2013年江苏省南通、扬州、泰州、宿迁四市高考数学二模试卷 (2)
南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷(含答案)
京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷 2013．3参考公式：锥体的体积公式为13V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合A={2a,3}，B={2,3}．若A B={1,2,3}，则实数a 的值为____． 2．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是__________． 3．若复数12miz i-=+(是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为____． 4．盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球，若从中随机地摸出两只球，则两只球颜色相同的概率是______．5．根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI 技术规定（试行）》，AQI共分为六级：(0,50]为优，(50,100]为良，(100,150]为轻度污染，(150,200]为中度污染，(200,300]为重度污染，300以上为严重污染．2012年12月1日出版的《A 市早报》对A 市2012年11月份中30天的AQI 进行了统计，频率分布直方图如图所示，根据频率分布直方图，可以看出A 市该月环境空气质量优、良的总天数为____．6．右图是一个算法流程图，其输出的n 的值是_____． 7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为___cm ．8．在平面直角坐标系xOy 中，设过原点的直线与圆C ：22(3)(1)4x y -+-=交于M 、N 两点，若MN ≥k 的取值范围是______．9．设数列{n a }是公差不为0的等差数列，S 为其前n 项和，若22221234a a a a +=+，55S =，则7a 的值为_____．10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，1()23x f x -=-，则不等式()1f x >的解集为______________．11．在ABC ∆中，已知AB=2，BC=3，60ABC ∠=︒，BD ⊥AC ，D 为垂足，则BD BC ⋅的值为____．12．关于x 的不等式(21)ln 0ax x -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的值为_____．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22143x y -=．设过点M(0,1)的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，若2AM MB =，则直线的斜率为_____．14．已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+，数列{n b }的通项公式为2n b n =．若将数列{n a }，{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c }，则9c 的值为_____． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且cos 2cos C a cB b-=， （1）求B ； （2）若tan()74A π+=，求cos C 的值．16，（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD//BC ，PB ⊥平面ABCD ，CD ⊥BD ，PB=AB=AD=1，点E 在线段PA 上，且满足PE=2EA ．（1）求三棱锥E-BAD 的体积； （2）求证：PC//平面BDE ．17．（本小题满分16分）如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB ，其中O 为扇形所在圆的圆心，60AOB ∠=︒，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在 AB 上选一点C ，过C 修建与OB 平行的小路CD ，与OA 平行的小路CE ，问C 应选在何处，才能使得修建的道路CD 与CE 的总长最大，并说明理由．18．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项都为正数，且对任意*n N ∈，都有212n n n a a a k ++=+(k 为常数)．（1）若221()k a a =-，求证：123,,a a a 成等差数列；（2）若k=0，且245,,a a a 成等差数列，求21a a 的值； （3）已知12,a a ab ==(,a b 为常数)，是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=对任意*n N ∈都成立？若存在．求出λ；若不存在，说明理由．19．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点(,),22a aA B ． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点00(,)P x y 在椭圆C 上，F 为椭圆的左焦点，直线的方程为00360x x y y +-=． ①求证：直线与椭圆C 有唯一的公共点；②若点F 关于直线的对称点为Q ，求证：当点P 在椭圆C 上运动时，直线PQ 恒过定点，并求出此定点的坐标．20．（本小题满分16分）设函数2()(2)ln f x x a x a x =---．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； （3）若方程()f x c =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12()02x x f +'>．第11页。
13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编5：平面向量
【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编5：平面向量一、填空题1 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）如图,在等腰三角形ABC 中,已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点,且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m 则MN 的最小值是_____.【答案】772 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）在△ABC 中,若AB =1,AC =3,||||AB AC BC +=u u u r u u u r u u u r ,则||BA BC BC ⋅u u u r u u u r u u u r =________. 【答案】答案:12. 本题主要考查向量与解三角形的有关知识.满足||||AB AC BC +=u u u r u u u r u u u r 的A ,B ,C 构成直角三角形的三个顶点,且∠A 为直角,于是BA BC ⋅u u u r u u u r =2BA u u u r =13 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）在ABC ∆中,已知AB=2,BC=3,60ABC ∠=︒,BD ⊥AC,D 为垂足,则BD BC ⋅u u u r u u u r 的值为____. 【答案】277 4 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知向量a r ,b r ,满足1a =r ,()(2)0a b a b +-=r r r r g ,则b r 的最小值为___________. 【答案】12AB M N ECF 第14题图5 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）在平面直角坐标系xOy中,(1,0)A ,函数x y e =的图像与y 轴的交点为B ,P 为函数xy e =图像上的任意一点,则OP AB u u u r u u u r g 的最小值_______.【答案】16 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）已知向量a r ,b r 的夹角为045,且1a =r ,210a b -=r r ,则b =r ________. 【答案】327 ．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,已知OA →=(3,-1),OB →=(0,2).若OC →·AB →=0,AC →=λOB →,则实数λ的值为________.【答案】28 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知向量a r ,b r 满足()22,4a b +=-r r ,()38,16a b -=-r r ,则向量a r ,b r 的夹角的大小为______.【答案】p9 ．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知向量(12,2)a x =-r ,()2,1b -r=,若a b ⊥r r ,则实数x =______.【答案】0;10．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）若1e ,2e 是两个单位向量,212e e a -=,2145e e b +=,且a ⊥b ,则1e ,2e 的夹角为________.【答案】23π 11．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,已知圆(x -1)2+(y -1)2=4,C 为圆心,点P 为圆上任意一点,则OP CP ⋅u u u r u u u r 的最大值为____.【答案】4+22;12．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）在平面四边形ABCD 中,点E ,F 分别是边AD ,BC 的中点,且AB 1=,2EF =,CD 3=.若15AD BC ⋅=uuu r uu u r ,则AC BD ⋅uuu r uu u r 的值为______.【答案】1313．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）在平面直角坐标系中,已知向量AB uur = (2,1),向量AC uuu r = (3,5),则向量BC uu u r 的坐标为____.【答案】(1,4)14．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）已知向量a=(-2,2), b= (5,k).若|la+b|不超过5,则k 的取值范围是________.【答案】[6,2]-15．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知向量()()k b a ,1,1,2-==,若b a ⊥,则k 等于____.【答案】216．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）如图, 在等腰三角形ABC中, 底边2=BC , DC AD =, 12AE EB =u u u r u u u r , 若12BD AC ⋅=-u u u r u u u r , 则AB CE ⋅= .【答案】017．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）在菱形ABCD中,23AB =,23B π∠=,3BC BE =u u u r u u u r ,3DA DF =u u u r u u u r ,则EF AC ⋅=u u u r u u u r ______. 【答案】12-;18．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知向量a r ,b r 满足2a =r ,1b =r ,且对一切实数x ,a xb a b +≥+r r r r 恒成立,则a r 与b r 的夹角大小为______.【答案】34π 二、解答题 19．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）已知向量a=(cos λθ,cos(10)λθ-),b=(sin(10)λθ-,sin λθ),,R λθ∈(1)求22a b +r r 的值; (2)若a b ⊥r r ,求θ;(3)20πθ=,求证:a b r r P 【答案】(1)∵|a ρ|=cos 2λθ+cos 2(10-λ)θ ,|b ρ|=sin 2(10-λ)θ+sin 2λθ (算1个得1分)|a ρ|2+|b ρ|2=2,(2)∵a ρ⊥b ρ,∴cos λθ·sin(10-λ)θ +cos(10-λ) θ·sin λθ=0∴sin((10-λ) θ+λθ)=0,∴sin10θ=0∴10θ=k π,k ∈Z,∴θ=10πk ,k ∈Z (3)∵θ=20π, cos λθ·sin λθ-cos(10-λ) θ·sin[(10-λ) θ] =cos 20λπ·sin 20λπ-cos(2π-20λπ)·sin(2π-20λπ) =cos 20λπ·sin 20λπ-sin 20λπ·cos 20λπ=0, ∴a ρ∥b ρ。
数学_2013年江苏省高考数学模拟试卷(二)(含答案)
2013年江苏省高考数学模拟试卷（二）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 集合A ={x|0<x ≤3, x ∈R}，B ={x|−1≤x ≤2, x ∈R}，则A ∪B =________．2. 已知z ∈C ，且(z +2)(1+i)=2i ，则z =________．3. 在等差数列{a n }中，a 5=3，a 6=−2，则a 3+a 4+...+a 8=________．4. 已知|a →|=3，|b →|=2．若a →⋅b →=−3，则a →与b →夹角的大小为________．5. 为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是________．6. 如图伪代码的输出结果为________．7. 计算：∘√3sin10∘√1−cos80∘=________．8. 已知函数f(x)=x 2−|x|，若f(−m 2−1)<f(2)，则实数m 的取值范围是________． 9. 在一个水平放置的底面半径为√3cm 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm ，则R =________cm ．10. 若方程lnx +2x −10=0的解为x 0，则不小于x 0的最小整数是________．11. 若动直线ax +by =1过点A(b, a)，以坐标原点O 为圆心，OA 为半径作圆，则其中最小圆的面积为________．12. 已知函数f(x)＝ax −x 4，x ∈[12, 1]，A 、B 是其图象上不同的两点．若直线AB 的斜率k总满足12≤k ≤4，则实数a 的值是________．13. 在平行四边形ABCD 中，∠A =π3，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM|→|BC|→=|CN|→|CD|→，则AM →⋅AN →的取值范围是________．14. 椭圆x 2a 2+y 25=1(a 为定值，且a >√5)的左焦点为F ，直线x =m 与椭圆交于点A ，B ，△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15. 已知函数f(x)=sin(π2+x)cosx−sinxcos(π−x)，（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）在△ABC中，已知A为锐角，f(A)=1，BC=2,B=π3，求AC边的长．16. 如图已知在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC=BC，M，N，P，Q分别是AA1，BB1，AB，B1C1的中点，（1）求证：面PCC1⊥面MNQ；（2）求证：PC1 // 面MNQ．17. 如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地ABCD，其长为32米，宽为18米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为a米与b米均不小于2米，且要求“转角处（图中矩形AEFG）”的面积为8平方米（1）试用a表示草坪的面积S(a)，并指出a的取值范围（2）如何设计人行道的宽度a、b，才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面积．（3）直接写出（不需要给出演算步骤）草坪面积的最小值及此时a的值．18. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，且圆C:x2+y2+√3x−3y−6=0过A，F2两点．（1）求椭圆标准的方程；（2）设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β−α=2π3时，证明：点P在一定圆上；（3）设椭圆的上顶点为Q，证明：PQ=PF1+PF2．19. 