADC = 180︒- (∠DAC +∠ACD)= 180︒-1(∠EAC +∠ACF ) 2= 180︒-1(∠ABC +∠ACB +∠ABC +∠BAC) 2= 180︒-1(180︒+∠ABC) 2= 90︒-1∠ABC ，∴④正确；2∠BDC =∠DCF -∠DBF =1∠ACF -1∠ABC =1∠BAC ，∴⑤正确，2 2 2故选：D ．3．如图，要使六边形木架（用六根木条钉成）不变形，至少要再钉上木条的根数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：过六边形的一个顶点作对角线，有6 - 3 = 3 条对角线， 所以至少要钉上 3 根木条． 故选： C ．4．如图，在 ∆ABC 中， ∠ABC 的平分线与 ∠ACD 的平分线交于点 A 1 ， ∠A 1BC 的平分线与∠A CD 的平分线交于点 A ，依此类推 ．已知∠A = α，则∠A 的度数为α（用含12n 、α的代数式表示）．n2n【解答】解： ∆ABC 中， ∠A = ∠ACD - ∠ABC ， A 1 是 ∠ABC 角平分与 ∠ACD 的平分线的交点， ∠A = α，∴∠A = ∠A CD - ∠A BC = 1 (∠ACD - ∠ABC ) = 1∠A ；1 1 12 2同理可得， ∠A = 1 ∠A = 1∠A ，22 1 22∠A = 1 ∠A = 1∠A ， 32 2 23依此类推， ∠A = 1∠A ，即∠A = α ．n 2n 故答案为： α．2nn2n5．如图，线段 AB 、CP 相交于点O ，连接 AD 、CB ， ∠DAB 、∠BCD 的平分线 AP 、CP 相交于点 P ，并且为CD 、 AB 分别相交于 M 、N 两点，若∠D = 40︒ ，∠B = 30︒ ，则∠P 的度数为 35︒ ．【解答】解：在∆AOD 中，∠AOD =180︒-∠OAD -∠D ，在∆BOC 中，∠BOC = 180︒-∠B -∠OCB ，∠AOD=∠BOC（对顶角相等），∴180︒-∠OAD -∠D = 180︒-∠B -∠OCB ，∴∠OAD +∠D =∠B +∠OCB ，∠D = 40︒，∠B = 30︒，∴∠OAD + 40︒=∠OCB + 30︒，∴∠OCB -∠OAD = 10︒，AP 、CP 分别是∠DAB 和∠BCD 的角平分线，∴∠1 =1∠OAD ，∠3 =1∠OCB ，2 2又 ∠1 +∠D =∠3 +∠P ，∴∠P =∠1 +∠D -∠3 =1(∠OAD -∠OCB) +∠D =1⨯ (-10︒) + 40︒= 35︒．2 2故答案为：35︒．6．在∆ABC 中，AB =AC ，AC 边上的中线BD 把三角形ABC 的周长分为9cm 和12cm 的两部分，求三角形各边的长．【解答】解：根据题意画出图形，如图，设等腰三角形的腰长AB =AC = 2x ，BC =y ，BD 是腰上的中线，∴AD =DC =x ，若AB +AD 的长为12，则2x +x = 12 ，解得x = 4cm ，则x +y = 9 ，即 4 +y = 9 ，解得y = 5cm ；若AB +AD 的长为9，则2x +x = 9 ，解得x = 3cm ，则x +y = 12 ，即3 +y = 12 ，解得y = 9cm ；所以等腰三角形的腰长为8 厘米，底边长为 5 厘米．或腰长为6cm ，底长为9cm ．7．已知a，b，c 是△ABC 的三边长，a=4，b=6，设三角形的周长是x．（1）直接写出c 及x 的取值范围；（2）若x 是小于18 的偶数①求c 的长；②判断△ABC 的形状．【解答】解：（1）因为a=4，b=6，所以2＜c＜10．故周长x 的范围为12＜x＜20．（2）①因为周长为小于18 的偶数，所以x=16 或x=14．当x 为16 时，c=6；当x 为14 时，c=4．②当c=6 时，b=c，△ABC 为等腰三角形；当c=4 时，a=c，△ABC 为等腰三角形．综上，△ABC 是等腰三角形．8．如图，四边形ABCD 中，BE 、CF 分别是∠B 、∠D 的平分线．且∠A =∠C = 90︒，试猜想BE 与DF 有何位置关系？请说明理由．【解答】解：BE / / DF ，理由是： 四边形内角和等于360︒，∠A =∠C = 90︒，∴∠ABC +∠ADC = 180︒，BE 、CF 分别是∠B 、∠D 的平分线，∴∠1 =1∠ABC ，∠2 =1∠ADC ，2 2∴∠1 +∠2 = 90︒，在Rt∆DCF 中，∠3 +∠2 = 90︒，∴∠1 =∠3 ，∴BE / / DF ．9．如图，∆ABC 中，三条内角平分线AD 、BE 、CF 相交于点O ，OG ⊥BC 于点G ．（1）若∠ABC = 40︒，∠BAC = 60︒，求∠BOD 和∠COG 的度数．（2）若∠ABC =α，∠BAC =β，则∠BOD 和∠COG 相等吗？请说明理由．【解答】解：（1）∠BOD=∠OAB+∠OBA=1∠BAC +1∠ABC = 50︒2 2∠COG = 90︒-∠OCG= 90︒-1(180︒-∠ABC -∠BAC) 2= 90︒- 40︒= 50︒；（2）∠BOD 和∠COG相等． 理由： ∠BOD =∠OAB +∠OBA=1∠BAC +1∠ABC 2 2=1(α+β) 2=1(180︒-∠ACB) 2= 90︒-1∠ACB 2= 90︒-∠OCG =∠COG ．10．如图1 ，在∆ABC 中，∠B = 90︒，分别作其内角∠ACB 与外角∠DAC 的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点 E ．（1）∠E = 45 ︒；（2）分别作∠EAB 与∠ECB 的平分线，且两条角平分线交于点F ．