刚体、转动动能、转动惯量
大学物理.第三章.刚体的转动
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
刚体的角动量_转动动能_转动惯量
1. 刚体的角动量
L
图为以角速度绕定轴oz转动 的一根均匀细棒。
把细棒分成许多质点，其中第i个
质点的质量为 mi
z
Li
ri
Liz
O
Ri mi
当细棒以转动时，该质点绕轴的半径为
ri
它相对于o点的位矢为Ri
刚体的角动量
则 m对i o点的角动量为：
Li
Ri
mivi
就转动规律而言，刚体的质量等价于集中在 离轴距离为rG的圆环上。
解 设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、
宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的
质量dm= 2rdr 。可得
J
r2dm
R
0
2r
3dr
R4
2
1 mR2 2
转动惯量的计算
回转半径 考虑到刚体的转动惯量与总质量有关，可写为
J miri2 mrG2
i
rG 称为刚体对该定轴的回转半径。
刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点
的动能之设和刚。体中第i个质点的质量
速 度m为i
vi 则该质点的动能为：
刚体做定轴转动时12，各mi质vi2点的角速度相同。
设质点 mi 离轴的垂直距离为 ri ，则它的线速度 vi ri
因此整个刚体的动能
EK
1 2mi
vi2
1 2
miri2 2
刚体的转动动能
式中 是m刚iri体2 对转轴的转动惯量
式写为
EK
1 2
J 2
，所J 以上
上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因
此叫刚体的转动动能。
转动惯量的计算
刚体旋转知识点归纳总结
刚体旋转知识点归纳总结1. 刚体旋转的基本概念刚体是指在一定时间内，其内部各点的相对位置不改变的物体。
刚体旋转是指刚体围绕固定点或固定轴发生的旋转运动。
在刚体旋转中，需要引入一些基本概念：1.1 刚体的转动刚体的旋转可以是定点转动，也可以是定轴转动。
在定点转动中，刚体绕固定点旋转，而在定轴转动中，刚体绕固定轴旋转。
定点转动和定轴转动都是刚体旋转运动的两种基本形式。
1.2 刚体的转动角度和角速度刚体的转动角度是刚体在单位时间内所转过的角度，通常用θ表示。
刚体的角速度是指刚体单位时间内转过的角度，通常用ω表示。
在刚体定点转动中，角速度是刚体绕定点旋转的角度速度；在刚体定轴转动中，角速度是刚体绕定轴旋转的角度速度。
1.3 刚体的转动惯量刚体的转动惯量是衡量刚体抵抗旋转的惯性大小，通常用I表示。
刚体转动惯量的大小取决于刚体形状、质量分布以及旋转轴的位置。
对于质点组成的刚体，其转动惯量可以通过对质点的质量进行积分得到。
1.4 刚体的角动量刚体的角动量是刚体旋转运动的物理量，通常用L表示。
角动量的大小和方向分别由角速度和转动惯量决定。
在定点转动中，如果刚体的角速度和转动惯量都不变，那么刚体的角动量也保持不变；在定轴转动中，如果刚体绕固定轴旋转，那么刚体的角动量也保持不变。
2. 刚体的转动力学刚体的转动力学研究刚体在旋转运动中所受的力和力矩，包括转动定律、角动量定理、动能定理等内容。
2.1 刚体的平衡刚体旋转平衡需要满足一定的条件，包括力矩平衡条件和动量平衡条件。
刚体力矩平衡条件是指刚体所受的合外力矩为零；刚体动量平衡条件是指刚体所受的合外力矩关于某一点的力矩为零。
2.2 刚体的角动量定理刚体的角动量定理描述了刚体在受到外力矩作用下，其角动量的变化规律。
根据角动量定理，刚体所受外力矩产生的角动量变化率等于刚体所受外力矩的矢量和。
2.3 刚体的动能定理刚体的动能定理描述了刚体在旋转运动中，其动能的变化规律。
根据动能定理，刚体所受外力矩产生的功率等于刚体动能的变化率。
刚体转动的动能定理
一、力矩的功 1 力矩的定义若作用的质点上的力为F ,则将r ×F 定义为力F 对O 点的力矩，记为M 。
M r F =⨯M 、F 、r 三者的方向构成右手螺旋关系。
M大小：方向：右手法则2 力矩的功设：；转盘上的微小质量元Δm 在力F 作用下以R 为半径绕O 轴转动，在dt 时间内转过角度d ，对应位移d r,路程ds,此时F 所做的元功为则总功为二、转动惯量设初速为零，质量元Δm 的动能为转盘的总动能1 定义：为物体的转动惯量。
意义：由质量和质量对于转轴的分布情况决定。
