南通市、泰州市2017届数学一模(含参考答案)
2017年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．函数的最小正周期为．2．设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，则A∪B=．3．复数z=（1+2i）2，其中i为虚数单位，则z的实部为．4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为．5．如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为．6．若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为．7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为．8．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，则三棱锥D1﹣A1BD的体积为cm3．9．在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为升．11．在△ABC中，若•+2•=•，则的值为．12．已知两曲线f（x）=2sinx，g（x）=acosx，相交于点P．若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为．13．已知函数f（x）=|x|+|x﹣4|，则不等式f（x2+2）＞f（x）的解集用区间表示为．14．在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB=．（1）求cosβ的值；（2）若点A的横坐标为，求点B的坐标．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：（1）直线PA∥平面BDE；（2）平面BDE⊥平面PCD．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．18．如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E 在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．（1）当∠EFP=时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19．已知函数f（x）=ax2﹣x﹣lnx，a∈R．（1）当时，求函数f（x）的最小值；（2）若﹣1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．20．已知等差数列{a n}的公差d不为0，且，，…，，…（k1＜k2＜…＜k n＜…）成等比数列，公比为q．（1）若k1=1，k2=3，k3=8，求的值；（2）当为何值时，数列{k n}为等比数列；（3）若数列{k n}为等比数列，且对于任意n∈N*，不等式恒成立，求a1的取值范围．南通市2017届高三第一次调研测试数学Ⅱ（附加题）[选做题本题包括四小题，请选2题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．已知圆O的直径AB=4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD，求△OCE的面积．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知向量是矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），求矩阵A．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]24．求函数的最大值．[必做题]共2小题，满分20分）25．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ=λBB1（λ≠0）．（1）若，求AP与AQ所成角的余弦值；（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2=2py（p＞0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2，（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．2017年江苏省南通市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．函数的最小正周期为．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期等于，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．2．设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，则A∪B={1，3，5} ．【考点】并集及其运算．【分析】由交集的定义，可得a+2=3，解得a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求．【解答】解：集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，则A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．3．复数z=（1+2i）2，其中i为虚数单位，则z的实部为﹣3．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=﹣3+4i，∴z的实部为﹣3．故答案为：﹣3．4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为0.17．【考点】概率的基本性质．【分析】利用对立事件的概率公式，可得结论．【解答】解：∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1﹣0.48﹣0.35=0.17．故答案为0.17．5．如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为5．【考点】程序框图．【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n 值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．6．若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为7．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为20．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比较可得S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；即可得答案．【解答】解：根据题意，对于甲，其平均数甲==75，其方差S甲2= [（65﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2+（85﹣75）2+（75﹣75）2]=50；对于乙，其平均数乙==75，其方差S乙2= [（80﹣75）2+（70﹣75）2+（75﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2]=20；比较可得：S 甲2＞S 乙2，则乙的成绩较为稳定； 故答案为：20．8．如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，AA 1=1cm ，则三棱锥D 1﹣A 1BD 的体积为cm 3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥D 1﹣A 1BD 的体积==，由此能求出结果．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，AA 1=1cm ， ∴三棱锥D 1﹣A 1BD 的体积：=====（cm 3）．故答案为：．9．在平面直角坐标系xOy 中，直线2x +y=0为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程得到a ，b 关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：直线2x +y=0为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线，可得b=2a ，即c 2﹣a 2=4a 2，可得=．故答案为：．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为升．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设最上面一节的容积为a1，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出结果．【解答】解：设最上面一节的容积为a1，由题设知，解得．故答案为：．11．在△ABC中，若•+2•=•，则的值为．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出的值．【解答】解：在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由•+2•=•，得ac•cosB+2bc•cosA=ba•cosC，由余弦定理得：（a2+c2﹣b2）+（b2+c2﹣a2）=（b2+a2﹣c2），化简得=2，∴=，由正弦定理得==．故答案为：．12．已知两曲线f（x）=2sinx，g（x）=acosx，相交于点P．若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】联立两曲线方程，可得tanx==，a＞0，设交点P（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值．【解答】解：由f（x）=g（x），即2sinx=acosx，即有tanx==，a＞0，设交点P（m，n），f（x）=2sinx的导数为f′（x）=2cosx，g（x）=acosx的导数为g′（x）=﹣asinx，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cosm•（﹣asinm）=﹣1，且tanm=，则=1，分子分母同除以cos2m，即有=1，即为a2=1+，解得a=．故答案为：．13．已知函数f（x）=|x|+|x﹣4|，则不等式f（x2+2）＞f（x）的解集用区间表示为．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．【解答】解：令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，x≥4时，g（x）=2x2﹣2x+4＞0，解得：x≥4；≤x＜4时，g（x）=2x2﹣4＞0，解得：x＞或x＜﹣，故＜x＜4；0≤x＜时，g（x）=0＞0，不合题意；﹣≤x＜0时，g（x）=2x＞0，不合题意；x＜﹣时，g（x）=2x2+2x﹣4＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，故x＜﹣2，故答案为：．14．在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为[，] ．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】画出图形，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值范围．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，如图所示当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．由，可得B（，1）或（，1），由，可得C（1，）或（1，﹣）解得BC min==，BC max==．故答案为：[，]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB=．（1）求cosβ的值；（2）若点A的横坐标为，求点B的坐标．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】（1）由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．（2）利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标．【解答】解：（1）在△AOB中，由余弦定理得，AB2=OA2+OB2﹣2OA•OBcos∠AOB，所以，=，即．（2）因为，，∴．因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得，，因为α为锐角，所以．所以，，即点．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：（1）直线PA∥平面BDE；（2）平面BDE⊥平面PCD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结OE，说明OE∥PA．然后证明PA∥平面BDE．（2）证明OE⊥PD．OE⊥PC．推出OE⊥平面PCD．然后证明平面BDE⊥平面PCD．【解答】证明：（1）连结OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC中点．又因为E为PC的中点，所以OE∥PA．…4分又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以直线PA∥平面BDE．…6分（2）因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD．…8分因为OP=OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC．…10分又因为PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD=P，所以OE⊥平面PCD．…12分又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD．…14分．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知条件可得，，然后求解椭圆的方程．（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，求解结果；当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．联立方程组，推出．OQ2=2k2+2．然后求解即可．【解答】解：（1）由题意得，，，…2分解得，c=1，b=1．所以椭圆的方程为．…4分（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，，，所以．…6分当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．由得（2k2+1）x2=2，解得，所以，所以．…9分因为OP⊥OQ，所以直线OQ的方程为．由得，所以OQ2=2k2+2．…12分所以．综上，可知．…14分．18．如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E 在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．（1）当∠EFP=时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．可得FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．即可得出．（2）解法一：设，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得，，．四边形MNPE面积为==，化简利用基本不等式的性质即可得出．解法二：设BE=tm ，3＜t ＜6，则ME=6﹣t ．可得PE=PF ，即．，NP=3﹣T +，四边形MNPE 面积为==，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．所以∠FPE=．所以FN ⊥BC ，四边形MNPE 为矩形．…3分所以四边形MNPE 的面积S=PN•MN=2m 2．…5分 （2）解法一：设，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．所以，，． …8分由得所以四边形MNPE 面积为====…12分．当且仅当，即时取“=”．…14分此时，（*）成立．答：当时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为m 2． …16分解法二：设BE=tm ，3＜t ＜6，则ME=6﹣t ．因为∠EFP=∠EFD=∠FEP ，所以PE=PF ，即．所以，．…8分由得所以四边形MNPE面积为==…12分=．当且仅当，即时取“=”．…14分此时，（*）成立．答：当点E距B点m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2．…16分．19．已知函数f（x）=ax2﹣x﹣lnx，a∈R．（1）当时，求函数f（x）的最小值；（2）若﹣1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当时，．求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值．（2）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得．当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点，当﹣1≤a≤0时，f（1）=a﹣1＜0，，推出结果．（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．说明a＞0，由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得，说明函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要．通过函数h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，推出0＜a＜1．验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．证明：lnx≤x﹣1．设t（x）=x﹣1﹣lnx，利用导数求解函数的最值即可．【解答】解：（1）当时，．所以，（x＞0）．…2分令f'（x）=0，得x=2，当x∈（0，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．所以当x=2时，f（x）有最小值．…4分（2）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得．所以当a≤0时，，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．…6分因为当﹣1≤a≤0时，f（1）=a﹣1＜0，，所以当﹣1≤a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上有零点．综上，当﹣1≤a≤0时，函数f（x）有且只有一个零点．…8分（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．因为函数f（x）有两个零点，所以a＞0．…9分由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得，令g（x）=2ax2﹣x﹣1．因为g（0）=﹣1＜0，2a＞0，所以函数g（x）在（0，+∞）上只有一个零点，设为x0．当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要函数f（x）的极小值f（x0）＜0，即．又因为，所以2lnx0+x0﹣1＞0，又因为函数h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=0，所以x0＞1，得．又由，得，所以0＜a＜1．…13分以下验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．