2009考研数学(二)真题及参考答案
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2009年研究生入学统一考试
数学二试题与解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）函数3sinxxfxnx的可去间断点的个数为（ ）
A1. B2. C3. D无穷多个.
（2）当0x时，sinfxxax与2ln1gxxbx是等价无穷小，则（ ）
A11,6ab. B11,6ab. C11,6ab. D11,6ab
（3）设函数,zfxy的全微分为dzxdxydy，则点0,0（ ）
A不是,fxy的连续点. B不是,fxy的极值点.
C是,fxy的极大值点. D是,fxy的极小值点.
（4）设函数,fxy连续，则222411,,yxydxfxydydyfxydx（ ）
A2411,xdxfxydy. B241,xxdxfxydy.
C2411,ydyfxydx. D.221,ydyfxydx
（5）若fx不变号，且曲线yfx在点1,1上的曲率圆为222xy，则fx在区间1,2内（ ）
A有极值点，无零点. B无极值点，有零点.
C有极值点，有零点. D无极值点，无零点.
（6）设函数yfx在区间1,3上的图形为
1 ()fx-2 0 2 3 x-1 O 狮子1213 免费为大家分享
则函数0xFxftdt的图形为（ ）
A. B.
C. D.
（7）设A，B均为2阶矩阵，**AB，分别为A，B的伴随矩阵.若23AB，，则分块矩阵OABO的伴随矩阵为（ ）
A.**32OBAO B.**23OBAO
C.**32OABO D.**23OABO
（8）设AP，均为3阶矩阵，TP为P的转置矩阵，且100010002TPAP，若
1231223PQ（，，），（，，），则TQAQ为（ ）
A.210110002 B.110120002 ()fx0 2 3 x1 -2
-1 1 ()fx0 2 3 x1 -1 1 ()fx0 2 3 x1 -2
-1 1 ()fx0 2 3 x1 -2
-1 1 狮子1213 免费为大家分享
C.200010002 D.100020002
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）曲线2221-x=0ln(2)uteduytt在（0，0）处的切线方程为 .
（10）已知+1kxedx,则k .
（11）10nlimesinxnxdx .
（12）设()yyx是由方程xy1yex确定的隐函数，则220xyx .
（13）函数2xyx在区间01，上的最小值为 .
(14)设，为3维列向量，T为的转置，若矩阵T相似于200000000，则T= .
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分9分）求极限401cosln(1tan)limsinxxxxx.
（16）（本题满分10 分）
计算不定积分1ln(1)xdxx (0)x.
（17）（本题满分10分）
设,,zfxyxyxy，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与2zxy.
（18）（本题满分10分）设非负函数yyx0x满足微分方程20xyy，当曲线yyx过原点时，其与直线1x及0y围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积.
（19）（本题满分10分）计算二重积分Dxydxdy，其中22,112,Dxyxyyx.
（20）（本题满分12分） 狮子1213 免费为大家分享
设()yyx是区间-（，）内过点-22（，）的光滑曲线，当-0x时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x时，函数()yx满足0yyx.求()yx的表达式.
（21）（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数fx在,ab上连续，在,ab可导，则存在,ab，使得fbfafba；
（Ⅱ）证明：若函数fx在0x处连续，在0,0内可导，且0limxfxA，则0f存在，且0fA.
（22）（本题满分11分设111111042A，1112.
（Ⅰ）求满足22131,AA的所有向量23,；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,，证明：123,,线性无关.
（23）（本题满分11分）设二次型2221231231323,,122fxxxaxaxaxxxxx
（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；
（Ⅱ）若二次型f的规范形为2212yy，求a的值. 狮子1213 免费为大家分享
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）函数3sinxxfxnx的可去间断点的个数为（ ）
A1. B2. C3. D无穷多个.
【答案】C
【解析】
3sinxxfxx
则当x取任何整数时，fx均无意义
故fx的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30xx的解1,2,30,1x
320032113211131limlimsincos132limlimsincos132limlimsincosxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
故可去间断点为3个，即0,1
（2）当0x时，sinfxxax与2ln1gxxbx是等价无穷小，则（ ）
A11,6ab. B11,6ab. C11,6ab. D11,6ab.
