刚体转动惯量ppt课件
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最全的转动惯量的计算ppt课件
有
l
J0
r 2dm l 2 x2dx l3
l 2
12
将 l m 代入上式，得：
J0
1 12
ml 2
2
（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时
A
xO
dx l
J0
r2dm l x2dx 1 ml 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
3
3
例题2）半径为R的质量均匀分布的细圆环，质 量均为m，试分别求出对通过质心并与环面垂 直的转轴的转动惯量。
x
9
常见刚体的转动惯量
J mr 2 J mr2 / 2 J mr2 / 2 J m(r12 r22) / 2
J ml 2 /12
J mr2 / 2
J 2mr 2 / 5 J 2mr 2 / 3
10
例题1 一长为l,质量为m的匀质细杆竖直放置, 其下端与一固定铰链o相连,并可绕其转动.当其 受到微小扰动时,细杆将在重力的作用下由静止
开始绕铰链o转动.试计算细杆转到与铅直线呈
角时的角加速度和角速度.
解:受力分析
取任一状态,由转动定律
M外
1 2
mgl sin
J
P o
J 1 ml2 3
3g sin
2l
11
d d d 3g sin d t d d t 2l
d 3g sind
16
例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的 作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的 角速度成正比,即| M1 |= a(Nm),(a为常数)。又
已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度
刚体转动惯量的测定(共10张PPT)
3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数据。 3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数据。
00g,h= cm 保持h、r、x不变改变m（分别取m=10g,15g,20g,25g,30g)重复上述操作，分别测出相同半径下，不同质量的重物下落相同高度所需的时间t，每一 条件下，重复测量三次，将测量数据记入表一。 3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数据。 保持h、r、x不变改变m（分别取m=10g,15g,20g,25g,30g)重复上述操作，分别测出相同半径下，不同质量的重物下落相同高度所需的时间t，每一 条件下，重复测量三次，将测量数据记入表一。 2、掌握转动惯量的测定方法； 3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数据。 1、了解转动惯量的物理意义；
00g,h= cm 2、掌握转动惯量的测定方法； 1、了解转动惯量的物理意义； 3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数据。
实验内容及操作
• 保持h、r、x不变改变m（分别取 m=10g,15g,20g,25g,30g)重复上述操作，分 别测出相同半径下，不同质量的重物下 落相同高度所需的时间t，每一条件下， 重复测量三次，将测量数据记入表一。
刚体转动惯量的测定
• 实验目的 • 实验仪器 • 实验原理 • 实验内容及操作 • 数据记录与处理
实验目的
1、了解转动惯量的物理意义； 2、掌握转动惯量的测定方法； 3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数
据。
实验原理
设由塔轮、游码、横杆等组成的转动系统的转动惯量为J，系统受拉
3、学习用曲线改力直的作数据用处理力方矩法处为理数M据T。,阻力矩为Mμ，则有
2、掌握转动惯量的测定方法； 3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数据。
1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 t(s) r(cm) 3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数据。
高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体、转动动能、转动惯量(共23张PPT)
I r2dm －质量连续分布
d l －线分布λ ＝m/L
dm
d
s
－面分布σ ＝m/S
d V －体分布ρ ＝m/V
15二–、8决定多转普动勒惯效量应的三因素
1、刚体的总质量； 2、刚体的质量分布； （如圆环与圆盘的不同）；
3、刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
故刚体的动能：
E ki n11 2 m iri2 21 2(i n1 m iri2) 2
1质5量–不8连续多分普布勒（离效散应）
Ek
1( n 2 i1
miri2)2
质量连续分布 mi 0
第十五章 机械波
v
ri
i
m
i
M
Ek
lim mi 0 n
或：
IB
Ic
m( L)2 2
IA Ic mh2
15平–行8轴定多理普：勒刚体效对应任一轴A的转动惯第量十IA五和章通机过械质波
心并与A轴平行的转
动惯量Ic有如下关系：
IA ICmd2
m 为刚体的质量、
d
A
C
M
d 为轴A与轴C之间的垂直距离