描述转动的惯性。
o z FtF nF tF ord rd θt t d d d d A F r F s F r θ=⋅==d d A M θ=21d A M θθθ=⎰αrsin t M Fr F rα==d θFtF ord r12ki i iE m v =212k ki i i i i E E m ==∆∑∑v 221()2i i i m r ω=∆∑2i i iI m r =∆∑单位：SI 制 kg m 22 定轴转动物体转动惯量的计算质量不连续分布的质点系：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量之和2i i iI m r =∑质量连续分布的刚体：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量的积分。
2mI r dm =⎰转动惯量的大小不仅取决于物体的质量，还与质量的分布和轴线的位置有关。
例1 求小球m 的转动惯量。
解：m 看作质点 I = m R 2例2 质量为m 的细圆环，求I 。
解：把环分成无限多个质量为dm 的小段，对每个d m 有d J = R 2对整个环有I = R 2d m = mR 2例3质量m ，半径 R 的薄圆盘，求I 。
解：把盘分成无限多个环。
取其中的一个环(半径r ，宽d r ，质量 d m )， 其转动惯量 d I = r 2d m22mdm rdr Rππ=整个盘的转动惯量d rd md SrRd mRRm22322200002122R R R Rm m I dI r dm r rdr r dr mR R R ππ=====⎰⎰⎰⎰例4 长为L 、质量为m 的细长直杆，转轴垂直于细杆且通过杆中心 解：杆长为L,质量为m, 则密度为＝m / L 。
3-1刚体的转动动能_转动惯量
r dr
轴
J
L
2 L
2
r
2
m L
dr
1 12
mL2
结论：同一刚体对不同的转轴有不同的转动惯量。
例2 分别求质量为m，半径为R的均匀圆环和 圆盘的转动惯量（轴与圆环或圆盘平面垂直，并 通过其圆心）。
mR
dm 轴
R r dr m
轴
解（1）圆环 J R2dm R2 dm mR2
（2）圆盘
dJ
r2 dm
r2 m R 2
2rdr
2m r 3dr R2
2m
J R2
R r3dr 1 mR 2
0
2
越远，转动惯量越大。
四 平行轴定理
质量为m 的刚体，
如果对其质心轴的转动 惯量为 JC ，则对任一与
该轴平行，相距为 d 的
转轴的转动惯量
JO JC md 2
d
C mO
J Jc md 2
圆盘对P 轴的转动惯量 P R O m
JP
1 2
mR2
mR2
质量为m，长为L的细棒绕其一端的J
Jc
1 12
mL2
O1
O1’
J
Jc
m( L)2 2
1 3
mL2
d=L/2
O2
O2’
3-1 刚体定轴转动的转动动能
Ek
i
(
1 2
mi
vi2
)
1 (
2
i
miri2 ) 2
1 J 2
2
Ek
1 2
J 2
z
vi
O
ri
mi
二 转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
第三章 刚体的定轴转动
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
-,-,-,-刚体的定轴转动转动定律转动惯量角动量角动量守恒定律动能定理(forC)
其中 Fz对转 轴的
力矩为零，故 F 对转
轴的力矩 M zk
r
F
z
F
k
O rFz
F
M z rF sin
2019/10/24
shenyuhm44@
16
（2）合力矩等于各分力 矩的矢量和 M M1 M2 M3
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消．
杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时
的角加速度和角速度．
2019/10/24
shenyuhm44@
32
解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力FN
作用，由转动定律得
1 mgl sin J
2
m,l FN
θ mg
O
式中 J 1 ml2 3
盘, 可绕通过盘心 O 垂直盘面的水平轴转动. 转轴与
圆盘之间的摩擦略去不计. 圆盘上绕有轻而细的绳索,
绳的一端固定在圆盘上, 另一端系质量为 m 的物体.