【答案】A
【解析】2()sin,()(1)fxxaxgxxlnbx为等价无穷小，则
222200000()sinsin1cossinlimlimlimlimlim()ln(1)()36xxxxxfxxaxxaxaaxaaxgxxbxxbxbxbx洛洛230sinlim166xaaxabbaxa 36ab 故排除,BC.
另外201coslim3xaaxbx存在，蕴含了1cos0aax0x故1.a排D. 狮子1213 免费为大家分享
所以本题选A.
（3）设函数,zfxy的全微分为dzxdxydy，则点0,0（ ）
A不是,fxy的连续点. B不是,fxy的极值点.
C是,fxy的极大值点. D是,fxy的极小值点.
【答案】 D
【解析】因dzxdxydy可得,zzxyxy
2222221,0,1zzzzABCxxyyxy
又在（0，0）处，0,0zzxy
210ACB
故（0，0）为函数(,)zfxy的一个极小值点.
（4）设函数,fxy连续，则222411,,yxydxfxydydyfxydx（ ）
A2411,xdxfxydy. B241,xxdxfxydy.
C2411,ydyfxydx. D.221,ydyfxydx
【答案】C
【解析】222211(,)(,)xxdxfxydydyfxydx的积分区域为两部分：
1(,)12,2Dxyxxy，2(,)12,4Dxyyyxy
将其写成一块(,)12,14Dxyyxy
故二重积分可以表示为2411(,)ydyfxydx，故答案为C. 狮子1213 免费为大家分享
（5）若fx不变号，且曲线yfx在点1,1上的曲率圆为222xy，则fx在区间1,2内（ ）
A有极值点，无零点. B无极值点，有零点.
C有极值点，有零点. D无极值点，无零点.
【答案】 B
【解析】由题意可知，()fx是一个凸函数，即''()0fx，且在点(1,1)处的曲率322|''|12(1('))yy，而'(1)1f，由此可得，''(1)2f
在[1,2]上，'()'(1)10fxf，即()fx单调减少，没有极值点.
对于(2)(1)'()1(1,2)fff， （拉格朗日中值定理）
(2)0f而 (1)10f
由零点定理知，在[1,2]上，()fx有零点. 故应选（B）.
（6）设函数yfx在区间1,3上的图形为
则函数0xFxftdt的图形为（ ） 1 ()fx-2 0 2 3 x-1 O
2010年考研数学真题及参考答案(数学二)
2018考研英语(二)真题及参考答案
2018考研英语（二）真题及参考答案（完整版）
SectionⅠ Use of English
Directions:
Read the following text. Choose the best word(s) for each numbered blank and mark [A],[B], [C] or [D] on
the ANSWER SHEET. (10 points)
Why do people read negative Internet comments and do other things that will obviously be painful?
Because humans have an inherent need to 1 uncertainty, according to a recent study in Psychological
Science. The new research reveals that the need to know is strong that people will 2 to satisfy their
curiosity even when it is clear the answer will 3 .
In a series of experiments, behavioral scientists at the University of Chicago and the Wisconsin
school of Business tested students’ willingness to 4 themselves to unpleasant stimuli in an effort to
satisfy curiosity. For one 5 , each participant was shown a pile of pens that the researcher claimed
2009年考研政治真题及参考答案
精品文档
. 2009年考研政治真题及参考答案
一、单项选择题：1～16小题，每小题1分，共16分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请在答题卡上将所选项的字母涂黑。
1.物质和意识的对立只有在非常有限的范围内才有绝对的意义，超过这个范围便是相对的了，这个范围是指（ ）
A．物质和意识何者为第一性
B．物质和意识是否具有统一性
C．物质和意识何者更为重要
D．物质和意识何者与社会生活的关系更密切
答案：A
2.1978年关于真理标准大讨论是一场新的思想解放运动。实践之所以成为检验真理的唯一标准是由（ ）
A．真理的主观性和实践的客观性所要求的
B．真理的相对性和实践的决定性所预设的