当0＜a＜1时，，所以．因为，且f（x0）＜0．所以函数f（x）在上有一个零点．又因为（因为lnx≤x﹣1），且f（x0）＜0．所以函数f（x）在上有一个零点．所以当0＜a＜1时，函数f（x）在内有两个零点．综上，实数a的取值范围为（0，1）．…16分下面证明：lnx≤x﹣1．设t（x）=x﹣1﹣lnx，所以，（x＞0）．令t'（x）=0，得x=1．当x∈（0，1）时，t'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，t'（x）＞0．所以函数t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．所以当x=1时，t（x）有最小值t（1）=0．所以t（x）=x﹣1﹣lnx≥0，得lnx≤x﹣1成立．20．已知等差数列{a n}的公差d不为0，且，，…，，…（k1＜k2＜…＜k n＜…）成等比数列，公比为q．（1）若k1=1，k2=3，k3=8，求的值；（2）当为何值时，数列{k n}为等比数列；（3）若数列{k n}为等比数列，且对于任意n∈N*，不等式恒成立，求a1的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；等比数列的性质．【分析】（1）由已知得：a1，a3，a8成等比数列，从而4d2=3a1d，由此能求出的值．（2）设数列{k n}为等比数列，则，推导出，从而，进而．由此得到当时，数列{k n}为等比数列．（3）由数列{k n}为等比数列，a1=d，．得到，恒成立，再证明对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得．要证，即证lnn1＜n1lnq+lnε．由此能求出a1的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得：a1，a3，a8成等比数列，所以，…2分整理可得：4d2=3a1d．因为d≠0，所以．…4分（2）设数列{k n}为等比数列，则．又因为，，成等比数列，所以．整理，得．因为，所以a1（2k2﹣k1﹣k3）=d（2k2﹣k1﹣k3）．因为2k2≠k1+k3，所以a1=d，即．…6分当时，a n=a1+（n﹣1）d=nd，所以．又因为，所以．所以，数列{k n}为等比数列．综上，当时，数列{k n}为等比数列．…8分（3）因为数列{k n}为等比数列，由（2）知a1=d，．，a n=a1+（n﹣1）d=na1．因为对于任意n∈N*，不等式恒成立．所以不等式，即，恒成立．…10分下面证明：对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得．要证，即证lnn1＜n1lnq+lnε．因为，则，解不等式，即，可得，所以．不妨取，则当n1＞n0时，原式得证．所以，所以a1≥2，即得a1的取值范围是[2，+∞）．…16分南通市2017届高三第一次调研测试数学Ⅱ（附加题）[选做题本题包括四小题，请选2题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．已知圆O的直径AB=4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD，求△OCE的面积．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由相交弦定理，得CD，DE中点H，则OH⊥DE，利用勾股定理求出OH，即可求出△OCE的面积．【解答】解：设CD=x，则CE=2x．因为CA=1，CB=3，由相交弦定理，得CA•CB=CD•CE，所以1×3=x•2x=2x2，所以．…2分取DE中点H，则OH⊥DE．因为，所以．…6分又因为，所以△OCE的面积．…10分．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知向量是矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），求矩阵A．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】设，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a、b、c和d的值，求得A．【解答】解：设，因为向量是矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量，所以．所以…4分因为点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），所以．所以…8分解得a=1，b=2，c=2，d=1，所以．…10分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出A，B的坐标，即可求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．【解答】解：以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．直线的直角坐标方程为y=x①，…3分曲线ρ=4sinθ的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0②．…6分由①②得或…8分所以A（0，0），B（2，2），所以直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长AB=．…10分．[选修4-5：不等式选讲]24．求函数的最大值．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用；三角函数的最值．【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即可．【解答】解：…2分由柯西不等式得，…8分所以y max=5，此时．所以函数的最大值为5．…10分．[必做题]共2小题，满分20分）25．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ=λBB1（λ≠0）．（1）若，求AP与AQ所成角的余弦值；（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz．求出，，利用数量积求解AP与AQ所成角的余弦值．（2），．求出平面APQ的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz．（1）因为，，所以=．所以AP与AQ所成角的余弦值为．…4分（2）由题意可知，，．设平面APQ的法向量为=（x，y，z），则即令z=﹣2，则x=2λ，y=2﹣λ．所以=（2λ，2﹣λ，﹣2）．…6分又因为直线AA1与平面APQ所成角为45°，所以|cos＜，＞|==，可得5λ2﹣4λ=0，又因为λ≠0，所以．…10分．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2=2py（p＞0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2，（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；抛物线的标准方程；直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）求出抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，由抛物线定义，得到p=2，即可求解抛物线的方程．（2）求出函数的．设点，得到抛物线在点E处的切线方程为．求出．推出直线PF的方程，点到直线PF的距离，联立求出AB，表示出△EAB的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可．【解答】解：（1）抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，因为M（m，1），由抛物线定义，知，所以，即p=2，所以抛物线的方程为x2=4y．…3分（2）因为，所以．设点，则抛物线在点E处的切线方程为．令y=0，则，即点．因为，F（0，1），所以直线PF的方程为，即2x+ty﹣t=0．则点到直线PF的距离为．…5分联立方程消元，得t2y2﹣（2t2+16）y+t2=0．因为△=（2t2+16）2﹣4t4=64（t2+4）＞0，所以，，所以．…7分所以△EAB的面积为．不妨设（x＞0），则．因为时，g'（x）＜0，所以g（x）在上单调递减；上，g'（x）＞0，所以g（x）在上单调递增．所以当时，．所以△EAB的面积的最小值为．…10分．2017年3月4日。
2017年江苏省泰州市高考数学试卷与解析PDF(5月份)
2017年江苏省泰州市高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知集合A={﹣1，1，2，3}，B={x|x∈R，x2＜3}，则A∩B=．2．（5分）函数的最小正周期为．3．（5分）复数（a+i）（1+2i）是纯虚数（i是虚数单位），则实数a=．4．（5分）某算法的伪代码如图所示，如果输入的x值为32，则输出的y值为．5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则两个数和为偶数的概率为．6．（5分）已知双曲线的离心率为2，那么该双曲线的渐近线方程为．7．（5分）公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2，a5，a14成等比数列，，则a10=．8．（5分）将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为．9．（5分）若正实数x，y满足x2+2xy﹣1=0，则2x+y的最小值为．10．（5分）如图，在由5个边长为1，一个顶角为60°的菱形组成的图形中，•=．11．（5分）已知点F，A是椭圆C：的左焦点和上顶点，若点P是椭圆C上一动点，则△PAF周长的最大值为．12．（5分）已知函数f（x）=x3+x+1，若对任意的x，都有f（x2+a）+f（ax）＞2，则实数a的取值范围是．13．（5分）在△ABC中，若C=120°，tanA=3tanB，sinA=λsinB，则实数λ=．14．（5分）若函数f（x）=ax2+（a2+1）x﹣a（a＞0）的一个零点为x0，则x0的最大值为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（15分）已知向量=（1，m），=（2，n）．（1）若m=3，n=﹣1，且⊥（+λ），求实数λ的值；（2）若|+|=5，求•的最大值．16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥CD，CD⊥AC，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F．（1）求证：CD⊥平面PAC；（2）求证：AB∥EF．17．（15分）如图，圆O是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A，B两点在⊙O上，A，B，C，D恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在A，B，C，D四点处安装四盏照明设备，从圆心O点出发，在地下铺设4条到A，B，C，D四点线路OA，OB，OC，OD．（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路OA，OB，OC，OD总长度的最小值．18．（15分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y2=4交于点A，B，与圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1交于点C，D．（1）若，求CD的长；（2）若CD中点为E，求△ABE面积的取值范围．19．（15分）已知函数f（x）=2lnx+x2﹣ax，a∈R．（1）若函数y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若a=e，解不等式：f（x）＜2；（3）求证：当a＞4时，函数y=f（x）只有一个零点．20．（15分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣2；数列{b n}的前n 项和为T n，且满足b1=1，b2=2，．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在正整数n，使得恰为数列{b n}中的一项？若存在，求所有满足要求的b n；若不存在，说明理由．（附加题）（[选做题]请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．A．（本小题满分10分，几何证明选讲）21．（10分）如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点B作BD⊥CD于点D．求证：BC2=BA•BD．B．（本小题满分0分，矩阵与变换）22．设矩阵M=，N=，若MN=，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．C．（本小题满分0分，坐标系与参数方程选讲）23．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为．试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．D．（本小题满分0分，不等式选讲）24．已知a，b＞0，且a+b=1，求证：．【必做题】（每小题满分0分）25．如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知△ABD，△BCD都是边长为2的等边三角形，E为BD中点，且AE⊥平面BCD，F为线段AB上一动点，记．（1）当时，求异面直线DF与BC所成角的余弦值；（2）当CF与平面ACD所成角的正弦值为时，求λ的值．26．设（n∈N*，a n∈Z，b n∈Z）．（1）求证：a n2﹣8b n2能被7整除；（2）求证：b n不能被5整除．2017年江苏省泰州市高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知集合A={﹣1，1，2，3}，B={x|x∈R，x2＜3}，则A∩B={﹣1，1} ．【解答】解：B={x|x∈R，x2＜3}={x|﹣＜x＜}，则A∩B={﹣1，1}，故答案为：{﹣1，1}2．（5分）函数的最小正周期为．【解答】解：函数，∴f（x）的最小正周期T=．故答案为．3．（5分）复数（a+i）（1+2i）是纯虚数（i是虚数单位），则实数a=2．【解答】解：∵（a+i）（1+2i）=a﹣2+（1+2a）i是纯虚数，∴，解得a=2．故答案为：2．4．（5分）某算法的伪代码如图所示，如果输入的x值为32，则输出的y值为5．【解答】解：根据算法的功能是输出函数y=，当x=32时，y=log232=5．故答案为：5．5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则两个数和为偶数的概率为．【解答】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，基本事件总数n==6，两个数和为偶数包含怕基本事件个数m==2，∴这两个数和为偶数的概率p===．故答案为：．6．（5分）已知双曲线的离心率为2，那么该双曲线的渐近线方程为．【解答】解：双曲线的离心率为2，可得，即：，可得，该双曲线的渐近线方程为：．故答案为：．7．（5分）公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2，a5，a14成等比数列，，则a10=19．【解答】解：设数列的公差为d，（d≠0）∵S5=a32，得：5a3=a32，∴a3=0或a3=5；∵a2，a5，a14成等比数列，∴a52=a2•a14，∴（a3+2d）2=（a3﹣d）（a3+11d）若a3=0，则可得4d2=﹣11d2即d=0不符合题意，若a3=5，则可得（5+2d）2=（5﹣d）（5+11d），解可得d=0（舍）或d=2，∴a10=a3+7d=5+7×2=19，故答案为：19．8．（5分）将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为8π．【解答】解：将1个半径为1的小铁球的体积为：，1个底面周长为2π，高4的铁制圆柱的体积为：4π，重新锻造成一个大铁球的体积为：，大球的半径为：=，r3=4，该大铁球的表面积为：4πr2=8π．故答案为：8π．9．（5分）若正实数x，y满足x2+2xy﹣1=0，则2x+y的最小值为．【解答】解：∵正实数x，y满足x2+2xy﹣1=0，∴y=﹣，∴2x+y=2x+﹣=x+=（3x+）≥×2=，当且仅当x=时取等号，∴2x+y的最小值为，故答案为：10．（5分）如图，在由5个边长为1，一个顶角为60°的菱形组成的图形中，•=﹣4．【解答】解：以中间菱形的对角线为坐标轴建立如图所示的坐标系：则A（，﹣），B（﹣，），C（1，），D（﹣1，﹣），∴=（﹣1，2），=（﹣2，﹣），∴=2﹣6=﹣4．故答案为：﹣4．11．（5分）已知点F，A是椭圆C：的左焦点和上顶点，若点P是椭圆C上一动点，则△PAF周长的最大值为16．【解答】解：椭圆C：，a=4，b=2，c=2，则左焦点（﹣2，0）和上顶点（0，2），则椭圆的右焦点F2（2，0），由椭圆的定义丨PF丨+丨PF2丨=2a=8，丨AF丨+丨AF2丨=2a=8，∴△PAF周长l：l=丨AF丨+丨PF丨+丨PA丨≤丨AF丨+丨PF丨+丨PF2丨+丨AF2丨=4a=16，当且仅当AP过F2时△PAF周长取最大值，∴△PAF周长的最大值16，故答案为：16．12．（5分）已知函数f（x）=x3+x+1，若对任意的x，都有f（x2+a）+f（ax）＞2，则实数a的取值范围是0＜a＜4．【解答】解：构造函数g（x）=f（x）﹣1=x3+x，则函数是奇函数，在R上单调递增，f（x2+a）+f（ax）＞2，等价于g（x2+a）+g（ax）＞0，∴x2+a＞﹣ax，∴x2+ax+a＞0，∴△=a2﹣4a＜0∴0＜a＜4，故答案为0＜a＜4．13．（5分）在△ABC中，若C=120°，tanA=3tanB，sinA=λsinB，则实数λ=．【解答】解：∵C=120°，由余弦定理可得：c2=a2+b2+ab，①∵tanA=3tanB，可得：sinAcosB=3sinBcosA，由正弦定理可得：acosB=3bcosA，∴由余弦定理可得：a=3b，整理可得：c2=2a2﹣2b2，②∴由①②可得：a2﹣ab﹣3b2=0，可得：（）2﹣﹣3=0，解得：=，∴由正弦定理可得：sinA=sinB，故答案为：．14．（5分）若函数f（x）=ax2+（a2+1）x﹣a（a＞0）的一个零点为x0，则x0的最大值为﹣1．【解答】解：解方程得x=，∴x0==﹣（+）+=﹣（+）+，令t=+，则t≥2=1，x0=﹣t+，设g（t）=﹣t+，则g′（t）=﹣1+=＜0，∴g（t）在[1，+∞）上单调递减，∴g（t）≤g（1）=﹣1，∴x0的最大值为﹣1，故答案为：﹣1．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（15分）已知向量=（1，m），=（2，n）．（1）若m=3，n=﹣1，且⊥（+λ），求实数λ的值；（2）若|+|=5，求•的最大值．【解答】解：（1）m=3，n=﹣1时，=（1，3），=（2，﹣1），∴+λ=（1+2λ，3﹣λ），∵⊥（+λ），∴•（+λ）=1+2λ+3（3﹣λ）=0，解得λ=10，（2）∵=（1，m），=（2，n），∴+=（3，m+n），•=2+mn，∵|+|=5，∴9+（m+n）2=25，∴（m+n）2=16，∴•=2+mn≤2+（m+n）2=6，当且仅当m=n=2或m=n=﹣2时取等号，故•的最大值6．16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥CD，CD⊥AC，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F．（1）求证：CD⊥平面PAC；（2）求证：AB∥EF．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PC，∵CD⊥AC，PC∩AC=C，∴CD⊥平面PAC．（2）∵AB∥CD，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F，且平面CDEF∩平面PAB=EF，又CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CD∥平面PAB，∴CD∥EF，∴AB∥EF．17．