已知数列{a n}和{b n}满足：a1=λ，a n+1=23a n+n−4，b n=(−1)n(a n−3n+21)，其中λ为实数，n为正整数．S n为数列{b n}的前n项和．（1）对任意实数λ，证明：数列{a n}不是等比数列；（2）对于给定的实数λ，试求数列{b n}的通项公式，并求S n．（3）设0<a<b（a，b为给定的实常数），是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a<S n<b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．20. 已知函数f(x)＝a x+x2−xlna(a>0, a≠1)．(Ⅰ)当a>1时，求证：函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；(Ⅱ)若函数y ＝|f(x)−t|−1有三个零点，求t 的值；(Ⅲ)若存在x 1，x 2∈[−1, 1]，使得|f(x 1)−f(x 2)|≥e −1，试求a 的取值范围．三、[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．21. 已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，∠ACB 的平分线分别交AE 、AB 于点F 、D ．（1）求∠ADF 的度数； （2）若AB ＝AC ，求ACBC 的值．22. 选修4−2：矩阵与变换已知二阶矩阵M 有特征值λ=3及对应的一个特征向量e 1→=[11]，并且M 对应的变换将点(−1, 2)变换成(9, 15)，求矩阵M ．23. （选修4−4：坐标系与参数方程）曲线C 1:{x =1+cosθy =sinθ（θ为参数），在曲线C 1上求一点，使它到直线C 2:{x =−2√2+12ty =1−12t （t 为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离． 24. （选修4−5：不等式选讲）若a ，b ，c ∈R +，求证：b 2a+c 2b+a 2c≥c√b a +a √c b +b √ac．25.如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，已知AB =4，AD =3，AA 1=2，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的点，且EB =FB =1．（1）求异面直线EC 1与FD 1所成角的余弦值；（2）试在面ABCD 上确定一点G ，使G 到平面D 1EF 距离为√1111．26. 某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： （1）恰有2人申请A 片区房源的概率；（2）申请的房源所在片区的个数的ξ分布列与期望．2013年江苏省高考数学模拟试卷（二）答案1. {x|−1≤x ≤3}2. −1+i3. 34. 23π5. 486. 317. √28. (−1, 1)9. 3210. 511. π12. 9213. [2, 5]14. 2315. 解：（1）由f(x)=sin(π2+x)cosx−sinxcos(π−x)得到：f(x)=cos2x+sinxcosx=1+cos2x2+sin2x2=√22(√22cos2x+√22sin2x)+12=√22sin(2x+π4)+12，∴ T=2π2=π；（2）∵ f(A)=cos2A+sinAcosA=1移项得：sinAcosA=1−cos2A=sin2A，因为A为锐角，所以sinA≠0∴ sinA=cosA，则A=π4根据正弦定理得：BCsinA =ACsinB即ACsinπ3=2sinπ4，所以AC=2×√32√22=√6．16. 证明：（1）∵ AC=BC，P是AB的中点∴ AB⊥PC∵ AA1⊥面ABC，CC1 // AA1，∴ CC1⊥面ABC而AB在平面ABC内∴ CC1⊥AB，∵ CC1∩PC=C∴ AB⊥面PCC1；又∵ M，N分别是AA1、BB1的中点，四边形AA1B1B是平行四边形，MN // AB，∴ MN⊥面PCC1．∵ MN在平面MNQ内，∴ 面PCC1⊥面MNQ；（2）连PB1与MN相交于K，连KQ，∵ MN // PB，N为BB1的中点，∴ K为PB1的中点．又∵ Q是C1B1的中点∴ PC1 // KQ而KQ⊂平面MNQ，PC1⊄平面MNQ ∴ PC1 // 面MNQ．17. 解：（1）由条件可知ab=8，即b=8a∵ b≥2∴ b=8a≥2，则a≤4∵ a≥2∴ 2≤a≤4S(a)=(32−2a)(18−b)=(32−2a)(18−8)=592−4(9a+64)（2）∵ 9a+64a ≥2√9a⋅64a=48当且仅当9a=64a 即a=83时取等号，S(a)取得最大值400m2（3）当a=4时S(a)有最小值384m218. （1）解：圆x2+y2+√3x−3y−6=0与x轴交点坐标为A(−2√3，0)，F2(√3,0)，故a=2√3，c=√3，所以b=3，∴ 椭圆方程是：x212+y29=1．（2）证明：设点P(x, y)，因为F1(−√3, 0)，F2(√3, 0)，则k PF1=tanβ=x+√3，k PF2=tanα=x−√3，因为β−α=2π3，所以tan(β−α)=−√3．因为tan(β−α)=tanβ−tanα1+tanαtanβ=−2√3yx2+y2−3，所以−2√3yx2+y2−3=−√3．化简得x2+y2−2y=3．所以点P在定圆x2+y2−2y=3上．（3）证明：在满足（2）的条件下，∵ |PQ|2=x2+(y−3)2=x2+y2−6y+9，x2+y2=3+2y，∴ |PQ|2=12−4y．又|PF1|2=(x+√3)2+y2=2y+6+2√3x，|PF2|2=(x−√3)2+y2=2y+6−2√3x，∴ 2|PF1|×|PF2|=2√4(y+3)2−12x2=4√(y+3)2−3x2，因为3x2=9−3y2+6y，所以2|PF1|×|PF2|=4√4y2，∵ β=α+2π3>2π3，又点P在定圆x2+y2−2y=3上，∴ y<0，所以2|PF1|×|PF2|=−8y，从而(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+2|PF1|×|PF2|+|PF2|2=4y+12−8y=12−4y= |PQ|2．所以|PQ|=|PF1|+|PF2|．19. 证明：（1）假设存在一个实数，使{a n }是等比数列，则有a 22=a 1a 3，即(23λ−3)2=λ(49λ−4)⇔49λ2−4λ+9=49λ2−4λ⇔9=0，矛盾．所以{a n }不是等比数列．（2）因为b n+1=(−1)n+1[a n+1−3(n +1)+21]=(−1)n+1(23a n −2n +14) =−23(−1)n ⋅(a n −3n +21)=−23b n当λ≠−18时，b 1=−(λ+18)≠0，由上可知b n ≠0， ∴b n+1b n=−23(n ∈N +)．故当λ≠−18时，数列{b n }是以−(λ+18)为首项，−23为公比的等比数列．b n =−(λ+18)⋅(−23)n−1，S n =−35(λ+18)(1−(−23)n )当λ=−18时，b n =0，S n =0（3）由（2）知，当λ=−18，b n =0，S n =0，不满足题目要求． ∴ λ≠−18，要使a <S n <b 对任意正整数n 成立，即a <−35(λ+18)•[1−(−23)n ]<b(n ∈N +)…①得a1−(−23)n <−35(λ+18)<b 1−(−23)n 令f(n)=1−(−2)n ，则当n 为正奇数时，1<f(n)≤53；当n 为正偶数时，59≤f(n)<1， ∴ f(n)的最大值为f(1)=53，f(n)的最小值为f(2)=59，于是，由①式得95a <−35(λ+18)<35b ⇔−b −18<λ<−3a −18．当a <b ≤3a 时，由−b −18≥=−3a −18，不存在实数满足题目要求；当b >3a 存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有a <S n <b ，且λ的取值范围是(−b −18, −3a −18)．20. （1）∵ 函数f(x)＝a x +x 2−xlna ，∴ f′(x)＝a x lna +2x −lna ＝2x +(a x −1)lna ， 由于a >1，故当x ∈(0, +∞)时，lna >0，a x −1>0，所以f′(x)>0， 故函数f(x)在(0, +∞)上单调递增．（2）当a >0，a ≠1时，因为f′(0)＝0，且f(x)在(0, +∞)上单调递增， 故f′(x)＝0有唯一解x ＝0．所以x ，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：又函数y ＝|f(x)−t|−1有三个零点，所以方程f(x)＝t ±1有三个根， 即y ＝f(x)的图象与两条平行于x 轴的两条直线y ＝t ±1共有三个交点．不妨取a >1，y ＝f(x)在(−∞, 0)递减，在(0, +∞)递增，极小值f(0)＝1也是最小值， 当x →±∞时，f(x)→+∞．∵ t −1<t +1，∴ f(x)＝t +1有两个根，f(x)＝t −1只有一个根． ∴ t −1＝f min (x)＝f(0)＝1，∴ t ＝2．(Ⅲ)因为存在x 1，x 2∈[−1, 1]，使得|f(x 1)−f(x 2)|≥e −1，所以当x ∈[−1, 1]时，|（f(x)）max −（f(x)）min |＝（f(x)）max −（f(x)）min ≥e −1， 由(Ⅱ)知，f(x)在[−1, 0]上递减，在[0, 1]上递增， 所以当x ∈[−1, 1]时，（f(x)）min ＝f(0)＝1， （f(x)）max ＝max{f(−1), f(1)}，而f(1)−f(−1)=(a +1−lna)−(1a+1+lna)=a −1a−21na ，记g(t)=t −1t −21nt(t >0)，因为g ′(t)=1+1t2−2t=(1t−1)2≥0（当t ＝1时取等号）， 所以g(t)=t −1t−21nt 在t ∈(0, +∞)上单调递增，而g(1)＝0，所以当t >1时，g(t)>0；当0<t <1时，g(t)<0，也就是当a >1时，f(1)>f(−1)，当0<a <1时，f(1)<f(−1)．综合可得，①当a >1时，由f(1)−f(0)≥e −1，可得a −lna ≥e −1，求得a ≥e ． ②当0<a <1时，由f(−1)−f(0)≥e −1⇒1a +lna ≥e −1⇒0<a ≤1e ， 综上知，所求a 的取值范围为(0, 1e ]∪[e, +∞)． 21. ∵ CA 切圆O 于A 点， 由弦切角定理， 可得∠CAE ＝∠B又∵ CD 为∠ACB 的角平分线， ∴ ∠ACD ＝∠BCD∴ ∠ACD +∠CAE ＝∠B +∠BCD 即∠ADF ＝∠AFD 又∵ BE 为圆O 的直径 ∴ ∠DAF ＝90∘ ∴ ∠ADF ＝45∘若AB ＝AC ，则∠CAE ＝∠B ＝∠ACB ＝30∘ 则ACBC =√3322. 解：设M =[ab c d ]，则[a b c d ][11]=3[11]=[33]，故{a +b =3c +d =3， [a b cd ][−12]=[915]，故{−a +2b =9−c +2d =15，联立以上两方程组解得a =−1，b =4，c =−3，d =6， 故M =[−14−36]．23. 解：将直线C 2化为普通方程得：x +y −1+2√2=0， 设所求的点为P(1+cosθ, sinθ)， 则P 到直线C 2的距离d =√2−1|√2=|sin(θ+π4)+2|， 当θ+π4=3π2，即θ=5π4时，sin(θ+π4)=−1，d 取得最小值1，此时点P 的坐标为(1−√22, −√22)． 24. 解：∵ a ，b ，c ∈R +，所以b 2a +c 2b≥2√b 2a ⋅c 2b=2c√ba ，b 2a +a 2c ≥2√b 2a ⋅a 2c =2b √ac c 2b +a 2c ≥2√c 2b ⋅a 2c =2a √cb三式相加可得2(b 2a +c 2b+a 2c)≥2(c√b a +a √c b +b √ac ) 即b 2a+c 2b+a 2c≥c√ba+a √cb+b √a c．成立．25. 解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，∵ AB =4，AD =3，AA 1=2，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的点，且EB =FB =1， ∴ D 1(0, 0, 2)，E(3, 3, 0)，F(2, 4, 0)，C 1(0, 4, 2)． ∴ EC 1→=(−3, 1, 2)，FD 1→=(−2, −4, 2)∴ 异面直线EC 1与FD 1所成角的余弦值=|cos <EC 1→，FD 1→>|=|6−4+4√14⋅√24|=√2114． （2）∵ D 1(0, 0, 2)，E(3, 3, 0)，F(2, 4, 0)， ∴ D 1E →=(3, 3, −2)，D 1F →=(2, 4, −2)，设向量n →=(x, y, z)与平面D 1EF 垂直，则有n →⋅D 1E →=0，n →⋅D 1F →=0，∴ {3x +3y −2z =02x +4y −2z =0，解得n →=(1, 1, 3)，设在面ABCD 上确定一点G(a, b, 0)，则EG →=(a −3, b −3, 0)， ∵ G 到平面D 1EF 距离为√1111， ∴√11=√1111， ∴ a +b −6=1，即b =7−a ．故在面ABCD 上确定一点G(a, 7−a, 0)，使G 到平面D 1EF 距离为√1111． 26. 解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A 片区房源，共有C 4222∴ 根据等可能事件的概率公式得到P =C 422234=827（2）由题意知ξ的可能取值是1，2，3 P(ξ=1)=334=127，P(ξ=2)=A 32C 43C 11+C 42C 22C 3234=1427，P(ξ=3)=C 42A 334=4∴ ξ的分布列是：∴ Eξ=1×127+2×1427+3×49=6527。
江苏省苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013届高三上第二次调研考试数学试题及答案
苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学Ⅰ参考公式：球的表面积为24R S π=，其中R 表示球的半径。
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．.． 1.已知全集},3,2,1,0{=U 集合},3,2,1{},1,0{==B A 则=B A C U )( ▲ . 2.已知i 是虚数单位，实数b a ,满足,10))(43(i bi a i =++则=-b a 43 ▲ .3.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在)3000,2500[（元）内应抽出 ▲ 人.4.如图是一个算法的流程图，若输入n 的值是10，则输出S 的值是 ▲ .5.若一个长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则它的外接球的表面积是 ▲ .6.从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是 ▲ . 7.已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 ▲ .（第3题图）1000 1500 2000 2500 3000 4000 3500 月收入（元）（第4题图8.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为,F 若以F 为圆心的圆05622=+-+x y x 与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ▲ .9.由命题“02,2≤++∈∃m x x R x ”是假命题，求得实数m 的取值范围是),(+∞a ，则实数a的值是 ▲ .10.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+++≥≥0,12,0k y x x y x （k 为常数），若目标函数y x z +=2的最大值是311，则实数k 的值是 ▲ . 11.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=]3,1(,2329]1,0[,3)(x x x x f x ，当]1,0[∈t 时，]1,0[))((∈t f f ，则实数t 的取值范围是 ▲ .12.已知角ϕ的终边经过点)1,1(-P ，点),(),,(2211y x B y x A 是函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 图象上的任意两点，若2)()(21=-x f x f 时，21x x -的最小值为3π，则)2(πf 的值是 ▲ .13.若对满足条件)0,0(3>>=++y x xy y x 的任意y x ,，01)()(2≥++-+y x a y x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ . 14.如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m 的最小值是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题．．纸指定的区域内作答．．．．．．．．．，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）在△ABC ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++ （1） 求角A 值；（2） 求C B cos sin 3-的最大值.16.