5.3正方形(1) 2014浙教版
2024年浙教版八年级数学下册53正方形课件
2024年浙教版八年级数学下册53正方形课件一、教学内容本节课我们将学习浙教版八年级数学下册第53章“正方形”部分。
详细内容包括：正方形的定义、性质、判定方法以及正方形在实际问题中的应用。
本章分为两个小节，第一节介绍正方形的定义和性质，第二节探讨正方形的判定和应用。
二、教学目标1. 理解并掌握正方形的定义、性质和应用；2. 学会运用正方形的判定方法判断图形是否为正方形；3. 能够运用正方形的性质解决实际问题。
三、教学难点与重点教学难点：正方形的判定方法及性质的应用。
教学重点：正方形的定义、性质和判定方法。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔、直尺、量角器。
学具：练习本、铅笔、直尺、量角器。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示生活中常见的正方形物品，引导学生思考正方形的特点和作用。
2. 知识讲解（15分钟）（1）正方形的定义：四条边相等且四个角都为直角的四边形。
（2）正方形的性质：四条边相等、四个角都为直角、对角线互相垂直平分、对角线相等。
（3）正方形的判定方法：①四条边相等；②两组对边分别平行；③一组邻边相等且垂直。
3. 例题讲解（10分钟）讲解典型例题，引导学生运用正方形的性质和判定方法解决问题。
4. 随堂练习（10分钟）设计针对性练习题，让学生及时巩固所学知识。
5. 小结（5分钟）六、板书设计1. 正方形的定义、性质、判定方法；2. 典型例题及解题步骤；3. 课堂练习题。
七、作业设计1. 作业题目：（1）判断下列图形是否为正方形，并说明理由。
（2）已知正方形的一条边长为a，求正方形的面积和周长。
2. 答案：（1）图形1是正方形，因为四条边相等，四个角都为直角；图形2不是正方形，因为有一组邻边不等。
（2）正方形的面积为a²，周长为4a。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：引导学生思考正方形与矩形、菱形的区别与联系，为后续学习打下基础。
重点和难点解析1. 正方形的性质及判定方法的掌握；2. 例题讲解的深度和广度；3. 课堂练习的设计与实施；4. 作业题目的针对性和答案的完整性；5. 课后反思与拓展延伸的深度。
正方形课件33浙教版
正方形课件 33 浙教版一、教学内容本节课我们将学习正方形的性质与判定，这部分内容位于浙教版教材第九章第二节。
详细内容包括：正方形的定义、性质（四条边相等，四个角都是直角），以及正方形与其他四边形（如矩形、菱形）的关系。
还会探讨正方形的对角线特性、面积计算方法及其在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解并掌握正方形的定义及基本性质。
2. 能够运用正方形的性质解决实际问题，如计算正方形的面积。
3. 能够辨识正方形与其他四边形的区别与联系。
三、教学难点与重点教学难点：正方形对角线的性质及其应用、正方形面积的计算方法。
教学重点：正方形的定义、性质、与其他四边形的区别与联系。
四、教具与学具准备1. 教具：正方形模型、量角器、直尺、多媒体课件。
2. 学具：练习本、铅笔、量角器、直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示正方形物品（如正方形瓷砖、桌面等），引导学生观察其特点。
2. 新课导入：通过课件介绍正方形的定义、性质，让学生了解正方形的基本概念。
3. 例题讲解：（1）如何判断一个四边形是正方形？（2）正方形的对角线有什么性质？（3）如何计算正方形的面积？4. 随堂练习：让学生运用正方形的性质解决实际问题，如计算给定正方形的面积。
六、板书设计1. 正方形的定义2. 正方形的性质（1）四条边相等（2）四个角都是直角（3）对角线相等、互相垂直平分3. 正方形的判定方法4. 正方形的面积计算5. 正方形与其他四边形的区别与联系七、作业设计1. 作业题目：（2）已知正方形的边长为a，求正方形的面积。
（3）正方形ABCD的对角线AC与BD相等，求正方形的面积。
2. 答案：（1）正方形：①③⑤；理由：四条边相等，四个角都是直角。
（2）面积：a²。
（3）面积：(AC/2)²。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对正方形的性质、判定方法掌握情况较好，但在解决实际问题时仍需加强。
2. 拓展延伸：探讨正方形在生活中的应用，如建筑、艺术等领域。
浙教版八年级下测试题5.3 第2课时 正方形的性质
第2课时正方形的性质1．如图5－3－12所示，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一图5－3－12个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为(C) A．60°B．30°C．45°D．90°【解析】正方形的对角线与边的夹角为45°.2．正方形具有而一般菱形不具有的性质是(C) A．四条边都相等B．对角线互相垂直平分C．对角线相等D．每一条对角线平分一组对角【解析】正方形既具有矩形的性质，又具有菱形的性质，故选C.3．如图5－3－13所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，则图中等腰直角三角形有(C)图5－3－13A．4个B．6个C．8个D．10个【解析】图中等腰直角三角形有△AOB，△BOC，△COD，△AOD，△ABD，△BCD，△ADC，△ABC，共8个．4．如图5－3－14所示，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为(C)图5－3－14A．15°B．30°C．45°D．60°【解析】由折叠的性质，可知∠ABE＝∠DBE，∠DBF＝∠CBF，∴∠EBF＝12∠ABC＝12×90°＝45°.选C.5．如图5－3－15所示，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是__22.5°__．图5－3－15【解析】∵AC＝AE，∠CAE＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝12×(180°－45°)＝67.5°，∴∠BCE＝∠ACE－∠ACB＝67.5°－45°＝22.5°.6．如图5－3－16所示，正方形ABCD的边长为a，点E，F分别是对角线BD 上的两点，过点E，F分别作AD，AB的平行线，则图中阴影部分的面积之和为__12a2__.图5－3－167．[2013·红河]如图5－3－17，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.图5－3－17(1)判断四边形ACED的形状，并说明理由；(2)若BD＝8 cm，求线段BE的长．解：(1)四边形ACED是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，即AD∥CE，∵DE∥AC，∴四边形ACED是平行四边形．(2)由(1)知，BC＝AD＝CE＝CD，∵BD＝8 cm，∴BC＝22·BD＝22×8＝42(cm)，∴BE＝BC＋CE＝42＋42＝82(cm)．8．如图5－3－18所示，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连结EB，ED.