①依题意在图1 中补全图形；②求∠AFC 的度数；（3）在（2）的条件下，射线FM 在∠AFC 的内部且∠AFM =1∠AFC ，设3EC 与AB 的交点为H ，射线HN 在∠AHC 的内部且∠AHN =1∠AHC ，射线3HN 与 FM 交于点 P ，若∠FAH ，∠FPH 和∠FCH 满足的数量关系为∠FCH =m∠FAH +n∠FPH ，请直接写出m ，n 的值．【解答】解：（1）如图 1 ， EA平分∠DAC ，EC 平分∠ACB ，∴∠CAF =1∠DAC ，∠ACE =1∠ACB ，2 2设∠CAF =x ，∠ACE =y ，∠B = 90︒，∴∠ACB +∠BAC = 90︒，∴ 2 y +180 - 2x = 90，x -y = 45，∠CAF =∠E +∠ACE ，∴∠E =∠CAF -∠ACE =x -y = 45︒，故答案为： 45 ；（2）①如图 2 所示，②如图 2 ， CF 平分∠ECB ，∴∠ECF = 1 y ， 2∠E + ∠EAF = ∠F + ∠ECF ，∴ 45︒ + ∠EAF = ∠F + 1 y ①， 2同理可得： ∠E + ∠EAB = ∠B + ∠ECB ， ∴ 45︒ + 2∠EAF = 90︒ + y ，∴∠EAF = 45 + y ②，2把②代入①得： 45︒ + 45 + y = ∠F + 1 y ，2 2∴∠F = 67.5︒，即∠AFC = 67.5︒ ；（3） 如图 3 ，设∠FAH =α，AF 平分∠EAB ，∴∠FAH = ∠EAF =α，∠AFM = 1∠AFC = 1⨯ 67.5︒ = 22.5︒ ，3 3 ∠E + ∠EAF = ∠AFC + ∠FCH ，∴45 +α= 67.5 + ∠FCH ，∴∠FCH =α- 22.5①，∠AHN = 1 ∠AHC = 1 (∠B + ∠BCH ) = 1 (90 + 2∠FCH ) = 30 + 2∠FCH ， 3 3 3 3 ∠FAH + ∠AFM = ∠AHN + ∠FPH ，∴α+ 22.5 = 30 + 2∠FCH + ∠FPH ，②3 把①代入②得： ∠FPH = α+ 22.5 ，3∠FCH = m ∠FAH+ n ∠FPH ，α- 22.5 = m α+ n α+ 22.5 ，3解得： m = 2 ， n = -3．。
三角形培优题型
专题一：8字形图型如图，90A B C D E F G n ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=⋅︒，求 n 的大小专题二：飞镖形图型 如图，BE 是∠ABD 的角平分线，CF 是∠ACD 的角平分线，BE 与CF 交于点G ，∠BDC =140°，∠BGC =110°，则∠A 的度数为________专题三：双垂直型 如图，在ABC ∆中，90ACB CD AB AF ∠=︒⊥，，是角平分线，交CD 于点E ，求证12∠=∠专题四：三角形角平分线型如图，点M 是△ABC 两个内角平分线的交点，点N 是△ABC 两个外角平分线的交点，如果∠CMB ：∠CNB =3：2，那么∠CAB = 度专题五：同一边上角平分线与高线结合型 1．2.如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，AE 是高，已知∠BAC =2∠B ，∠B =2∠DAE ，求∠ACB 的度数。
专题六：图形的折叠问题如图所示，将沿着DE 翻折，若，则．专题七：三角形高与面积的计算在△ABC 中，点D 为边BC 的中点，点E 为线段AD 上一点，且满足AE =2ED ，则△ABC 与△BDE 的面积之比为 。
专题八：三角形三边关系与周长1.若一个等腰三角形的三边长均为整数，且周长为10，则底边长为2.等腰三角形一边长为cm 5，另一边为cm 10，则它的周长是 cm 。
3.已知：△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是AC 边上的中线，如果D 点把三角形ABC 的周长分为12cm 和15cm 两部分，则此三角形腰长为__________．4.若a ，b ，c 分别是三角形的三边，化简│a -b -c │+│b -c -a │-│c -a +b │5.已知等腰三角形的底边长为8cm ，一腰的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm ，则这个三角形的腰长为____________。
专题九：综合题型1.一个n 边形切去一个角后所得多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数是______________.2.如图，△ABC 中，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ．（∠ABC ＞∠C ）， （1）试说明∠BOA=90°+∠C ；（2）当AD 是高，判断∠DAE 与∠C 、∠ABC 的关系，并说明理由．ABC △1280∠+∠=°B ∠= A EDCBG F12。
全等三角形专题培优(带答案)
全等三角形专题培优考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟卷I（选择题）一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则A. B.C. D.2.下列定理中逆定理不存在的是（）A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（）A.与互为余角B.C.D.4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（）A. B. C. D.5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B.C. D.6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（）A.