（本小题满分14分）AM NECF第14题图如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知平面⊥C C AA 11平面,ABCD 且3===CA BC AB ,1==CD AD .（1） 求证：;1AA BD ⊥（2） 若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .17.（本小题满分14分）如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角︒=∠45CAD . (1) 求BC 的长度；(2) 在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在何处时，βα+最小？18.（本小题满分16分）1A E CD A1D1B 1C 第16题AB DCPβα第17题图如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的焦距为2，且过点)26,2(. （1） 求椭圆E 的方程；（2） 若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M（ⅰ）设直线OM 的斜率为,1k 直线BP 的斜率为2k ，求证：21k k 为定值；（ⅱ）设过点M 垂直于PB 的直线为m . 求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.19. （本小题满分16分）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1） 求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； （2） 求函数)(x f 单调区间；（3） 若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a的取值范围.20. （本小题满分16分）已知,0,0<>b a 且,0≠+b a 令,,11b b a a ==且对任意正整数k ，当0≥+k k b a 时，;43,412111k k k k k b b b a a =-=++当0<+k k b a 时，.43,214111k k k k k a a b a b =+-=++ （1） 求数列}{n n b a +的通项公式；（2） 若对任意的正整数n ，0<+n n b a 恒成立，问是否存在b a ,使得}{n b 为等比数列？若存在，求出b a ,满足的条件；若不存在，说明理由； （3） 若对任意的正整数,0,<+n n b a n 且,43122+=n n b b 求数列}{n b 的通项公式.徐州市2012–––2013学年度高三第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A[选修4—1 ：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为,B 直线ADE ,CGE CFD ,都是⊙O 的割线，已知.AB AC =求证：AC FG //B. [选修4—2 ：矩阵与变换]（本小题满分10分）若圆1:22=+y x C 在矩阵)0,0(00>>⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b a b a A 对应的变换下变成椭圆,134:22=+y x E 求矩阵A 的逆矩阵1-A .C. [选修4—4 ：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为θθθ(sin 22,cos 22⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=r y r x 为参数,)0>r ,以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为,1)4sin(=+πθρ若圆C上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值. D. [选修4—5 ：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数z y x ,,满足,2=++z y x 求22232z y x ++的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第21—A 题图22.(本小题满分10分)如图,已知抛物线x y C 4:2=的焦点为,F 过F 的直线l 与抛物线C 交于),(),0)(,(22111y x B y y x A >两点,T 为抛物线的准线与x 轴的交点.(1) 若,1=⋅TB TA 求直线l 的斜率； (2) 求ATF ∠的最大值.23.（本小题满分10分） 已知数列}{n a 满足),(12121*21N n na a a n n n ∈+-=+且.31=a （1） 计算432,,a a a 的值，由此猜想数列}{n a 的通项公式，并给出证明；（2） 求证：当2≥n 时，.4n nn n a ≥徐州市2012—2013学年度高三第一次质量检测数学Ⅰ试题参考答案与评分标准一、填空题1．{2,3} 2．0 3．25 4．54 5．6π 6．597．2- 89．1 10．3- 11．37[log ,1]3 12． 13．37(,]6-∞ 14二、解答题15．⑴因为(sin sin sin )(sin sin sin )3sin sin A B C B C A B C +++-=，由正弦定理，得()()3a b c b c a bc +++-=，…………………………………………2分所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，………………………………4分因为(0,)A ∈π，所以3A π=．…………………………………………………………6分⑵ 由3A π=，得23B C π+=cos B C-2cos()3B B π=--1(cos )2B B B =--sin()6B π=+，……………………………………10分因为203B π<<，所以666B ππ5π<<+，……………………………………………12分当62B ππ=+，即3B π=cos B C -的最大值为1． ……………………14分16．⑴在四边形ABCD 中，因为BA BC =，DA DC =，所以BD AC ⊥，……………2分又平面11AA C C ⊥平面ABCD ，且平面11AA C C 平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面11AA C C ，………………………………………4分又因为1AA ⊂平面11AA C C ，所以1BD AA ⊥．………………………………………7分 ⑵在三角形ABC 中，因为AB AC =，且E 为BC 中点，所以BC AE ⊥，………9分 又因为在四边形ABCD中，AB BC CA ===，1DA DC ==，所以60ACB ∠=︒，30ACD ∠=︒，所以BC DC ⊥，所以AE DC ，…………12分 因为DC ⊂平面11D DCC ，AE ⊄平面11D DCC ，所以AE 平面11D DCC ．…14分 17．⑴作AE ⊥CD ，垂足为E ，则9CE =，6DE =，设BC x =，则tan tan tan tan()1tan tan CAE DAECAD CAE DAE CAE DAE∠∠∠=∠∠=-∠⨯∠++…………………2分961961x x x x==-⋅+，化简得215540x x --=，解之得，18x =或3x =-（舍） 答：BC 的长度为18m ．………………………………………………………………6分 ⑵设BP t =，则18(018)CP t t =-<<，2291516266(27)18tan()9151813518135118t t t t t t t t t tαβ-===-----⋅-++++++．………………………8分设227()18135t f t t t =--++，222542723()(18135)t t f t t t -⨯'=-++，令()0f t '=，因为018t <<，得27t =-，当27)t ∈-时，()0f t '<，()f t 是减函数；当27,18)t ∈-时，()0f t '>，()f t 是增函数，所以，当27t =-时，()f t 取得最小值，即tan()αβ+取得最小值，………12分 因为2181350t t --<+恒成立，所以()0f t <，所以tan()0αβ<+，(,)2αβπ∈π+， 因为tan y x =在(,)2ππ上是增函数，所以当27t =时，αβ+取得最小值． 答：当BP为27)m -时，αβ+取得最小值． ……………………………14分 18．⑴由题意得22c = ，所以1c =，又222312a b =+，…………………………………2分 消去a 可得，422530b b --=，解得23b =或212b =-（舍去），则24a =，所以椭圆E 的方程为22143x y +=．……………………………………………………4分⑵（ⅰ）设111(,)(0)P x y y ≠，0(2,)M y ，则012y k =，1212y k x =-，因为,,A P B 三点共线，所以10142y y x =+， 所以，20111221142(2)2(4)y y y k k x x ==--，8分 因为11(,)P x y 在椭圆上，所以22113(4)4y x =-，故211221432(4)2y k k x ==--为定值．10分 （ⅱ）直线BP 的斜率为1212y k x =-，直线m 的斜率为112m x k y -=, 则直线m 的方程为1012(2)x y y x y --=-，…………………………………………12分 111101111222(2)4(2)2x x x y y x y x y y y x ---=-+=-++2211111122(4)4(2)x x y x y x y --+=++2211111122(4)123(2)x x x x y x y --+-=++=111122x x x y y --+=112(1)x x y -+， 所以直线m 过定点(1,0)-． ………………………………………………………16分 19．⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，…………………………………………2分 又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． …………4分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， ………………………………8分 又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………………………………………………10分 ⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立， 而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．……………………………………………12分 又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．………………………………………14分 所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a+-≥，函数1ln y a a =+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤． 综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+ ．………………………………16分20．⑴当0n n a b +≥时，11124n n n a a b +=- 且134n n b b +=，所以111131()2442n n n n n n n a b a b b a b +++=-+=+，……………………………………2分又当0n n a b +<时，11142n n n b a b +=-+且134n n a a +=，113111()4422n n n n n n n a b a a b a b +++=-+=+，…………………………………………4分因此，数列{}n n b a +是以b a +为首项，12为公比的等比数列，所以，n n b a +11()2n a b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………………5分⑵因为0n n a b +<，所以n n a a 431=+，所以134n n a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11()2n n n b a b a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1113()24n n a b a --⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………8分假设存在a ，b ，使得{}n b 能构成等比数列，则1b b =，224b a b -=，34516b ab -=， 故2245()()416b a b ab --=，化简得0=+b a ，与题中0a b +≠矛盾， 故不存在a ，b 使得{}n b 为等比数列． ……………………………………………10分 ⑶因为0n n a b <+且12243+=n n b b ，所以121222141--+-=n n n b a b 所以1243+n b 21212121211113142444n n n n n a b a b b -----=-+=-+-所以2121212131()()44n n n n b b a b +----=-+，……………………………………………12分由⑴知，2221211()2n n n a b a b ---⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以222121132n n n a b b b -+-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭)()(321213112----+-+=n n n b b b b b b246241111132222n a b b -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11114()141139414n n a b a b b b --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤++⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，…………………………………13分 22133()114434n n n a b b b b +⎡⎤+⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，………………………………………………14分 所以，1224()11,943()1-1,434n n n a b b n b a b b n -⎧⎡⎤+⎛⎫⎪⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+⎛⎫⎢⎥⎪- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩．为奇数时,为偶数时…………………………………16分徐州市2012—2013学年度高三第一次质量检测数学Ⅱ试题参考答案与评分标准21．A ．因为AB 为切线，AE 为割线，所以2AB AD AE =⋅，又因为AC AB =，所以2AD AE AC ⋅=．……………………………………………4分 所以AD AC AC AE=，又因为EAC DAC ∠=∠，所以ADC △∽ACE △， 所以ADC ACE ∠=∠，又因为ADC EGF ∠=∠，所以EGF ACE ∠=∠，所以GF AC ．………………………………………………………………………10分 B ．设点(,)P x y 为圆C ：221x y +=上任意一点，经过矩阵A 变换后对应点为(,)P x y '''，则00a x ax x b y by y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以,x ax y by '=⎧⎨'=⎩．…………………………………………2分 因为点(,)P x y '''在椭圆E ：22143x y =+上，所以2222143a xb y =+，………………4分又圆方程为221x y +=，故221,41,3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即224,3,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又0a >，0b >，所以2a =，b =．所以200⎡⎤=⎢⎣A ，……………………………………………………………………6分所以11020-⎡⎤⎢⎥⎢=⎢⎢⎣A ．…………………………………………………………………10分 C ．因为圆C的参数方程为cos ,sin x r y r θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数，0r >），消去参数得，()2220x y r r ⎛⎛++=> ⎝⎝，所以圆心C ⎛ ⎝，半径为r ，……3分 因为直线l 的极坐标方程为sin()14ρθπ+=，化为普通方程为x y +=，………6分 圆心C到直线x y +=的距离为2d ，……………………8分又因为圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，即3d r +=，所以321r =-=．…10分D．由柯西不等式，2222222()))1x y z z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤，……5分 因为2x y z =++，所以222242311x y z ++≥，1z ==，即6412,,111111x y z ===时，等号成立， 所以22223x y z ++的最小值为2411．…………………………………………………10分 22．⑴因为抛物线24y x =焦点为()1,0F ，(1,0)T -．当l x ⊥轴时，(1,2)A ，(1,2)B -，此时0TA TB = ，与1TA TB =矛盾，……………2分 所以设直线l 的方程为(1)y k x =-，代入24y x =，得2222(24)0k x k x k -=++，则212224k x x k=++，121x x =， ①所以2212121616y y x x ==，所以124y y =-，②…4分 因为1TA TB = ，所以1212(1)(1)1x x y y =+++，将①②代入并整理得，24k =，所以2k =±.………………………………………………………………………………6分⑵因为10y >，所以11211tan 114y y ATF y x ∠==++111114y y =+≤，当且仅当1114y y =，即12y =时，取等，所以4ATF π∠≤，所以ATF ∠的最大值为4π.……………………10分 23．⑴24a =，35a =，46a =，猜想：*2()n a n n =∈+N ．……………………………2分①当1n =时，13a =，结论成立；②假设当*(1,)n k k k =∈N ≥时，结论成立，即2k a k =+，则当1n k =+时，22111111=(2)(+2)+1=+3=(+1)+22222k k k a a ka k k k k k +=-+-+， 即当1n k =+时，结论也成立，由①②得，数列{}n a 的通项公式为*2()n a n n =∈+N ．5分 ⑵原不等式等价于2(1)4n n +≥．证明：显然，当2n =时，等号成立；当2n >时，01222222(1)C C C ()C ()n n n n n n n n n n n +=++++ 012233222C C C ()C ()n n n n n n n+++≥ 0122222>C C C ()54n n n n n n++=->， 综上所述，当2n ≥时，4n n na n ≥．…………………………………………………10分。