（15分）如图，圆O是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A，B两点在⊙O上，A，B，C，D恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在A，B，C，D四点处安装四盏照明设备，从圆心O点出发，在地下铺设4条到A，B，C，D四点线路OA，OB，OC，OD．（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路OA，OB，OC，OD总长度的最小值．【解答】解：（1）连接AB，∵AB=10，∴正方形ABCD的面积为100，又OA=OB=10，∴△AOB为正三角形，则，而圆的面积为100π，∴扇形AOB得面积为，又三角形AOB的面积为．∴弓形面积为，则广场面积为100+（平方米）；（2）过O作OK⊥CD，垂足为K，过O作OH⊥AD（或其延长线），垂足为H，设∠OAD=θ（0＜θ＜），则OH=10sinθ，AH=10cosθ，∴DH=|AD﹣AH|=|2OH﹣AH|=|20sinθ﹣10cosθ|，∴OD==．∴当θ=时，．∴铺设的4条线路OA，OB，OC，OD总长度的最小值为（米）．18．（15分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y2=4交于点A，B，与圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1交于点C，D．（1）若，求CD的长；（2）若CD中点为E，求△ABE面积的取值范围．【解答】解：（1）设直线AB的方程为：y=kx+1（k≠0），∵，∴+=22，化为：k2=15，解得k=．∴直线CD的方程为：y=x+1．∴|CD|=2=．（2）①直线AB为y轴时，直线AB的方程为：x=0，直线CD的方程为：y=1．S△ABE===4．②直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=kx+1，若k=0，则方程为y=1，经过圆心（2，1），此时△ABE不存在，舍去．k≠0时，可得直线CD的方程为：y=﹣x+1．|AB|=2=2．联立，化为：（k2+1）x2﹣4k2x+3k2=0，△=16k4﹣12（k2+1）k2＞0，化为：k2＞3．∴x1+x2=，可得E．∴点E到直线AB的距离d==．=|AB|•d=×2×=2=2，∴S△ABE令k2+1=t＞1，可得f（t）==∈（0，2）．∈（0，4）．∴S△ABE综上可得：S∈（0，4]．△ABE19．（15分）已知函数f（x）=2lnx+x2﹣ax，a∈R．（1）若函数y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若a=e，解不等式：f（x）＜2；（3）求证：当a＞4时，函数y=f（x）只有一个零点．【解答】解：（1）由f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）=2lnx+x2﹣ax，f′（x）=+2﹣a，由题意，对任意的x＞0，都有f′（x）=+2﹣a≥0，只要（+2x）min≥a，由+2x≥2=4，当且仅当x=1时取等号，则a≤4，∴实数a的取值范围是（﹣∞，4]；（2）当a=e，f（x）=2lnx+x2﹣ex，f′（x）=+2﹣e=＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（e）=2lne+e2﹣e2=2，∴f（x）＜2，则f（x）＜f（e），∴0＜x＜e，故不等式f（x）＜2的解集为（0，e）；（3）证明：由f′（x）=+2﹣a=，x∈（0，+∞），g（x）=2x2﹣ax+2，当a＞4时，△=a2﹣16＞0，∴g（x）=2x2﹣ax+2一定有两个零点，设x1，x2（x1＜x2），x1x2=1，0＜x1＜1＜x2，则f（x）在区间（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，g（x1）=2x12﹣ax1+2=0，∴f（x1）=2lnx1+x12﹣ax1=2lnx1+x12﹣2，由0＜x1＜1，则f（x1）=2lnx1+x12﹣ax1＜2ln1+1﹣2＜0，∴f（x2）＜f（x1）＜0，由f（x）=2lnx+x（x﹣a），则f（a）=2lna＞0，∴f（x）在（0，+∞）上只有一个零点．20．（15分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣2；数列{b n}的前n项和为T n，且满足b1=1，b2=2，．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在正整数n，使得恰为数列{b n}中的一项？若存在，求所有满足要求的b n；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由S n=2a n﹣2，则当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1﹣2，两式相减得：a n=2a n﹣2a n﹣1，则a n=2a n﹣1，由S1=2a1﹣2，则a1=2，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，则a n=2n，由．则=，=，=，…，=．=以上各式相乘，=，则2T n=b n b n+1，=b n﹣1b n，两式相减得：2b n=b n（b n+1﹣b n﹣1），即b n+1﹣b n﹣1=2，当n≥2时，2T n﹣1∴数列{b n}的奇数项，偶数项分别成等差数列，由=，则b3=T2=b1+b2=3，b1+b3=2b2，∴数列{b n}是以b1=1为首项，1为公差的等差数列，∴数列{b n}的通项公式b n=n；（2）当n=1时，无意义，设c n==，（n≥2，n∈N*），﹣c n=﹣=＜0，则c n+1即c n＞c n＞1，+1显然2n+n+1＞2n﹣（n+1），则c2=7＞c3=3＞c4＞ (1)∴存在n=2，使得b7=c2，b3=c3，下面证明不存在c 2=2，否则，c n==2，即2n=3（n+1），此时右边为3的倍数，而2n不可能是3的倍数，故该不等式成立，综上，满足要求的b n为b3，b7．（附加题）（[选做题]请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．A．（本小题满分10分，几何证明选讲）21．（10分）如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点B作BD⊥CD于点D．求证：BC2=BA•BD．【解答】证明：CD与半圆相切于点C．由弦切角定理可得：∠DCB=∠CAB．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°，由BD⊥CD，∴∠D=90°，∴△ACB∽△CDB．∴=，∴BC2=BA•BD．B．（本小题满分0分，矩阵与变换）22．设矩阵M=，N=，若MN=，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．【解答】解：∵M=，N=，∴MN=，∵MN=，∴，解得x=4，y=3，∴M=，∵（A|I）=→→．∴矩阵M的逆矩阵M﹣1=．C．（本小题满分0分，坐标系与参数方程选讲）23．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为．试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．【解答】解：曲线C的普通方程是．（2分）直线l的普通方程是．（4分）设点M的坐标是的距离是．（6分），d取得最大值．（8分）．D．（本小题满分0分，不等式选讲）24．已知a，b＞0，且a+b=1，求证：．【解答】证明：∵a+b=1，由≤可得：a+1+b+1+2≤6，∴2≤3由不等式的性质可得：2≤a+1+b+1=3，当且仅当a=b时取等号．∴．【必做题】（每小题满分0分）25．如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知△ABD，△BCD都是边长为2的等边三角形，E为BD中点，且AE⊥平面BCD，F为线段AB上一动点，记．（1）当时，求异面直线DF与BC所成角的余弦值；（2）当CF与平面ACD所成角的正弦值为时，求λ的值．【解答】解：（1）连结CE，以EB、EC、EA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，），B（1，0，0），C（0，，0），D（﹣1，0，0），∵F是线段AB上一动点，且=λ，则==（﹣），∴F（1﹣λ，0，），当时，F（），=（），=（1，﹣，0），∴cos＜，＞==，∴异面直线DF与BC所成角的余弦值为．（2）=（1﹣），=（1，0，），=（1，，0），设平面ACD的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），∵CF与平面ACD所成角的正弦值为，∴|cos＜＞|==，解得或λ=2（舍），∴λ=2．26．设（n∈N*，a n∈Z，b n∈Z）．（1）求证：a n2﹣8b n2能被7整除；（2）求证：b n不能被5整除．【解答】证明：（1）（1+2）2n+1=+（2）+（2）2+…+（2）2n+1，（1﹣2）2n+1=﹣（2）+（2）2+…﹣（2）2n+1，由（1+2）2n+1=a n+2b n，（1﹣2）2n+1=a n﹣2b n，（1+2）2n+1（1﹣2）2n+1=（a n+2b n）（a n﹣2b n），即a n2﹣8b n2=﹣72n+1，∴a n2﹣8b n2能被7整除；（2）由a n2﹣8b n2=﹣72n+1，则8b n2=a n2+72n+1，由72n=49n=（50﹣1）n=×50n+×50n﹣1×（﹣1）1+…+×50×（﹣1）n ﹣1+×（﹣1）n，除最后一项都是5的倍数，∴72n+1的余数是2或﹣2，由a n2的是平方数，其尾数为0，1，4，5，6，9，∴a n2+72n+1的尾数不可能是0或5，∴a n2+72n+1不能被5整除，即8b n2不能被5整除，∴b n不能被5整除．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
2017年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷(一) 有答案
2017年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷（一）一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.1．已知集合A={0，1，2}，则A的子集的个数为．2．设复数z1=2+ai，z2=2﹣i（其中a＞0，i为虚数单位），若|z1|=|z2|，则a的值为．3．运行如图所示的流程图，则输出的结果S是．4．若直线y=x+b（e是自然对数的底数）是曲线y=lnx的一条切线，则实数b的值是．5．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．6．已知一组数据x1，x2，…x n的方差为3，若数据ax1+b，ax2+b，…，ax n+b（a，b∈R）的方差为12，则a的所有的值为．7．我们知道，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1：4，类比该命题得，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为．8．在平面直角坐标系xoy中，设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c（c＞0），当a，b任意变化时，的最大值为．9．已知函数，若方程f（x）=log a（x+2）（0＜a＜1）有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为．10．设函数f（x）=2x﹣cosx，{a n}是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则[f（a3）]2﹣a1a5=．11．在平面直角坐标系xoy中，若直线l与圆C1：x2+y2=1和圆C2：（x﹣5）2+（y﹣5）2=49都相切，且两个圆的圆心均在直线l的下方，则直线l的斜率为．12．设实数n≤6，若不等式2xm+（2﹣x）n﹣8≥0对任意x∈[﹣4，2]都成立，则的最小值为．13．已知角α，β满足=，若sin（α+β）=，则sin（α﹣β）的值为．14．将圆的六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星．如图所示的正六角星的中心为点O，其中x，y分别为点O到两个顶点的向量．若将点O到正六角星12个顶点的向量都写成ax+by的形式，则a+b的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），B（4，3），若A，B，C三点按顺时针方向排列构成等边三角形ABC，且直线BC与x轴交于点D．（1）求cos∠CAD的值；（2）求点C的坐标．16．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面ABCD，且∠ABC=．（1）求证：BC∥平面AB1C1；（2）求证：平面A1ABB1⊥平面AB1C1．17．两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．（1）将y表示成x的函数；（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．18．已知椭圆C：mx2+3my2=1（m＞0）的长轴长为，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程和离心率．（2）设点A（3，0），动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且点P在y轴的右侧．若BA=BP，求四边形OPAB面积的最小值．19．已知函数f（x）=ax3﹣bx2+cx+b﹣a（a＞0）．（1）设c=0．①若a=b，曲线y=f（x）在x=x0处的切线过点（1，0），求x0的值；②若a＞b，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．（2）设f（x）在x=x1，x=x2两处取得极值，求证：f（x1）=x1，f（x2）=x2不同时成立．20．设数列{a n}和{b n}的项数均为m，则将数列{a n}和{b n}的距离定义为|a i﹣b i|．（1）给出数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；=的所有数列{a n}的集合，{b n}和{c n}为A中的两个元素，且项数（2）设A为满足递推关系a n+1均为m，若b1=2，c1=3，{b n}和{c n}的距离小于2016，求m的最大值；（3）记S是所有7项数列{a n|1≤n≤7，a n=0或1}的集合，T⊆S，且T中任何两个元素的距离大于或等于3，证明：T中的元素个数小于或等于16．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，AB和BC分别于圆O相切与点D，C，且AC经过圆心O，AC=2AD，求证：BC=2OD．[选修4-2：矩阵与变换]22．在平面直角坐标系xoy中，已知A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），先将正方形ABCD 绕原点逆时针旋转90°，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵M．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数），现以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．设a，b为互不相等的正实数，求证：4（a3+b3）＞（a+b）3．七、解答题（共1小题，满分10分）25．集合M={1，2…9}中抽取3个不同的数构成集合{a1，a2，a3}（1）对任意i≠j，求满足|a i﹣a j|≥2的概率；（2）若a1，a2，a3成等差数列，设公差为ξ（ξ＞0），求ξ的分布列及数学期望．八、解答题（共1小题，满分10分）26．已知数列{a n}的前n项和为S n，通项公式为．（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．2017年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.1．已知集合A={0，1，2}，则A的子集的个数为8．【考点】子集与真子集．【分析】由集合A中的元素有3个，把n=3代入集合的子集的公式2n中，即可计算出集合A子集的个数．【解答】解：由集合A中的元素有0，1，2共3个，代入公式得：23=8，则集合A的子集有：{0，1，2}，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{1，2}，{0，2}，∅共8个．故答案为：8．2．设复数z1=2+ai，z2=2﹣i（其中a＞0，i为虚数单位），若|z1|=|z2|，则a的值为1．【考点】复数求模．【分析】根据复数的模长公式进行求解即可．【解答】解：∵z1=2+ai，z2=2﹣i，|z1|=|z2|，∴，即a2+4=5，则a2=1，解得a=1或a=﹣1（舍），故答案为：13．运行如图所示的流程图，则输出的结果S是．【考点】程序框图．【分析】变量i的值分别取1，2，3，4，…时，变量S的值依次为，﹣1，2，…，从而变量S的值是以3为周期在变化，由此可得结论．【解答】解：模拟执行程序，可得S=2，i=1不满足条件i≥2015，执行循环体，S=，i=2不满足条件i≥2015，执行循环体，S=﹣1，i=3不满足条件i≥2015，执行循环体，S=2，i=4…观察规律可知，变量S的值是以3为周期在变化，由于：2014=671×3+1，从而，有i=2014，不满足条件i≥2015，执行循环体，S=，i=2015满足条件i≥2015，退出循环，输出S的值为故答案为：．4．若直线y=x+b（e是自然对数的底数）是曲线y=lnx的一条切线，则实数b的值是0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，建立方程组关系即可．【解答】解：函数的导数为y′=f′（x）=，设切点为（x0，y0），则切线斜率k=f′（x0）=，则对应的切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），即y=x﹣1+lnx0，∵直线y=x+b（e是自然对数的底数）是曲线y=lnx的一条切线，∴=且b=lnx0﹣1，解得x0=e，b=lne﹣1=1﹣1=0，故答案为：05．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】由于学校有两个食堂，不妨令他们分别为食堂A 、食堂B ，则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在食堂A 用餐的概率，同理，可求出他们同在食堂B 用餐的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．【解答】解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A 食堂的概率为： =；他们同时选中B 食堂的概率也为： =；故们在同一个食堂用餐的概率P=+=故答案为：6．已知一组数据x 1，x 2，…x n 的方差为3，若数据ax 1+b ，ax 2+b ，…，ax n +b （a ，b ∈R ）的方差为12，则a 的所有的值为 ±2 ． 【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据数据x 1，x 2，…x n 的方差与数据ax 1+b ，ax 2+b ，…，ax n +b 的方差关系，列出方程，求出a 的值．【解答】解：根据题意，得； ∵数据x 1，x 2，…x n 的方差为3，∴数据ax 1+b ，ax 2+b ，…，ax n +b （a ，b ∈R ）的方差为 a 2•3=12， ∴a 2=4 ∴a=±2． 故答案为：±2．7．我们知道，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1：4，类比该命题得，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，结合三角形中位线、三角形重心的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案．【解答】解：如图，设正四面体ABCD四个面的中心分别为E、F、G、H，AH为四面体ABCD的面BCD上的高，交面EFG于H，则，又，∴，则，同理可得，∴正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为．故答案为：．8．