启东中学高考模拟试题

启东中学数学高考模拟试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．非空集合A 、B 满足≠⊂B A ，U 是全集，则下列式子：①B B A = ，②A B A = ，③（A U） B＝U ，④（A U） （B U）＝U 中成立的是（ ）． A ．①，② B ．③，④ C ．①，②，③ D ．①，②，③，④2．已知OM ＝（3，-2），ON ＝（-5，-1），则21MN 等于（ ）． A ．（8，1） B ．（-8，1） C ．（-8，-1） D ．4(-，21）3．函数)3(log 1sinl x y -=的定义域是（ ）．A ．（2，3）B ．[2，)3C ．（2，]3D ．（2，＋∞） 4．如果数列}{n a 的前n 项和))(49(41*N ∈-=n S n n n n ，那么这个数列（ ）． A ．是等差数列而不是等比数列 B ．是等比数列而不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列5．锐二面角βα--l 的棱l 上一点A ，射线α⊂AB ，且与棱成45°角，又AB 与β成30°角，则二面角βα--l 的大小是（ ）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6．有6个人分别来自3个不同的国家，每一个国家2人。

他们排成一行，要求同一国家的人不能相邻，那么他们不同的排法有（ ）．A ．720B ．432C ．360D ．2407．直线经过点A （2，1），B （1，2m ）两点)(R ∈m ，那么直线l 的倾斜角取值范围是（ ）．A ．[0，)πB ．[0，2π(]4π，)π C ．0[，]4π D ．4π[，2π()2π ，)π 8．下列函数中同时具有性质：（1）最小正周期是π，（2）图象关于3π=x 对称，（3）在6π[-，]3π上是增函数的是（ ）． A ．)6π2sin(+=x y B ．)3π2cos(+=x y C ．)6π2sin(-=x y D ．)6π2cos(-=x y 9．设双曲线12222=-by a x 的右准线与两条渐近线交于A 、B 两点，右焦点为F ，且F A ⊥FB ，则双曲线的离心率为（ ）．A ．2B ．3C ．2D ．332 10那么分数在[100，110]中和分数不满110分的频率和累积频率分别是（ ）．A ．0.18，0.47B ．0.47，0.18C ．0.18，1D ．0.38，1 11．已知)3π2sin(3)(+=x x f ，则以下选项正确的是（ ）． A ．f （3）＞f （1）＞f （2） B ．f （3）＞f （1）＞f （2） C ．f （3）＞f （2）＞f （1） D ．f （1）＞f （3）＞f （2） 12．下列各组复合命题中，满足“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真的是（ ）． A ．p ：0＝∅，q ：0∅∈B ．p ：过空间一点有且仅有一条直线与两异面直线a ，b 都相交，q ：在△ABC 中若B A 2cos 2cos =，则A ＝BC ．p ：不等式x x >||的解集为（-∞，0），q ：y ＝x sin 在第一象限是增函数D ．p ：01cos 1sin >-，q ：椭圆13422=+y x 的一条准线方程是x ＝4二、填空题（每小题4分，共16分） 13．已知一个球的半径为1，若使其表面积增加到原来的2倍，则表面积增加后球的体积是______________． 14．函数59323+--=x x x y 的单调递减区间是______________．15．已知α、β是实数，给出下列四个论断：（1）||||||βαβα+=+，（2）||||βαβα+≤-，（3）22||>α，22||>β，（4）5||>+βα．以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．16．一天内的不同的时刻，经理把文件交由秘书打字。