个B.个C.个D.个7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.一处B.二处C.三处D.四处8.如图，是的角平分线，则等于（）A. B.C. D.9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（）A. B.C. D.10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（）A.都是锐角B.有一个是直角C.有一个是钝角D.不能确定卷II（非选择题）二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合），交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得第1页，共7页第2页，共7页………外………○……………………○……………………○※※请※※不※※答※※题※………内………○……………………○……………………○到线段（旋转角为），连接．特例分析：如图．若，则图中与全等的一个三角形是________，的度数为________．类比探究：请从下列，两题中任选一题作答，我选择________题． ：如图，当时，求的度数； ：如图，当时，①猜想的度数与的关系，用含的式子表示猜想的结果，并证明猜想；②在图中将“点为边上的一点”改为“点在线段的延长线上”，其余条件不变，请直接写出的度数（用含的式子表示，不必证明）12.如图，正方形纸片的边长为，点、分别在边、上，将、分别沿、折叠，点、恰好都落在点处，已知，则的长为________．13.在中，为的平分线，于，于，面积是，，，则的长为________．14.在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，则等于________．15.如图，平分，于，于，，则图中有________对全等三角形．16.如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结． 当________时，；请添加一个条件：________，使得为等边三角形； ①如图，当为等边三角形时，求证：；②如图，当点运动到线段之外时，其它条件不变，①中结论还成立吗？请说明理由．17.如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，．如果，，那么弦的长是________．18.如图，在中，，，是的平分线，平分交于，则________．19.阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图，在中，，平分，， 求的长．小聪思考：因为平分，所以可在边上取点，使，连接．这样很容易得到，经过推理能使问题得到解决（如图）． 请回答：是________三角形．的长为________．参考小聪思考问题的方法，解决问题： 如图，已知中，，，平分，，．求的长．20.如图，在和中，，，若要用“斜边直角边．．”直接证明，则还需补充条件：________．三、解答题（共 7 小题 ，每小题 10 分 ，共 70 分 ）21.如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，，求证：为等边三角形．22.尺规作图（不要求写作法，保留作图痕迹）如图，作①的平分线；②边上的中线；22.一块三角形形状的玻璃破裂成如图所示的三块，请你用尺规作图作一个三角形，使所得的三角形和原来的三角形全等．（不要求写作法，保留作图痕迹．不能在原图上作三角形）22.如图：在正方形网格中有一个，按要求进行下列画图（只能借助于网格）：①画出中边上的高（需写出结论）．②画出先将向右平移格，再向上平移格后的．23.平行四边形中，，点为边上一点，连结，点在边所在直线上，过点作交于点．如图，若为边中点，交延长线于点，，，，求；如图，若点在边上，为中点，且平分，求证：；如图，若点在延长线上，为中点，且，问中结论还成立吗？若不成立，那么线段、、满足怎样的数量关系，请直接写出结论．24.如图，直线与轴、轴分别交于、两点，直线与直线关于轴对称，已知直线的解析式为，求直线的解析式；过点在的外部作一条直线，过点作于，过点作于，请画出图形并求证：；沿轴向下平移，边交轴于点，过点的直线与边的延长线相交于点，与轴相交于点，且，在平移的过程中，①为定值；②为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．25.如图：，，过点，于，于，．求证：．第3页，共7页第4页，共7页26.如图，点，在上，，，，与交于点．求证：；试判断的形状，并说明理由．27.如图，已知点是平分线上一点，，，垂足为、吗？为什么？是的垂直平分线吗？为什么？ 答案 1.B 2.D 3.D 4.A 5.B 6.D 7.D 8.A 9.B 10.B11.[ “”, “” ][ “” ] 12.[ “” ] 13.[ “” ] 14.[ “或” ]15.[ “” ] 16.[ “；” ][ "添加一个条件，可得为等边三角形； 故答案为：；①∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴；②成立，理由如下； ∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴．" ] 17.[ “” ] 18.[ “” ]19.[ "解：是等腰三角形， 在与中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，∴是等腰三角形；" ][ "的长为， ∵中，，， ∴， ∵平分， ∴，在边上取点，使，连接， 则，∴， ∴， ∴，在边上取点，使，连接， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，∴．" ]\"go题库\"20.