【解析】江苏省南通市、泰州市2019-2020学年高三上学期第一次调研考试数学试题

2019-2020南通、泰州高三第一次调研试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．
． 1.已知集合{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，则A B =_____. 答案：{1,2}-
解：因为{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，所以{1,2}A B =-
2.已知复数z 满足(1)2i z i +=，其中i 是虚数单位，则z 的模为_______.
解：22(1)
11(1)(1)
i i i z i i i i -=
==+++-，则||z 3.某校高三数学组有5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为______. 答案：40 解：
3535413851
405
++++=
4.根据如图所示的伪代码，输出的a 的值为______. 答案：11 解：模拟演示：
1,1a i == 2,2a i == 4,3a i == 7,4a i ==
11,5a i ==此时输出11a =
5.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1
a d
的值为____. 答案：1
解：由题意得：2214a a a =⋅，则2111()(3)a d a a d +=⋅+，整理得1a d =，所以1
1a d
=
6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为___. 答案：38
解：223113()()228
P C =⋅⋅=
7.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则三棱锥111A BB C -的体积为____.
解：112232
V =⨯⨯⨯=
8.已知函数()sin()3
f x x πω=-(0)ω>，若当6
x π
=
时，函数()f x 取得最大值，则ω的
最小值为_____. 答案：5 解：由题意得：
263
2
k ωπ
π
π
π-
=
+，k z ∈，则512k ω=+，k z ∈，因为0ω>，所以
当0k =时ω取得最小值，即5ω=
9.已知函数2()(2)(8)f x m x m x =-+-()m R ∈是奇函数，若对于任意的x R ∈，关于x 的不等式2(+1)()f x f a <恒成立，则实数a 的取值范围是____. 答案：1a <
10.在平面直角坐标系xOy 中,已知点,A B 分别在双曲线22:1C x y -=的两条渐近线上,且双曲线C 经过线段AB 的中点，若点A 的横坐标为2，则点B 的横坐标为_____. 答案：1
2
11.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如.地震时释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为
lg 4.8 1.5E M =+.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震,它释放出来的能量是2019
年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的____倍. 答案：1000
12.已知ABC ∆的面积为3，且AB AC =，若2CD DA =，则BD 的最小值为
_____.
13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:8C x y +=与圆222:20C x y x y a +++-=相交于,A B 两点，若圆1C 上存在点P ，使得ABP ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为
____.
14.已知函数||1|1|,0(),01
x x f x x
x x --≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，若关于x 的方程22()2()10f x af x a ++-=有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是
_____.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域
．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.（本小题满分14分）
如图，在三棱锥P ABC
BC AC的中
⊥，,D E分别为,
-中，PA⊥平面ABC，PC AB
点.
求证：（1）AB∥平面PDE；
（2）平面PAB⊥平面PAC.
16.（本小题满分14分）
在ABC
∆中，已知4
AC=，3
BC=，
1 cos
4
B=-.
（1）求sin A的值. （2）求BA BC
⋅的值.
17.（本小题满分14分）
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆
22
22
:1
x y
E
a b
+=(0)
a b
>>的焦距为4，两条准线
间的距离为8，A,B分别为椭圆E的左、右顶点。

(1)求椭圆E的标准方程:
(2)已知图中四边形ABCD是矩形，且BC=4，点M,N分别在边BC,CD上，AM 与BN相交于第一象限内的点P.
①若M,N分别是BC,CD的中点，证明:点P在椭圆E上;
②若点P在椭圆E上，证明: BM
CN
为定值，并求出该定值.
18.（本小题满分16分）
在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图,小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标,他将边长为a 的正三角形
ABC 绕其中心O 逆时针旋转θ到三角形111A B C ，且2(0,
)3
π
θ∈顺次连结A ,A 1,B ,B 1,C ,C 1,A ,得到六边形徽标AA 1BB 1CC 1. (1)当6
π
θ=
时,求六边形徽标的面积；
(2)求六边形微标的周长的最大值.
19.（本小题满分16分）
已知数列{}n a 满足：11a =，且当2n ≥时，11(1)2
n
n n a a λ---=+()R λ∈.
（1）若1λ=，证明：数列21{}n a -是等差数列； （2）若2λ=.
①设22+3
n n b a =，求数列{}n b 的通项公式；
②设21
1
3n
n i n
i C a n -=
⋅∑，证明：对于任意的,*p m N ∈，当p m >，都有p
m C
C ≥
.
20.（本小题满分16分）
设函数1()()x f x ax a e x
=--()a R ∈，其中e 为自然对数的底数. （1）当0a =时，求函数()f x 的单调减区间；
（2）已知函数()f x 的导函数'()f x 有三个零点123,,x x x 123()x x x <<.
①求a 的取值范围；
②若12,m m 12()m m <是函数()f x 的两个零点，证明：1111x m x <<+.
附加题（40分）
21．【选做题】本题包含A、B、C小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知,a b R
∈，向量
2
1
α
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
是矩阵
2
2
A
⎡
=⎢
⎣
a
b
⎤
⎥
⎦
的属于特征值3的一个特征向量.
（1）求矩阵A；
（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点'(2,2)
P，求点P的坐标.
B．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l
的参数方程
2
x t
t
y
⎧=-
⎪
⎨
=-
⎪
⎩
（t为参数），椭圆
C的参数方程为
2cos
sin
x
y
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
（θ为参数），求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大
值
.
C ．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分）
已知,,a b c 都是正实数，且1111a b c
++=. 证明：（1）27abc ≥； （2）
22
21b c a
a b c
++≥.
第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22.（本小题满分10分）
如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AD BC ∥，AB AD ⊥，122AB AD AA BC ====. （1）求二面角111C B C D --的余弦值；
（2）若点P 为棱AD 的中点，点Q 在棱AB 上，且直线1B C 与平面1B PQ 所成角的
，求AQ 的长.
23.（本小题满分10分）
一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只.现从口袋中先后有放回地取球2n次(*)
n N
∈，且每次取1只球. （1）当3
n=时，求恰好取到3次红球的概率；
（2）随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数，随机变量
,
0,
X X
Y
X
⎧
=⎨
⎩
为奇数
为偶数
，
求Y的数学期望（用n表示）.。