图5－3－18(1)求证：△BEC ≌△DEC ；(2)延长BE 交AD 于点F ，若∠DEB ＝140°，求∠AFE 的度数． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴CD ＝CB .∵AC 是正方形ABCD 的对角线， ∴∠DCE ＝∠BCE .又CE ＝CE ， ∴△BEC ≌△DEC .(2)由(1)知△BEC ≌△DEC ，∴∠DEC ＝∠BEC ＝12∠DEB ＝70°，∴∠AEF ＝∠BEC ＝70°.又∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∠DAB ＝90°，∴∠DAC ＝∠BAC ＝12∠DAB ＝45°.在△AEF 中，∠AFE ＝180°－70°－45°＝65°. 9．[2012·黄冈]如图5－3－19所示，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别在OD ，OC 上，且DE ＝CF ，连结DF ，AE ，AE 的延长线交DF 于点M .求证：AM ⊥DF .图5－3－19证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴OD ＝OC .又∵DE ＝CF ，∴OD －DE ＝OC －CF ，即OE ＝OF .在△AOE 和△DOF 中，⎩⎨⎧AO ＝DO ，∠AOD ＝∠DOF ＝90°，OE ＝OF ，∴△AOE≌△DOF，∴∠OAE＝∠ODF.∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，∴∠EMD＝90°，即AM⊥DF.10．[2013·连云港]如图5－3－20，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD 上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为(C)图5－3－20A．1 B. 2C．4－2 2 D．32－4【解析】在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，在△ADE中，∠AED＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝4.∵正方形的边长为4，∴BD＝42，∴BE＝BD－DE＝42－4.∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝22BE＝22×(42－4)＝4－2 2.故选C.11．[2012·宜宾]如图5－3－21，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝图5－3－21第11题答图【解析】过E作EF⊥DC于F，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴EO＝EF，∵正方形ABCD的边长为1，∴AC＝2，∴CO＝12AC＝22，∴CF＝CO＝22，∴EF＝DF＝DC－CF＝1－22，∴DE＝EF2＋DF2＝2－1，故答案为：2－1.12．[2013·济宁]如图5－3－22(1)，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC 上的点，且AF⊥BE.(1)(2)图5－3－22(1)求证：AF＝BE；(2)如图5－3－22(2)，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？并说明理由．解：(1)设AF与BE交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD ＝∠D＝90°，∴在Rt△ADF中，∠F AD＋∠AFD＝90°.∵AF⊥BE，∴∠AGE ＝90°，∴∠F AD＋∠AEG＝90°.∴∠AFD＝∠AEG.∴△DAF≌△ABE.∴AF＝BE.第12题答图(1)(2)相等；理由：过点A作AF∥MP交CD于点F，过点B作BE∥NQ交AD 于E.得到▱BEQN和▱AFPM，∴AF＝MP，BE＝NQ，由(1)，得AF＝BE，∴MP＝NQ.第12题答图(2)。
《53正方形》优质课件浙江省市级优课
《53 正方形》优质课件浙江省市级优课一、教学内容1. 正方形的定义及性质，如四条边相等、四个角相等且均为直角等；2. 正方形的判定方法，如对角线相等、一组邻边相等且垂直等；3. 正方形面积和周长的计算；4. 正方形在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握正方形的定义、性质、判定方法，并能够运用这些知识解决实际问题；2. 过程与方法：培养学生观察、分析、归纳的能力，提高学生的空间想象力和逻辑思维能力；3. 情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生严谨、勤奋、探究的学习态度。
三、教学难点与重点教学难点：正方形的判定方法及其应用。
教学重点：正方形的定义、性质、面积和周长的计算。
四、教具与学具准备1. 教具：正方形模型、三角板、直尺、圆规等；2. 学具：练习本、铅笔、直尺、量角器等。
五、教学过程1. 导入：通过展示正方形模型，引导学生观察并说出正方形的特征，从而引出本节课的主题；2. 基本概念：讲解正方形的定义，引导学生学习正方形的性质；4. 实例讲解：运用正方形的性质和判定方法，解决实际问题；5. 随堂练习：设计具有代表性的练习题，巩固所学知识；7. 作业布置：布置适量的作业，巩固所学知识。
六、板书设计1. 正方形的定义；2. 正方形的性质；3. 正方形的判定方法；4. 正方形面积和周长的计算；5. 例题及解答。
七、作业设计1. 作业题目：（1）已知正方形的边长为a，求其面积和周长；2. 答案：（1）面积：a²；周长：4a；（2）图形1：是正方形，理由：四条边相等，四个角相等且均为直角；图形2：不是正方形，理由：虽然一组邻边相等且垂直，但另一组邻边不相等；（3）对角线长：a√2。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生掌握了正方形的定义、性质和判定方法，但部分学生对正方形在实际问题中的应用还不是很熟练，需要在今后的教学中加强练习；2. 拓展延伸：引导学生探索正方形与矩形、菱形之间的关系，以及正方形在生活中的应用，提高学生的空间想象力和创新能力。
2020春浙教版八年级数学下册同步练习：5.3正方形