[ “” ]21.证明：∵为等边三角形，∴，，即，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，，又，∴，∴为等边三角形．22.解：如图所示：；如图所示：即为所求；；①如图所示：即为所求；②如图所示：即为所求；．．23.解：如图，在平行四边形中，，∴，∵在中，为的中点，，∴，又∵，∴，故可设，，则中，，解得，∴，又∵，，∴为的中点，∴；如图，延长交的延长线于点，则，∵，∴，又∵平分，∴，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，，又∵为的中点，∴，∴，∴，∵，∴；第5页，共7页第6页，共7页…○…………装订…………○…※※请※※不※※内※※答※※题※※…○…………装订…………○…若点在延长线上，为中点，且，则中的结论不成立，正确结论为：． 证明：如图，延长交的延长线于点，则，∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，又∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．24.解：∵直线与轴、轴分别交于、两点， ∴，，∵直线与直线关于轴对称， ∴∴直线的解析式为：；如图．．∵直线与直线关于轴对称， ∴，∵与为象限平分线的平行线， ∴与为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，，∴；①对，过点作轴于，直线与直线关于轴对称∵，， 又∵， ∴， 则， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴．25.证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中，∴．26.证明：∵，∴，即．又∵，，∴，∴．解：为等腰三角形理由如下：∵，∴，∴，∴为等腰三角形．27.解：．理由：∵是的平分线，且，，∴，∴；是的垂直平分线．理由：∵，在和中，，∴，∴，由，，可知点、都是线段的垂直平分线上的点，从而是线段的垂直平分线．第7页，共7页。
培优专题03 证明三角形全等的基本思路-解析版
∴ VACE ≌ VDCE
∴ AE = DE ，
∴S△ACE：S△ACD＝1：2，
同理可得，S△ABE：S△ABD＝1：2，
∵S△ABC＝12 cm2 ，
∴阴影部分的面积为
S△ACE＋S△ABE＝
1 2
S△ABC＝
1 2
×12＝6 cm2 ．
故答案为 6．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形面积的等积变换，解题关键是明确三角形的中
（
）
A．DF∥ AC
B．∠A=∠D
C．CF=BE
D．AC=DF
【答案】D
【分析】直接利用三角形全等判定条件逐一进行判断即可．
【详解】A. 由 DF∥AC 可得∠ACB＝∠DFE，由 AB∥DE，可得∠ABC＝∠DEF，又因 AB=DE，利用 AAS
可得△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B. 由 AB∥DE，可得∠ABC＝∠DEF，又因∠A＝∠D，AB＝DE，利用 ASA 可得△ABC≌△DEF，故本选项
B．0.8cm
C．4.2cm
D．1.5cm
【答案】B
【分析】根据 BE ^ CE ， AD ^ CE 得 ÐE = ÐADC ，则 ÐCAD + ÐACD = 90° ，再由 ÐACB = 90° ，得
ÐBCE + ÐACD = 90° ，则∠BCE = ∠CAD，从而证出 DBCE≌DCAD ，进而得出 BE 的长．
ìBD = CD ïíÐADB = ÐEDC ， ïî AD = DE
\DABD≌DECD(SAS) ， \CE = AB = 3 ， 在 DACE 中， CE - AC < AE < CE + AC ，
培优专题02 与三角形有关的线段和角的问题-解析版
培优专题02 与三角形有关的线段和角的问题1．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在ABC V 中，20AB =，18AC =，AD 为中线．则ABD △与ACD △的周长之差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】利用三角形中线的定义、三角形的周长公式进行计算即可得出结果．【详解】Q 在ABC V 中，AD 为中线,BD CD \=．ABD C AB BD AD =++Q △，ACD C AC CD AD =++△，20182ABD ACD C C AB AC \-=-=-=V V ．故选：B ．【点睛】本题考查三角形的中线的理解与运用能力．三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线．明确三角形的中线的定义，运用两个三角形的周长的差等于两边的差是解本题的关键．2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，ABC V 的面积是2，AD 是ABC V 的中线，13AF AD =，12CE EF =，则CDE △的面积为（ ）A ．29B ．16C ．23D ．49【答案】A【分析】根据中线的性质即可求出S △ACD ，然后根据等高时，面积之比等于底之比，即可依此求出3．（2022·四川成都·七年级期中）如图，ABC V 中，12Ð=Ð，G 为AD 中点，延长BG 交AC 于E ，F 为AB 上一点，且CF AD ^于H ，下列判断，其中正确的个数是（ ）①BG 是ABD V 中边AD 上的中线；②AD 既是ABC V 中BAC Ð的角平分线，也是ABE V 中BAE Ð的角平分线；③CH 既是ACD V 中AD 边上的高线，也是ACH V 中AH 边上的高线．