在平面直角坐标系xoy中，设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c（c＞0），当a，b任意变化时，的最大值为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由于c2=a2+b2，解出c，代入所求式子，再由a2+b2≥2ab，即可得到最大值．【解答】解：由于c2=a2+b2，即有c=则===≤=．当且仅当a=b，取得等号．则有的最大值为．故答案为：．9．已知函数，若方程f（x）=log a（x+2）（0＜a＜1）有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为[）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出f（x）与y=log a（x+2）的函数图象，根据交点个数判断函数值的大小关系，列出不等式组解出．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=f（x﹣1），∴f（x）在（0，+∞）上是周期为1的函数，做出y=f（x）与y=log a（x+2）的函数图象，则两函数图象有2个交点，∴，解得．故答案为：．10．设函数f（x）=2x﹣cosx，{a n}是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则[f（a3）]2﹣a1a5=．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】由f（x）=2x﹣cosx，又{a n}是公差为的等差数列，可求得f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=10a3，由题意可求得a3，从而进行求解．【解答】解：∵f（x）=2x﹣cosx，∴可令g（x）=2x+sinx，∵{a n}是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π∴g（a1﹣）+g（a2﹣）+…+g（a5﹣）=0，则a3=，a1=，a5=∴[f（a3）]2﹣a1a5=π2﹣=，故答案为：11．在平面直角坐标系xoy中，若直线l与圆C1：x2+y2=1和圆C2：（x﹣5）2+（y﹣5）2=49都相切，且两个圆的圆心均在直线l的下方，则直线l的斜率为7．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设两切点分别为A，B，连接AC1，BC2，过C1作C1D∥AB交BC2于D，则直角三角形C1CD，tan∠DC1C2=，利用和角的正切公式，即可求出直线l的斜率．【解答】解：设两切点分别为A，B，连接AC1，BC2，过C1作C1D∥AB交BC2于D，则直角三角形C1CD，tan∠DC1C2=，∵∠xC1C2=，∴tan∠DC1x=tan（∠DC1C2+）==7．故答案为：7．12．设实数n≤6，若不等式2xm+（2﹣x）n﹣8≥0对任意x∈[﹣4，2]都成立，则的最小值为﹣．【考点】函数恒成立问题．【分析】先确定m，n的范围，再得出m=2，n=6时，取最小值即可．【解答】解：设y=2xm+（2﹣x）n﹣8，整理可得y=﹙2m﹣n﹚x+﹙2n﹣8﹚当2m﹣n＞0时，因为x∈[﹣4，2]，所以y min=﹙2m﹣n﹚•﹙﹣4﹚+﹙2n﹣8﹚=﹣8m+6n﹣8当2m﹣n＜0时，因为x∈[﹣4，2]，所以y min=﹙2m﹣n﹚•2+﹙2n﹣8﹚=4m﹣8∵不等式2xm+（2﹣x）n﹣8≥0对任意x∈[﹣4，2]都成立，∴m，n满足或可行域如图或∴当且仅当m=2，n=6时，又=，∴的最小值为=﹣33=﹣故答案为：﹣13．已知角α，β满足=，若sin（α+β）=，则sin（α﹣β）的值为﹣．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】设sin（α﹣β）=x，由条件利用两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系求出x的值，即为所求．【解答】解：设sin（α﹣β）=x，即sinαcosβ﹣cosαsinβ=x ①，则由sin（α+β）=，可得sinαcosβ+cosαsinβ=②，由①②求得sinαcosβ=+，cosαsinβ=﹣．再由===，求得x=﹣，故答案为：﹣．14．将圆的六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星．如图所示的正六角星的中心为点O，其中x，y分别为点O到两个顶点的向量．若将点O到正六角星12个顶点的向量都写成ax+by的形式，则a+b的最大值为5．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出求a+b的最大值时﹐只需考虑图中6个顶点的向量即可，分别求出即得结论．【解答】解：欲求a+b的最大值﹐只需考虑右图中6个顶点的向量即可，讨论如下﹔（1）∵═﹐∴（a，b）=（1，0）；（2）∵，所以（a，b）=（3，1）；（3）∵，所以（a，b）=（2，1）；（4）∵，所以（a，b）=（3，2）；（5）∵，所以（a，b）=（1，1）；（6）∵，所以（a，b）=（0，1）；因此﹐a+b的最大值为3+2=5﹒故答案为：5﹒二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），B（4，3），若A，B，C三点按顺时针方向排列构成等边三角形ABC，且直线BC与x轴交于点D．（1）求cos∠CAD的值；（2）求点C的坐标．【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）由题意画出图象，设∠BAD=α、∠CAD=β，由三角函数的定义求出cosα、sinα的值，由β=60°﹣α和两角差的余弦函数求出cosβ的值，可得答案；（2）设点C（x，y），由（1）和两角差的正弦函数求出sinβ，由三角函数的定义求出x和y，可得答案．【解答】解：（1）设∠BAD=α，∠CAD=β，且AB=5，由三角函数的定义得，，故cosβ=cos（60°﹣α）═，即．（2）设点C（x，y）．由（1）知sinβ=sin（60°﹣α）=，因为AC=AB=5，所以，，故点．16．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面ABCD，且∠ABC=．（1）求证：BC∥平面AB1C1；（2）求证：平面A1ABB1⊥平面AB1C1．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据BC∥B1C1，且B1C1⊂平面AB1C1，BC⊄平面AB1C1，依据线面平行的判定定理推断出BC∥平面AB1C1．（2）平面A1ABB1⊥平面ABCD，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，推断出平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，又平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1=A1B1，A1B1⊥C1B1，C1B1⊂平面AB1C1，根据面面垂直的性质推断出平面A1ABB1⊥平面AB1C1．【解答】证明：（1）∵BC∥B1C1，且B1C1⊂平面AB1C1，BC⊄平面AB1C1，∴BC∥平面AB1C1．（2）∵平面A1ABB1⊥平面ABCD，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，∵平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1=A1B1，A1B1⊥C1B1，∴C1B1⊂平面AB1C1，∴平面A1ABB1⊥平面AB1C1．17．两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．（1）将y表示成x的函数；（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）先利用AC⊥BC，求出BC2=400﹣x2，再利用圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，得到y和x之间的函数关系，最后利用垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065求出k即可求出结果．（2）先求出导函数以及导数为0的根，进而求出其单调区间，找到函数的最小值即可．【解答】解（1）由题意知AC⊥BC，BC2=400﹣x2，其中当时，y=0.065，所以k=9所以y表示成x的函数为（2），，令y'=0得18x4=82，所以x2=160，即，当时，18x4＜82，即y'＜0所以函数为单调减函数，当时，18x4＞82，即y'＞0所以函数为单调增函数．所以当时，即当C点到城A的距离为时，函数有最小值．（注：该题可用基本不等式求最小值．）18．已知椭圆C：mx2+3my2=1（m＞0）的长轴长为，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程和离心率．（2）设点A（3，0），动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且点P在y轴的右侧．若BA=BP，求四边形OPAB面积的最小值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，由题意可得a，可得b，即可得到椭圆方程，再由离心率公式计算即可得到所求值；（2）设AP中点为D，由|BA|=||BP|，所以BD⊥AP，求得AP的斜率，进而得到BD的斜率和中点，可得直线BD的方程，即有B的坐标，求得四边形OPAB的面积为S=S△OAP +S△OMB，化简整理，运用基本不等式即可得到最小值．【解答】解：（1）由题意知椭圆C：，所以，，故，解得，所以椭圆C的方程为．因为，所以离心率．（2）设线段AP的中点为D．因为BA=BP，所以BD⊥AP．由题意知直线BD的斜率存在，设点P的坐标为（x0，y0）（y0≠0），则点D的坐标为，直线AP的斜率，所以直线BD的斜率，故直线BD的方程为．令x=0，得，故．由，得，化简得．因此，S四边形OPAB=S△OAP+S△OAB====．当且仅当时，即时等号成立．故四边形OPAB面积的最小值为．19．已知函数f（x）=ax3﹣bx2+cx+b﹣a（a＞0）．（1）设c=0．①若a=b，曲线y=f（x）在x=x0处的切线过点（1，0），求x0的值；②若a＞b，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．（2）设f（x）在x=x1，x=x2两处取得极值，求证：f（x1）=x1，f（x2）=x2不同时成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）①计算f′（1），得出切线方程，代入点（1，0）列方程解出x0；②求出f（x）的极值点，判断两极值点的大小及与区间[0，1]的关系，从而得出f（x）在[0，1]上的单调性，得出最大值；（2）使用反证法证明．【解答】解：（1）当c=0时，f（x）=ax3﹣bx2+b﹣a．①若a=b，则f（x）=ax3﹣ax2，从而f'（x）=3ax2﹣2ax，故曲线y=f（x）在x=x0处的切线方程为=．将点（1，0）代入上式并整理得=x0（1﹣x0）（3x0﹣2），解得x0=0或x0=1．②若a＞b，则令f'（x）=3ax2﹣2bx=0，解得x=0或．（ⅰ）若b≤0，则当x∈[0，1]时，f'（x）≥0，∴f（x）为区间[0，1]上的增函数，∴f（x）的最大值为f（1）=0．（ii）若b＞0，列表：综上，f（x）的最大值为0．（2）假设存在实数a，b，c，使得f（x1）=x1与f（x2）=x2同时成立．不妨设x1＜x2，则f（x1）＜f（x2）．因为x=x1，x=x2为f（x）的两个极值点，所以f'（x）=3ax2﹣2bx+c=3a（x﹣x1）（x﹣x2）．因为a＞0，所以当x∈[x1，x2]时，f'（x）≤0，故f（x）为区间[x1，x2]上的减函数，从而f（x1）＞f（x2），这与f（x1）＜f（x2）矛盾，故假设不成立．既不存在实数a，b，c，使得f（x1）=x1，f（x2）=x2同时成立．20．设数列{a n}和{b n}的项数均为m，则将数列{a n}和{b n}的距离定义为|a i﹣b i|．（1）给出数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；=的所有数列{a n}的集合，{b n}和{c n}为A中的两个元素，且项数（2）设A为满足递推关系a n+1均为m，若b1=2，c1=3，{b n}和{c n}的距离小于2016，求m的最大值；（3）记S是所有7项数列{a n|1≤n≤7，a n=0或1}的集合，T⊆S，且T中任何两个元素的距离大于或等于3，证明：T中的元素个数小于或等于16．【考点】数列的应用．【分析】（1）由数列距离的定义即可求得数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；（2）由数列的递推公式，即可求得a，a3，a4，a5，求得A中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，求得数列{b n}和{c n}规律，可知随着项数m越大，数列{b n}和{c n}的距离越大，由=b i﹣c i|=，根据周期的定义，得|b i﹣c i|=|b i﹣c i|=×864=2016，求得m的最大值；（3）利用反证法，假设T中的元素个数大于等于17个，设出{c n}，{d n}，{f n}，最总求得|f i﹣c i|≤2和|f i﹣d i|≤2中必有一个成立，与数列的距离大于或等于3矛盾，故可证明T中的元素个数小于或等于16．【解答】解：（1）由题意可知，数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为1+0+5+1=7，（2）设a1=p，其中p≠0，且p≠±1，=，得a2=，a3=﹣，a4=，a5=p，由a n+1∴a1=a5，因此A中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，所数列{b n }中，b 4k ﹣3=2，b 4k ﹣2=﹣3，b 4k ﹣1=﹣，b 4k =，k ∈N *，所以{c n }中，b 4k ﹣3=3，b 4k ﹣2=﹣2，b 4k ﹣1=﹣，b 4k =，k ∈N *，|b i ﹣c i |≥|b i ﹣c i |，得项数m 越大，数列{b n }和{c n }的距离越大，由=b i ﹣c i |=，得|b i ﹣c i |=|b i ﹣c i |=×864=2016，所以m ＜3456时，|b i ﹣c i |＜2016，故m 的最大值为3455，（3）证明：假设T 中的元素个数大于等于17个， 因为数列{a n }中，a i =0或1，所以仅由数列前三项组成的数组（a 1，a 2，a 3）有且仅有8个，（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1），那么这17个元素（即数列）之中必有三个具有相同的a 1，a 2，a 3，设这个数列分别为{c n }：c 1，c 2，c 3，c 4，c 5，c 6，c 7，{d n }：d 1，d 2，d 3，d 4，d 5，d 6，d 7，{f n }：f 1，f 2，f 3，f 4，f 5，f 6，f 7，其中c 1=d 1=f 1，c 2=d 2=f 2，c 3=d 3=f 3，因为这三个数列中每两个的距离大于等于3，所以，{b n }和{c n }中，c i =d i ，（i=4，5，6，7）中至少有三个成立， 不妨设c 4≠d 4，c 5≠d 5，c 6≠d 6，由题意，c 4和d 4中一个等于0，而另一个等于1， 又因为f 4=0或1，所以f 4=c 4和f 4=d 4中必有一个成立，同理，得f 5=c 5和f 5=d 5中必有一个成立，f 6=c 6和f 6=d 6中必有一个成立，所以“f i =c i （i=3，4，5）中至少有两个成立”或”f i =d i （i=4，5，6）中至少有两个成立“中必有一个成立，所以|f i ﹣c i |≤2和|f i ﹣d i |≤2中必有一个成立．与题意矛盾，∴T 中的元素个数小于或等于16．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，AB和BC分别于圆O相切与点D，C，且AC经过圆心O，AC=2AD，求证：BC=2OD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】先证明Rt△ADO∽Rt△ACB，可得，利用AC=2AD，可得结论．【解答】证明：因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO=∠ACB=90°又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，所以，因为AC=2AD，所以BC=2OD．[选修4-2：矩阵与变换]22．在平面直角坐标系xoy中，已知A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），先将正方形ABCD 绕原点逆时针旋转90°，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵M．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】求出将正方形ABCD绕原点逆时针旋转90°所对应的矩阵，将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变所对应的矩阵，利用矩阵的乘法可得连续两次变换所对应的矩阵M．【解答】解：设将正方形ABCD绕原点逆时针旋转90°所对应的矩阵为A，则A==，设将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变所对应的矩阵为B，则B=，∴连续两次变换所对应的矩阵M=BA==．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数），现以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】首先把曲线的参数方程转化成直角坐标方程，进一步把直角坐标方程转化成极坐标方程．【解答】解：曲线C的参数方程为（α为参数），转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1，进一步转化成极坐标方程为：ρ2=2ρcosθ，整理得：ρ=2cosθ．[选修4-5：不等式选讲]24．设a，b为互不相等的正实数，求证：4（a3+b3）＞（a+b）3．【考点】综合法与分析法(选修）．【分析】利用分析法，从结论入手，寻找结论成立的条件，即可得到证明．【解答】证明：因为a＞0，b＞0，所以要证4（a3+b3）＞（a+b）3，只要证4（a+b）（a2﹣ab+b2）＞（a+b）3，即要证4（a2﹣ab+b2）＞（a+b）2，只需证3（a﹣b）2＞0，而a≠b，故3（a﹣b）2＞0成立．∴4（a3+b3）＞（a+b）3．七、解答题（共1小题，满分10分）25．集合M={1，2…9}中抽取3个不同的数构成集合{a1，a2，a3}（1）对任意i≠j，求满足|a i﹣a j|≥2的概率；（2）若a1，a2，a3成等差数列，设公差为ξ（ξ＞0），求ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等差数列的性质；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）先求出M有9个元素，抽取3个元素的种数，在分类求出|a i﹣a j|≥2的种数，根据概率公式计算即可．（2）结合变量对应的事件和等差数列，写出变量的分布列和数学期望．【解答】解：（1）M有9个元素，抽取3个元素，有=84种，对任意的i≠j，i，j∈{1 2 3}满足|ai﹣aj|≥2的取法：①最小取1的：=15种，②最小取2的：=10种，③最小取3的：=6种，④最小取4的：=3种，⑤最小取5的：=1种，故共有15+10+6+3+1=35种，故满足|a i﹣a j|≥2的概率为；（2）∵若a1，a2，a3成等差数列，设公差为ξ（ξ＞0），则ξ=1，2，3，4，ξ=1即三个连续的数，有7种，ξ=2即三个连续的奇数或偶数，有5种，．ξ=3，有（1，4，7），）2，5，8），（3，6，9）3种，ξ=4只有1种（1，5，9），故成等差数列的一共有7+5+3+1=16．则P（ξ=1）=，则P（ξ=2）=，则P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，分布列为：故E（（ξ）=1×+2×+3×+4×=．八、解答题（共1小题，满分10分）26．已知数列{a n}的前n项和为S n，通项公式为．（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．【考点】数列递推式；用数学归纳法证明不等式．【分析】（1）此问根据通项公式计算出前n项的和．当n=1时，f（1）=s2；当n=2时，f（2）=s4﹣s1=a2+a3；当n=3时，f（3）=s6﹣s2．（2）当n=1时，≥1．当n≥2时，f（n）中没有a1，因此都小于1．【解答】解：（Ⅰ）由已知，，；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（1）＞1，f（2）＞1；当n≥3时，猜想：f（n）＜1．下面用数学归纳法证明：（1）由（Ⅰ）当n=3时，f（n）＜1；（2）假设n=k（k≥3）时，f（n）＜1，即，那么===，所以当n=k+1时，f（n）＜1也成立．由（1）和（2）知，当n≥3时，f（n）＜1．所以当n=1，和n=2时，f（n）＞1；当n≥3时，f（n）＜1．2017年4月6日。