2013年江苏省南京市、淮安市高考数学二模试卷
2013年江苏省南京市、淮安市高考数学二模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知集合A={2a，3}，B={2，3}．若A∪B={1，2，3}，则实数a的值为．【答案】【解析】试题分析：根据题意，由A与B及A∪B，易得2a=1，即可得到答案．∵集合A={2a，3}，B={2，3}且A∪B={1，2，3}，则有2a=1，∴a=0故答案为：0．2.函数f(x)=sinxcosx的最小正周期是．【答案】π【解析】试题分析：根据二倍角的正弦公式，化简可得f(x)=sin2x，再由三角函数的周期公式即可算出函数f(x)的最小正周期．∵sin2x=2sinxcosx∴f(x)=sinxcosx=sin2x，因此，函数f(x)的最小正周期T==π故答案为：π3.若复数(i是虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为．【答案】2【解析】试题分析：利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出．∵复数===是纯虚数，∴，解得m=2．因此实数m的值为2．故答案为2．4.盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球，若从中随机地摸出两只球，则两只球颜色相同的概率是．【答案】【解析】试题分析：因为只是从盒子中摸出求，对3只白球和2只黑球标记后无需思考排序问题，用列举法写出从中随机地摸出两只球的所有摸法种数，查出两只球颜色相同的摸法种数，则两只球颜色相同的概率可求．记3只白球分别为白1，白2，白3，2只黑球分别记为黑1，黑2．从中随机地摸出两只球，所有不同的摸法为(白1白2)(白1白3)(白1黑1)(白1黑2)(白2白3)(白2黑1)(白2黑2)(白3黑1)(白3黑2)(黑1黑2)共10种，其中两只球颜色相同的摸法有(白1白2)(白1白3)(白2白3)(黑1黑2)共4种，所以两只球颜色相同的概率是p=．故答案为．5.根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI技术规定(试行)》，AQI共分为六级：(0，50]为优，(50，100]为良，(100，150]为轻度污染，(150，200]为中度污染，(200，300]为重度污染，300以上为严重污染．2012年12月1日出版的《A市早报》对A市2012年11月份中30天的AQI进行了统计，频率分布直方图如图所示，根据频率分布直方图，可以看出A市该月环境空气质量优、良的总天数为．【答案】12【解析】试题分析：根据频率分布直方图，估计该月环境空气质量优、良的频率和，进而根据频数=频率×样本容量可得答案．由频率分布直方图得：样本中“环境空气质量优、良”的频率为(0.002+0.006)×50=0.04由样本估计总体，A 市该月环境空气质量优、良的总天数为0.04×30=12天故答案为：12．6.如图是一个算法流程图，其输出的n的值是．【答案】5【解析】试题分析：本题是一个循环结构，由图可以看出此循环体执行5次，由于每次执行都是对S加上3n，由此规律计算出结果．此图，此循环体共执行了5次，第一次执行S=1+3=4，n=2；第二次执行后TS=1+3+6=10，n=3；第三次执行后，S=1+3+6+9=19，n=4；第四次执行后，S=1+3+6+9+12=31，n=5；此时S=31＞20，故退出循环体，输出n=5．故答案为：5．7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为cm．【答案】【解析】试题分析：设此圆的底面半径为r，高为h，母线为l，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r=1，再根据勾股定理得h==2cm，即得此圆锥高的值．设此圆的底面半径为r，高为h，母线为l，则∵圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为的扇形，∴l=3，得2πr=×l=2π，解之得r=1因此，此圆锥的高h===2cm8.在平面直角坐标系x O y中，设过原点的直线l与圆C：(x-3)2+(y-1)2=4交于M、N两点，若MN，则直线l的斜率k的取值范围是．【答案】[0，]【解析】试题分析：如图所示，过点C作OE⊥MN，垂足为E，连接CM．由|MN|，则可得|CE|≤，利用点到直线的距离公式求出|CE|即可．如图所示，过点C作OE⊥MN，垂足为E，连接CM．设直线MN的方程为y=kx，则|CE|==，∵|MN|，∴，化为4k2-3k≤0，解得．故直线l的斜率k的取值范围是．故答案为．9.设数列{a n}是公差不为0的等差数列，S n为其前n项和，若，S5=5，则a7的值为．【答案】9【解析】试题分析：设出等差数列的公差，由题意列关于首项和公差的二元一次方程组，求出首项和公差，则a7的值可求．设等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，由，S5=5，得，整理得，解得．所以a7=a1+6d=-3+6×2=9．10.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=2x-1-3，则不等式f(x)＞1的解集为．【答案】(-2，0)∪(3，+∞)【解析】试题分析：当x=0时根据奇函数的特性得f(x)=0，故原不等式不成立；当x＞0时，原不等式化成2x-1-3＞1，解之可得x＞3；当x＜0时，结合函数为奇函数将原不等式化为2--x-1-3＜-1，解之可得-2＜x＜0．最后综合即可得到原不等式的解集．①当x=0时，f(x)=0，显然原不等式不能成立②当x＞0时，不等式f(x)＞1即2x-1-3＞1化简得2x-1＞4，解之得x＞3；③当x＜0时，不等式f(x)＞1可化成-f(-x)＞1，即f(-x)＜-1，∵-x＞0，可得f(-x)=2-x-1-3，∴不等式f(-x)＜-1化成2-x-1-3＜-1，得2-x-1＜2，解之得-2＜x＜0综上所述，可得原不等式的解集为(-2，0)∪(3，+∞)11.在△ABC中，已知AB=2，BC=3，∠ABC=60°，BD⊥AC，D为垂足，则的值为．【答案】【解析】试题分析：因为BD 是AC 边上的高，所以BD丄CC，•=0，故有=•(+)=2+•=．由△ABC的面积=AB×BC sin60°=AC×BD结合余弦定理能求出BD的长，从而得出结果．∵BD是AC边上的高，∴BD丄AC，∴•=0，∴=•(+)=2+•=．又△ABC的面积=AB×BC sin60°或△ABC的面积=AC×BD∴AB×BC sin60°=AC×BD∴×2×3sin60°=×BD∴BD=∴=．故答案为：．12.关于x的不等式(2ax-1)lnx≥0对任意x∈(0，+∞)恒成立，则实数a的值为．【答案】【解析】试题分析：依题意，对x∈(0，1]，x∈[1，+∞)分类讨论，构造f(x)=，利用函数的单调性即可求得实数a的值．∵(2ax-1)lnx≥0对任意x∈(0，+∞)恒成立，∴当x∈(0，1]时，lnx≤0，∴2ax-1≤0，∴a≤(0＜x≤1)，令f(x)=，则f(x)在(0，1]上单调递减，∴f(x)min=f(1)=∴a≤．①当x∈[1，+∞)时，lnx≥0，∴(2ax-1)lnx≥0对任意x∈(0，+∞)恒成立⇔2ax-1≥0对任意x∈(0，+∞)恒成立，同理可求a≥f(x)max=f(1)=．②由①②得：a=．故答案为：．13.在平面直角坐标系x O y中，已知双曲线C：．设过点M(0，1)的直线l与双曲线C交于A、B两点，若，则直线l的斜率为．【答案】【解析】试题分析：设直线AB方程为y=kx+1，与双曲线方程联解得(3-4k2)x2-8kx-16=0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可得x1+x2=且x1x2=，根据得x1=-2x2，将三个式子联解，即可得到直线l的斜率．设直线AB方程为y=kx+1，与双曲线消去y，得(3-4k2)x2-8kx-16=0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得…(1)∵，可得x1=-2x2，∴代入(1)得，消去x2得-2()2=，解之得k2=，得k=故答案为：14.已知数列{a n}的通项公式为a n=7n+2，数列{b n}的通项公式为．若将数列{a n}，{b n}中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{c n}，则c9的值为．【答案】961【解析】试题分析：由数列{a n}的通项公式为a n=7n+2，数列{b n}的通项公式为．可分析出当m=7k+4或m=7k+5，k∈Z时，b m才能在{a n}中出现，即为公共项．进而得到答案．令a n=b m，即7n+2=m2，设k∈Z，1．若m=7k，则b m=49k2=7(7k2)∉{a n}．2．若m=7k+1，则b m=(7k+1)2=49k2+14k+1=7(7k2+2k)+1∉{a n}．3．若m=7k+2，则b m=(7k+2)2=49k2+28k+4=7(7k2+4k)+4∉{a n}．4．若m=7k+3，则b m=(7k+3)2=49k2+42k+9=7(7k2+6k+1)+2∈{a n}．5．若m=7k+4，则b m=(7k+4)2=49k2+56k+16=7(7k2+8k+2)+2∈{a n}．6．若m=7k+5，则b m=(7k+5)2=49k2+70k+25=7(7k2+10k+3)+4∉{a n}．7．若m=7k+6，则b m=(7k+6)2=49k2+84k+36=7(7k2+12k+5)+1，不∈{a n}．故当m=7k+3和m=7k+4，k∈Z时，项b m才能在{a n}中出现，即为公共项．所以公共项为b3，b4，b10，b11，b17，b18，b24，b25，b31，b32，…所以c9=312=961．故答案为：961二、解答题(本大题共12小题，共80.0分)15.在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，(1)求B；(2)若，求cos C的值．【答案】解：(1)由正弦定理得，∴，∴，化为sin B cos C+sin C cos B=2sin A cos B，∴sin(B+C)=2sin A cos B，∵B+C=π-A，∴sin A=2sin A cos B，∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，得到．又B∈(0，π)，∴．(2)∵，∴，解得．∵A∈(0，π)∴A为锐角．∴，．∴cos C=cos(π-A-B)=cos(A+B)==-cos A cos+==．【解析】(1)利用正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式、特殊角的三角函数值即可得出；(2)利用两角和的正切公式平方关系、诱导公式、两角和的余弦公式即可得出．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，PB⊥平面ABCD，CD⊥BD，PB=AB=AD=1，点E在线段PA上，且满足PE=2EA．(1)求三棱锥E-BAD的体积；(2)求证：PC∥平面BDE．【答案】解：(1)过E作EF⊥AB，垂足为F，∵PB⊥平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD，又平面PAB∩平面ABCD=AB，EF⊂平面PAB，∴EF⊥平面ABCD，即EF为三棱锥E-BAD的高，∵EF∥PB，PE=2EA，PB=1，∴EF=，∵CD⊥BD，梯形ABCD为直角梯形，∴∠A=90°，∵AB=AD=1，∴V E-BAD=×S△BAD×EF=．(2)证明：连接AC交BD与G，连接EG，∵∠A=90°，AB=AD=1，∴BD=，∠CBD=45°，∵CD⊥BD，∴BC=2，∵AD∥BC，BC=2，AD=1，∴=，∵PE=2EA，∴EG∥PC，又PC⊄平面BDE，EG⊂平面BDE，∴PC∥平面BDE．【解析】(1)先作垂线，求棱锥的高，再根据体积公式求棱锥的体积；(2)根据在三角形中分相邻两边等比例的线段平行于底边，证线线平行，再由线线平行证明线面平行．17.如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形所在圆的圆心，∠AOB=60°，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，问C应选在何处，才能使得修建的道路CD与CE的总长最大，并说明理由．【答案】解：根据题意，四边形ODCE是平行四边形因为∠AOB=60°，所以∠ODC=180°-∠AOB=120°连接OC，设OC=r，OD=x，OE=y在△OCD中，根据余弦定理得OC2=OD+2DC2-2OD•DC cos120°即r2=x2+y2+xy∴(x+y)2=r2+xy≤r2+()2．解之得(x+y)2≤r2，可得x+y≤r，当且仅当x=y=r时，等号成立∴x+y的最大值为r，此时C为弧AB的中点答：当点C取在弧AB的中点时，可使修建的道路CD与CE的总长最大．【解析】由题意，得四边形ODCE是平行四边形，连接OC，设OC=r，OD=x，OE=y，可得△OCD 中∠ODC=180°-∠AOB=120°．利用余弦定理得r2=x2+y2+xy，再由基本不等式算出x+y≤r，当且仅当x=y=r时等号成立．由此可得当点C取在弧AB的中点时，可使修建的道路CD与CE的总长最大．18.已知数列{a n}的各项都为正数，且对任意n∈N*，都有(k为常数)．(1)若，求证：a1，a2，a3成等差数列；(2)若k=0，且a2，a4，a5成等差数列，求的值；(3)已知a1=a，a2=b(a，b为常数)，是否存在常数λ，使得a n+a n+2=λa n+1对任意n∈N*都成立？若存在．求出λ；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明：∵，∴，令n=1，则，∵a1＞0，∴2a2=a1+a3，故a1，a2，a3成等差数列；(2)当k=0时，，∵数列{a n}的各项都为正数，∴数列{a n}是等比数列，设公比为q＞0，∵a2，a4，a5成等差数列，∴a2+a5=2a4，∴，∵a1＞0，q＞0，∴q3-2q2+1=0，化为(q-1)(q2-q-1)=0，解得q=1或．∴或．(3)存在常数λ=，使得a n+a n+2=λa n+1对任意n∈N*都成立．证明如下：∵，∴，∴，即，由于a n＞0，两边同除以a n a n+1，得到，∴=…=，即当n∈N*时，都有，∵a1=a，a2=b，，∴a3=．∴=．∴存在常数λ=，使得a n+a n+2=λa n+1对任意n∈N*都成立．【解析】(1)把，代入，令n=1化简即可证明；(2)当k=0时，，由于数列{a n}的各项都为正数，可得数列{a n}是等比数列，设公比为q＞0，根据a2，a4，a5成等差数列，可得a2+a5=2a4，即，解出即可；(3)存在常数λ=，使得a n+a n+2=λa n+1对任意n∈N*都成立．由，及，可得，由于a n＞0，两边同除以a n a n+1，得到，进而=…=，即当n∈N*时，都有，再利用已知求出a1，a2，a3即可证明．19.在平面直角坐标系x O y中，椭圆C：过点．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(x0，y0)在椭圆C上，F为椭圆的左焦点，直线l的方程为x0x+3y0y-6=0．①求证：直线l与椭圆C有唯一的公共点；②若点F关于直线l的对称点为Q，求证：当点P在椭圆C上运动时，直线PQ恒过定点，并求出此定点的坐标．解：(1)由题意得解得所以所求椭圆C的方程为．(2)联立，消去y得(*)由于点P(x0，y0)在椭圆C上，∴，化为．故(*)可化为．∵．所以方程组仅有一组解(x0，y0)，即直线与椭圆有唯一公共点．