5.3__正方形__第1课时正方形的判定1．下列说法正确的是(C)A．有一个角是直角的四边形是正方形B．有一组邻边相等的四边形是正方形C．有一组邻边相等的矩形是正方形D．四条边都相等的四边形是正方形2．小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了(B)A．1次B．2次C．3次D．4次【解析】小红把原丝巾对折1次(共2层)，如果原丝巾对折后完全重合，即表明它是矩形；沿对角线对折1次，若两个三角形重合，表明一组邻边相等，即表明它是正方形，即最少对折两次．故选B.3．在▱ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下列给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是__①③④__．【解析】①有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的矩形是正方形，即①正确；②BD为平行四边形的对角线，AB为平行四边形的其中一条边，所以AB＝BD时，平行四边形不可能是正方形，即②错误；③对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，即③正确；④邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形，即④正确．4．[2018·邵阳一模]如图5－3－1所示，已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠BAO＝∠DAO.(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)请添加一个条件使菱形ABCD为正方形．图5－3－1解：(1)证明：在▱ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，又∵∠BAO＝∠DAO，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝CB，∴▱ABCD是菱形；(2)答案不唯一，如添加∠ABC＝90°或AC＝BD等．5．[2018·舟山]如图5－3－2，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．图5－3－2证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，又∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．6．已知：如图5－3－3，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD 上一点，且EA＝EC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．图5－3－3证明：(1)在△ADE 与△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，DE ＝DE ，EA ＝EC ，∴△ADE ≌△CDE ，∴∠ADE ＝∠CDE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBD ，∴∠CDE ＝∠CBD ，∴BC ＝CD ，∵AD ＝CD ，∴BC ＝AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AD ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形；(2)∵BE ＝BC ，∴∠BCE ＝∠BEC ，∵∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，∴∠CBE ＝180°×22＋3＋3＝45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝45°，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形．7．[2018·阳信模拟]如图5－3－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连结CD，BE.(1)当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明你的理由；(2)在(1)的条件下，当∠A＝__45°__时四边形BECD是正方形．图5－3－4解：(1)当点D是AB的中点时，四边形BECD是菱形．理由：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD.∵D为AB中点，∴AD＝BD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵DE⊥BC∴四边形BECD是菱形；(2)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝45°，∵四边形BECD是菱形，∴∠ABC＝12∠DBE，∴∠DBE＝90°，∴四边形BECD是正方形．8．如图5－3－5，在▱ABCD中，O是CD的中点，连结AO并延长，交BC的延长线于点E.(1)求证：△AOD≌△EOC；(2)连结AC，DE，当∠B＝∠AEB＝__45__°时，四边形ACED是正方形？请说明理由．图5－3－5解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥B C.∴∠D ＝∠OCE ，∠DAO ＝∠E .∵O 为CD 的中点，∴OD ＝OC ，在△AOD 和△EOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAO ＝∠E ，∠D ＝∠OCE ，OD ＝OC ，∴△AOD ≌△EOC (AAS )；第8题答图(2)当∠B ＝∠AEB ＝45°时，四边形ACED 是正方形．理由：如答图，∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE. 又∵OC＝OD，∴四边形ACED是平行四边形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB綊CD.∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°. ∴∠COE＝∠BAE＝90°.∴四边形ACED是菱形．∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD.∴四边形ACED是正方形．第2课时正方形的性质1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(A)A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直平分且相等2．[2019·永嘉期末]如图5－3－6所示，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB＝AE，则∠EBC的度数是(C)A．45°B．30°C．22.5°D．20°【解析】在正方形ABCD中，∠BAC＝45°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，∵∠ABE＋∠EBC＝90°，∴∠EBC＝22.5°.图5－3－63．[2018·锦江区模拟]如图5－3－7，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，若AB＝3，则AE＝．图5－3－7【解析】∵AC是正方形ABCD的对角线，AB＝3，∴AC＝32，∵∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，∴∠DCE＝∠ECA，∵DC∥EB，∴∠E＝∠DCE，∴∠E＝∠ECA，∴AE＝AC＝3 2.4．[2018·嘉兴一模]如图5－3－8，直线l过正方形ABCD的顶点D且与BC交于点G，过A，C分别作直线l的垂线，垂足分别为E，F.若AE＝4a，CF＝a，则正方形ABCD的面积为__17a2__．图5－3－8【解析】在Rt△CDF中，CF⊥DG，∴∠CDF＋∠DCF＝90°，∵∠CDF＋∠ADE ＝90°，∴∠ADE＝∠DCF，∵AE⊥DG，∴∠AED ＝∠DFC ＝90°.∵AD ＝CD ，∴△AED ≌△DFC ，∴DE ＝CF ＝a .在Rt △AED 中，AD 2＝17a 2，即正方形的面积为17a 2.5．