2017届南通高三一模数学试卷
2017届高三一模考试数学试题Ⅰ一：填空题1．函数)33sin(2π-=x y 的最小正周期为_________。
2．设集合}3{},5,2{},3,1{=+==B A a B A ，则B A =____________。
3．复数2)21(i z +=，其中i 为虚数单位，则z 的实部为_______。
4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球。
摸出红球 的概率为0.48，摸出黄球的概率是0.35，则摸出蓝球的概率 为___________。
5．如图是一个算法流程图，则输出的n 的值为__________。
6．若实数y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+007342y x y x y x ，则y x z 23+=的最大值为______。
7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为________。
8．如图，在正四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，AA 1=1cm ， 则三棱锥D 1 – A 1BD 的体积为___________cm 3。
9．在平面直角坐标系xOy 中，直线02=+y x 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线，则该双曲线的离心率为______________。
10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为___________升。
11．在ABC ∆中，若⋅=⋅+⋅2，则CAsin sin 的值为___________。
12．已知两曲线)2,0(,cos )(,sin 2)(π∈==x x a x g x x f 相交于点P 。
若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为______________。
13．已知函数|4|||)(-+=x x x f ，则不等式)()2(2x f x f >+的解集用区间表示为__________。
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江苏省13市2017高三上学期考试数学试题分类汇编立体几何一、填空题1、（南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB 3，BC 2，圆柱上底面圆心为O , EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O EFG体积的最大值是▲.2、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）如图，在正四棱柱ABCDAB1C1D1中，AB 3cm ,3AA 1cm，则三棱锥D1—1BD的体积为▲cm .C第g题）3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是▲.4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为_________________5、（苏州市2017届高三上学期期末调研）一个长方体的三条棱长分别为3,8,9 ,若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为______________ .6、（无锡市2017届高三上学期期末）已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为120°，且面积为3的扇形，则该圆锥的体积等于________________ .7、（扬州市2017届高三上学期期末）若正四棱锥的底面边长为 2 （单位：cm）,侧面积为8 （单位：cm2），则它的体积为 ______ ▲ _______ （单位：cm3）•& （扬州市2017届高三上学期期末）已知一个长方体的表面积为48 （单位：cm2） , 12条棱长度之和为36 （单位：cm ）,则这个长方体的体积的取值范围是▲（单位：cm3）.9、（镇江市2017届高三上学期期末）若圆锥底面半径为2，高为5，则其侧面积为________二、解答题1、(南京市、盐城市 2017届高三第一次模拟)如图，在直三棱柱BC AC , D ,E 分别是AB , AC 的中点.(1) 求证：B 1C 1 //平面 AQE ； (2) 求证：平面A 1DE 平面ACC 1A 1 .求证：(1)直线 PA//平面BDE ;(2)平面BDE 丄平面PCD.ABC AB 1C 1中，已知D , E 分别为BC , BG 的中点，点F 在棱CG 上，且EF C 1D .求证：(1)直线AE //平面ADC 1 ；(2)直线EF 平面ADC 1 .ABC A B 1C 1 中,2、(南通、泰州市 2017届高三第一次调研测)如图，在四棱锥 P- ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，AC, BD 相交于点O ,点E 为PC 的中点，OP=OC, P 从PD.3、(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)如图，在正三棱柱第坊题圏I 第16题)〈第1(5题》4、(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)如图，在四棱锥P ABCD 中,PA 平面ABCD，ABC BAD 90，AD AP 4，AB BC 2，M 为PC 的中点.(1)求异面直线AP , BM所成角的余弦值；(2)点N在线段AD上，且AN ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为4,求的值.C第22®)5、(苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2017届高三上学期期末)如图，在四棱锥E ABCD 中，平面EAB 平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA EB，点M, N分别是AE,CD的中点.求证：(1)直线MN //平面EBC ; (2)直线EA 平面EBC .(第16 JK*6、(苏州市2017届高三上学期期中调研)在如图所示的四棱锥S ABCD 中，SA 底面ABCD ， DAB ABC 90，SA AB BC a ，AD 3a (a 0)，E 为线段 BS 上的一 个动点.(1) 证明：DE 和SC 不可能垂直；(2) 当点E 为线段BS 的三等分点(靠近 B )时，求二面角 S CD E 的余弦值.7、(无锡市2017届高三上学期期末)在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AP 平 面PCD , E,F 分别为PC,AB 的中点•求证： (1) 平面PAD 平面ABCD ;(2)EF // 平面 PAD .BC, PD,PC 的中点•& (无锡市2017届高三上学期期末)如图，四棱锥 边形ABCD为 直P ABCD 中，PA角梯平面ABCD ，四形，AD // BC, BADCBA 90o, PA AB BC1,AD 2,E,F,G(1)求EF 与DG 所成角的余弦值；(2)若M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，是否存在 MN,使得MN 丄平面PBC?若存在, 求出点M,N 的坐标；若不存在，请说明理由9、(扬州市2017届高三上学期期中)如图，在四棱锥 P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形, 侧棱PA 底面ABCD, AB=1, PA=2, E 为PB 的中点，点 F 在棱PC 上，且PF= PG (1) 求直线CE 与直线PD 所成角的余弦值；(2) 当直线BF 与平面CDE 所成的角最大时，求此时 的值。
江苏十三市2017届高三一模(第一学期期末)试卷好题分享
泰州、南通2017—11．在△ABC 中，若BC BA 2AC AB CA CB ⋅+⋅=⋅，则sin Asin C 的值为 ． 2．已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，(0,)2x π∈相交于点P ，若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a 的值为 ．3．已知函数()4f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为 ．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知B 、C 为圆224x y +=上两点，点A （1，1），且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为 ．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ + 的值．6．如图，某机械厂要将长6m ，宽2m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪． （1）当∠EFP ＝4π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积； （2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．7．已知函数2()ln f x ax x x =--，a R ∈． （1）当38a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点； （3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．8．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…（12n k k k <<<<）成等比数列，公比为q ．（1）若11k =，23k =，38k =，求1a d的值； （2）当1a d为何值时，数列{}n k 为等比数列； （3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意n N *∈，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a的取值范围．南京、盐城2017—11．在△ABC 中，已知AB C ＝3π，则CA CB ⋅的最大值为 ．2．如图所示，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线1)y x =+上从左向右依次取点A k 、B k ，1,2,,k =其中1A 是坐标原点，使△1A B A k k k +都是等边三角形，则△101011A B A 的边长是 ．3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数2ln y x =的图像与圆M ：222(3)x y r -+= 的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数()y f x =的图像经过点O 、P 、M ，则()y f x =的最大值为 ．4．在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22228a b c ++=，则△ABC 面积的最大值为 ．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：222x y b +=经过椭圆E ：2221(02)4x y b b+=<<的焦点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线l ：y kx m =+交椭圆E 于P 、Q 两点，T 为弦PQ 的中点，M （﹣1，0），N （1，0），记直线TM 、TN 的斜率分别为1k 、2k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值．6．如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中AE ＝30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4θ=． （1）若设计AB ＝18米，AD ＝6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大（注：计算中π取3）？7．设函数()ln f x x =，1()3()a g x ax a R x-=+-∈． （1）当2a =时，解关于x 的方程()0xg e =（其中e 为自然对数的底数）； （2）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；（3）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2()h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由（参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈）．8．若存在常数k （k ∈N *，k ≥2）、q 、d ，使得无穷数列{}n a 满足1,,,,n n n n a d N k a n qa N k *+*⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩则称数列{}n a 为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差．设数列{}n b 为“段比差数列”．（1）若{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3． ①当q ＝0时，求2016b ；②当q ＝1时，设{}n b 的前3n 项和为3n S ，若不等式133n n S λ-≤⋅对n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{}n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由．镇江2017—1 1．定义在（0，2π）的函数()8sin tan f x x x =-的最大值为 ． 2．不等式2log ln 4a x x -<（a >0，且a ≠1）对任意(1,100)x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为 ．3．已知函数1221x x y +=+与函数1x y x+=的图象共有k （k N *∈）个公共点，A 1（1x ，1y ），A 2（2x ，2y ），…，A k （k x ，k y ），则1()kiii x y =+=∑ ．4．已知不等式22()(ln )2m n m n λ-+-+≥对任意m ∈R ，n ∈（0，+∞）恒成立，则实数λ的取值范围为 ．5．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且点（12）在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 交于点P 、Q ，线段PQ 的中点为H ，O 为坐标原点且OH ＝1，求△POQ 面积的最大值．6．已知n N *∈，数列{}n a 的各项为正数，前n 项的和为n S ，且11a =，22a =，设212n n n b a a -=+．（1）如果数列{}n b 是公比为3的等比数列，求2n S ；（2）如果对任意n N *∈，22n n a nS +=恒成立，求数列{}n a 的通项公式；（3）如果23(21)n n S =-，数列1{}n n a a +也为等比数列，求数列{}n a 的通项公式．7．已知函数()ln f x x x =，2()(1)g x x λ=-（λ为常数）．（1）已知函数()y f x =与()y g x =在1x =处有相同的切线，求实数λ的值； （2）如果12λ=，且1x ≥，证明()()f x g x ≤； （3）若对任意[1,)x ∈+∞，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数λ的取值范围．苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017—1 1．若实数x 、y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ．2．已知非零向量a ，b 满足a b a b ==+，则a 与2a b -夹角的余弦值为 ．3．已知A 、B 是圆221:1C x y +=上的动点，AB P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-=上的动点，则PA PB +的取值范围为 ．4．已知函数32sin ,1()925,1x x f x x x x a x <⎧=⎨-++≥⎩，若函数()f x 的图象与直线y x =有三个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ．5．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，且右焦点F 到左准线的距离为 （1）求椭圆C 的标准方程； （2）设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线PA 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N ．（i ）当直线PA 的斜率为12时，求△FMN 的外接圆的方程； （ii ）设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 的面积的最大值．6．已知函数2()2x f x ax e=-，()ln g x x ax =-，a R ∈． （1）解关于x （x ∈R ）的不等式()0f x ≤； （2）证明：()()f x g x ≥；（3）是否存在常数a 、b ，使得()()f x ax b g x ≥+≥对任意的x >0恒成立？若存在，求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由．7．已知正项数列{n a }的前n 项和为n S ，且1a a =，1(1)(1)6()n n n a a S n +++=+，n N *∈． （1）求数列{n a }的通项公式；（2）若对于任意n N *∈，都有(31)n S n n ≤+成立，求实数a 的取值范围；（3）当a ＝2时，将数列{n a }中的部分项按原来的顺序构成数列{n b }，且12b a =，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{n b }．。
2017年江苏省泰州市泰兴市中考一模数学试卷(解析版)
22．（10 分）如图，一艘轮船在 A 处时观测得小岛 C 在船的北偏东 60°方向， 轮船以 40 海里/时的速度向正东方向航行 1.5 小时到达 B 处，这时小岛 C 在船 的北偏东 30°方向．已知小岛 C 周围 50 海里范围内是暗礁区．
2017 年江苏省泰州市泰兴市中考数学一模试卷
一、选择题（本题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 1．（3 分）2017 的倒数是（ ）
A．
B．﹣
C．2017
D．﹣2017
2．（3 分）从国家旅游局获悉，2017 年春节期间，全国共接待游客 3.44 亿人次，
实现旅游总收入 423300000000 元．将 423300000000 元用科学记数法表示为