试求物体下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速
度.
m
Ro
m
T
m
oR m
T'
Py
解：1）分析受力 2）选取坐标
注意：转动和平 动的坐标取向要一致.
转轴旋转．开始起动时，角速度为零．起动
后其转速随时间变化关系为： m (1 et / )
式中 m 540 r s1， 2.0 s ．求： (1)t=6 s时电动机的转速．(2)起动后，电动 机在 t=6 s时间内转过的圈数．(3)角加速度 随时间变化的规律．
大学物理4-2刚体的角动量 转动动能 转动惯量
刚体绕定轴的角动量表达式：
Lz J
刚体的转动动能
2. 刚体的转动动能
刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点
的动能之设和刚。体中第i个质点的质量为 ， mi
速度为 v,i 则该质点的动能为：
1 2
mivi2
刚体做定轴转动时，各质点的角速度相同。
设质点
mi
离轴的垂直距离为
vi ri
ri ，则它的线速度
因此整个刚体的动能
EK
12mivi2
1 2
ri2mi 2
刚体的转动动能
式中 式写为
是m刚iri体2 对转轴的转动惯量
EK
1 2
J 2
，所J以上
上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因 此叫刚体的转动动能。
转动惯量的计算
3. 转动惯量的计算
按转动惯量的定义： J ri2mi
刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可 写成积分形式
J r2dm 要求: 细棒、薄圆盘、圆环
dl 其中质元dm可表示为 dm ds
dv
r —为质元到转轴的距离
转动惯量的计算
刚体运动：
平动： 平动动能 1 mv2 线动量 mv
2
定轴转动：转动动能 1 J 2 角动量 J
2
质量是刚体平动时惯性大小的量度。 转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度。 补：平行轴定理、垂直轴定理（适用于薄平面刚体）。
Li Ri pi Ri mivi
因 vi Ri ，所以 L的i 大小为
Li mi Rivi
方向如图所示。
z
L
Li Liz
ri
O Ri mi
刚体的角动量
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O
15 – 8 多普勒效应
3、刚体的一 般运动
第十五章 机械波
一般运动：刚体的任一个位移总可以看成是一个随质 心的平动加上绕质心的转动组合。平动＋转动
1三5、– 刚8 体多定普轴勒转效动的应角速度和角加速第十度五章 机械波
角坐标 (t)
r约沿定逆时针方向转动 > 0 r 沿顺时针方向转动 < 0
注意：
IB
IO
1 3
mL2
1 12
mL2
m( L)2 2
IA
IO
(1 12
mL2
mh2 )
1 12
mL2
mh2
或：
IB
Ic
m( L)2 2
I A Ic mh2
15平–行8轴定多理普：勒刚体效对应任一轴A的转动惯第量十IA五和章通机过械质波
心并与A轴平行的转
刚体绕定轴以角速度旋转
刚体的动能应为各质元动能之和，
为此将刚体分割成很多很小的质
r i vi mi
M
元
m1, m2 mi mn
任取一质元 mi 距转轴 ri ，则该质元动能：
1 2
mivi2
1 2
mi
(ri
)2
1 2
mi
ri2
2
故刚体的动能：
Ek
n i 1
1 2mi
ri2
2
1n (
2 i1
miri2 ) 2
角位移
(t t) (t)
角速度矢量
lim d
t t0
dt
方向: 右手螺旋方向
z (t)
x
参考平面
参考轴
15 – 8 多普勒效应
角速度矢量
lim d
t t0 dt
角加速度 d
dt
定轴转动的特点
第十五章 机械波
z
z
1） 2）
每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
任一质点运动 ,,
第十五章 机械波
刚体的平动动能 其平动动能应为各质元动能和。
CmYmCMji mCmMjmCi mCMMjmCCimmmMjmCiMjmiMj mimmMvjiiC
Ek平
n i 1
1 2
mi
vi2
1 2
(
n i 1
mi
)vC2
1 2
MvC2
vc为质心的速度
O
X
1一5、–转8动多动普能勒效应
第十五章 机械波
3、刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
第十五章 机械波
B A h O质
X