[2018·吉林]如图5－3－9，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，且BE ＝CF ，求证：△ABE ≌△BCF .图5－3－9证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ＝90°，在△ABE 和△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△BCF .6．[2018·温州一模]七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．如图5－3－10是一个七巧板迷宫，它恰好拼成了一个正方形ABCD ，其中点E ，P 分别是AD ，CD 的中点，AB ＝22，一只蚂蚁从A 处沿图中实线爬行到出口P 处，则它爬行的最短路径长为( B )A ．3B ．2＋2C．4 D．3 2图5－3－10【解析】∵正方形ABCD中，E，P分别是AD，CD的中点，AB＝22，∴AE＝DE＝DP＝2，∠D＝90°，∴EP＝DE2＋PD2＝（2）2＋（2）2＝2，∴蚂蚁从点A处沿图中实线爬行到出口点P处，它爬行的最短路程为AE＋EP ＝2＋2.7．如图5－3－11，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1，若点P在对角线BD上移动，则P A＋PE的最小值是．图5－3－11第7题答图【解析】如答图，作出点E关于BD的对称点E′，E′在边BC上，连结AE′与BD交于点P，此时AP＋PE最小，∵PE＝PE′，∴AP＋PE＝AP＋PE′＝AE′，在Rt△ABE′中，AB＝3，BE′＝BE＝1，根据勾股定理，得AE′＝10，则P A＋PE的最小值是10.8．[2018·遵义]如图5－3－12，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB 的延长线交于点N，连结MN.(1)求证：OM＝ON；(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．图5－3－12第8题答图解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°，∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，∴△OAM≌△OBN(ASA)，∴OM＝ON；(2)如答图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为4，∴OH＝HA＝2，∵E为OM的中点，∴HM＝4，则OM＝22＋42＝25，∴MN ＝2OM ＝210.9．如图5－3－13，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上(不与点B ，D 重合)，GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG .(1)写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF ＝105°，求线段BG 的长．图5－3－13第9题答图解：(1)AG 2＝GE 2＋GF 2.理由：如答图，连结GC ，由正方形的性质知AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ， 在△ADG 和△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，GD ＝GD ，∴△ADG≌△CDG，∴AG＝CG，由题意知∠GEC＝∠GFC＝∠DCB＝90°，∴四边形GFCE是矩形，∴GF＝EC.在Rt△GEC中，根据勾股定理，得GC2＝GE2＋EC2，∴AG2＝GE2＋GF2；(2)作AH⊥BD于点H，∵∠AGF＝105°，∠BGF＝45°，∴∠AGH＝60°，∴△ABH为等腰直角三角形，△AGH为含30°角的直角三角形，∵AB＝1，∴AH＝BH＝2 2，∴HG＝66，∴BG＝22＋66.10．如图5－3－14，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过某一定点，并说明理由．图5－3－14第10题答图解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴AH ＝BE ＝CF ＝DG ，在△AEH ，△BFE ，△CGF 和△DHG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ，AH ＝BE ＝CF ＝DG ，∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG (SAS )，∴EH ＝FE ＝GF ＝GH ，∠AEH ＝∠BFE ，∴四边形EFGH 是菱形，∵∠BEF ＋∠BFE ＝90°，∴∠BEF ＋∠AEH ＝90°，∴∠HEF ＝90°，∴四边形EFGH 是正方形；(2)直线EG 经过一个定点，这个定点为正方形的中心(AC ，BD 的交点)． 理由：如答图，连结AC ，EG ，交于点O .∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，∴∠OAE ＝∠OCG ，在△AOE 和△COG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOE ＝∠COG ，∠OAE ＝∠OCG ，AE ＝CG ，∴△AOE ≌△COG (AAS )，∴OA ＝OC ，OE ＝OG ，即O 为AC 的中点，∵正方形的对角线互相平分，∴O 为对角线AC ，BD 的交点，即O 为正方形的中心，故当EG 运动时，将会经过正方形ABCD 的中心这一定点．。
浙教版八下5.3 正方形课件(2)
1.如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长 线上，且CE=AC，AE交CD于F，则求∠AFC 的度数。 A D
F
B
C
E
2．
已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝2cm，如图(2)。 求：AC的长及正方形的面积S。
3．
已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
BD相交于点O，且AC＝6
条件够吗？
还需要的条件是 AM＝BN
你能完成证明吗???
4．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证： Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＝CN。
证明：
∵四边形ABCD是正方形 ∴OA＝OB , ∠1＝∠2＝∠3＝45° 又∵MN∥AB ∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON ∴OA－OM＝OB－ON 即AM＝BN
2
cm，如图
求：正方形的面积S。
4．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
求证：BM＝CN。
分析：要证明BM＝CN，大家观察
图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? △ABM≌△BCN 你所要证明的两个三角形已经满足 了哪些条件?