（1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若 tan∠F＝ ，⊙O 半径为 1，求线段 AD 的长．
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24．（10 分）如图，反比例函数 y1＝ 的图象与一次函数 y2＝ x 的图象交于点 A、 B，点 B 的横坐标是 4，点 P（1，m）在反比例函数 y1＝ 的图象上．
图所示，设他们制作的卡通图片的张数的平均数为 a，中位数为 b，众数为 c，
则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．b＞c＞a
D．c＞a＞b
6．（3 分）如图，半径为 1 的半圆的圆心在原点，直径 AB 在 x 轴上，过原点的
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任意一条半径与半圆交于点 P，过 P 作 PN 垂直于 x 轴，N 为垂足，则∠OPN 的平分线过定点（ ）
整理江苏省泰州市泰兴市2017年中考数学一模试卷(含解析)
试卷一20 年月日A4打印/ 可编辑试卷一一．单选题1、一次文献、二次文献、三次文献是按照( A )进行区分的。
A．加工深度B．原创的层次C．印刷的次数D．评论的次2、从文献的( B )角度区分，可将文献分为印刷型、缩微型等。
A．内容公开次数B．载体类型C．出版类型D．公开程度3．具有固定名称、统一出版形式和一定出版规律的定期或不定期的连续出版物，称为( D )。
A．图书B．会议文献C．学位论文D．期刊4、文献是记录有知识的（ A ）。
A、载体B、纸张C、光盘D、磁盘5、( A )类型的专业文献出版周期最短、发行量最大、报道最迅速及时，成为多数论文发表渠道。
A．期刊B．报纸C．会议文献D．专利6.下列哪种文献属于一次文献( A )。
A、期刊论文B、百科全书C、综述D、文摘7.下列选项中属于连续出版物类型的选项有（C ）。
A、人民日报B、学位论文C、科技期刊D、会议文献8、纸质信息源的载体是（ D ）A、光盘B、缩微平片C、感光材料D、纸张9.下列哪种文献属于三次文献( C )。
A、标准文献B、学位论文C、综述D、文摘10、检索、获取图书信息的传统方法是（ A ）。
A. 各种印刷本的书目B. 搜索引擎C.联机检索D. 网络目录11．根据国家相关标准，文献的定义是指“记录有( C )的一切载体”。
A．情报 B．信息 C．知识 D．数据12．以作者本人取得的成果为依据而创作的论文、报告等，并经公开发表或出版的各种文献，称为( C)。
A．零次文献 B．一次文献 C．二次文献 D．三次文献13．从文献的( B )角度区分，可将文献分为印刷型、缩微型等。
A．内容公开次数B．载体类型C．出版类型 D．公开程度14．具有固定名称、统一出版形式和一定出版规律的定期或不定期的连续出版物，称为( D )。
A．图书B．会议文献C．学位论文 D．期刊15．( A )类型的专业文献出版周期最短、发行量最大、报道最迅速及时，成为多数论文发表渠道。
【江苏省南通市】2017年高考一模数学试卷-答案
江苏省南通市2017年高考一模数学试卷答 案1．2π3 2．{135},, 3．3- 4．0.17 5．5 6．7 7．20 8．32910．1322111213．(,2)(2,)-∞-+∞14．15．解：（1）在AOB △中，由余弦定理得，2222cos AB OA OB OA OB AOB =+∙∠-，所以，2222221135cos 22115OA OB ABAOB OA OB+-+-∠===⨯⨯， 即3cos 5β=． （2）因为3cos 5β=，(0,)2πβ∈，∴4sin 5β==． 因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，5cos 13α=，因为α为锐角，所以12sin 13α===．所以5312433cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-，sin()sin cos cos αβαβα+=+1235456sin 13513565β=⨯+⨯=， 即点3356(,)6565B -．16．证明：（1）连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 中点． 又因为E 为PC 的中点， 所以//OE PA ．…4分又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以直线//PA 平面BDE ．…6分（2）因为//OE PA ，PA PD ⊥，所以OE PD ⊥．…8分 因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥．…10分 又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC PD P =，所以OE ⊥平面PCD ．…12分又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD ．…14分．17．解：（1）由题意得，c a =，21a c c -=，…2分解得a =1c =，1b =．所以椭圆的方程为2212x y +=．…4分（2）由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，2OP =，2OQ =，所以．…6分当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y kx =．由2212x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩得22212k x +=()，解得22221x k =+，所以222221k y k =+，所以2222221k OP k +=+．…9分 因为OP OQ ⊥，所以直线OQ 的方程为1y x k=．由1y y xk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得x =，所以2222OQ k =+．…12分 所以222221*********k OP OQ k k ++=+=++． 综上，可知22111OP OQ +=．…14分． 18．解：（1）当π4EFP ∠=时，由条件得π4EFP EFD FEP ∠=∠=∠=． 所以π2FPE ∠=．所以FN BC ⊥， 四边形MNPE 为矩形．…3分所以四边形MNPE 的面积2•2S PN MN m ==．…5分 （2）解法一： 设(0)2EFD πθθ∠=<<，由条件，知EFP EFD FEP θ∠=∠=∠=．所以22sin(2)sin 2PF πθθ==-，23sin 2NP NF PF θ=-=-，23tan ME θ=-．…8分 由230sin 2230tan 02θθπθ⎧->⎪⎪⎪->⎨⎪⎪<<⎪⎩得2sin 232tan ,()30.2θθπθ⎧>⎪⎪⎪>*⎨⎪⎪<<⎪⎩所以四边形MNPE 面积为112222()[(3)(3)]2622sin 2tan tan sin 2S NP ME MN θθθθ=+=-+-⨯=--2222(sin cos )366(tan )tan 2sin cos tan θθθθθθθ+=--=-+…12分66≤-- 当且仅当3tan tan θθ=，即tan θ，π3θ=时取“=”．…14分 此时，（*）成立． 答：当π3EFD ∠=时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为26-．…16分 解法二：设BE tm =，36t ＜＜，则6ME t =-．因为EFP EFD FEP ∠=∠=∠，所以PE PF =t BP -．所以2132(3)t BP t -=-，213333()32(3)t NP PF PE t BP t t -=-=-=--=-+-．…8分由22361302(3)13302(3)t t t tt t ⎧⎪<<⎪⎪-⎪>⎨-⎪⎪-⎪-+>-⎪⎩得236()12310t t t t <<⎧⎪>*⎨⎪-+<⎩ 所以四边形MNPE 面积为22111333067()[(3)(6)]2222(3)2(3t)t t t S NP ME MN t t t --+=+=-++-⨯=--…12分326[(3)]623t t =--+≤--．当且仅当32(3)23t t -=-，即33t ==+时取“=”．…14分 此时，（*）成立． 答：当点E 距B点33+m 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为6-2．…16分．19．解：（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--．所以31(32)(2)'()144x x f x x x x+-=--=，0x (＞)．…2分令'()0f x =，得2x =，当0,2x ∈()时，'0f x ()＜；当2x ∈+∞(,)时，'0f x ()＞，所以函数f x ()在02(,)上单调递减，在2+∞(,)上单调递增． 所以当2x =时，f x ()有最小值1(2)ln 22f =--．…4分（2）由2ln f x ax x x =()--，得2121'()21ax x f x ax x x--=--=，0x >．所以当0a ≤时，221'()0ax x f x x--=<，函数f x ()在0+∞(,)上单调递减，所以当0a ≤时，函数f x ()在0+∞(,)上最多有一个零点．…6分因为当10a ≤≤-时，110f a =()-＜，221()0e e af e e-+=>， 所以当10a ≤≤-时，函数f x ()在0+∞(,)上有零点． 综上，当10a ≤≤-时，函数f x ()有且只有一个零点．…8分（3）由（2）知，当0a ≤时，函数f x ()在0+∞(,)上最多有一个零点． 因为函数f x ()有两个零点，所以0a ＞…9分由2ln f x ax x x =()--，得221'()ax x f x x--=，(0)x >，令221g x ax x =()--．因为010g =()-＜，20a ＞，所以函数g x ()在0+∞(,)上只有一个零点，设为0x ．当00x x ∈(,)时，0g x ()＜，'0f x ()＜；当0x x ∈+∞(,)时，0g x ()＞，'0f x ()＞． 所以函数f x ()在00x (,)上单调递减；在0x +∞(,)上单调递增． 要使得函数f x ()在0+∞(,)上有两个零点，只需要函数f x ()的极小值00f x ()＜，即2000ln 0ax x x --<．又因为2000()210g x ax x =--=，所以002ln 10x x +-＞， 又因为函数2ln 1h x x x =+()-在0+∞(,)上是增函数，且10h =()， 所以01x ＞，得0101x <<． 又由20210ax x --=，得22000111112()()24a x x x =+=+-， 所以01a ＜＜．…13分 以下验证当01a ＜＜时，函数f x ()有两个零点． 当01a ＜＜时，21211()10a ag a a a a -=--=>， 所以011x a<<．因为22211()10a e e af e e e e-+=-+=>，且00f x ()＜． 所以函数f x ()在01(,)x e上有一个零点．又因为2242222()ln (1)10a f a a a a a a=--≥--=>（因为ln 1x x ≤﹣），且00f x ()＜．所以函数f x ()在02(,)x a上有一个零点．所以当01a ＜＜时，函数f x ()在12(,)e a内有两个零点． 综上，实数a 的取值范围为01(，)．…16分 下面证明：ln 1x x ≤-． 设1ln t x x x =()--，所以11'()1x t x x x-=-=，0x (＞)． 令'0t x =()，得1x =．当01x ∈(,)时，'0t x ()＜；当1x ∈+∞(,)时，'0t x ()＞． 所以函数t x ()在01(,)上单调递减，在1+∞(,)上单调递增． 所以当1x =时，t x ()有最小值10t =()． 所以1ln 0t x x x =≥()--，得ln 1x x ≤-成立．20．解：（1）由已知可得：1a ，3a ，8a 成等比数列，所以2111(2)(7)a d a a d +=+，…2分整理可得：2143d a d =．因为0d ≠，所以143a d =．…4分 （2）设数列{}n k 为等比数列，则2213k k k =．又因为1k a ，2k a ，3k a 成等比数列，所以2111312[(1)][(1)][(1)]a k d a k d a k d +-+-=+-．整理，得21213132132(2)(2)a k k k d k k k k k k --=---+．因为2213k k k =，所以121321322a k k k d k k k =(--)(--)．因为2132k k k ≠+，所以1a d =，即11a d=．…6分 当11a d=时，11n a a n d nd =+=(-)，所以n k n a k d =． 又因为1111n n n k k a a q k dq --==，所以11n n k k q -=．所以1111nn n n k k q q k k q +-==，数列{}n k 为等比数列． 综上，当11a d=时，数列{}n k 为等比数列．…8分 （3）因为数列{}n k 为等比数列，由（2）知1a d =，11(1)n n k k q q -=>．1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，111n a a n d na =+=(-)．因为对于任意*n N ∈，不等式2n n k n a a k +>恒成立． 所以不等式1111112n n na k a qk q --+>，即111112n n k q a n k q -->+，111111110222n n n n k q qna k q k q --+<<=+恒成立．…10分下面证明：对于任意的正实数01εε(＜＜)，总存在正整数1n ，使得11n n q ε<． 要证11n n q ε<，即证11ln ln ln n n q ε+＜． 因为11ln 2x x x e ≤<，则1122111ln 2ln n n n =<，解不等式1211ln ln n n q ε<+，即1122211()ln ln 0n q n ε-+>，可得121n >，所以21n >．不妨取01n =+，则当10n n ＞时，原式得证． 所以11102a <≤，所以12a ≥，即得1a 的取值范围是[2+∞,)．…16分 21．解：设CD x =，则2CE x =． 因为1CA =，3CB =，由相交弦定理，得••CA CB CD CE =， 所以213?22x x x ⨯==，所以2x =．…2分 取DE 中点H ，则OH DE ⊥．因为2222354()28OH OE EH x =-=-=，所以OH =．…6分又因为2CE x ==所以OCE ∆的面积1122S OH CE ==⨯=10分． 22．解：设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，因为向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值1-的一个特征向量，所以111(1)111a b cd -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以11a b c d -=-⎧⎨-=⎩…4分 因为点11P (,)在矩阵A 对应的变换作用下变为'33P (,)， 所以1313a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以33a b c d +=⎧⎨+=⎩…8分 解得1a =，2b =，2c =，1d =，所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．…10分．23．解：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． 直线π()4R θρ=∈的直角坐标方程为y x =①，…3分 曲线4sin ρθ=的直角坐标方程为2240x y y +=-②．…6分由①②得00x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩…8分所以00A(,)，22B (,)，所以直线π()4R θρ=∈被曲线4sin ρθ=所截得的弦长AB =．…10分．24．解：3sin 3sin y x x =++2分由柯西不等式得222222(3sin (34)(sin cos )25y x x x =+≤++=，…8分 所以5max y =，此时3sin 5x =．所以函数3sin y x =+5．…10分．25．解：以1{,,}AB AD AA 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -． （1）因为(1,2,2)AP =，(2,0,1)AQ =，所以cos ,15APAQ AP AQ AP AQ===．所以AP 与AQ ．…4分 （2）由题意可知，1(0,0,2)AA =，(2,0,2)AQ λ=． 设平面APQ 的法向量为z n x y =(,,)，则00n AP n AQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩即220220x y z x z λ++=⎧⎨+=⎩令2z =-，则2x λ=，2y λ=-． 所以222n λλ=(,-,-)．…6分又因为直线1AA 与平面APQ 所成角为45︒， 所以111cos ,2n AA n AA n AA ==， 可得2540λλ=-，又因为0λ≠，所以45λ=．…10分．26．解：（1）抛物线220x py p =(＞)的准线方程为2py =， 因为1M m (,)，由抛物线定义，知12pMF =+， 所以122p+=，即2p =，所以抛物线的方程为24x y =．…3分（2）因为214y x =，所以1'2y x =． 设点2(,)4t E t ，0t ≠，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．令0y =，则2tx =，即点(,0)2t P ．因为(,0)2t P ，01F (,)，所以直线PF 的方程为2()2ty x t =-，即20x ty t +=-． 则点2(,)4t E t 到直线PF的距离为d ==5分 联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得2222(2t 16)0t y y t -++=． 因为224221646440t t t =+=+△()-()＞，所以1y =，2y = 所以221212222164(4)1122t t AB y y y y t t++=+++=++=+=．…7分 所以EAB △的面积为3222214(4)1(4)22t t S t t++=⨯=⨯． 不妨设322(4)()(0)x g x x x +=>，则12222(4)'()(24)x g x x x+=-．因为x ∈时，'0g x ()＜ ，所以g x ()在)x ∈+∞上，'0g x ()＞，所以g x ()在)+∞上单调递增．所以当x时，32min()g x ==所以EAB △的面积的最小值为10分．江苏省南通市2017年高考一模数学试卷解析1．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期等于，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．2．【考点】并集及其运算．【分析】由交集的定义，可得a+2=3，解得a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求．【解答】解：集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，则A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．3．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=﹣3+4i，∴z的实部为﹣3．故答案为：﹣3．4．【考点】概率的基本性质．【分析】利用对立事件的概率公式，可得结论．【解答】解：∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1﹣0.48﹣0.35=0.17．故答案为0.17．5．【考点】程序框图．【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．6．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+z ，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．7．