②点F(-2，0)，过点F且与直线l垂直的方程为3y0x-x0y+6y0=0．解方程，得，因为P(x0，y0)在椭圆，∴，所以解即为．所以点F(-2，0)关于直线l的对称点的坐标为Q．当x0≠2时，=．所以直线PQ的方程为．即(x-2)y0-yx0+2y=0．∴，即直线过定点M(2，0)．【解析】(1)把A，B的坐标代人椭圆的方程即可解得a2，b2；(2)①把直线l的方程与椭圆的方程联立，证明△=0即可；②把直线l的方程为x0x+3y0y-6=0与过点F且与直线l垂直的方程为3y0x-x0y+6y0=0联立即可得到交点坐标，再利用中点坐标公式即可得到其对称点Q的坐标，得到直线PQ的方程即可证明．20.设函数f(x)=x2-(a-2)x-alnx．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；(3)若方程f(x)=c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：．解：(1)x∈(0，+∞)．==．当a≤0时，f(x)＞0，函数f(x)在(0，+∞0上单调递增，即f(x)的单调递增区间为(0，+∞)．当a＞0时，由f(x)＞0得；由f(x)＜0，解得．所以函数f(x)的单调递增区间为∞，单调递减区间为．(2)由(1)可得，若函数f(x)有两个零点，则a＞0，且f(x)的最小值，即．∵a＞0，∴．令h(a)=a+-4，可知h(a)在(0，+∞)上为增函数，且h(2)=-2，h(3)==，所以存在零点h(a0)=0，a0∈(2，3)，当a＞a0时，h(a)＞0；当0＜a＜a0时，h(a)＜0．所以满足条件的最小正整数a=3．又当a=3时，f(3)=3(2-ln3)＞0，f(1)=0，∴a=3时，f(x)由两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．(3)∵x1，x2是方程f(x)=c得两个不等实数根，由(1)可知：a＞0．不妨设0＜x1＜x2．则，．两式相减得+alnx2=0，化为a=．∵，当时，f(x)＜0，当∞时，f(x)＞0．故只要证明即可，即证明x1+x2＞，即证明，设，令g(t)=lnt-，则=．∵1＞t＞0，∴g(t)＞0．∴g(t)在(0，1)上是增函数，又在t=1处连续且g(1)=0，∴当t∈(0，1)时，g(t)＜0纵成立．故命题得证．【解析】(1)对a分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出；(2)由(1)可得，若函数f(x)有两个零点，则a＞0，且f(x)的最小值，即．可化为h(a)=．利用单调性判断其零点所处的，．两式相减得+alnx2=0，化为a=．由，当时，f(x)＜0，当∞时，f(x)＞0．故只要证明即可，即证明，令换元，再利用导数即可证明．21.选修4-1：几何证明选讲如图，圆O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交圆O于点E，连结BE与AC交于点F，求证：AE2=EF•BE．【答案】解：∵△ACD中，CD=AC，∴∠CAD=∠D∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBC=∠D∵△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB∵∠ACB=∠CAD+∠D=2∠D∴∠ABC=2∠D=2∠EBC，从而∠ABE=∠EBC=∠FAE又∵∠AEB=∠FEA，∴△AEB∽△FEA由此可得，即AE2=EF•BE．【解析】等腰△ACD中得∠CAD=∠D，结合圆周角定理证出∠EBC=∠D．等腰△ABC中得到∠ABC=∠ACB，利用△ACD的外角得到∠ACB=∠CAD+∠D=2∠D，从而∠ABC=2∠EBC，所以∠ABE=∠EBC=∠FAE．由∠AEB=∠FEA为两个三角形的公共角，证出△AEB∽△FEA，得到，即得AE2=EF•BE．22.选修4-2：矩阵与变换已知二阶矩阵(1)求矩阵A的特征值和特征向量；(2)设向量，求A5β．【答案】解：(1)矩阵A的特征多项式为f(λ)==(λ-3)(λ+2)令f(λ)=0，得λ=3或λ=-2将λ=3代入二元一次方程组，得，解之得y=0∴矩阵A属于特征值3的特征向量为将λ=-2代入二元一次方程组，得，取x=1得y=-1∴矩阵A属于特征值-2的特征向量为；(2)由(1)知，向量β是矩阵A的属于特征值-2的一个特征向量∴A5β=λ5β=-32=．【解析】(1)根据题意给出矩阵A的特征多项式f(λ)=(λ-3)(λ+2)，从而解出两个特征值分别为3和-2．再分别将3和-2回代到二元一次方程组，即可解出相应的特征向量．(2)由(1)的结论得向量β是矩阵A的属于特征值-2的一个特征向量，利用特征向量的定义与性质即可算出A5β的值．23.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x O y中，已知直线L：(t为参数)和曲线C：(t为参数)．若P是曲线C上任意一点，求点P到直线L的距离的最小值及此时点P的坐标．【答案】解：由直线L：，得直线L的普通方程为2x+y-1=0，由曲线C：，得曲线C的普通方程为y=x2-2x+2．∵方程组无解，∴直线L和曲线C没有公共点．由y=x2-2x+2，得y=2x-2，再令2x-2=-2，得x=0，代入曲线y=x2-2x+2，得y=2．∴当点P为(0，2)时，它到直线L的距离最小，最小距离为．【解析】分别化直线L和曲线C的参数方程为普通方程，联立方程组后方程组无解可知直线和曲线相离，由导数求出和直线平行且与曲线相切的直线与曲线的切点，再由点到直线的距离公式求解．24.选修4-5：不等式选讲若正数a，b满足a+b=1，求的最小值．【答案】解：∵正数a，b满足a+b=1，∴(3a+2)+(3b+2)=7，∴=•()•[(3a+2)+(3b+2)]=[5++]≥(5+2)=，当且仅当=，即a=，且b=时，等号成立，故的最小值为．【解析】由题意可得(3a+2)+(3b+2)=7，再根据=[5++]，利用基本不等式求得它的最小值．25.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=4，CB=4，CC1=，∠ACB=90°，点M在线段A1B1上．(1)若A1M=3MB1，求异面直线AM与A1C所成角的余弦值；(2)若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置．【答案】解：(1)分别以CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示则C(0，0，0)，A(4，0，0)，A1(4，0，2)，B1(0，4，2)∵A1M=3MB1，∴M(1，3，2)，可得=(4，0，2)，=(-3，3，2)，∴cos＜，＞===-由于异面直线所成角为直角或锐角，所以异面直线AM与A1C所成角的余弦值为；(2)由(1)得B(0，4，0)，B1(0，0，2)∴=(-4，4，0)，=(-4，0，2)设=(a，b，c)是平面ABC1的一个法向量，可得，取a=1，得b=1，c=∴=(1，1，)，而直线AM与平面ABC1所成角为30°，可得与所成角为60°或120°∴|cos＜、＞|=，设A1M=x，则=(x-4，4-x，2)即===解之得x=2或6，由于M在A1B1上可得x＜6，故A1M=x=2即点M为线段A1B1的中点时，满足直线AM与平面ABC1所成角为30°．【解析】(1)以CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系．算出向量、的坐标，利用空间向量的夹角公式，即可求出异面直线AM与A1C所成角的余弦值为；(2)利用垂直向量数量积为零的方程，建立方程组解出=(1，1，)是平面ABC1的一个法向量，设A1M=x，则=(x-4，4-x，2)，结合题意可得与所成角为60°A1B1的中点时，满足直线AM与平面ABC1所成角为30°．26.设f(x)=(1+x)(1+2x)…(1+nx)(其中，n∈N*且n≥2)，其展开后含x r项的系数记作a r(r=0，1，2，…，n)．(1)求a1(用含n的式子表示)；(2)求证：．【答案】解：(1)由题意从函数的解析式的n个括号中，选一个x，余下的选常数，∴a1=1+2+…+n=．(2)由题意从函数的解析式的n个括号中，选两个含有x的项，余下的选常数，即可得到a2，∴a2=1×2+1×3+…+1•n+2×3+2×4+…+2•n+…+(n-1)•n====∴．【解析】(1)从函数的解析式的n个括号中，选一个x，余下的选常数，即可得到a1(用含n的式子表示)；(2)从函数的解析式的n个括号中，选两个x项，余下的选常数，即可得到a2，然后证明：．。
江苏省苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013届高三第二次调研考试数学试题
苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学Ⅰ参考公式：球的表面积为24R S π=，其中R 表示球的半径。
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．.． 1.已知全集},3,2,1,0{=U 集合},3,2,1{},1,0{==B A 则=B A C U )( ▲ . 2.已知i 是虚数单位，实数b a ,满足,10))(43(i bi a i =++则=-b a 43 ▲ .3.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在)3000,2500[（元）内应抽出 ▲ 人.4.如图是一个算法的流程图，若输入n 的值是10，则输出S 的值是 ▲ .5.若一个长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则它的外接球的表面积是 ▲ .6.从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则（第3题图）（第4题图所得两位数为偶数的概率是 ▲ .7.已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 ▲ .8.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右焦点为,F 若以F 为圆心的圆05622=+-+x y x 与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ▲ .9.由命题“02,2≤++∈∃m x x R x ”是假命题，求得实数m 的取值范围是),(+∞a ，则实数a 的值是▲ .10.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+++≥≥0,12,0k y x x y x （k 为常数），若目标函数y x z +=2的最大值是311，则实数k 的值是 ▲ .11.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=]3,1(,2329]1,0[,3)(x x x x f x ，当]1,0[∈t 时，]1,0[))((∈t f f ，则实数t 的取值范围是 ▲ .12.已知角ϕ的终边经过点)1,1(-P ，点),(),,(2211y x B y x A 是函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 图象上的任意两点，若2)()(21=-x f x f 时，21x x -的最小值为3π，则)2(πf 的值是 ▲ .13.若对满足条件)0,0(3>>=++y x xy y x 的任意y x ,，01)()(2≥++-+y x a y x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .14.如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m的最小值是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题．．纸指定．．．的区域内作答．．．．．．，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）在△ABC ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++ （1） 求角A 值；（2） 求C B cos sin 3-的最大值.ABMNEF第14题图如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知平面⊥C C AA 11平面,ABCD 且3===CA BC AB , 1==CD AD .（1） 求证：;1AA BD ⊥（2） 若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .17.（本小题满分14分）如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角︒=∠45CAD . (1) 求BC 的长度；(2) 在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在何处时，βα+最小？ 1A E CD B A1D1B 1C 第16题ABDCPβα 第17题图如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的焦距为2，且过点)26,2(. （1） 求椭圆E 的方程；（2） 若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M （ⅰ）设直线OM 的斜率为,1k 直线BP 的斜率为2k ，求证：21k k 为定值；（ⅱ）设过点M 垂直于PB 的直线为m . 求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.19. （本小题满分16分）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1） 求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； （2） 求函数)(x f 单调区间；（3） 若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围.20. （本小题满分16分）已知,0,0<>b a 且,0≠+b a 令,,11b b a a ==且对任意正整数k ，当0≥+k k b a 时，;43,412111k k k k k b b b a a =-=++当0<+k k b a 时，.43,214111k k k k k a a b a b =+-=++ （1） 求数列}{n n b a +的通项公式；（2） 若对任意的正整数n ，0<+n n b a 恒成立，问是否存在b a ,使得}{n b 为等比数列？若存在，求出b a ,满足的条件；若不存在，说明理由； （3） 若对任意的正整数,0,<+n n b a n 且,43122+=n n b b 求数列}{n b 的通项公式.徐州市2012–––2013学年度高三第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A[选修4—1 ：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为,B 直线ADE ,CGE CFD ,都是⊙O 的割线，已知.AB AC =求证：AC FG //B. [选修4—2 ：矩阵与变换]（本小题满分10分）若圆1:22=+y x C 在矩阵)0,0(00>>⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b a b a A 对应的变换下变成椭圆,134:22=+y x E 求矩阵A 的逆矩阵1-A .C. [选修4—4 ：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为θθθ(sin 22,cos 22⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=r y r x 为参数,)0>r ,以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为,1)4sin(=+πθρ若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值.D. [选修4—5 ：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数z y x ,,满足,2=++z y x 求22232z y x ++的最小值.第21—A 题图【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)如图,已知抛物线x y C 4:2=的焦点为,F 过F 的直线l 与抛物线C 交于),(),0)(,(22111y x B y y x A >两点,T 为抛物线的准线与x 轴的交点. (1) 若,1=⋅TB TA 求直线l 的斜率； (2) 求ATF ∠的最大值.23.（本小题满分10分） 已知数列}{n a 满足),(12121*21N n na a a n n n ∈+-=+且.31=a （1） 计算432,,a a a 的值，由此猜想数列}{n a 的通项公式，并给出证明；（2） 求证：当2≥n 时，.4n nn n a ≥数学Ⅰ试题参考答案与评分标准一、填空题1．{2,3} 2．0 3．25 4．54 5．6π 6．597．2-8 9．1 10．3- 11．37[log ,1]3 12． 13．37(,]6-∞ 14二、解答题15．⑴因为(sin sin sin )(sin sin sin )3sin sin A B C B C A B C +++-=，由正弦定理，得()()3a b c b c a bc +++-=，…………………………………………2分所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，………………………………4分 因为(0,)A ∈π，所以3A π=．