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据三角形的高，中线，角平分线的定义可知．【详解】解：①G 为AD 中点，所以BG 是ABD △边AD 上的中线，故正确；②因为12Ð=Ð，所以AD 是ABC V 中BAC Ð的角平分线，AG 是ABE △中BAE Ð的角平分线，故错误；③因为CF AD ^于H ，所以CH 既是ACD △中AD 边上的高线，也是ACH V 中AH 边上的高线，故正确．故选：C ．【点睛】熟记三角形的高，中线，角平分线是解决此类问题的关键．4．（2018·江苏省江阴市第一中学七年级期中）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A 、B 两点在网格格点上，若点C 也在网格格点上，以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为1，则满足条件的点C 个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B 【分析】据三角形ABC 的面积为1，可知三角形的底边长为2，高为1，或者底边为1，高为2，可通过在正方形网格中画图得出结果．【详解】解：C 点所有的情况如图所示：由图可得共有6个，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的面积的求法，此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏，难度适中．5．（2022·江苏·七年级专题练习）如图， D 、E 分别在∆ABC 的边 BC 、AC 上，13CD BC =，13CE AC =，CD = 1 ，CE = 1 ，AC ， AD 与 BE 交于点O ，已知∆ABC 的面积为 12，则∆ABO 的面积为（）A ．4B ．5C ．6D ．76．（2019·天津市静海区第二中学八年级期中）如图，在△ABC 中，∠B=70°,∠C=40°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，则∠DAE 的度数是（）A ．15°B ．16°C ．70°D ．18°7．（2021·安徽·中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中90BAC EDF Ð=Ð=°，45E Ð=°，30C Ð=°，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD Ð的大小为（ ）A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．82.5°【答案】C 【分析】根据//BC EF ，可得45FDB F Ð=Ð=°，再根据三角形内角和即可得出答案．【详解】由图可得6045B F Ð=°Ð=°，，∵//BC EF ，∴45FDB F Ð=Ð=°，∴180180456075BMD FDB B Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键．8．（2022·广西贵港·七年级期末）如图7，AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，AE ⊥DE ，∠1+∠2＝90°，M ，N 分别是BA ，CD 延长线上的点，∠EAM 和∠EDN 的平分线交于点F ．下列结论：①AB ∥CD ；②∠AEB +∠ADC ＝180°；③DE 平分∠ADC ；④∠F ＝135°，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】先根据AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，AE ⊥DE ，∠1+∠2=90°，∠EAM 和∠EDN 的平分线交于点F ，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．【详解】解：标注角度如图所示：∵AB ⊥BC ，AE ⊥DE ，∴∠1+∠AEB =90°，∠DEC +∠AEB =90°，∴∠1=∠DEC ，又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC +∠2=90°，∴∠C =90°，∴∠B +∠C =180°，9．（2022·全国·八年级课时练习）如图，将ABC V 沿DH HG EF 、、翻折，三个顶点恰好落在点O 处．若140Ð=°，则2Ð的度数为（ ）A ．12B ．60°C ．90°D ．140°【答案】D【分析】根据翻折变换前后对应角不变，故∠B =∠EOF ，∠A =∠DOH ，∠C =∠HOG ，∠1+∠2+∠HOD +∠EOF +∠HOG =360°，进而求出∠1+∠2的度数．【详解】解：∵将△ABC 三个角分别沿DE 、HG 、EF 翻折，三个顶点均落在点O 处，∴∠B =∠EOF ，∠A =∠DOH ，∠C =∠HOG ，∠1+∠2+∠HOD +∠EOF +∠HOG =360°，∵∠HOD +∠EOF +∠HOG =∠A +∠B +∠C =180°，∴∠1+∠2=360°-180°=180°，∵∠1=40°，∴∠2=140°，故选：D ．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质和三角形的内角和定理，根据已知得出∠HOD +∠EOF +∠HOG =∠A +∠B +∠C =180°是解题关键．10．