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比较可得S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；即可得答案．【解答】解：根据题意，对于甲，其平均数甲==75，其方差S甲2=[（65﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2+（85﹣75）2+（75﹣75）2]=50；对于乙，其平均数乙==75，其方差S乙2=[（80﹣75）2+（70﹣75）2+（75﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2]=20；比较可得：S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；故答案为：20．8．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥D1﹣A1BD的体积==，由此能求出结果．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，∴三棱锥D1﹣A1BD的体积：=====（cm3）．故答案为：．9．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，可得b=2a，即c2﹣a2=4a2，可得=．故答案为：．10．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设最上面一节的容积为a1，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出结果．【解答】解：设最上面一节的容积为a1，由题设知，解得．故答案为：．11．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出的值．【解答】解：在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由•+2•=•，得ac•cosB+2bc•cosA=ba•cosC，由余弦定理得：（a2+c2﹣b2）+（b2+c2﹣a2）=（b2+a2﹣c2），化简得=2，∴=，由正弦定理得==．故答案为：．12．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】联立两曲线方程，可得tanx==，a＞0，设交点P（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值．【解答】解：由f（x）=g（x），即2sinx=acosx，即有tanx==，a＞0，设交点P（m，n），f（x）=2sinx的导数为f′（x）=2cosx，g（x）=acosx的导数为g′（x）=﹣asinx，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cosm•（﹣asinm）=﹣1，且tanm=，则=1，分子分母同除以cos2m，即有=1，即为a2=1+，解得a=．故答案为：．13．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．【解答】解：令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，x≥4时，g（x）=2x2﹣2x+4＞0，解得：x≥4；≤x＜4时，g（x）=2x2﹣4＞0，解得：x＞或x＜﹣，故＜x＜4；0≤x＜时，g（x）=0＞0，不合题意；﹣≤x＜0时，g（x）=2x＞0，不合题意；x＜﹣时，g（x）=2x2+2x﹣4＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，故x＜﹣2，故答案为：．14．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】画出图形，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值范围．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，如图所示当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．由，可得B（，1）或（，1），由，可得C（1，）或（1，﹣）解得BC min==，BC max==．故答案为：[，]．15．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】（1）由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．（2）利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标．16．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结OE，说明OE∥PA．然后证明PA∥平面BDE．（2）证明OE⊥PD．OE⊥PC．推出OE⊥平面PCD．然后证明平面BDE⊥平面PCD．17．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知条件可得，，然后求解椭圆的方程．（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，求解结果；当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．联立方程组，推出．OQ2=2k2+2．然后求解即可．18．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．可得FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．即可得出．（2）解法一：设，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得，，．四边形MNPE面积为==，化简利用基本不等式的性质即可得出．解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6﹣t．可得PE=PF，即．，NP=3﹣T+，四边形MNPE面积为==，利用基本不等式的性质即可得出．19．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当时，．求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值．（2）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得．当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点，当﹣1≤a≤0时，f（1）=a﹣1＜0，，推出结果．（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．说明a＞0，由f（x）=ax2﹣x ﹣lnx，得，说明函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要．通过函数h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，推出0＜a＜1．验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．证明：lnx≤x﹣1．设t（x）=x﹣1﹣lnx，利用导数求解函数的最值即可．20．【考点】数列与不等式的综合；等比数列的性质．【分析】（1）由已知得：a1，a3，a8成等比数列，从而4d2=3a1d，由此能求出的值．（2）设数列{k n}为等比数列，则，推导出，从而，进而．由此得到当时，数列{k n}为等比数列．（3）由数列{k n}为等比数列，a1=d，．得到，恒成立，再证明对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得．要证，即证lnn1＜n1lnq+lnε．由此能求出a1的取值范围．21．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由相交弦定理，得CD，DE中点H，则OH⊥DE，利用勾股定理求出OH，即可求出△OCE的面积．22．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】设，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a、b、c和d的值，求得A．23．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出A，B的坐标，即可求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．24．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用；三角函数的最值．【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即可．25．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz．求出，，利用数量积求解AP与AQ所成角的余弦值．（2），．求出平面APQ的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．26．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；抛物线的标准方程；直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）求出抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，由抛物线定义，得到p=2，即可求解抛物线的方程．（2）求出函数的．设点，得到抛物线在点E处的切线方程为．求出．推出直线PF的方程，点到直线PF的距离，联立求出AB，表示出△EAB的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可．。
南通市、泰州市2017届数学一模(含参考答案)
2017 年省市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，合计 70 分．1．函数的最小正周期为．2．设会合A={ 1， 3} ，B={ a+2， 5} ，A∩B={ 3}，则A∪ B=．3．复数z=（ 1+2i）2，此中i 为虚数单位，则z 的实部为．4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为．5．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为．6．若实数 x， y 知足则 z=3x+2y 的最大值为．7．抽样统计甲、乙两名学生的 5 次训练成绩（单位：分），结果以下：学生第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次甲6580708575乙8070758070则成绩较为稳固（方差较小）的那位学生成绩的方差为．8．如图，在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，则三棱锥 D1﹣A1BD 的体积为cm3．9．在平面直角坐标系xOy 中，直线 2x+y=0 为双曲线 =1（a＞ 0，b＞ 0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为．4 10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上边节的容积共 3 升，下边 3 节的容积共 4 升，则该竹子最上边一节的容积为升．11．在△ ABC中，若 ?+2?=?，则的值为．12．已知两曲线 f（x）=2sinx，g（x） =acosx，订交于点 P．若两曲线在点 P 处的切线相互垂直，则实数 a 的值为．13．已知函数2+2）＞ f（ x）的解集用区表示．f（x）=| x|+| x 4| ，不等式 f（ x14．在平面直角坐系xOy中，已知，x2+y2=4上两点，点（，），且⊥，段B C A 1 1AB ACBC的的取．二、解答：本大共 6 小，共 90 分．15．如，在平面直角坐系xOy 中，以 x 正半始作角α，其与位交于点A．以OA 始作角β，其与位交于点B，AB=．（1）求 cosβ的；（2）若点 A 的横坐，求点 B 的坐．16．如，在四棱 P ABCD中，四形 ABCD平行四形， AC，BD 订交于点 O，点 E PC的中点， OP=OC，PA⊥ PD．求：（1）直 PA∥平面 BDE；（2）平面 BDE⊥平面 PCD．17．如，在平面直角坐系xOy 中，已知（ a＞b＞0）的离心率，焦点到相准的距离1．（1）求的准方程；（2）若 P 上的一点，点 O 作 OP的垂交直于点 Q，求的．18．如，某机械厂要将 6m， 2m 的方形皮 ABCD行裁剪．已知点 F AD 的中点，点 E 在 BC上，裁剪先将四形 CDFE沿直 EF翻折到 MNFE（点 C，D 分落在直 BC下方点 M ， N ， FN 交 BC于点 P），再沿直PE裁剪．（1）当∠ EFP=，判断四形 MNPE的形状，并求其面；（2）若使裁剪获得的四形 MNPE 面最大，出裁剪方案，并明原因．19．已知函数 f（x）=ax2x lnx， a∈R．（1）当，求函数 f（ x）的最小；（2）若 1≤a≤0，明：函数 f （x）有且只有一个零点；（3）若函数 f（ x）有两个零点，数 a 的取．20．已知等差数列 { a n} 的公差 d 不 0，且，，⋯，，⋯（k1＜k2＜⋯＜ k n＜⋯）成等比数列，公比q．（1）若 k1=1，k2=3， k3=8，求的值；（2）当为什么值时，数列 { k n} 为等比数列；（3）若数列 { k n} 为等比数列，且关于随意 n∈ N*，不等式恒成立，求 a1的取值围．市 2017 届高三第一次调研测试数学Ⅱ（附带题）[选做题此题包含四小题，请选 2 题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[ 选修 4-1：几何证明选讲 ] 21．已知圆 O 的直径 AB=4，C 为 AO 的中点，弦 DE 过点 C 且知足 CE=2CD，求△ OCE的面积．[ 选修 4-2：矩阵与变换 ]22．已知向量是矩阵 A 的属于特点值﹣ 1 的一个特点向量．在平面直角坐标系xOy 中，点P（1，1）在矩阵 A 对应的变换作用下变成P'（3，3），求矩阵 A．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]23．在极坐标系中，求直线被曲线ρ =4sin所θ截得的弦长．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]24．求函数的最大值．[ 必做题 ] 共 2 小题，满分 20 分）25．如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，P 为棱 C1D1的中点，Q 为棱 BB1上的点，且 BQ=λ BB1（λ≠ 0）．（1）若，求 AP 与 AQ 所成角的余弦值；（2）若直线 AA1与平面 APQ 所成的角为 45°，数λ的值．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x2=2py（ p＞ 0）上的点 M （m， 1）到焦点 F 的距离为 2，（1）求抛物线的方程；（2）如图，点 E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点 E 处的切线与 x 轴订交于点 P，直线 PF与抛物线订交于 A，B 两点，求△ EAB面积的最小值．2017 年省市高考数学一模试卷参照答案与试题分析一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，合计 70 分．1．函数的最小正周期为．【考点】三角函数的周期性及其求法．【剖析】依据函数 y=Asin（ωx+φ）的周期等于，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．2．设会合 A={ 1， 3} ，B={ a+2， 5} ，A∩B={ 3} ，则 A∪ B={ 1，3，5} ．【考点】并集及其运算．【剖析】由交集的定义，可得 a+2=3，解得 a，再由并集的定义，注意会合中元素的互异性，即可获得所求．【解答】解：会合 A={ 1，3} ，B={ a+2，5} ，A∩B={ 3} ，可得 a+2=3，解得 a=1，即 B={ 3，5} ，则 A∪B={ 1，3，5} ．故答案为： { 1， 3， 5} ．．复数z=（ 1+2i）2，此中 i 为虚数单位，则 z 的实部为﹣3 ．3【考点】复数代数形式的乘除运算．【剖析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵ z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=﹣ 3+4i，∴z 的实部为﹣3．故答案为：﹣3．4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为0.17．【考点】概率的基天性质．【剖析】利用对峙事件的概率公式，可得结论．【解答】解：∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1﹣0.48﹣0.35=0.17．故答案为 0.17．5．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为5．【考点】程序框图．【剖析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算 a 值，并输出知足 a＜ 16 的最大 n 值，模拟程序的运转过程可得答案．【解答】解：当 n=1，a=1 时，知足进行循环的条件，履行循环后， a=5，n=3；知足进行循环的条件，履行循环后， a=17，n=5；知足进行循环的条件，退出循环故输出 n 值为 5故答案为： 5．6．若实数 x， y 知足则 z=3x+2y 的最大值为7．【考点】简单线性规划．【剖析】作出不等式组对应的平面地区，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面地区如图：（暗影部分）．由 z=3x+2y 得 y=﹣x+z平移直线 y=﹣ x+z，由图象可知当直线y=﹣ x+z 经过点 A 时，直线 y=﹣x+z 的截距最大，此时 z 最大．由，解得 A（1，2），代入目标函数 z=3x+2y 得 z=3×1+2×2=7．即目标函数 z=3x+2y 的最大值为 7．故答案为： 7．7．抽样统计甲、乙两名学生的 5 次训练成绩（单位：分），结果以下：学生第1次第2次第3次第4次第5次甲6580708575乙8070758070则成绩较为稳固（方差较小）的那位学生成绩的方差为20．【考点】极差、方差与标准差．【剖析】依据题意，分别求出甲、乙的均匀数与方差，比较可得S 甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳固；即可得答案．【解答】解：依据题意，关于甲，其均匀数甲==75，其方差 S甲2280﹣75）2（70﹣= [ （65﹣75） +（+285﹣75）2（75﹣ 75）2]=50；75） +（+关于乙，其均匀数乙==75，其方差S 乙2270﹣75）2（75﹣ 75）2（80﹣75）2（70 = [ （80﹣75） +（+++﹣75）2] =20；比较可得： S甲2＞S 乙2，则乙的成绩较为稳固；故答案为： 20．8．如图，在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，则三棱锥 D1﹣A1BD 的体积为cm3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【剖析】三棱锥 D1﹣A1BD 的体积 ==，由此能求出结果．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣ A1B1C1D1中， AB=3cm，AA1=1cm，∴三棱锥 D1﹣ A1BD 的体积：=====（cm3）．故答案为：．9．在平面直角坐标系xOy 中，直线 2x+y=0 为双曲线 =1（a＞ 0，b＞ 0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【剖析】利用双曲线的渐近线方程获得 a，b 关系，而后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：直线 2x+y=0 为双曲线 =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，可得 b=2a，即 c2﹣a2=4a2，可得 =．