正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）
Iz Ix Iy
vc为质心的速度
O
X
1一5、–转8动多动普能 勒效应
第十五章 机械波
刚体绕定轴以角速度旋转
刚体的动能应为各质元动能之和，
为此将刚体分割成很多很小的质
v
ri
i
m
i
M
元
m 1, m 2 m i m n
任取一质元 m i 距转轴 r i ，则该质元动能：
d l －线分布λ ＝m/L
dm
d
s
－面分布σ ＝m/S
d V －体分布ρ ＝m/V
15二–、8决定多转普动勒惯效量应的三因素
1、刚体的总质量； 2、刚体的质量分布； （如圆环与圆盘的不同）；
3、刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
故刚体的动能：
E ki n11 2 m iri2 21 2(i n1 m iri2) 2
1质5量–不8连续多分普布勒（离效散应）
Ek
1( n 2 i1
miri2)2
质量连续分布 mi 0
第十五章 机械波
v
ri
i
m
i
M
Ek
lim mi 0 n
或：
IB
Ic
m( L)2 2
IA Ic mh2
15平–行8轴定多理普：勒刚体效对应任一轴A的转动惯第量十IA五和章通机过械质波
心并与A轴平行的转
动惯量Ic有如下关系：
IA ICmd2
m 为刚体的质量、
d
A
C
M
d 为轴A与轴C之间的垂直距离
正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）
Iz Ix Iy
vc为质心的速度
O
X
1一5、–转8动多动普能 勒效应
第十五章 机械波
刚体绕定轴以角速度旋转
刚体的动能应为各质元动能之和，
为此将刚体分割成很多很小的质
v
ri
i
m
i
M
元
m 1, m 2 m i m n
任取一质元 m i 距转轴 r i ，则该质元动能：
《刚体动力学 》课件
牛顿第二定律
物体的加速度与作用在物 体上的力成正比，与物体 的质量成反比。
牛顿第三定律
对于任何两个相互作用的 物体，作用力和反作用力 总是大小相等，方向相反 ，作用在同一条直线上。
刚体的平动
刚体的平动是指刚体在空间中 的位置随时间的变化而变化， 而刚体的形状和大小保持不变
的运动。
刚体的平动具有三个自由度 ，即三个方向的平动。
05
刚体的动力学方程
刚体的动力学方程
牛顿第二定律
刚体的加速度与作用力成正比，与刚体质量 成反比。
刚体的转动定律
刚体的角加速度与作用力矩成正比，与刚体 对转动轴的转动惯量成反比。
刚体的动量方程
刚体的动量变化率等于作用力对时间的积分 。
刚体的自由度与约束
自由度
描述刚体运动的独立变量，如平动自由度和转动 自由度。
约束
限制刚体运动的条件，如固定约束、滑动约束等 。
约束方程
描述刚体运动受约束的数学表达式。
刚体的动力学方程的求解方法
解析法
通过代数运算求解动力学方程，适用于简单问 题。
数值法
通过迭代逼近求解动力学方程，适用于复杂问 题。
近似法
通过近似模型求解动力学方程，适用于实际问题。
06
刚体动力学中的问题与实例 分析
人工智能和机器学习的发展将为刚体 动力学的研究提供新的思路和方法， 有助于解决复杂动力学问题。
感谢您的观看
THANKS
船舶工程
在船舶工程中，刚体动力学 用于研究船舶的航行稳定性 、推进效率以及船舶结构的 安全性等。
兵器科学与技术
在兵器科学与技术领域，刚 体动力学用于研究弹药的发 射动力学、火炮的射击精度 和稳定性等。
刚体的转动惯量(大学物理--刚体部分)解析ppt课件
第二节 转动惯量
1
一、转动惯量 刚体的动能等于各 质点动能之和。
2
刚体的动能 与平动动能比较
相当于描写转动惯性的物理量 转动惯量的定义： 单位： 千克 ·米2
3
§4.刚体的转动惯量/ 一、转动惯量
转动惯量
4
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
刚体的转动惯量与哪些物理量有关？ ①.与刚体质量有关。 ②.与质量对轴的分布有关。 ③.与轴的位置有关。
细棒转轴通过中 心与棒垂直
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
14
§4.刚体的转动惯量\ 三、典型刚体的转动惯量
2r
2r
球体转轴沿直径
球壳转轴沿直径
15
§4.刚体的转动惯量/ 三、典型刚体的转动惯量
四、平行轴定理 定理表述： 刚体绕平行于质心轴的转动惯 量 J，等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚 体质量与两轴间的距离平方的乘积。
二.质量连续分布刚体的转动惯量计算
1.计算公式
5
§轻杆的 b 处 3b 处各系质量 为 2m和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求： 质点系的转动惯量J。 解： 由转动惯量的定义
6
§4.刚体的转动惯量\ 二、转动惯量的计算
例2：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与 杆垂直的质心轴转动，求转动惯量 J。
建立坐标系，坐标原点选在边缘处。分 割质量元 dm ,长度为 dx ,
9
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
10
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
例4：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直 于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。 解： 分割质量元 dm 圆环上各质量元到 轴的距离相等，