（2022·全国·八年级专题练习）如图，a b ∥，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b 上，若15854¢Ð=°，则∠2的度数为（ ）A ．1036¢°B ．1046¢°C ．10354¢°D ．10454¢°【答案】C 【分析】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，根据等腰三角板的特点可求出∠4，根据三角形内角和即可求出∠5，再根据平角的性质即可求出∠3，进而根据两直线平行同位角相等即可求出∠2．【详解】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，如图，∵直角三角板含一个45°的锐角，∴该三角板为等腰三角形，∴∠4=45°，∵∠1=58°54′，又∵在三角形中有∠1+∠4+∠5=180°，∴∠5=180°-(∠1+∠4)=180°-(58°54′+45°)=180°-103°54′=76°6′，∵∠3+∠5=180°，∴∠3=180°-∠5=180°-76°6′=103°54′，∵a b ∥，∴∠2=∠3，∴∠2=103°54′，故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和等知识，掌握两直线平行同位角相等是解答本题的关键．11．（2022·江苏·盐城市初级中学七年级期中）如图，AD 是ABC V 的高，45BAD Ð=°，65C =°∠，则BAC Ð=________．【答案】70°【分析】先由直角三角形的性质求得∠DAC ，然后再根据线段的和差求解即可．【详解】解：AD Q 是ABC V 的高，90ADC °\Ð=，∵65C =°∠=9025DAC C °\Ð-Ð=o ，254570BAC DAC BAD °°°\Ð=Ð+Ð=+=．故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了角的和差、直角三角形的性质、三角形高的性质等知识点，掌握直角三角形两锐角互余是解答本题的关键．12．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级期中）如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，点E 、F 在AB 上，点G 在DF 的延长线上，且∠B ＝∠DFB ，∠G ＝∠DEG ，若29BEG Ð=°，则∠BDE 的度数为_____．【答案】58°【分析】设BED x Ð=，则29G DEG x Ð=Ð=+°，再根据三角形的内角和定理可得1222EDG x Ð=°-，根据三角形的外角性质可得122B DFB x Ð=Ð=°-，然后在BDE V 中，根据三角形的内角和定理即可得．【详解】解：设BED x Ð=，29BEG Ð=°Q ，29BED G DEG BEG x Ð=Ð=Ð=++\а，1801222EDG G DEG x \Ð=°-Ð-Ð=°-，122BED B DFB EDG x \Ð=Ð=Ð=а-+，()()180********BED BDE B x x Ð+=\Ð=°-а-°-=+°，故答案为：58°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．13．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级阶段练习）如图，∠A ＝45°，∠BCD ＝135°，∠AEB 与∠AFD 的平分线交于点P ．下列结论：①EP ⊥FP ；②∠AEB ＋∠AFD ＝∠P ；③∠A ＝∠PEB ＋∠PFD ．其中正确的结论是______．∵∠AEB与∠AFD的平分线交于点∴12BEPAEP AEB=Ð=ÐÐ∵∠BCD=135°，∴∠BCF=180°-∠BCD=45°14．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AM是△ABC的角平分线，AD是△ABC的高线．猜想∠MAD、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由．15．（2022·全国·八年级单元测试）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；(1)若AC是整数，求AC的长；(2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长．【答案】(1)8(2)17【分析】（1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得7＜AC＜9，根据AC是整数得AC＝8；（2）根据BD是△ABC的中线得AD＝CD，根据△ABD的周长为17和AB＝1得AD+BD＝9，即可求解．（1）由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，∵AC是整数，∴AC＝8；（2）如图所示：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∵△ABD的周长为10，∴AB+AD+BD＝10，∵AB＝1，∴AD+BD＝9，∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+9＝17．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．16．（2022·河南周口·七年级期末）如图．AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，EF⊥BC于点F．