…………………………………………………………6分⑵ 由3A π=，得23B C π+=cos B C -2cos()3B B π--1(cos )2B B B =--+sin()6B π=+，……………………………………10分因为203B π<<，所以666B ππ5π<<+，……………………………………………12分当62B ππ=+，即3B π=cos B C -的最大值为1． ……………………14分16．⑴在四边形ABCD 中，因为BA BC =，DA DC =，所以BD AC ⊥，……………2分又平面11AAC C ⊥平面ABCD ，且平面11AA C C 平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面11AA C C ，………………………………………4分又因为1AA ⊂平面11AA C C ，所以1BD AA ⊥．………………………………………7分 ⑵在三角形ABC 中，因为AB AC =，且E 为BC 中点，所以BC AE ⊥，………9分又因为在四边形ABCD 中，AB BC CA ===，1DA DC ==，所以60ACB ∠=︒，30ACD ∠=︒，所以BC DC ⊥，所以AE DC ，…………12分 因为DC ⊂平面11D DCC ，AE ⊄平面11D DCC ，所以AE 平面11D DCC ．…14分 17．⑴作AE ⊥CD ，垂足为E ，则9CE =，6DE =，设BC x =，则tan tan tan tan()CAE DAECAD CAE DAE ∠∠∠=∠∠=++…………………2分961961x x x x==-⋅+，化简得215540x x --=，解之得，18x =或3x =-（舍） 答：BC 的长度为18m ．………………………………………………………………6分 ⑵设BP t =，则18(018)CP t t =-<<，2291516266(27)18tan()9151813518135118t t t t t t t t t tαβ-===-----⋅-++++++．………………………8分设227()18135tf t t t =--++，222542723()(18135)t t f t t t -⨯'=-++，令()0f t '=，因为018t <<，得27t =，当27)t ∈时，()0f t '<，()f t是减函数；当27,18)t ∈ 时，()0f t '>，()f t 是增函数，所以，当27t =时，()f t 取得最小值，即tan()αβ+取得最小值，………12分 因为2181350t t --<+恒成立，所以()0f t <，所以tan()0αβ<+，(,)2αβπ∈π+， 因为tan y x =在(,)2ππ上是增函数，所以当27t =时，αβ+取得最小值． 答：当BP为27)m 时，αβ+取得最小值． ……………………………14分 18．⑴由题意得22c = ，所以1c =，又222312a b=+，…………………………………2分 消去a 可得，422530b b --=，解得23b =或212b =-（舍去），则24a =，所以椭圆E 的方程为22143x y +=．……………………………………………………4分 ⑵（ⅰ）设111(,)(0)P x y y ≠，0(2,)M y ，则012y k =，1212y k x =-，因为,,A P B 三点共线，所以10142y y x =+， 所以，20111221142(2)2(4)y y y k k x x ==--，8分因为11(,)P x y 在椭圆上，所以22113(4)4y x =-，故211221432(4)2y k k x ==--为定值．10分（ⅱ）直线BP 的斜率为1212y k x =-，直线m 的斜率为112m x k y -=, 则直线m 的方程为1012(2)x y y x y --=-，…………………………………………12分 111101111222(2)4(2)2x x x y y x y x y y y x ---=-+=-++2211111122(4)4(2)x x y x y x y --+=++ 2211111122(4)123(2)x x x x y x y --+-=++=111122x x x y y --+=112(1)x x y -+， 所以直线m 过定点(1,0)-． ………………………………………………………16分 19．⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，…………………………………………2分 又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． …………4分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， ………………………………8分 又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………………………………………………10分 ⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立， 而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．……………………………………………12分 又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()()()()()因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．………………………………………14分所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1l n e 1a a +-≥，函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10e a <≤．综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+ ．………………………………16分20．⑴当0n n a b +≥时，11124n n n a a b +=- 且134n n b b +=，所以111131()2442n n n n n n n a b a b b a b +++=-+=+，……………………………………2分又当0n n a b +<时，11142n n n b a b +=-+且134n n a a +=，113111()4422n n n n n n n a b a a b a b +++=-+=+，…………………………………………4分因此，数列{}n n b a +是以b a +为首项，12为公比的等比数列，所以，n n b a +11()2n a b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………………5分⑵因为0n n a b +<，所以n n a a 431=+，所以134n n a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11()2n n n b a b a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1113()24n n a b a --⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………8分假设存在a ，b ，使得{}n b 能构成等比数列，则1b b =，224b a b -=，34516b ab -=， 故2245()()416b a b ab --=，化简得0=+b a ，与题中0a b +≠矛盾，故不存在a ，b 使得{}n b 为等比数列． ……………………………………………10分 ⑶因为0n n a b <+且12243+=n n b b ，所以121222141--+-=n n n b a b 所以1243+n b 21212121211113142444n n n n n a b a b b -----=-+=-+- 所以2121212131()()44n n n n b b a b +----=-+，……………………………………………12分由⑴知，2221211()2n n n a b a b ---⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以222121132n n n a b b b -+-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭)()(321213112----+-+=n n n b b b b b b246241111132222n a b b -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11114()141139414n n a b a b b b --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤++⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，…………………………………13分 22133()114434n n n a b b b b +⎡⎤+⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，………………………………………………14分所以，1224()11,943()1-1,434n n na b b n b a b b n -⎧⎡⎤+⎛⎫⎪⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+⎛⎫⎢⎥⎪- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩．为奇数时,为偶数时…………………………………16分2012—2013学年度高三数学Ⅱ试题参考答案与评分标准21．A ．因为AB 为切线，AE 为割线，所以2AB AD AE =⋅，又因为AC AB =，所以2AD AE AC ⋅=．……………………………………………4分 所以AD ACAC AE=，又因为EAC DAC ∠=∠，所以ADC △∽ACE △， 所以ADC ACE ∠=∠，又因为ADC EGF ∠=∠，所以EGF ACE ∠=∠，所以GF AC ．………………………………………………………………………10分 B ．设点(,)P x y 为圆C ：221x y +=上任意一点，经过矩阵A 变换后对应点为(,)P x y '''，则00a x ax x b y by y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以,x ax y by '=⎧⎨'=⎩．…………………………………………2分 因为点(,)P x y '''在椭圆E ：22143x y =+上，所以2222143a xb y =+，………………4分 又圆方程为221x y +=，故221,41,3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即224,3,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又0a >，0b >，所以2a =，b所以200⎡⎤=⎢⎣A ，……………………………………………………………………6分所以11020-⎡⎤⎢⎥⎢=⎢⎢⎣A ．…………………………………………………………………10分 C ．因为圆C的参数方程为cos ,sin x r y r θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数，0r >），消去参数得，()2220x y r r ⎛⎛+++=> ⎝⎭⎝⎭，所以圆心C ⎛ ⎝⎭，半径为r ，……3分 因为直线l 的极坐标方程为sin()14ρθπ+=，化为普通方程为x y +，………6分圆心C到直线x y +2d ==，……………………8分又因为圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，即3d r +=，所以321r =-=．…10分D．由柯西不等式，2222222()))1x y z z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤，……5分因为2x y z =++，所以222242311x y z ++≥，当且仅当11z ==，即6412,,111111x y z ===时，等号成立， 所以22223x y z ++的最小值为2411．…………………………………………………10分 22．⑴因为抛物线24y x =焦点为()1,0F ，(1,0)T -．当l x ⊥轴时，(1,2)A ，(1,2)B -，此时0TA TB =，与1TA TB = 矛盾，……………2分 所以设直线l 的方程为(1)y k x =-，代入24y x =，得2222(24)0k x k x k -=++，则212224k x x k=++，121x x =， ①所以2212121616y y x x ==，所以124y y =-，②…4分 因为1TA TB =，所以1212(1)(1)1x x y y =+++，将①②代入并整理得，24k =， 所以2k =±.………………………………………………………………………………6分⑵因为10y >，所以11211tan 114y y ATF y x ∠==++111114y y =+≤，当且仅当1114y y =，即12y =时，取等，所以4ATF π∠≤，所以ATF ∠的最大值为4π.……………………10分 23．⑴24a =，35a =，46a =，猜想：*2()n a n n =∈+N ．……………………………2分①当1n =时，13a =，结论成立；②假设当*(1,)n k k k =∈N ≥时，结论成立，即2k a k =+，则当1n k =+时，22111111=(2)(+2)+1=+3=(+1)+22222k k k a a ka k k k k k +=-+-+，即当1n k =+时，结论也成立，由①②得，数列{}n a 的通项公式为*2()n a n n =∈+N ．5分⑵原不等式等价于2(1)4n n+≥． 证明：显然，当2n =时，等号成立；当2n >时，01222222(1)C C C ()C ()n n n n nn n n n n n +=++++ 012233222C C C ()C ()n n n n n n n+++≥0122222>C C C ()54n n nn n n++=->， 综上所述，当2n ≥时，4nn n a n ≥．…………………………………………………10分。
江苏省扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港市2025届高三二诊模拟考试数学试卷含解析
江苏省扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港市2025届高三二诊模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 2．已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知全集U =R ，集合{}{}237,7100A x x B x x x =≤<=-+<，则()UA B ⋂=（ ）A ．()(),35,-∞+∞B ．(](),35,-∞+∞C ．(][),35,-∞+∞ D ．()[),35,-∞+∞4．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是： A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④ 5．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．33y x =±B ．3y x =C ．22y x =±D ．2y x =6．已知函数()sin()(0,0)3f x x πωφωφ=+><<满足()(),()12f x f x f ππ+==1，则()12f π-等于（ ）A ．-22B ．22C ．-12D ．127．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（ ） A ．48B ．36C ．42D ．318．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且23SA AB ==P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（ ）A ．131+B ．132+C ．151+D ．152+9．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．35B ．45C ．1D ．8510．曲线(2)xy ax e =+在点(0,2)处的切线方程为2y x b =-+，则ab =（ ） A ．4-B ．8-C ．4D ．811．已知椭圆C 的中心为原点O ，(5,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y += D ．2214525x y += 12．已知a ＞b ＞0，c ＞1，则下列各式成立的是（ ） A ．sin a ＞sin bB ．c a ＞c bC ．a c ＜b cD ．11c c b a--＜ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013届高三数学第二次调研考试试题苏教版
输入 n
S0
n2
S Sn n n1
输出 S
结束
（第 4 题图
4. 如图是一个算法的流程图，若输入 5. 若一个长方体的长、宽、高分别为
n 的值是 10，则输出 S 的值是 ▲ . 3 、 2 、1，则它的外接球的表面积是
（1） 求角 A 值；
（2） 求 3 sin B cosC 的最大值 .