每次都将文件堆放在秘书的文件堆的上面，秘书有时间就将文件最上面的那份文件取来打字。

若有5份文件，且经理是按1，2，3，4，5的顺序交来的，在下列的顺序①12345，②32415，③24351，④54321，⑤45231中，秘书打字的可能顺序是________（只要填上序号）．三、解答题（第17～21题每题12分，第22题14分，共74分） 17．在△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的三边a ，b ，c 成等比数列．（1）求证：3π0≤<B ；（2）求函数BB y cos sin +=的值域．18．已知等差数列}{n a 的首项11=a ，且公差d ＞0，第二项、第五项、第十四项分别是等比数列}{n b 的第二项、第三项、第四项．（1）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；（2）设数列}{n c 对任意自然数n 均有12211+=+++n nn a b c b c b c 成立，求n n c a c a c a +++ 2211的值．19．如图，△ABC 中，AC ＝BC ，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE ＝AB ＝2，F 为BE 的中点，DF ∥平面ABC ，（1）求CD 的长；（2）求证：AF ⊥BD ；（3）求平面ADF 与平面ABC 所成的二面角的大小．20．袋里装有35个球，每个球上都标有从1到35的一个号码，设号码n 的球重15532+-n n （克）．这些球以等可能性（不受重量的影响）从袋里取出．（1）如果任意取出一球，试求其重量大于号码数的概率；（2）如果同时任意取出二球，试求它们重量相同的概率．21．如图：已知△OFQ 的面积为62，且m =⋅，（1）若646<<m 时，求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围；（2）设c =||，2)146(c m -=时，若以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q ，当||取得最小值时，求此双曲线的方程．22．已知函数bc bx x a x f -++-=1)1()(2（a 、b 、N ∈c ）的图象按e ＝（-1，0）平移后得到的图象关于原点对称，f （2）＝2，f （3）＜3．（1）求a 、b 、c 的值；（2）设1||0<<x ，1||0≤<t 求证：|)1(|||||+<-++tx f x t x t ；（3）设x 是正实数，求证：22)1()1(-≥+-+n n n x f x f ．参考答案1．C 2．D 3．A 4．B 5．B 6．D 7．B 8．C 9．A 10．A 11．A 12．B 13．π23814．[-1，3]（填（-1，3）也算对） 15．①③⇒②④由①知α与β同号，故②成立；再由③得524||||||>>+=+βαβα故④成立 16．①②③④17．（1）因为a 、b 、c 成等比数列，所以ac b =2，由余弦定理得：21222cos 222=-≥-+=ac ac ac ac b c a B ，又因为∠B∈（0，π），所以0＜∠B ≤3π． （2）由B B B B B B B B B y s i n c o s c o s s i n )c o s(s i n c o s s i n 2s i n 12+=++=++=)4πs i n (2+=B ，因为0＜∠B ≤3π，所以127π4π4π≤+<B ，所以2)4πsin(21≤+<B ，即原函数的值域是（1，]2 18．（1）由题意得：2111)4()13)((d a d a d a +=++，解得：d ＝2，所以12-=n a n ，易得13-=n n b ． （2）由题意得：21=-=+n n nna abc ，所以132-⋅=n n c ，所以由错项相消法得23)1(22211+-=+++⋅n n n n c a c a c a 19．（1）取AB 中点G ，连FG 、CG ，则FG ∥AE ，又AE 和CD 都垂直于平面ABC ，所以AE ∥CD ，所以FG ∥CD ，所以F 、G 、C 、D 四点共面．又平面 FGCD 平面ABC ＝CG ，DF ∥平面ABC ，所以DF ∥CG ，所以四边形FGCD 是平行四边形，所以121===AE FG CD ． （2）直角三角形ABE 中，AE ＝AB ，F 是BE 的中点，所以AF ⊥BE ，又△ABC 中，AC ＝BC ，G 是AB 中点，所以CG ⊥AB ，又AE 垂直于平面ABC ，所以AE ⊥CG ，又A AB AE = ，所以CG ⊥面ABE ．因为DF ∥CG ，所以DF ⊥面ABE ，所以AF ⊥DF ，又因为F DF BE = ，所以AF ⊥面BED ，所以AF ⊥BD ． （3）设面 ADF 面ABC ＝L ，因为DF ∥平面ABC ，所以DF ∥L ，又DF ⊥面ABE ，所以L ⊥面ABE ，所以L ⊥AF ，L ⊥AB ，所以∠F AB 即为二面角的平面角．直角三角形ABE 中，易得∠F AB ＝45°，所以平面ADF 与平面ABC 所形成的较小的二面角为45°20．（1）由不等式n n n >+-15532得n ＞15，n ＜3，由题意知n ＝1，2，或n ＝16，17，…，35．于是所求概率为3522 （2）设第n 号与第m 号的两个球的重量相等，其中n ＜m ，则有1553155322+-=+-m m n n ，所以0)(15)(22=---m n m n ，因为n ≠m ，所以n ＋m ＝15，（n ，m ）＝（1，14），（2，13），…（7，8），但从35个球中任取两个的方法数为595213435C 235=⨯⨯=，故，所求概率为8515957=21．（1）由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧==-⋅⋅，，m FQ OF θθcos ||||62)πsin(||||21所以m 64t an =θ，因为646<<m ，所以4tan 1<<θ，则4arctan 4π<<θ． （2）以O 为原点，所在直线为x 轴建立直角坐标系，设所求的双曲线方程为12222=-by a x ，（a ＞0，b ＞0），Q 点的坐标为（1x ，1y ），则＝（c x -1，1y ），因为△OFQ 的面积62||211=⋅y ，所以cy 641=，又由=⋅（c ，0）（c x -1，1y ）21)146()(c c c x -=-=，所以c x 461=，128396||222121≥+=+=c c y x OQ ，当且仅当c ＝4时，||OQ 最小，此时Q 的坐标为（6，6），由此可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-，，161662222b a ba 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==，，12422b a 故所求的方程为112422=-y x 22．（1）函数f （x ）的图象按=e （-1，0）平移后得到的图象的函数式为cbx ax x f ++=+1)1(2，因为其图象关于原点对称，所以)1()1(+-=+-x f x f ，即cbx ax c x b x a ++-=+-+-1)(1)(22，因为∈a N ，所以12+ax ＞0，所以-bx ＋c ＝-bx -c ，所以c ＝0，又因为f （2）＝2，所以21=++b c a ，a ＋1＝2b ，a ＝2b -1……①，又3214)3(<+=ba f ，4a ＋1＜6b ……②，由①②及a 、b ∈N 得a ＝1，b ＝1． （2）11)1()(2-+-=x x x f ，所以tx tx tx f 1)1(+=+，|1||)1(|txtx tx f +=+ 2|1|||2|1|||=≥+=⋅txtx tx tx ，当且仅当||tx ＝1时，上式取等号，但0＜||x ＜1，0＜||t ≤1，所以||tx ≠1，|)1(|+tx f ＞2，)(2|)||(|222x t x t x t +=-++||222x t -+，当||||x t >时，上式＝24t ≤4；当||||x t <时，上式＝24x ＜4，所以||x t +|)1(|2||+<≤-+tx f x t ，即|)1(|||||+<-++tx f x t x t ； （3）)1(+x f n 2211C 1C )1()1()1(--+=+-+=+-⋅n n n n n n n n x x x x x x x x f 1121C 1--⋅⋅++n n nx x x 21C -=n n x21421C C ---+++n n n n n x x ，令2142211C C C ----+++=n n n n n n n x x x S ，又211C --=n n n xS 2142C 1C ---+++n n n n n x x ，所以)1(C )1(C 2442221----+++=n n n n n n xx x x S 1C -++n n +++≥+------⋅⋅ 4422212212C 12C )1(n n n n n n n n x xx xx x 1221C (212C nn n n n x x=---⋅)22(2)C C 12-=+++-nn nn。