由正方形可以得到的条件有： AB＝BC，∠1＝∠2＝45 °
下面大家自己完成证明
5．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线
上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
分析：
求证：∠MFD＝45°
欲证∠MFD＝45°，由于
△MDF是直角三角形,只须证 △MDF是等腰三角形,即只要证
_____=_____ 要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?
正方形 PPT课件 27 浙教版
正方形
判断对错并说明理由(对的打√，错的打×）
正方形的一条对角线把正方形 分成两个全等的等腰直角三角形.( √ )
判断对错并说明理由(对的打√，错的打×）
如果一个矩形的对角线互相 垂直，那么它一定是正方形.(√ )
判断对错并说明理由(对的打√，错的打×）
如果一个菱形的对角线相 等，那么它一定是正方形.(√ )
方巾
七巧板
铜钱
5.3 正方 形
回顾
与 思考
特殊的平行四边形：矩形和菱形
. 矩形的定义：有一个角是直角 的平行四边形叫做矩形。 .菱形的定义：有一组邻边相等 的平行四边形叫做菱形。
正方形
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
你觉得什么样的 平行四边形是正方形呢?
方 形
菱形
类 比 归 纳
回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列
性质 分类 图形
平行四 边形
对边平行 且相等 对角相等 对角线互 相平分
矩 形 (所特有)
菱形 (所特有)
四条边相等
正方形
对边平行且 四条边相等 四个角都 是直角
边 角
四个角都 是直角 对角线 相等
对角线
对角线相等且互 对角线互相 相垂直平分，每 垂直，每条 条对角线平分一 对角线平分 组对角 一组对角 既是中心对 称图形又是 轴对称图形
判断对错并说明理由(对的打√，错的打×）
四条边相等，且有一个角 是直角的四边形是 性质是（ D ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
选一选
正方形具有而矩形不一定具有的 性质是（ B ） A、四条角相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角互补. D、对角线相等.
《5.3正方形》同步优生辅导训练浙教版八年级数学下册
2020-2021学年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步优生辅导训练（附答案）1．如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．（1）求证：△ABE≌△CBE；（2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．2．已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．求证：CE＝DF．3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长．4．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE ＝DF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若AE＝5，请求出EF的长．5．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A 作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．6．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，交DG于点P．（1）求证：BH＝EC．（2）若AB＝3，EC＝4，求DP的长．7．在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段OC上，点F在线段AB 上，连接BE，连接EF交BD于点M，已知∠AEB＝∠OME．（1）如图1，求证：EB＝EF；（2）如图2，点N在线段EF上，AN＝EN，AN延长线交DB于H，连接DF，求证：DF＝AH．8．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．9．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．（1）求证：FH＝ED；（2）若AB＝3，AD＝5，当AE＝1时，求∠F AD的度数．10．（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG．求证：EF＝FG；（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的长．11．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H两点．（1）当∠BEA＝55°时，求∠HAD的度数；（2）设∠BEA＝α，试用含α的代数式表示∠DF A的大小；（3）点E运动的过程中，试探究∠BEA与∠FEA有怎样的数量关系，并说明理由．12．在正方形ABCD中，如图1，点E是AB边上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE．（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，若AB＝2，求DG的长．13．如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在AD、DC上，BE与AF相交于点G，且BE＝AF．（1）求证：△ABE≌△DAF；（2）求证：BE⊥AF；（3）如果正方形ABCD的边长为5，AE＝2，点H为BF的中点，连接GH．求GH的长．14．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且∠P AE ＝∠E，PE交CD于点F．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数．15．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的边长为8，E为OM的中点，求MN的长．16．四边形ABCD是正方形，G是直线BC上任意一点，BE⊥AG于点E，DF⊥AG于点F，当点G在BC边上时（如图1），易证DF﹣BE＝EF．（1）当点G在BC延长线上时，在图2中补全图形，写出DF、BE、EF的数量关系，并证明．（2）当点G在CB延长线上时，在图3中补全图形，写出DF、BE、EF的数量关系，不用证明．17．正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD 于E，连接EO，AE．（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．18．如图，四边形ABCD是正方形，E是BC边所在直线上的点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．（1）当点E在线段BC中点时（如图1），易证AE＝EF，不需证明；（2）当点E在线段BC上（如图2）或在线段BC延长线上（如图3）时，（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的猜想，并选择图2或图3的一种结论给予证明．19．如图①，四边形ABCD为正方形，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF＝45°，易证：AE+CF＝EF（不用证明）．（1）如图②，在四边形ABCD中，∠ADC＝120°，DA＝DC，∠DAB＝∠BCD＝90°，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF＝60°．