1
一、转动惯量 刚体的动能等于各 质点动能之和。
2
刚体的动能 与平动动能比较
相当于描写转动惯性的物理量 转动惯量的定义： 单位： 千克 ·米2
3
§4.刚体的转动惯量/ 一、转动惯量
转动惯量
4
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
刚体的转动惯量与哪些物理量有关？ ①.与刚体质量有关。 ②.与质量对轴的分布有关。 ③.与轴的位置有关。
细棒转轴通过中 心与棒垂直
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
14
§4.刚体的转动惯量\ 三、典型刚体的转动惯量
2r
2r
球体转轴沿直径
球壳转轴沿直径
15
§4.刚体的转动惯量/ 三、典型刚体的转动惯量
四、平行轴定理 定理表述： 刚体绕平行于质心轴的转动惯 量 J，等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚 体质量与两轴间的距离平方的乘积。
二.质量连续分布刚体的转动惯量计算
1.计算公式
5
§轻杆的 b 处 3b 处各系质量 为 2m和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求： 质点系的转动惯量J。 解： 由转动惯量的定义
6
§4.刚体的转动惯量\ 二、转动惯量的计算
例2：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与 杆垂直的质心轴转动，求转动惯量 J。
建立坐标系，坐标原点选在边缘处。分 割质量元 dm ,长度为 dx ,
9
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
10
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
例4：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直 于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。 解： 分割质量元 dm 圆环上各质量元到 轴的距离相等，
13-4 刚体的转动惯量
2
d
2
M
=
∴ J z* = J z + d M
转 动 惯 量 的 平 行 轴 定 理
刚体对于任何轴的转动惯量， 等于刚体对通过其质心并与该轴平 行的轴的转动惯量加上刚体质量与 这两轴间距离平方的乘积。
J
z *
=
J
z
+
d
2
M
J
Y*
C
r*i
Y*i X
在Z坐标系中距
r Z*轴为 ri*,
Mi
X*
ri x* Mi
Y
Z轴为 i, 在Z*坐标系中距
xi* = xi , yi* = yi + d
2 2 2
Yi
∴ J z* = ∫ r * dm = ∫ ( xi * + yi * )dm
M M
取Y轴与Y*重合
把
xi* = xi , yi* = yi + d
M M
代入
∴ J z* = ∫ r * 2 dm = ∫ ( x * 2 + y * 2 )dm
=
M
∫[
M
x
2
+
2
(y
+ d
2
)
2
]
dm =
M
∫ [( x
2
+ y 2 ) + 2 yd + d
2
2
]d m
=
∫ (x
=
+ y
2
)d m
z
+
∫
M
d
dm
+ d
∫
M
ydm
∫
M
r dm = J
d
2
M
=
∴ J z* = J z + d M
转 动 惯 量 的 平 行 轴 定 理
刚体对于任何轴的转动惯量， 等于刚体对通过其质心并与该轴平 行的轴的转动惯量加上刚体质量与 这两轴间距离平方的乘积。
J
z *
=
J
z
+
d
2
M
J
Y*
C
r*i
Y*i X
在Z坐标系中距
r Z*轴为 ri*,
Mi
X*
ri x* Mi
Y
Z轴为 i, 在Z*坐标系中距
xi* = xi , yi* = yi + d
2 2 2
Yi
∴ J z* = ∫ r * dm = ∫ ( xi * + yi * )dm
M M
取Y轴与Y*重合
把
xi* = xi , yi* = yi + d
M M
代入
∴ J z* = ∫ r * 2 dm = ∫ ( x * 2 + y * 2 )dm
=
M
∫[
M
x
2
+
2
(y
+ d
2
)
2
]
dm =
M
∫ [( x
2
+ y 2 ) + 2 yd + d
2
2
]d m
=
∫ (x
=
+ y
2
)d m
z
+
∫
M
d
dm
+ d
∫
M
ydm
∫
M
r dm = J
高二物理竞赛第3章第3讲定轴转动刚体的角动量转动惯量PPT(课件)
i
i
转动惯量
IZ mi Ri2 i
LZ ( mi Ri2 ) IZ i
转动惯量的计算： I mi Ri2 m R2dm i
平行轴定理
Iz Izc md 2
正交轴定理
Iz Ix Iy
l
1 12
ml
2
细圆棒 轴通过中心
l
1 3
ml
2
细圆棒 轴通过一端
I 1 mR2 2
圆盘 轴垂直盘面通过中心
2 23
故细棒摆下角时的角速度为： 3g sin
重力的功 : A E mg l sin
l
p
பைடு நூலகம்
2
法二: 细棒摆动（即转
动）时，重力对0轴的
o
力矩为: 求:物体的加速度和定滑轮的角加速度，以及两边绳子中的张力。
一质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。 刚体对定轴的角动量定理
l 若它与桌面间的滑动摩擦系数为μ，在t=0时，使圆柱体获得一个绕轴旋转的角速度ω。
一、刚体定轴转动的角动量定理
能包括所有的动能和势能.