15 例– 18 求多质普量为勒m效,长应为L的均匀细棒对下第面十三五种章转机轴械波
的转动惯量：
转轴通过棒的中心o并与棒垂直
转轴通过棒的一端B并与棒垂直
转轴通过棒上距质心为h的一点A 并与棒垂直
B A h O质 dm
X
12 12
求：IB
IB
r2dm ( L x)2 dm
L/2
(L/ 2
2
x)2 dx
L3
1 mL2
求：IA IA
L/2
r 2 dm
L/2
(h
33
x)2 dx
L/2
L3 h2L 1 mL2 mh2
12
12
15 – 8
B
多A普勒效h 应O质
x
dm
第d十m五章 机械dx波
X
dx m / L
Chap 3 刚体转动 （Motion of Rigid Body）
概要：实际的物体运动不总是可以看成质点的运动。
一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的物体。 即每个质元之间的距离无论运动或受外力时都 保持不变。
mj
ri j c
mi
1二5、– 刚8 体多运普动勒的效两种应基本形式
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
第三章 教学基本要求
1 掌握刚体的平动、转动和定轴转动的概 念。掌握力矩、力矩的功和转动动能的概念。
2 正确理解转动惯量、角动量（动量矩）和 冲量矩的概念。
3 掌握刚体绕定轴转动的转动定律。
4 掌握角动量定理和角动量守恒定律及其适 用条件，并能应用该定律分析、计算有关问题。
均相同，但
v,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
15 – 8 多普勒效应
☻☻ 角量与线量的关系
第十五章 机械波
d
dt
d d2
v
dt
rd2ett
a
an
r
a
t
e t v
v r
at r an r 2
a
ret
r
2en
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
☻☻ 匀变速转动公式
1质5量–不8连续多分普布勒（效离散应）
Ek
1n (
2 i1
miri2 )2
质量连续分布 mi 0
第十五章 机械波
r vi imi
M
Ek
lim
mi 0 n
n i 1
1 2mi
ri2
2
令I
r 2dm
1 ( r2dm) 2
2
n
或I= miri2 i 1
1 I2
2
Ek
1 2
I2
15 – 8 多普勒效应
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 .
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
0
0t
1 2
t
2
v2
v
2 0
2a(x
x0 )
2
2 0
2 (
0)
15§–3-8-2转多动普动勒能效应转动惯量
第十五章 机械波
Ek
1 2
I2
Ek
1 2
mv2
I－转动惯量
I mi ri2－质量不连续分布
i
I r 2dm －质量连续分布
dl －线分布λ＝m/L dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
15二–、8决定多转普动勒惯效量应的三因素
1、刚体的总质量； 2、刚体的质量分布； （如圆环与圆盘的不同）；
第十五章 机械波
1、 平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保
持平行的运动
mmmmjijmimmmjijimmmmjjiimmmmmjmimjmmjimmjmjmijmjiij i
mj
rij
rj mi
r O
选取参考
点O，则：
i
rij
c
mmi i
rj ri rij (1)
对（1）式求导：
x dx
已知：L、m
求：IO、IB、IA 解：以棒中心为原点建立坐标OX、将棒分
割 成许多质元dm.
dm dx m / L
15 – 8
B
多A普勒效h 应O质
dm
第d十m五章 机械dx波
X
x dx m/ L
L
求：IO
Io r2dm x2dm
L3 1 mL2
2 L
x2dx
2
v j vi a j ai
15结–论8：刚多体普平动勒时效，应其上各点具有相同第的十速五度章、机加械速波
度、及相同的轨迹。只要找到一点的运动规律，刚体 的运动规律便全知道了。事实上这一点已经知道-----质 心运动已告诉了我们。也就是说质心运动定理是反映 物体平动规律。
2、转动: 定轴转动和定点转动 刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆周运动，称 为刚体作定轴转动。 定点转动：绕一固定点转动。如陀螺。