16. （本小题满分 14 分） 如 图 ， 在 四 棱 柱 ABCD A1 B1C 1 D1 中 ， 已 知 平 面 AA1C1C
平 面 A B C ,D且
AB BC CA 3 , AD CD 1 . （1） 求证： BD AA1 ; （2） 若 E 为 棱 BC 的 中 点 ， 求 证 ： AE // 平 面
3. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了
10000 人，并根据所得数据画出了如图所示
的频率分布直方图， 现要从这 10000 人中再用分层抽样的方法抽出 100 人作进一步调查，
则月收入在 [ 2500,3000) （元）内应抽出 ▲ 人 .
开始
频率 / 组距
0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001
ak 1
1 ak
1 bk , bk 1
3 bk ; 当 a k
bk
0 时， bk 1
2
4
4
（1） 求数列 {a n bn } 的通项公式；
1 ak
4
1 bk , ak 1
2
3 ak.
4
（2） 若对任意的正整数 n ， a n bn 0 恒成立，问是否存在 a , b 使得 { bn } 为等比数列？
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2013年江苏省南通、扬州、泰州、宿迁四市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷卡的相应位置上．1．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系中，已知向量=（2，1），向量=（3，5），则向量的坐标为_________．2．（5分）（2013•南通二模）设集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x2﹣5x≥0}，则A∩（∁R B）=_________．3．（5分）（2013•南通二模）设复数z满足|z|=|z﹣1|=1，则复数z的实部为_________．4．（5分）（2013•南通二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+e x（e为自然对数的底数），则f（ln6）的值为_________．5．（5分）（2013•南通二模）某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为_________分钟．6．（5分）（2014•盐城一模）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为_________．7．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆与双曲线y2﹣3x2=3共焦点，且经过点，则该椭圆的离心率为_________．8．（5分）（2013•南通二模）若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为_________cm．9．（5分）（2013•南通二模）将函数的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为_________．10．（5分）（2013•南通二模）函数f（x）=（x﹣1）sinπx﹣1（﹣1＜x＜3）的所有零点之和为_________．11．（5分）（2013•南通二模）设α，β∈（0，π），且，．则cosβ的值为_________．12．（5分）（2013•南通二模）设数列{a n}满足：a3=8，（a n+1﹣a n﹣2）（2a n+1﹣a n）=0（n∈N*），则a1的值大于20的概率为_________．13．（5分）（2013•南通二模）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1•x2•x3•x4•x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是_________．14．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设A（﹣1，1），B，C是函数图象上的两点，且△ABC为正三角形，则△ABC的高为_________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•南通二模）已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为．（1）若AB=，求△ABC的另外两条边长；（2）设O为△ABC的外心，当时，求的值．16．（14分）（2013•南通二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．求证：（1）AD∥平面PBC；（2）平面PBC⊥平面PAB．17．（14分）（2013•南通二模）为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k为常数）．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元．（每平方米平均综合费用=）．（1）求k的值；（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？18．（16分）（2013•南通二模）已知函数f （x）=（m﹣3）x3+9x．（1）若函数f （x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调函数，求m的取值范围；（2）若函数f （x）在区间[1，2]上的最大值为4，求m的值．19．（16分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．20．（16分）（2013•南通二模）设无穷数列{a n}满足：∀n∈N*，a n＜a n+1，．记．（1）若，求证：a1=2，并求c1的值；（2）若{c n}是公差为1的等差数列，问{a n}是否为等差数列，证明你的结论．选做题：本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（10分）（2013•南通二模）如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．求证：DE2=DB•DA．22．（10分）（2013•南通二模）选修4﹣2：矩阵与变换设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵（m＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．23．（2013•南通二模）选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy中，已知圆，圆．（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1，C2的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．24．（2014•江苏模拟）选修4﹣5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．必做题：本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2013•南通二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A1B=2．（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P，使二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为．26．（10分）（2013•南通二模）设b＞0，函数，记F（x）=f′（x）（f′（x）是函数f（x）的导函数），且当x=1时，F（x）取得极小值2．（1）求函数F（x）的单调增区间；（2）证明|[F（x）]n|﹣|F（x n）|≥2n﹣2（n∈N*）．2013年江苏省南通、扬州、泰州、宿迁四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷卡的相应位置上．1．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系中，已知向量=（2，1），向量=（3，5），则向量的坐标为（1，4）．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由=，代入坐标即可运算．解答：解：∵=（2，1），=（3，5），∴==（3，5）﹣（2，1）=（1，4）故答案为：（1，4）点评：本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础试题2．（5分）（2013•南通二模）设集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x2﹣5x≥0}，则A∩（∁R B）=（0，3]．考点：交、并、补集的混合运算．分析：由题意，可先解一元二次不等式，化简集合A，B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确答案．解答：解：由题意B={x|x2﹣5x≥0}={x|x≤0或x≥5}，故∁R B={x|0＜x＜5}，又集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，∴A∩（∁R B）=（0，3]．故答案为（0，3]．点评：本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键．3．（5分）（2013•南通二模）设复数z满足|z|=|z﹣1|=1，则复数z的实部为．考点：复数求模．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．解答：解：设z=a+bi（a，b∈R）．∵复数z满足|z|=|z﹣1|=1，∴，解得．∴复数z的实部为．故答案为．点评：熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）（2013•南通二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+e x（e为自然对数的底数），则f（ln6）的值为ln6﹣．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由x＜0时的解析式，先求出f（﹣ln6），再由f （x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），得到答案．解答：解：∵当x＜0时，f （x）=x+e x，∴f（﹣ln6）=﹣ln6+e﹣ln6=﹣ln6又∵f （x）是定义在R上的奇函数，∴f（ln6）=﹣f（﹣ln6）=ln6﹣故答案为：ln6﹣点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的值，其中熟练掌握奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x），是解答的关键．5．（5分）（2013•南通二模）某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为72分钟．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：先由茎叶图写出所有的数据，求出所有数据和，再利用和除以数据的个数，得到该运动员的平均训练时间．解答：解：有茎叶图知，天中进行投篮训练的时间的数据为64，65，67，72，75，80，81；∴该运动员的平均训练时间为：=72．故答案为：72．点评：解决茎叶图问题，关键是能由茎叶图得到各个数据，再利用公式求出所求的值．6．（5分）（2014•盐城一模）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为145．考点：伪代码．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28时，S的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28值．∵S=1+4+7+10+13+…+28=145，故输出的S值为145．故答案为：145．点评：本题考查的知识点是伪代码，其中根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是解答的关键．7．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆与双曲线y2﹣3x2=3共焦点，且经过点，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，双曲线y2﹣3x2=3焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0）．然后根据椭圆的定义，结合两点的距离公式得2a=|AF1|+|AF2|=4，从而a=2，可得c，可得该椭圆的离心率．解答：解：∵双曲线y2﹣3x2=3，即，∴双曲线的焦距为4，∴c=2，焦点坐标为F1（0，﹣2），F2（0，2），∵椭圆经过点A，∴根据椭圆的定义，得2a=|AF1|+|AF2|=+=4，可得a=2，所以离心率e===．故答案为：．点评：本题给出椭圆的焦点和椭圆上一点的坐标，求椭圆的基本量，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质，属于基础题．8．（5分）（2013•南通二模）若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为cm．考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：根据半圆的周长等于圆锥底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据圆锥的轴截面图形求高即可．解答：解：设圆锥的底面圆半径为r，则2πr=2π⇒r=1cm，∴h==cm．故答案是．点评：本题考查圆锥的侧面展开图及圆锥的轴截面．9．（5分）（2013•南通二模）将函数的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由左加右减上加下减的原则，可确定函数平移后的函数解析式，利用伸缩变换推出所求函数解析式．解答：解：图象上的每一点向右平移1个单位，得到函数，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为．故答案为：．点评：本题主要考查三角函数的平移与伸缩变换．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．10．（5分）（2013•南通二模）函数f（x）=（x﹣1）sinπx﹣1（﹣1＜x＜3）的所有零点之和为4．考点：数列的求和；函数的零点．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：画出图象，可看出交点的个数，并利用对称性即可求出．解答：解：由（x）=（x﹣1）sinπx﹣1=0（﹣1＜x＜3）可得sinπx=令g（x）=sinπx，h（x）=，（﹣a＜x＜3）则g（x），h（x）都是关于（1，0）点对称的函数故交点关于（1，0）对称又根据函数图象可知，函数g（x）与h（x）有4个交点，分别记为A，B，C，D则x A+x B+x C+x D=4故答案为：4点评：熟练掌握数形结合的思想方法和函数的对称性是解题的关键11．（5分）（2013•南通二模）设α，β∈（0，π），且，．则cosβ的值为﹣．考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由tan的值，利用二倍角的正切函数公式求出tanα的值大于1，确定出α的范围，进而sinα与cosα的值，再由sin（α+β）的值范围求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，所求式子的角β=α+β﹣α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：∵tan=，∴tanα==＞1，∴α∈（，），∴cosα==，sinα==，∵sin（α+β）=＜，∴α+β∈（，π），∴cos（α+β）=﹣，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=﹣．故答案为：﹣点评：此考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．12．（5分）（2013•南通二模）设数列{a n}满足：a3=8，（a n+1﹣a n﹣2）（2a n+1﹣a n）=0（n∈N*），则a1的值大于20的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由给出的等式得到数列递推式，说明数列是等差数列或等比数列，求出a3=8时对应的a1的值，则a1的值大于20的概率可求．解答：解：∵（a n+1﹣a n﹣2）（2a n+1﹣a n）=0，∴a n+1﹣a n﹣2=0或2a n+1﹣a n=0，分别取n=1，2．则a3﹣a2=2，a2﹣a1=2或a2=2a3，a1=2a2．当a3=8时，a2=6或a2=16，当a2=6时，a1=4或a1=12，当a2=16时，a1=14或a1=32，∴a1的值大于20的概率为．故答案为．点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了古典概型及其概率计算公式，解答此题的关键是不能把数列看做等差数列或等比数列独立的求解，此题虽是基础题但容易出错．13．（5分）（2013•南通二模）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1•x2•x3•x4•x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是9．考点：进行简单的合情推理；函数的值．专题：新定义．分析：先根据基本不等式得x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，及x2x3+x4x5≥2+≥2，再研究使三个不等式等号都成立的条件，即可得出max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值．解答：解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，同样x2x3+x4x5≥2，+≥2，使三个不等式等号都成立，则x1x2=x3x4=，x2x3=x4x5=，x1=x5即x1=x3=x5，x2=x4 x1x2=x2x3=x3x4=x4x5所以729=x13×x22=，（x1x2）3=729×x2x2最小为1，所以x1x2最小值为9，此时x1=x3=x5=9 x2=x4=1．