(1)在△BEF中，请指出边EF上的高；(2)若BD＝5，EF＝2，求△ACD的面积；(3)若AB＝m，AC＝n，若△ACD的周长为a，请用含m，n，a的式子表示△ABD的周长．【答案】(1)边EF上的高是BF；(2)S△ACD=10；(3)△ABD的周长为m+a-n．【分析】（1）根据三角形高的定义即可得出边EF上的高是BF；（2）先求得△BDE的面积，然后根据三角形的中线将三角形分成两个三角形得到S△ABE=S△BDE=5，进一步得到S△ACD=S△ABD=10；（3）利用三角形周长公式即可求得．（1）解：∵EF⊥BC于点F，17．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，点A 在CB 的延长线上，点F 在DE 的延长线上，连接AF ，分别与BD 、CE 交于点G 、H ．已知∠1＝52°，∠2＝128°．(1)探索BD 与CE 的位置关系，并说明理由；(2)若∠C ＝78°，求∠A 的度数．【答案】(1)BD CE ∥，理由见解析(2)50°【分析】（1）由152DGF Ð=Ð=°，∠2＝128°，得到∠DGF ＋∠2＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可证出BD CE ∥；（2）由BD CE ∥得到78ABD C Ð=Ð=°，由三角形内角和定理求解即可．（1）BD CE ∥，理由：∵152DGF Ð=Ð=°，∠2＝128°，∴252128180DGF Ð+Ð=°+°=°，∴BD CE ∥．（2）∵BD CE ∥，∵78ABD C Ð=Ð=°，∴1801180785250A ABD Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关性质和定理．18．（2022·江苏·兴化市乐吾实验学校七年级阶段练习）(1)【问题背景】如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明A B C D Ð+Ð=Ð+Ð；(2)【简单应用】如图2，AP 、CP 分别平分BAD Ð、BCD Ð，若35ABC Ð=°，15ADC Ð=°，求P Ð的度数；(3)【问题探究】如图3，直线AP 平分BAD Ð的外角FAD Ð，CP 平分BCD Ð的外角BCE Ð，若35ABC Ð=°，29ADC Ð=°，请猜想P Ð的度数，并说明理由；(4)【拓展延伸】在图4中，若设C a Ð=，B b Ð=，13CAP CAB Ð=Ð，13CDP CDB Ð=Ð，试问P Ð与C Ð、B Ð之间的数量关系为：___．（用a 、b 表示P Ð，不必说明理由）【答案】(1)见解析(2)25P Ð=°(3)32P Ð=°；理由见解析。
培优专题2：巧用三角形的外角解决问题
大小为 75° . 来自9. [推理能力]如图， D ， E ， F 分别是△ ABC 三边延长线上的点，∠ D ＋∠ E ＋∠ F ＝107°，求∠1＋∠2＋∠3的度数.
◉答案 解：易知∠ D ＋∠3＝∠ CAB ，∠ E ＋∠1＝∠ ABC ，∠ F ＋∠2＝∠ ACB ，∴∠ D ＋∠ E ＋∠ F ＋∠1＋∠2＋∠3＝∠ CAB ＋∠ ABC ＋∠ ACB ＝180°.∵∠ D ＋∠ E ＋∠ F
第6题图
7. [一题多解]如图，直线 AB ∥ EF ，点 C 是直线 AB 上一点，点 D 是直线 AB 外一
点，若∠ BCD ＝95°，∠ CDE ＝25°，则∠ DEF 的度数是
120° .
第7题图
8. [一题多解]如图，△ EFG 的三个顶点 E ， F 和 G 分别在平行线 AB ， CD 上， FH 平分∠ EFG ，交线段 EG 于点 H ，若∠ AEF ＝36°，∠ BEG ＝57°，则∠ EHF 的
第一章 三角形
培优专题2：巧用三角形的外角解决问题
1. （贺州校级一模）如图，∠ A ，∠1，∠2的大小关系是（ BB ）
A. ∠ A ＞∠1＞∠2
B. ∠2＞∠1＞∠ A
C. ∠ A ＞∠2＞∠1
D. ∠2＞∠ A ＞∠1
第1题图
2. 如图，在△ ABC 中，点 D 在边 AB 上， BE ∥ AC ，连接 ED . 若∠ A ＝56°， ∠ E ＝48°，则∠ ADE ＝（ D ）D
A. 94°
B. 98°
第2题图 C. 102°
D. 104°
3. 图①是一路灯的实物图，图②是该路灯的平面示意图，则图②中∠ CBN 的度数
全等三角形经典题型汇集(培优专练)
；
（2）如图 2，当点 E，F 分别在 CB，DC 的延长线上，CF＝2 时，求△CEF 的周长；
拓展提升：
如图 3，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点 B 作 BD⊥BC，连接 AD，在 BC 的延长线上取一 点 E，使∠EDA＝30°，连接 AE，当 BD＝2，∠EAD＝45°时，请直接写出线段 CE 的长度．
7．阅读下面材料：
小炎遇到这样一个问题：如图 1，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上，∠EAF=45°，连结 EF，则 EF=BE+DF， 试说明理由．
小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将 这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平 移的方法，最后发现线段 AB，AD 是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE 绕着 点 A 逆时针旋转 90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图 2）．