猜想AE，CF与EF之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图③，在四边形ABCD中，∠ADC＝2α，DA＝DC，∠DAB与∠BCD互补，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF＝α，请直接写出AE，CF与EF之间的数量关系，不用证明．20．如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．（1）猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．（2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系．并说明理由．21．（1）如图①，分别以△ABC的边AB、AC为一边向形外作正方形ABDE和正方形ACGF．求证S△AEF＝S△ABC．（2）如图②，分别以△ABC的边AB、AC、BC为边向形外作正方形ABDE、ACGF、BCHI，可得六边形DEFGHI，若S正方形ABDE＝17，S正方形ACGF＝25，S正方形BCHI＝16，求S六边形DEFGHI．22．如图1，已知，正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，连接BE，DG．（1）证明BE＝DG且BE⊥DG；（2）如图2，已知AB＝4，AE＝，当点F在边AD上时，求BE的长．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS）；（2）∵△ABE≌△CBE，∴∠AEB＝∠CEB，又∵∠AEC＝140°，∴∠CEB＝70°，∵∠DEC+∠CEB＝180°，∴∠DEC＝180°﹣∠CEB＝110°，∵∠DFE+∠ADB＝∠DEC，∴∠DFE＝∠DEC﹣∠ADB＝110°﹣45°＝65°．2．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，∴∠DOF+∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，即∠COE+∠COF＝90°，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），∴CE＝DF．3．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECM＝45°，∵MN∥BC，∠BCM＝90°，∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，∴MC＝ME，∵CD＝MN，∴DM＝EN，∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠DEF＝90°，∴∠DEM+∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN，在△DME和△ENF中，∴△DME≌△ENF（ASA），∴EF＝DE；（2）解：如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，∴ME＝NF，∵四边形MNBC是矩形，∴MC＝BN，又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，∴BN＝MC＝NF＝1，∵∠EMC＝90°，∴CE＝，∵AF∥CD，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AC＝AG+GC，∴AG＝，CG＝，∴GE＝GC﹣CE＝＝；如图2所示，同理可得，FN＝BN，∵AF＝2，AB＝4，∴AN＝1，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AF∥CD，∴AG＝4，∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，∴AE＝，∴GE＝GA+AE＝5．综上所述：GE的长为：，5．4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）解：∵△ABE≌△ADF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，∵∠BAE+∠EAD＝90°，∴∠DAF+∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°，∴EF＝AE＝5．5．证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．∴△BOE≌△AOF（AAS）．∴OE＝OF．6．解：（1）根据题意可得四边形AHGD是平行四边形，BH＝BC+CH，CG＝HG+CH，即BH＝CG，根据正方形的性质得：BH＝EC；（2）由（1）得BH＝EC，在Rt△ABH中，由勾股定理得，AH＝＝5，同理FH＝5，连接AF延长AD交FG于点M，在Rt△AFM中，由勾股定理得，AF＝＝5，∵AH2+FH2＝50，AF2＝50，∴AH2+FH2＝AF2，即△AHF为直角三角形，∴AH⊥FH，由（1）得AH∥DG，∴DG⊥HF，S△FHG＝HG×FG＝HF×PG，⇒×3×4＝×5×PG，∴PG＝，∴DP＝DG﹣PG＝5﹣＝，故答案为：．7．证明：（1）如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠1＝∠2＝45°，∴在Rt△OME和Rt△OEB中，∠3+∠OME＝∠4+∠OEB＝90°，∵∠OME＝∠OEB，∴∠3＝∠4，∴∠5＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠FBE，∴EF＝EB；（2）连接DE，∵AN＝EN，∴∠3＝∠5，∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠5，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，AC⊥BD，∴∠7＝∠8＝90°，在△AOH和△BOE中，，∴△AOH≌△BOE（ASA），AH＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠1＝∠2＝45°，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴DE＝BE＝AH＝EF，∵AC⊥BD，∴∠6＝∠AEB，∵∠3＝∠4，∠4+∠AEB＝90°，∴∠3+∠6＝90°，即∠DEF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴．8．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．9．（1）证明：∵四边形CEFG是正方形，∴CE＝EF，∵∠FEC＝∠FEH+∠CED＝90°，∠DCE+∠CED＝90°，∴∠FEH＝∠DCE，在△FEH和△ECD中，∴△FEH≌△ECD（AAS），∴FH＝ED；（2）解：∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∴CD＝AB＝3，∵AE＝1，∴DE＝4，∵△FEH≌△ECD，∴FH＝DE＝4，EH＝CD＝3，∴AH＝4，∴AH＝FH，∵∠FHE＝90°，∴∠F AD＝45°．10．（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠EAG＝90°，在△F AE和△GAF中，，∴△F AE≌△GAF（SAS），∴EF＝FG；（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．在△ABM和△ACE中，，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN＝EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．