对质点系而言角动量定理为： 由系统角动量守恒(设向外为正方向)
注意：该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。 处理刚体定轴转动问题与圆周运动角量描述类似 例 计算钟摆的转动惯量。 （1）分别隔离 和
dL dt
M外
2 质点系角动量守恒定律
角加速度：
lim
t 0
t
d
dt
处理刚体定轴转动问题与圆周运动角量描述类似
角量相同（角位移、角速度、角加速度）
线量不同
vi Ri ri
vi Ri
ai ai ainn
3-1 定轴转动刚体的转动惯量
ω
z
质量离散分布刚体的转 动惯量
I = ∑mj R = m R + m2 R + L
2 j 2 1 1 2 2 j
O
R
dm
质量连续分布刚体的转 动惯量
I = ∑mj R = ∫ R dm
2 j 2 j
dm
：质量元
3 . 1 定轴转动刚体的转动惯量
第3章 刚体动力学
质量连续分布刚体的转动惯量
I = ∫ R dm
3 . 1 定轴转动刚体的转动惯量
第3章 刚体动力学
刚体在平动时， 刚体在平动时，在任意一段 时间内， 时间内，刚体中所有质点的 位移都是相同的。 位移都是相同的。而且在任 何时刻， 何时刻，各个质点的速度和 加速度也都是相同的。 加速度也都是相同的。所以 刚体内任何一个质点的运动， 刚体内任何一个质点的运动， 都可代表整个刚体的运动。 都可代表整个刚体的运动。
v v v v 均相同， 不同； 2） 任一质点运动 ∆ θ , ω , α 均相同，但 v, a 不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 。
3 . 1 定轴转动刚体的转动惯量
第3章 刚体动力学
角量与线量的关系
α=
dθ ω= dt 2 dω d θ
dt = dt
2
ω
v
v a
v v an r
v v v = rω et
在 300 s 内转子转过的转数
π 3 4 N= = (300) = 3 ×10 2π 2π × 450
θ
3 . 1 定轴转动刚体的转动惯量
第3章 刚体动力学
3
刚体定轴转动的角动量
v L
v v v v v L = r × p = r × mv 大小 L = rm v sin θ
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如果感觉身体向右倾，就加大左手对细杆的力，就会对细杆产 生一个力矩，细杆对人也有一个力矩的作用，人所受合外力矩 为零，从而使人能保持平衡。并且杆的转动惯量越大，平衡的 调节效果越好。 由于人需要一个反应时间，在这个反应时间内不能使人的转动 速度太大，否则人就已经坠落，就要使转动角加速度较小，由 刚体的定轴转动定律，在重力的力矩一定时，就要使系统的转 动惯量较大，这样的话在反应时间内人不会转动太大角度，继 而有时间去调节平衡。杆的转动惯量越大，留给我们调节平衡 的时间也就越长。 大家可以通过实验的方式体验一下，用手指支撑一支圆珠笔使 其不坠落要比支撑一根长竹竿使其不坠落难得多。道理和走钢 丝是一样的。
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走钢丝就是在悬挂于空中的钢丝上行走，并完成一些表演 动作，表演者会始终将手臂伸直或横握一根细长的直杆来使系 统（人和杆）的重心始终在钢丝上以保持身体的平衡。在表演 时必然会因为风力或表演者肢体所做的动作而使身体发生晃动， 就会造成重心的位置发生偏移，重力就会产生相对钢丝轴的力 矩M，力矩作用在人上会使人绕钢丝轴转动，这会使表演者坠 落。为了避免这种情况，表演者必须及时调整重心的位置。
自己的见解：将三维刚体转化为二维刚体时，投影方向应与
转动轴方向平行；将二维刚体转化为一维刚体时，应首先保
证转动轴在二维刚体平面上或与之平行，而且投影方向应与
转动轴平行，当然如果转动轴与二维刚体平面垂直，可以利
用正交轴定理化为对两个相互垂直的平行于刚体平面的转动
轴的转动惯量的和。
证明
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3
应用质量投影法的步骤
那么后面旋翼的转动会产生一个水平面上的推力，使系统受到一个 推力矩，这样就不会引起机身的反向转动，而使直升机做直线运动。
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谢谢观看
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转动惯量的质量投影法证明
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4均质圆台体绕中心轴的转动惯量计算
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