2.阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD 为△ABC 中线，点 E 在 AC 上，BE 交 AD 于点 F，AE＝EF．求 证：AC＝BF． 经过讨论，同学们得到以下两种思路：
思路一如图①，添加辅助线后依据 SAS 可证得△ADC≌△GDB，再利用 AE ＝EF 可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．
3.如图，分别以 ABC 的边向外作正方形 ABFG 和 ACDE，连接 EG，若 O 为 EG 的中点，
求证：（1） AO 1 BC ；（2） AO BC ． 2
4．如图所示，已知 ⶠࢼ 中， 平分 ⶠ ࢼ， 、 分别在 ⶠ 、 上．
ࢼ，
ࢼ．求证： ∥ ⶠ．
5．如图所示， ⶠ ࢼ
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《三角形》练习题
班级_________ 姓名__________ 分数__________一、选择题（每题4分）
1．等腰三角形的两边长分别是3和7，那么它的周长是（）
A、13
B、16
C、17
D、13或17
2、如图1，图中三角形的个数为（）
A．17 B．18 C．19 D．20
3、在△ABC中，∠A-∠C=25°，∠B-∠A=10°，则∠B=（）
A、28°
B、35°
C、15°
D、21°
4、如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，
∠A=50°，则∠D=（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
5、已知一个多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是（）
A. 五边形
B. 六边形
C. 七边形
D. 八边形
6、如图3，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，
则∠P的度数为（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
7、一个多边形截去一个内角后，形成另一个多边形，它的内角和为2520°，
则原来多边形的边数不可能是（）
A、15条
B、16条
C、17条
D、18条
8、已知三条线段分别是a、b、c且a＜b＜c（a、b、c均为整数），
若c=6，则线段a、b、c能组成三角形的个数为（）
A、3个
B、4个
C、5个
D、6个
图1 图2 图3
二、填空题（每题4分）
9、若△ABC的三边长分别是4，X，9，则X的取值范围是_____，
周长L的取值范围是_____；当周长为奇数时，X=_____
10、一条线段的长为a，若要使3a—l，4a+1，12－a这三条线段组成一个三角形，则a
的取值范围__________．
11、等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，
则此等腰三角形的腰长是_____
12、如图4，小亮从A点出发，沿直线前进100m后向左转30°，再沿直线前进100m，
又向左转30°，…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了________m 13、如图5，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，S△ABC=12，
则S△ADF -S△BEF=_____.
14、如图6，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是______°
15、如图7，DC平分∠AD B，E C平分∠AEB，若∠DAE＝α，
∠D BE＝β，则∠D CE＝______ (用α、β表示)．
16、如图8，DO平分∠CDA，BO平分∠CBA，∠A=20°，∠C=30°，∠O=______°.
图4 图5 图6 图7 图8
三、解答题
17、（每题6分）已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，化简：b a c c b a ----+
18、（每题10分）如图，已知三角形ABC 的三个内角平分线交于点I ，IH ⊥BC 于H ，
试比较∠CIH和∠BID的大小．
19、（每题10分）（1）如图①，已知△ABC中，∠B >∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，
则∠DFE与∠B、∠C有何关系？试说明理由。
（2）在图②中，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“F是AE上一点，FD⊥BC于D”，则∠DFE与∠B、∠C有何关系？试说
明理由。
（3）在图③中，若把(2)中的“点F在AE上”改为“点F
是AE延长线上一点”，
其余条件不变，则∠DFE与∠B、∠C的关系如何？(直接写出结论，不必说明理由)
20、（每题10分）如图①，在平面直角坐标系中，△DEQ 的一个顶点在x 轴的负半轴上，边DQ 交x 轴于点C ，且CE 平分∠DEQ ，过D 作直线交x 轴于点B ，交y 轴于A ，使∠ADE=∠BDC ，已知C （m ，0），E （n, 0），其中m,n 满足，
（1）求点C 、E 的坐标；
（2）若∠ABC=30°，求∠Q 的度数.
（3）在图②直角坐标系中，若直线AB 绕D 旋转，过D 作DH ⊥AB ，交x 轴于G ，交y 轴于H.直线AB 绕D 转动时，下列结论①∠Q 的大小不变.② 的值不变，选择一个正确的结论，并求其值，并证明.
OHD
Q
∠∠。
THANKS !!!
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