∴MN2＝BM2+NC2．∵BM＝1，CN＝3，∴MN2＝12+32，∴MN＝．11．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBA＝∠BAD＝90°，∴∠EAB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣55°＝35°，∴∠HAD＝∠BAD﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣35°＝10°；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBA＝∠BAD＝∠ADF＝90°，∴∠EAB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣α，∴∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣（90°﹣α）＝α﹣45°，∴∠DF A＝90°﹣∠DAF＝90°﹣（α﹣45°）＝135°﹣α；（3）∠BEA＝∠FEA，理由如下：延长CB至I，使BI＝DF，连接AI．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADF＝∠ABC＝90°，∴∠ABI＝90°，又∵BI＝DF，∴△DAF≌△BAI（SAS），∴AF＝AI，∠DAF＝∠BAI，∴∠EAI＝∠BAI+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°＝∠EAF，又∵AE是△EAI与△EAF的公共边，∴△EAI≌△EAF（SAS），∴∠BEA＝∠FEA．12．（1）证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB+∠GBC＝90°，又∵四边形ABCD为正方形，∴∠GBA+∠GBC＝90°，∴∠GCB＝∠FBA，又∵BC＝AB，∠F AB＝∠EBC＝90°，在△ABF与△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（SAS）；（2）解：过点D作DH⊥CE于点H，∵E为AB中点，∴EB＝1，∵AB＝2，∴BC＝2，∴CE＝＝＝，在Rt△CEB中，由CE•BG＝EB•BC得BG＝＝＝，∴，∵∠DCE+∠BCE＝∠BCE+∠CBF＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，又∵DC＝BC＝2，∠CHD＝∠CGB＝90°，在△CHD与△BGC中，，∴△CHD≌△BGC（AAS）∴CH＝BG＝，∴GH＝CG﹣CH＝＝CH，∵DH＝DH，∠CHD＝∠GHD＝90°，在△DGH与△DCH中，，∴△DGH≌△DCH（SAS），∴DG＝DC＝2．13．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，在Rt△ABE和Rt△DAF中，，∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL）；（2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△DAF，∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝∠BGF＝90°，∴BE⊥AF；（3）∵BE⊥AF，∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，∵在Rt△BCF中，BC＝5，CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，根据勾股定理，得∴BF＝＝，∴GH＝．14．（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，在△ADP和△CDP中，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴P A＝PC，∵∠P AE＝∠E，∴P A＝PE，∴PC＝PE；（2）∵在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠EDF＝90°，由（1）知，△ADP≌△CDP，∴∠DAP＝∠DCP，∵∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°．15．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°，∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，在△OAM和△OBN中，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM＝ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为8，∴OH＝HA＝4，∵E为OM的中点，∴HM＝8，则OM＝＝4，∴MN＝OM＝4．16．证明：如图1，∵ABCD是正方形，∴AB＝DA、AB⊥AD．∵BE⊥AG、DF⊥AG，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF＝BE，DF＝AE，∴DF﹣BE＝AE﹣AF＝EF．（1）如图2，DF、BE、EF的数量关系是：BE＝DF+EF，理由是：∵ABCD是正方形，∴AB＝DA、AB⊥AD．∵BE⊥AG、DF⊥AG，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF＝BE，DF＝AE，∴BE＝AF＝AE+EF＝DF+EF；（2）如图3，DF、BE、EF的数量关系是：EF＝DF+BE；理由是：∵ABCD是正方形，∴AB＝DA，AB⊥AD．∵BE⊥AG，DF⊥AG，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF＝BE，DF＝AE，∴EF＝AE+AF＝DF+BE．17．解：（1）在正方形ABCD中，BC＝DC，∠C＝90°，∴∠DBC＝∠CDB＝45°，∵∠PBC＝α，∴∠DBP＝45°﹣α，∵PE⊥BD，且O为BP的中点，∴EO＝BO，∴∠EBO＝∠BEO，∴∠EOP＝∠EBO+∠BEO＝90°﹣2 α；（2）BP＝．证明如下：连接OC，EC，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，设∠PBC＝α，在Rt△BPC中，O为BP的中点，∴CO＝BO＝，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠COP＝2 α，由（1）知∠EOP＝90°﹣2α，∴∠EOC＝∠COP+∠EOP＝90°，又由（1）知BO＝EO，∴EO＝CO．∴△EOC是等腰直角三角形，∴EO2+OC2＝EC2，∴EC＝OC＝，即BP＝，∴BP＝．18．解：（1）取AB中点M，连接ME，∵点E在线段BC中点，点M是AB中点，∴AM＝BM＝BE＝CE∴∠BME＝45°，∴∠AME＝135°，∵CF是外角平分线，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．（2）图2：结论是AE＝EF理由如下：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．∴BM＝BE，∴∠BME＝45°，∴∠AME＝135°，∵CF是外角平分线，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．图3结论是AE＝EF，理由如下：在BA的延长线上取一点N．使AN＝CE，连接NE．