故答案为：．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上边4节的容积共 3 升，下边 3 节的容积共 4 升，则该竹子最上边一节的容积为升．【考点】等差数列的通项公式．【剖析】设最上边一节的容积为a1，利用等差数列的通项公式、前n 项和公式列出方程组，能求出结果．【解答】解：设最上边一节的容积为a1，由题设知，解得．故答案为：．11．在△ ABC中，若 ?+2?=?，则的值为．【考点】平面向量数目积的运算；正弦定理．【剖析】依据题意，利用平面向量的数目积，联合余弦定理和正弦定理，即可求出的值．【解答】解：在△ ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为 A、B、C，由 ?+2?=?，得 ac?cosB+2bc?cosA=ba?cosC，由余弦定理得：（ a2+c2﹣ b2）+（b2+c2﹣a2） =（ b2+a2﹣c2），化简得 =2，∴ =，由正弦定理得==．故答案为：．12．已知两曲线 f（x）=2sinx，g（x） =acosx，订交于点 P．若两曲线在点 P 处的切线相互垂直，则实数 a 的值为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【剖析】联立两曲线方程，可得tanx==，a＞0，设交点 P（m， n），分别求出 f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可获得 a 的值．【解答】解：由 f（ x）=g（x），即 2sinx=acosx，即有 tanx==，a＞0，设交点 P（ m，n），f（x）=2sinx 的导数为 f ′（x）=2cosx，g（x）=acosx的导数为 g′（x） =﹣ asinx，由两曲线在点 P 处的切线相互垂直，可得 2cosm?（﹣ asinm） =﹣ 1，且 tanm=，则 =1，分子分母同除以 cos2m，即有 =1，即为 a2=1+，解得 a=．故答案为：．13．已知函数 f（x）=| x|+| x﹣4| ，则不等式 f（ x2+2）＞ f（ x）的解集用区间表示为．【考点】绝对值不等式的解法．【剖析】令 g（x）=f（x2+2）﹣ f（x）=x2+2+| x2﹣2| ﹣| x| ﹣| x﹣ 4| ，经过议论 x 的围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．【解答】解：令 g（ x） =f（x2+2）﹣ f（ x） =x2+2+| x2﹣2| ﹣| x| ﹣| x﹣4| ， x≥4 时， g（ x） =2x2﹣2x+4＞0，解得： x≥4；≤x＜ 4 时， g（x）=2x2﹣ 4＞ 0，解得： x＞或 x＜﹣，故＜ x＜4；0≤x＜时， g（ x） =0＞0，不合题意；﹣≤ x＜0 时， g（x）=2x＞ 0，不合题意；x＜﹣时， g（x）=2x2+2x﹣ 4＞ 0，解得： x＞1 或 x＜﹣ 2，故x＜﹣2，故答案为：．．在平面直角坐标系xOy 中，已知，C为圆x2+y2=4上两点，点（，），且⊥，则线段14B A 1 1AB AC BC的长的取值围为[，] ．【考点】直线和圆的方程的应用．【剖析】画出图形，当BC⊥ OA 时，BC 获得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出BC 的长的||||取值围．【解答】解：在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B，C 为圆 x2+y2=4上两点，点（，），且⊥，A11AB AC以下图当 BC⊥OA 时， | BC| 获得最小值或最大值．由，可得B（， 1）或（， 1），由，可得 C（1，）或（ 1，﹣）解得 BC min==，BC max==．故答案为： [ ，] ．二、解答题：本大题共 6 小题，合计 90 分．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以 x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB=．（1）求 cosβ的值；（2）若点 A 的横坐标为，求点 B 的坐标．【考点】随意角的三角函数的定义．【剖析】（1）由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．（2）利用随意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点 B 的坐标．【解答】解：（1）在△ AOB中，由余弦定理得， AB2=OA2+OB2﹣ 2OA?OBcos∠AOB，因此， =，即．（2）由于，，∴．由于点 A 的横坐标为，由三角函数定义可得，，由于α为锐角，因此．所以，，即点．16．如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，四边形 ABCD为平行四边形， AC，BD 订交于点 O，点 E 为 PC的中点， OP=OC，PA⊥ PD．求证：（1）直 PA∥平面 BDE；（2）平面 BDE⊥平面 PCD．【考点】平面与平面垂直的判断；直与平面平行的判断．【剖析】（1） OE，明 OE∥ PA．而后明 PA∥平面 BDE．（2）明 OE⊥PD．OE⊥PC．推出 OE⊥平面 PCD．而后明平面 BDE⊥平面 PCD．【解答】明：（1） OE，因 O 平行四形 ABCD角的交点，因此 O AC中点．又因 E PC的中点，因此 OE∥PA．⋯4分又因 OE? 平面 BDE，PA?平面 BDE，因此直 PA∥平面 BDE．⋯6分（2）因 OE∥PA，PA⊥ PD，因此 OE⊥PD．⋯8分因 OP=OC，E PC的中点，因此 OE⊥ PC．⋯10分又因PD? 平面 PCD，PC? 平面 PCD，PC∩ PD=P，因此OE⊥平面 PCD．⋯12分又因 OE? 平面 BDE，因此平面 BDE⊥平面 PCD．⋯14分．17．如，在平面直角坐系xOy 中，已知（ a＞b＞0）的离心率，焦点到相准的距离1．（1）求的准方程；（2）若 P 上的一点，点 O 作 OP的垂交直于点 Q，求的．【考点】直与的地点关系；的准方程．【剖析】（1）由已知条件可得，，而后求解的方程．（ 2）由意知 OP 的斜率存在．当 OP的斜率 0 ，求解果；当 OP 的斜率不 0 ，直 OP方程 y=kx．立方程，推出． OQ2=2k2+2．而后求解即可．【解答】解：（1）由意得，，，⋯2分解得， c=1，b=1．因此的方程．⋯4分（ 2）由意知 OP 的斜率存在．当 OP 的斜率 0 ，，，因此．⋯6分当 OP 的斜率不 0 ，直 OP 方程 y=kx．由得（ 2k2+1） x2=2，解得，因此，因此．⋯9分因 OP⊥OQ，因此直 OQ 的方程．由得，因此 OQ2=2k2+2．⋯12分因此．上，可知．⋯14分．18．如，某机械厂要将 6m， 2m 的方形皮在 BC上，裁剪先将四形 CDFE沿直 EF翻折到 N ， FN 交 BC 于点 P），再沿直 PE裁剪．ABCD行裁剪．已知点 F AD 的中点，点 E MNFE （点 C，D 分落在直 BC下方点 M ，（1）当∠ EFP=，判断四形 MNPE的形状，并求其面；（2）若使裁剪获得的四形 MNPE 面最大，出裁剪方案，并明原因．【考点】函数模型的与用．【剖析】（1）当∠ EFP=，由条件得∠ EFP=∠EFD=∠ FEP=．可得 FN⊥BC，四形 MNPE 矩形．即可得出．（2）解法一：，由条件，知∠ EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得，，．四形 MNPE 面 ==，化利用基本不等式的性即可得出．解法二： BE=tm，3＜t＜ 6， ME=6 t ．可得 PE=PF，即．，NP=3 T+，四形 MNPE 面 ==，利用基本不等式的性即可得出．【解答】解：（1）当∠ EFP=，由条件得∠ EFP=∠EFD=∠FEP=．因此∠ FPE=．因此 FN⊥BC，四形 MNPE矩形．⋯3分因此四形 MNPE 的面 S=PN?MN=2m．⋯5分（ 2）解法一：，由条件，知∠ EFP=∠ EFD=∠ FEP=θ．因此，，．⋯8分由得因此四形 MNPE 面 ====⋯12分．当且当，即取“=．”⋯14分此，（* ）成立．答：当，沿直PE裁剪，四形 MNPE 面最大，最大 m2．⋯16分解法二：BE=tm，3＜ t＜ 6， ME=6 t．因∠ EFP=∠EFD=∠FEP，因此 PE=PF，即．因此，．⋯8分由得因此四形 MNPE 面 ==⋯12分=．当且当，即取“=．” ⋯14分此，（* ）成立．答：当点 E 距 B 点 m ，沿直 PE裁剪，四形 MNPE 面最大，最大m2．⋯16分．19．已知函数 f（x）=ax2x lnx， a∈R．（1）当，求函数 f（ x）的最小；（2）若 1≤a≤0，明：函数 f （x）有且只有一个零点；（3）若函数 f（ x）有两个零点，数 a 的取．【考点】数在最大、最小中的用；根的存在性及根的个数判断；利用数研究函数的极．【剖析】（1）当，．求出函数的数，获得极点，而后判断性求解函数的最．（ 2）由 f（x）=ax2 x lnx，得．当 a≤0 ，函数f（ x）在（ 0，∞）上最多有一个零点，当 1≤+a≤0 ， f（ 1） =a 1＜0，，推出果．（ 3）由（ 2）知，当 a≤0 ，函数 f（x）在（ 0，∞）上最多有一个零点．明a＞0，由 f（ x）=ax2+x lnx，得，明函数f（x）在（ 0，x0）上减；在（ x0，+∞）上增．要使得函数 f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只要要．通函数 h（x）=2lnx+x 1 在（0，+∞）上是增函数，推出 0＜a＜1．当 0＜a＜1 ，函数 f （x）有两个零点．明： lnx≤ x 1．t（ x） =x 1 lnx，利用数求解函数的最即可．【解答】解：（1）当，．因此，（x＞0）．⋯2分令 f' （x）=0，得 x=2，当 x∈（ 0，2）， f' （x）＜ 0；当 x∈（ 2， +∞）， f'（ x）＞ 0，因此函数 f（ x）在（ 0，2）上减，在（ 2， +∞）上增．因此当 x=2 ， f （x）有最小．⋯4分（2）由 f （x）=ax2 x lnx，得．因此当a≤ 0 ，，函数 f （x）在（ 0， +∞）上减，因此当 a≤ 0 ，函数 f（x）在（ 0，+∞）上最多有一个零点．⋯6分因当 1≤a≤ 0 ， f（1）=a 1＜0，，因此当 1≤ a≤ 0 ，函数 f （x）在（ 0，+∞）上有零点．上，当 1≤a≤0 ，函数 f （x）有且只有一个零点．⋯8分（ 3）由（ 2）知，当 a≤0 ，函数 f（ x）在（ 0，+∞）上最多有一个零点．因函数 f（ x）有两个零点，因此a＞0．⋯9分由 f（ x） =ax2 x lnx，得，令 g（x）=2ax2 x 1．因 g（0）= 1＜0，2a＞ 0，因此函数 g（x）在（ 0，+∞）上只有一个零点， x0．当 x∈（ 0，x0）， g（x）＜ 0，f' （x）＜ 0；当 x∈（ x0， +∞）， g（x）＞ 0， f'（ x）＞ 0．因此函数 f（ x）在（ 0，x0）上减；在（ x0，+∞）上增．要使得函数 f （x）在（ 0， +∞）上有两个零点，只要要函数 f （x）的极小 f（x0）＜ 0，即．又因，因此 2lnx0+x01＞0，又因函数 h（x）=2lnx+x 1 在（ 0，+∞）上是增函数，且h（1）=0，因此 x0＞ 1，得．又由，得，因此 0＜a＜1．⋯13分以下当 0＜a＜1 ，函数 f（x）有两个零点．当 0＜a＜1 ，，因此．因，且 f（ x0）＜ 0．因此函数 f（ x）在上有一个零点．又因（因 lnx≤x 1），且 f（x0）＜ 0．因此函数 f（ x）在上有一个零点．因此当 0＜ a＜ 1 ，函数 f（x）在有两个零点．上，数 a 的取（ 0，1）．⋯16分下边明： lnx≤x 1．t（ x） =x 1 lnx，因此，（ x＞ 0）．令 t'（x）=0，得 x=1．当 x∈（ 0，1）， t' （x）＜ 0；当 x∈（ 1， +∞）， t' （ x）＞ 0．因此函数 t（ x）在（ 0，1）上减，在（ 1， +∞）上增．因此当 x=1 ， t （x）有最小 t（1）=0．因此 t （x）=x 1 lnx≥0，得 lnx≤x 1 成立．20．已知等差数列 { a n} 的公差 d 不 0，且，，⋯，，⋯（k1＜k2＜⋯＜ k n＜⋯）成等比数列，公比q．（1）若 k1=1，k2=3， k3=8，求的；（2）当何，数列 { k n} 等比数列；（3）若数列 { k n} 等比数列，且于随意 n∈ N*，不等式恒成立，求 a1的取．【考点】数列与不等式的合；等比数列的性．【剖析】（1）由已知得： a1， a3， a8成等比数列，进而 4d2=3a1d，由此能求出的．（ 2）数列 { k n等比数列，，推出，进而，而．由此获得当，数列n等比数列．}{ k }（ 3）由数列 { k n等比数列， 1 ，．获得，恒成立，再明于随意的正数ε（＜ε＜），存} a =d01在正整数 n1，使得．要，即 lnn1＜1 1 的取．n lnq+ln ε．由此能求出 a【解答】解：（1）由已知可得： a1，a3， a8成等比数列，因此，⋯2分整理可得： 4d2=3a1d．因 d≠0，因此．⋯4分（2）数列 { k n} 等比数列，．又因，，成等比数列，因此．整理，得．因，因此 a1（ 2k2k1k3）=d（2k2k1k3）．因 2k2≠k1+k3，因此 a1=d，即．⋯6分当， a n=a1+（n 1）d=nd，因此．又因，因此．因此，数列 { k n} 等比数列．上，当，数列 { k n} 等比数列．⋯8分（3）因数列 { k n} 等比数列，由（ 2）知 a1=d，．，a n=a1+（n 1）d=na1．因于随意 n∈ N*，不等式恒成立．因此不等式，即，恒成立．⋯10分下边明：于随意的正数ε（ 0＜ε＜ 1），存在正整数 n1，使得．要，即lnn1＜ n1lnq+ln ε．因，，解不等式，即，可得，因此．不如取，当 n1＞n0，原式得．因此，因此 a1≥ 2，即得 a1的取是 [ 2，+∞）．⋯ 16分市 2017 届高三第一次研数学Ⅱ（附带）[做本包含四小， 2 作答．若多做，按作答的前两分．解答写出文字明、明程或演算步．[ 修 4-1：几何明 ]21．已知 O 的直径 AB=4，C AO 的中点，弦 DE 点 C 且足 CE=2CD，求△ OCE的面．【考点】与相关的比率段．【剖析】由订交弦定理，得CD，DE中点 H， OH⊥ DE，利用勾股定理求出OH，即可求出△ OCE的面．【解答】解： CD=x， CE=2x．因 CA=1，CB=3，由订交弦定理，得CA?CB=CD?CE，因此 1×3=x?2x=2x2，因此．⋯2分取 DE 中点 H， OH⊥DE．因，因此．⋯6分又因，因此△ OCE的面．⋯10分．[ 修4-2：矩与]22．已知向量是矩 A 的属于特点 1 的一个特点向量．在平面直角坐系xOy 中，点P（1，1）在矩 A 的作用下P'（3，3），求矩A．【考点】特点与特点向量的算．【剖析】，依据矩，列方程，即可求得a、 b、c 和 d 的，求得 A．【解答】解：，因向量是矩 A 的属于特点 1 的一个特点向量，因此．因此⋯4分因点 P（ 1， 1）在矩 A 的作用下 P'（ 3， 3），因此．因此⋯8分解得 a=1， b=2，c=2，d=1，因此．⋯10分．[ 修 4-4：坐系与参数方程 ]23．在极坐系中，求直被曲ρ =4sin所θ截得的弦．【考点】曲的极坐方程．【剖析】极坐方程化直角坐方程，立，求出 A，B 的坐，即可求直被曲ρ=4sin θ所截得的弦．【解答】解：以极点 O 坐原点，极x 的正半成立平面直角坐系．直的直角坐方程y=x①，⋯3分曲ρ=4sinθ的直角坐方程x2 y2 4y=0②．⋯6分+由①②得或⋯8分因此 A（0，0），B（2，2），因此直被曲ρ=4sin所θ截得的弦AB=．⋯10分．[ 修 4-5：不等式 ]24．求函数的最大．【考点】柯西不等式在函数极中的用；三角函数的最．【剖析】利用二倍角公式化函数的分析式，利用柯西不等式求解函数的最即可．【解答】解：⋯2分由柯西不等式得，⋯8分因此 y max=5，此．因此函数的最大5．⋯10分．[ 必做 ] 共 2 小，分 20 分）25．如，在棱 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，P 棱 C1D1的中点，Q 棱 BB1上的点，且 BQ=λ BB1（λ≠ 0）．（1）若，求 AP 与 AQ 所成角的余弦；（2）若直 AA1与平面 APQ 所成的角 45°，数λ的．【考点】直与平面所成的角．【剖析】（1）以正交基底，成立如所示空直角坐系 A xyz．求出，，利用数目求解AP 与AQ 所成角的余弦．（2），．求出平面 APQ的法向量，利用空向量的数目求解即可．【解答】解：以正交基底，成立如所示空直角坐系 A xyz．（1）因，，因此 =．因此 AP 与 AQ 所成角的余弦．⋯4分（ 2）由意可知，，．平面 APQ的法向量 =（ x， y， z），即令 z= 2， x=2λ，y=2λ．因此 =（2λ， 2 λ， 2）．⋯6分又因直AA与平面 APQ所成角 45°1，因此 | cos＜，＞ | ==，可得 5λ24λ=0，又因λ≠0，因此．⋯10分．26．在平面直角坐系xOy 中，已知抛物x2=2py（ p＞ 0）上的点 M （m， 1）到焦点 F 的距离 2，（1）求抛物的方程；（2）如，点 E 是抛物上异于原点的点，抛物在点 E 的切与 x 订交于点 P，直 PF与抛物订交于 A，B 两点，求△ EAB面的最小．【考点】数在最大、最小中的用；抛物的准方程；直与抛物的地点关系．【剖析】（1）求出抛物 x2=2py（p＞0）的准方程，由抛物定，获得 p=2，即可求解抛物的方程．（ 2）求出函数的．点，获得抛物在点 E 的切方程．求出．推出直PF的方程，点到直PF 的距离，立求出AB，表示出△ EAB的面，结构函数，通函数的数利用性求解最即可．【解答】解：（1）抛物 x2=2py（p＞0）的准方程，因 M （m，1），由抛物定，知，因此，即 p=2，因此抛物的方程x2=4y．⋯3分（ 2）因，因此．点，抛物在点E的切方程．令 y=0，，即点．因， F（0，1），因此直 PF 的方程，即 2x+ty t=0．点到直 PF的距离．⋯5分立方程消元，得t 2y2（ 2t 2+16） y+t2=0．因△ =（2t2+16）24t4=64（ t2+4）＞ 0，因此，，因此．⋯7分因此△ EAB的面．不如（ x＞0），．因， g'（x）＜ 0，因此 g（x）在上减；上，g'（ x）＞ 0，因此 g（x）在上增．因此当，．因此△ EAB的面的最小．⋯10分．2017年3月4日。
江苏省泰州市泰兴市2017年中考数学一模试卷 及参考答案
三、解答题
17. 综合题。 （1） 计算：（﹣ ）﹣2+2cos30°﹣|﹣ |﹣（π﹣2017）0
（2） 化简：（ ﹣x+1）÷
．
18. 某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下体育活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须
（1）
求抛物线的表达式；
（2） 当m=2时，△PQR为等腰直角三角形，求点P的坐标； （3） ①求PR+QR的最大值；②求△PQR面积的最大值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
16. 17.
18. 19.
20. 21.
．求甲、乙两种足球的单价．
21. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点D为边BC上一点，点E为边AB的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线与点F ，连接BF．
（1） 求证：四边形ADBF是平行四边形； （2） 若∠ADF=∠BDF，DF=2CD，求∠ABC的度数． 22. 如图，一艘轮船在A处时观测得小岛C在船的北偏东60°方向，轮船以40海里/时的速度向正东方向航行1.5小时到达 B处，这时小岛C在船的北偏东30°方向．已知小岛C周围50海里范围内是暗礁区．
（1） 用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数及数字之积为5的倍数的概率； （2） 小亮和小丽想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得3分；数字之积为5的倍数时，小 丽得4分，这个游戏对双方公平吗？请说明理由；认为不公平的，请你修改得分规定，使游戏双方公平． 20. 为响应“足球进校园”的号召，某学校决定在商场购买甲、乙两种品牌的足球．已知乙种品牌足球比甲种品牌足球每 只贵10元，该校欲分别花费2000元、1200元购买甲、乙两种足球，这样购得甲种足球的数量是购得乙种足球的数量的2倍