太原理工大学2012级《数值分析》试卷(A)

太原理工大学2012级《数值分析》试卷（A ）
一、共40分
(一) 填空题（每空2分，共30分）
1. 设解方程组Ax b =的迭代格式为(1)()k k x Bx f +=+，则迭代收敛的一个充分必
2.
SOR 方法收敛的必要条件是松弛因子ω
3. 设22
1212()x x f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，则()f x '=
4. 若用二分法求方程()0f x =在区间[1, 2]内的根，要求精确到第3位小数，
5. 设()ij A a =为n n ⨯
矩阵，则1A
A ∞
6. 1
n +
7. 8. 已知543()21f x x x x =-+-+，则012
345[,,,,,]f e e e e e e 9.
若2n n y =，则4n y ∆
2n y ∇
10
.
11. 反幂法主要用于计算n 阶非奇异实矩阵A
(二) 单项选择题（每空2分，共10分）
1. 用3.1415作为π的近似值时具有（ B ）位有效数字。

A . 3
B . 4 C. 5 D. 6
2. 下列条件中，不是分段线性插值函数()P x 必须满足的条件为（ A ）。

A . ()P x 在各节点处可导
B . ()P x 在[,]a b 上连续 C. ()P x 在各子区间上是线性函数 D. (),(0,1,,)k k P x y k n == 3. n 阶差商递推定义为12011010
[,.,][,.,]
[,.,]n n n n f x x x f x x x f x x x x x --=-，设差商表如
下
那么差商[1,3,4]f =A . (150)/(41)5--= B . (131)/(43)12--= C. 4 D. 5/4- 4. 分别改写方程240x x +-=为24x x =-+和ln(4)/ln 2x x =-的形式，对两者相应迭代公式求所给方程在[1,2]内的实根，下列描述正确的是（ B ）。

A . 前者收敛，后者发散
B . 前者发散，后者收敛 C. 两者均收敛 D. 两者均发散 5. 区间[,]a b 上的三次样条插值函数是（ A ）。

A . 在[,]a b 上2阶可导，节点的函数值已知，子区间上为3次多项式
B . 在区间[,]a b 上连续的函数 C. 在区间[,]a b 上每点可微的函数 D. 在每个子区间上可微的多项式
二、每小题15分，共30分
1. 已知方程组Ax b =，其中25
41744303101A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪
-⎝⎭
，12313x -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
⑴ 写出Jacobi 迭代法和SOR 迭代法的分量迭代形式； ⑵ 用平方根法（T LL 分解）求解。

解 ⑴ Jacobi 迭代形式
SOR 迭代形式
由Ly b =，解得1236,6,8y y y =-==， 由T L x y =，解得1236,4,4x x x =-==.
2. 设{}0()n n x ϕ∞
=是区间[,]a b 上关于权函数()x ρ的正交多项式序列，
(0,1,
,)i x i n =为1()n x ϕ+的零点，()(0,1,
,)i l x i n =的以{}0i i x ∞
=为插值节点的拉格朗
日(Lagrange)插值基函数，0
()()()n
b
k i a i x f x dx A f x ρ=≈∑⎰为高斯型求积公式，证明：
⑴ 当0,,k j n k j ≤≤≠时，0
()()0n
k k i j i i A x x ϕϕ==∑；
⑵ ()()()0,()b
k j a
x l x l x dx k j ρ=≠⎰
⑶
2
()()()n
b b
k
a
a
k x l x dx x dx ρρ==∑⎰
⎰.
证 因为0
()()()n
b
k i a i x f x dx A f x ρ=≈∑⎰为高斯型求积公式，故有21n +阶代数精度，
又因为{}0()n n x ϕ∞
=是区间[,]a b 上关于权函数()x ρ的正交多项式序列，故有内积为
()0,(),()()()()1,b
k j k j a k j
x x x x x dx k j ϕϕρϕϕ≠⎧==⎨=⎩
⎰
⑴ 因为()k x ϕ是k 次多项式，而0,k j n ≤≤，所以()()k j x x ϕϕ是n ≤次的多项式，由于k j ≠，得到
()()n
k k
i j i i A x x ϕ
ϕ==
∑()()()()(),()0b
k j k j a
x x x dx x x ρϕϕϕϕ==⎰。

⑵ 因为0,()()1,k i j i i k j
l x l x i k j
≠≠⎧=⎨
==⎩，而()()k j l x l x 是2n 次多项式，由于k j ≠，得到
()()()b
k j a
x l x l x dx ρ=
⎰
()()00n n
k k
i
j
i
k
i i A l x l x A
====∑∑。

⑶ 由⑵知2()()b
k
a x l x dx ρ=⎰20(),(0,1,,)n
k k i k i A l x A k n ===∑，从而得到
20
()()n
b
k
a
k x l x dx ρ==
∑⎰
n
k
i A
==
∑()b
a
x dx ρ⎰。

（这里是取()1f x =的情形）
三、每小题10分，共30分
1. 求一次不高于3的多项式()H x ，使它满足(0)1,(1)0,(2)1,(1)1H H H H '====。

解 先做差商表
22()1(0)1(0)(1)21N x x x x x x =--+⋅--=-+
设2()()(1)(2)H x N x ax x x =+--，由1(1)H a '==-，得1a =-， 故得322()()(1)(2)441H x N x x x x x x x =---=-+-+。

解法2（基函数法）令
00112211021()()()()()()()()H x x y x y x y x m x x x αααβααβ=+++=++
记02()()()x x x ααα=+，满足020
2(1)(1)(1)(1)(1)(1)0αααααα'''==+=+=， 故可设2()()(1)x ax b x α=+-，由1(0),1(2)2b a b αα====+，得0,1a b ==， 即有22()(1)21x x x x α=-=-+，
又知(0)(1)(2)1βββ===，故可设()(1)(2)x cx x x β=--，由1()x c β'=
=-， 即有32()(1)(2)32x x x x x x x β=---=-+-，从而得到
232()(1)(1)(2)441H x x x x x x x x =----=-+-+。

2. 求()x f x e =在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。

解 由()x f x e =，有100(1,)1x d f e dx e ===-⎰，1
10(,)1x d x f xe dx ===⎰，
从而的在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式为
1(1010)(186)17.1828 1.69032S e e x x *=-++-≈+。

3. 确定求解常微分方程初值问题⎩⎨
⎧=≤≤=,
)(),,(000y x y X
x x y x f y 的形如
10111[(,)(,)]n n n n n n y y h f x y f x y ββ+--=++
的公式中的参数01,ββ，使其精度（方法的阶）尽量高。

解 因为n n n n y x y y x y ==--)(,)(11及局部截断误差表示式
11110111()()()[(,())(,())]n n n n n n n n n T y x y y x y x h f x y x f x y x ββ++++--=-=--+
1011()[()()]n n n n y x y h y x y x ββ+-''=--+，
利用泰勒展开式有
故使该方法的阶数最高是2.。