故答案为：9．点评：本题主要考查了进行简单的合情推理及基本不等式的应用，属于中档题．14．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设A（﹣1，1），B，C是函数图象上的两点，且△ABC为正三角形，则△ABC的高为2．考点：点到直线的距离公式．专题：综合题．分析：设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=的交点，联立方程组⇒kx2+bx﹣1=0．设B（x1，y1），C（x2，y2），利用韦达定理，结合△ABC为正三角形，可求得k及|AD|，从而可得答案．解答：解：设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=的交点，由得kx2+bx﹣1=0．设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=﹣，y1+y2=+==b，设BC的中点为D，则D（﹣，）．因为A（﹣1，1），依题意，k AD•k BC=﹣1，即•k=﹣1，由于k＜0，故1﹣k≠0，∴b=（b＞0）．∵|BC|=|x1﹣x2|=•=•=•∴d A﹣BC=|BC|，即=×|BC|=×2•，即=ו，解得：k=．∵b=＞0，∴k=，k2=，∴d A﹣BC======2．故△ABC的高为2．故答案为：2．点评：本题考查韦达定理与点到直线的距离公式，考查方程思想与等价转化思想的综合运用，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•南通二模）已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为．（1）若AB=，求△ABC的另外两条边长；（2）设O为△ABC的外心，当时，求的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由三角形的面积公式及已知AB，可求b，c，然后再利用余弦定理可求（2）由（1）可知BC，利用余弦定理可求b，设BC的中点为D，则，结合O为△ABC的外心，可得，从而可求解答：解：（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，于是，所以bc=4．…（3分）因为，所以．由余弦定理得．…（6分）（2）由得b2+c2+4=21，即，解得b=1或4．…（8分）设BC的中点为D，则，因为O为△ABC的外心，所以，于是．…（12分）所以当b=1时，c=4，；当b=4时，c=1，．…（14分）点评：本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用．还考查了向量的基本运算及性质的应用．16．（14分）（2013•南通二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．求证：（1）AD∥平面PBC；（2）平面PBC⊥平面PAB．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由BC∥平面PAD，利用线面平行的性质定理即可得到BC∥AD，再利用线面平行的判定定理即可证明AD∥平面PBC；（2）自P作PH⊥AB于H，由平面PAB⊥平面ABCD，可得PH⊥平面ABCD．于是BC⊥PH．又BC⊥PB，可得BC⊥平面PAB，进而得到面面垂直．解答：证明：（1）因为BC∥平面PAD，而BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD=AD，所以BC∥AD．因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC．（2）自P作PH⊥AB于H，因为平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABCD．因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PH．因为∠PBC=90°，所以BC⊥PB，而∠PBA≠90°，于是点H与B不重合，即PB∩PH=P．因为PB，PH⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．因为BC⊂平面PBC，故平面PBC⊥平面PAB．点评：本题综合考查了线面、面面垂直的判定与性质定理，线面平行的判定与性质定理，需要较强的推理能力和空间想象能力．17．（14分）（2013•南通二模）为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k为常数）．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元．（每平方米平均综合费用=）．（1）求k的值；（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？考点：函数模型的选择与应用．分析：（1）求出每幢楼为5层时的所有建筑面积，算出所有建筑费，直接由每平方米平均综合费用=列式求出k的值；（2）设小区每幢为n（n∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n），同样利用题目给出的每平方米平均综合费用的关系式列出f （n）的表达式，然后利用基本不等式求出f （n）的最小值，并求出层数．解答：解：（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1000×5平方米，所有建筑费用为[（k+800）+（2k+800）+（3k+800）+（4k+800）+（5k+800）]×1000×10，所以，1270=，解之得：k=50．（2）设小区每幢为n（n∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n），由题设可知f （n）==+25n+825≥2+825=1 225（元）．当且仅当=25n，即n=8时等号成立．答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1225元．点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了学生的数学建模能力和计算能力，是中档题．18．（16分）（2013•南通二模）已知函数f （x）=（m﹣3）x3+9x．（1）若函数f （x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调函数，求m的取值范围；（2）若函数f （x）在区间[1，2]上的最大值为4，求m的值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；综合题；导数的综合应用．分析：（1）函数f （x）在R上是单调函数，说明y=f'（x）在（﹣∞，+∞）上恒大于等于0或恒小于等于0，根据f'（x）=3（m﹣3）x2+9得f'（0）=9＞0，从而得到只有f'（x）≥0在R上恒成立，由此建立关于m的不等式即可解出实数m的取值范围．（2）根据（1）的结论，当m≥3时f （x）在R上为增函数，当m＜3时在区间，上单调递减，在区间单调递增．再根据m的取值结合函数的单调性建立关于m的方程，解得m=﹣2符合题意，得到本题答案．解答：解：（1）求导数，得f'（x）=3（m﹣3）x2+9∵f'（0）=9＞0，∴f （x）在区间（﹣∞，+∞）上只能是单调增函数．…（3分）又∵f'（x）=3（m﹣3）x2+9≥0在区间（﹣∞，+∞）上恒成立，∴，解之可得m≥3，即m的取值范围是[3，+∞）．…（6分）（2）由（1）的结论，得当m≥3时，f （x）在[1，2]上是增函数，所以[f （x）]max=f （2）=8（m﹣3）+18=4，解得m=＜3，不合题意舍去．…（8分）当m＜3时，f'（x）=3（m﹣3）x2+9=0，解之得．所以f （x）的单调区间为：在区间，上单调递减，在区间单调递增．…（10分）①当，即时，得，∴f （x）在区间[1，2]上单调增，可得[f （x）]max=f（2）=8（m﹣3）+18=4，m=，不满足题设要求．②当，即0＜m＜时，可得[f （x）]max=舍去．③当，即m≤0时，则，∴f （x）在区间[1，2]上单调减，可得[f （x）]max=f （1）=m+6=4，m=﹣2，符合题意综上所述，m的值为﹣2．…（16分）点评：本题给出三次多项式函数，讨论了函数的单调性，已知函数在区间[1，2]上的最大值为4的情况下求参数m 的值．着重考查了利用导数研究函数的单调性、三次多项式函数在闭区间上最值的求法等知识，属于中档题．19．（16分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．考点：直线与圆的位置关系；恒过定点的直线．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）通过r=2，M点的坐标为（4，2），求出A1（﹣2，0），A2（2，0）．然后推出P、Q坐标，即可求直线PQ方程；（2）证明法一：设A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，直线MA1的方程，通过直线与圆的方程联立，求出直线PQ的方程，然后说明经过定点，求定点的坐标．法二：设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，与圆C的交点P设为P（x1，y1）．求出直线MA2的方程，与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，求出公共弦方程，说明经过定点，求定点的坐标．解答：解：（1）当r=2，M（4，2），则A1（﹣2，0），A2（2，0）．直线MA1的方程：x﹣3y+2=0，解得．…（2分）直线MA2的方程：x﹣y﹣2=0，解得Q（0，﹣2）．…（4分）由两点式，得直线PQ方程为：2x﹣y﹣2=0．…（6分）（2）证法一：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），直线MA1的方程是：y=（x﹣r）．…（8分）解得．…（10分）解得．…（12分）于是直线PQ的斜率k PQ=，直线PQ的方程为．…（14分）上式中令y=0，得x=，是一个与t无关的常数．故直线PQ过定点．…（16分）证法二：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），与圆C的交点P设为P（x1，y1）．直线MA2的方程是：y=（x﹣r）；与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．则点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，…（10分）化简得（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）+t2（x2﹣r2）=0．①又有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，圆C：x2+y2﹣r2=0．②①﹣t2×②得（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）﹣t2（x2﹣r2）﹣t2（x2+y2﹣r2）=0，化简得：（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2 y=0．所以直线PQ的方程为（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2 y=0．③…（14分）在③中令y=0得x=，故直线PQ过定点．…（16分）点评：不考查直线与圆的位置关系，直线系方程的应用，考查计算能力与转化思想．20．（16分）（2013•南通二模）设无穷数列{a n}满足：∀n∈N*，a n＜a n+1，．记．（1）若，求证：a1=2，并求c1的值；（2）若{c n}是公差为1的等差数列，问{a n}是否为等差数列，证明你的结论．考点：等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）根据已知条件排除a1=1、a1≥3即可证得a1=2，，通过计算可得a2=3，故=b2，代入数值可求得；（2）由a n+1＞a n⇒n≥2时，a n＞a n﹣1，由此可推得a n≥a m+（n﹣m）（m＜n），从而，即c n+1﹣c n≥a n+1﹣a n，又{c n}是公差为1的等差数列，所以1≥a n+1﹣a n，又a n+1﹣a n≥1，故a n+1﹣a n=1，由此可判断{a n}是否为等差数列；解答：（1）因为，所以若a1=1，则矛盾，若，可得1≥a1≥3矛盾，所以a1=2．于是，从而．（2）{a n}是公差为1的等差数列，证明如下：a n+1＞a n⇒n≥2时，a n＞a n﹣1，所以a n≥a n﹣1+1⇒a n≥a m+（n﹣m），（m＜n），即c n+1﹣c n≥a n+1﹣a n，由题设，1≥a n+1﹣a n，又a n+1﹣a n≥1，所以a n+1﹣a n=1，即{a n}是等差数列．点评：本题考查等差数列的判定及通项公式，考查学生的逻辑推理能力，难度较大．选做题：本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（10分）（2013•南通二模）如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．求证：DE2=DB•DA．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：欲证DE2=DB•DA，由于由切割线定理得DF2=DB•DA，故只须证：DF=DE，也就是要证：∠CFD=∠DEF，这个等式利用垂直关系通过互余角的转换即得．解答：证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．（5分）所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA．（10分）点评：本题考查的与圆有关的比例线段、切线的性质、切割线定理的运用．属于基础题．22．（10分）（2013•南通二模）选修4﹣2：矩阵与变换设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵（m＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．考点：逆变换与逆矩阵．专题：计算题．分析：确定点在矩阵对应的变换作用下得到点坐标之间的关系，利用变换前后的方程，即可求得矩阵M；再求出对应行列式的值，即可得到M的逆矩阵．解答：解：设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换下的像是P'（x'，y'），由，得因为P'（x'，y'）在圆x2+y2=1上，所以（mx）2+（nx+y）2=1，化简可得（m2+n2）x2+2nxy+y2=1．…（3分）依题意可得m2+n2=2，2n=2，m=1，n=1或m=﹣1，n=1，而由m＞0可得m=1，n=1．…（6分）故，故矩阵M的逆矩阵M﹣1=．…（10分）点评：本题考查矩阵与变换，考查逆矩阵的求法，确定变换前后坐标之间的关系是解题的关键．23．（2013•南通二模）选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy中，已知圆，圆．（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1，C2的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标；（2）求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解答：解：（1）圆C1的极坐标方程为ρ=2，圆C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，由得，故圆C1，C2交点坐标为圆．…（5分）（2）由（1）得，圆C1，C2交点直角坐标为，故圆C1与C2的公共弦的参数方程为…（10分）注：第（1）小题中交点的极坐标表示不唯一；第（2）小题的结果中，若未注明参数范围，扣（2分）．点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考查计算能力．24．（2014•江苏模拟）选修4﹣5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．考点：一般形式的柯西不等式．专题：计算题．分析：利用柯西不等式，即可求得的最小值．解答：解：∵正数a，b，c满足a+b+c=1，∴（）[（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）]≥（1+1+1）2，即当且仅当a=b=c=时，取等号∴当a=b=c=时，的最小值为1．点评：本题考查求最小值，解题的关键是利用柯西不等式进行求解，属于中档题．必做题：本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2013•南通二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A1B=2．（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P，使二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为．考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．专题：空间角．分析：（1）因为AB⊥AC，A1B⊥平面ABC，所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y 轴，以过A，且平行于BA1的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱AA1与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）设棱B1C1上的一点P，由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABA1的一个法向量，把二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标．解答：解：（1）如图，以A为原点，AC、AB所在直线分别为x轴和y轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），，．所以==，所以向量与所成的角为，故AA1与棱BC所成的角是．（2）设P为棱B1C1上的点，由，得P（2λ，4﹣2λ，2）．设平面PAB的法向量为=（x，y，z），，，由，得，取x=1，得z=﹣λ，故=（1，0，﹣λ）．而平面ABA1的一个法向量是=（1，0，0），则=，解得，即P为棱B1C1中点，其坐标为P（1，3，2）．。