∴BN＝BE，∴∠N＝∠NEC＝45°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCE＝45°，∴∠N＝∠ECF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，即∠DAE+90°＝∠BEA+90°，∴∠NAE＝∠CEF，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．19．解：（1）图2猜想：AE+CF＝EF，证明：在BC的延长线上截取CA'＝AE，连接A'D，∵∠DAB＝∠BCD＝90°，∴∠DAB＝∠DCA'＝90°，又∵AD＝CD，AE＝A'C，∴△DAE≌△DCA'（SAS），∴ED＝A'D，∠ADE＝∠A'DC，∵∠ADC＝120°，∴∠EDA'＝120°，∵∠EDF＝60°，∴∠EDF＝∠A'DF＝60°，又DF＝DF，∴△EDF≌△A'DF（SAS），则EF＝A'F＝FC+CA'＝FC+AE；（2）如图3，AE+CF＝EF，证明：在BC的延长线上截取CA'＝AE，连接A'D，∵∠DAB与∠BCD互补，∠BCD+∠DCA'＝180°∴∠DAB＝∠DCA'，又∵AD＝CD，AE＝A'C，∴△DAE≌△DCA'（SAS），∴ED＝A'D，∠ADE＝∠A'DC，∵∠ADC＝2α，∴∠EDA'＝2α，∵∠EDF＝α，∴∠EDF＝∠A'DF＝α又DF＝DF，∴△EDF≌△A'DF（SAS），则EF＝A'F＝FC+CA'＝FC+AE．20．解：（1）PC＝PE，PC⊥PE证明∵点P位于AE的垂直平分线上，∴P A＝PE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AC，∠ADB＝∠CDB，∵PD＝PD，∴△ABP≌△CBP（SAS）∴P A＝PC，∴PC＝PE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CBP，∵PB＝PB，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠P AD＝∠PCD，∵P A＝PE，∴∠P AD＝∠E，∴∠PCD＝∠E，∵∠PFC＝∠DFE，∴△CPF∽△EDF，∴∠CPF＝∠FDE，∵四边形ABCD是正方形，，∴∠ADC＝90°，∴∠FDE＝90°，∴∠CPF＝90°，∴PC⊥PE．（2）P A＝CE．理由如下：证明：∵点P位于AE的垂直平分线上，∴P A＝PE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AC，∠ADB＝∠CDB，∵PD＝PD，∴△ABP≌△CBP，∴P A＝PC∴PC＝PE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CBP，∵PB＝PB，∴△ADP≌△CDP，∴∠P AD＝∠PCD，∵P A＝PE，∴∠P AD＝∠PED，∴∠PCD＝∠PED，∵∠PFC＝∠DFE，∴△CPF∽△EDF，∴∠CPF＝∠EDF，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°∴∠ADC＝∠ABC＝120°∴∠EDF＝180°﹣∠ADC＝60°∴∠CPF＝60°∵PE＝PC∴△PCE是等边三角形∴CE＝PE∴AP＝CE．21．证明：（1）如图①，过点C作CM⊥AB，过F作FN⊥EA与EA的延长线交于点N，∴∠CMA＝∠ANF＝90°，∵四边形ABDE和四边形ACGF是正方形，∴AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠CAM+∠CAN＝∠F AN+∠CAN＝90°，∴∠CAM＝∠F AN，在△AMC和△ANF中，∵，∴△AMC≌△ANF（AAS），∴CM＝FN，∴AE•FN＝，∴S△AEF＝S△ABC．（2）由上题结论得：S△AEF＝S△ABC＝S△BDI＝S△CHG，由题意得：AB＝，AC＝5，BC＝4，过点O作AO⊥BC，设BO＝x，则CO＝4﹣x，在Rt△ABO和Rt△ACO中，AO2＝AB2﹣BO2＝AC2﹣CO2，即17﹣x2＝25﹣（4﹣x）2，解得：x＝1，∴AO＝4，S六边形DEFGHI＝S正方形ABDE+S正方形BCHI+S正方形ACGF+S△AEF+S△BDI+S△CHG+S△ABC，＝17+25+16+4××4×4，＝90．22．解：（1）如图1所示，∵正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，∴AG＝AE，AD＝AB，∠EAG＝∠BAD＝90°，∴∠GAD＝∠EAB，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，又∵∠BMA＝∠DMN，∴∠BAM＝∠DNM＝90°，∴BE⊥DG；（2）如图2所示，过E作EH⊥AB于H，∵点F在边AD上，∴∠F AE＝45°，又∵∠BAD＝90°，∴∠BAE＝45°，又∵∠AHE＝90°，∴∠AEH＝45°＝∠AHE，∴AH＝EH，∵AE＝，∴AH＝EH＝1，又∵AB＝4，∴BH＝3，∴Rt△BEH中，BE＝＝＝．。
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（4）对角线垂直且相等的四边形是正方形
(5) 四个角都相等的四边形是正方形
(6) 四条边都相等的四边形是正方形
例1 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是 ∠ACB的平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F。 求证：四边形CFDE是正方形.
义务教育课程标准实验教科书
浙教版《数学》八年级下册（014版）
1.我们已经学习过哪些特殊的平行四边形? 2.是否存在一组邻边相等的特殊的矩形? 若存在，它是什么图形? 3.是否存在一个角是直角的菱形?若存在， 它是什么图形?
4. 已知在直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶 点坐标依次是 A (-a，-b) ， B ( a，-b) ， C (a，b) ， D (-a，b).
这个四边形是正方形吗？如果认为是正方形，给出 证明；如果认为不一定是正方形，请增加一个条件使它 是正方形.
1.将一张正方形纸片按如图步骤①，②，沿虚线对折两 次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图 形是（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
2. 已知：如图，△ABD和△BCD都是等腰直角三角形， ∠A=∠C=Rt∠ 求证:四边形ABCD是正方形.
3. 已知：如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别 是它四条边上的点，且AE=BF=CG=DH. 求证:四边形EFGH是正方形.
正方形的定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四 边形叫做正方形（spuare）。
矩形
正方形 菱形
合作探究
已知:平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O， 从下列条件中取出哪些条件后，可使平行四边形ABCD 成为正方形。
（１） （２） （３） （４） ＡＢ＝ＡＤ； ＡＣ＝ＢＤ； ∠ＢＡＤ＝９０； ＡＣ⊥ＢＤ。
矩形法
一组邻边相等且一个角是直角
定义法 菱形法
议一议
平行四边形,矩形,菱形,正方形有存在怎样的关系?
平行四边形
矩形
正方形 菱形
正方形既是特殊的 矩形 ，又是特殊的 菱形 。
布置作业
1、作业本 2、课后练习
A O B C D
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 定义法
有一个角是直角的菱形是正方形。 有一组邻边相等的矩形是正方形。
菱形法
矩形法
----下列说法对吗?
（1）如果一个菱形的对角线相等,那么它一定是正方形 （2）如果一个矩形的对角线互相垂直,那么它一定是正 方形 （3）四条边相等，有一角是直角的四边形是正方形