C．真理的属性和实践的功能所规定的
D．真理的本性和实践的特点所决定的
答案：D
3.近年来马克思的《资本论》在西方一些国家销量大增。列宁曾说，马克思的《资本论》的成就之所以如此之大，是由于这本书使读者看到整个资本主义社会社会形态是个活生生的形态，既有"骨骼"，又有"血肉"。人类社会作为一种活的有机体，其"骨骼"系统是指（ ）
A．地理环境、人口因素和生产方式等社会物质生活条件
B．与一定的生产力相适应的生产关系
C．建立在一定经济基础之上的政治法律制度及设施
D．由政治法律思想、道德、宗教、哲学等构成的社会意识形态
答案：B
4.卢梭在《论人类不平等的起源和基础》中说道："我认为，在人类的一切知识中，最有用但也最不完善的知识就是关于人的知识。"马克思的唯物史观破解了认识什么这一"斯芬克斯之谜"，马克思在《关于费尔巴哈的提纲》中指出，人的本质在其现实性上是（ ）
A．自然属性和社会属性的内在统一
B．所有人共同属性的概括
C．一切社会关系的总和
D．自有理性的外化
答案：C
5.流通中的货币需要量是考察经济生活运行的重要指标，假设某国去年的商品价格总额为24万亿元，流通需要量为8亿元，若今年该国商品价格总额增长10%，其他条件不变，今年流通中需要的货币量（ ）
2009年考研英语二真题及答案
2009年考研英语二真题及答案
【篇一：2009英语二真题及答案】
t>section ii close(10%)
directions: for each numbered blank in the following
passage ,there are four choices marked a, b, c, and d. choose
thebest one and mark your answer on answer sheet 1 with a
pencil. (10 points)
delta region. triple-digit oil prices have the economic and
political map of the world, some old importers—including
chinaand economic and social costs.managing this new order
is fast becoming a central politics. countries that need oil are
clawing at each other scarce supplies, and are willing to deal
with anyunpleasant, to do it .
in many poor nations with oil , the profits are being ,lost to
investment funds run by foreign governments, some in the
west see as a new threat. countries like russia, venezuela and
iran are well supplied with rising , a change reflected in newly
2009-1987年考研数学二真题及答案
历年考研数学
真题解析及复习思路
（数学二）（１９８７－２００９）
考研数学命题研究组 编
世纪高教编辑部１９８７年全国硕士研究生招生考试试题
【编者注】１９８７年到１９９６年的数学试卷Ⅲ为现在的数学二．
（试卷Ⅲ）
一、填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝ｌｎ（１＋ａｘ），其中ａ为非零常数，则ｙ′＝，ｙ″＝．
（２）曲线ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ在横坐标为１的点处的切线方程是；法线方程是．
（３）积分中值定理的条件是，结论是．
（４）ｌｉｍｎ→∞ｎ－２ｎ＋１()ｎ＝．
（５）∫ｆ′（ｘ）ｄｘ＝，∫ｂ
ａｆ′（２ｘ）ｄｘ＝．
二、（本题满分６分）
求极限ｌｉｍｘ→０１ｘ－１ｅｘ－１()．
三、（本题满分７分）
设ｘ＝５（ｔ－ｓｉｎｔ），
ｙ＝５（１－ｃｏｓｔ），{求ｄｙｄｘ，ｄ２ｙｄｘ２．
四、（本题满分８分）
计算定积分∫１
０ｘａｒｃｓｉｎｘｄｘ．
五、（本题满分８分）
设Ｄ是由曲线ｙ＝ｓｉｎｘ＋１与三条直线ｘ＝０，ｘ＝π，ｙ＝０围成的曲边梯形，求Ｄ绕Ｏｘ轴旋转一
周所生成的旋转体的体积．
六、证明题（本题满分１０分）（１）若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内可导，且导数ｆ′（ｘ）恒大于零，则ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内单调增加．
（２）若ｇ（ｘ）在ｘ＝ｃ处二阶导数存在，且ｇ′（ｃ）＝０，ｇ″（ｃ）＜０，则ｇ（ｃ）为ｇ（ｘ）的一个极大值．
七、（本题满分１０分）
计算不定积分∫ｄｘａ２ｓｉｎ２ｘ＋ｂ２ｃｏｓ２ｘ，其中ａ，ｂ是不全为０的非负常数．
１１９８７年真题八、（本题满分１０分）
（１）求微分方程ｘｄｙｄｘ＝ｘ－ｙ满足条件ｙｘ＝２＝０的特解．
（２）求微分方程ｙ″＋２ｙ′＋ｙ＝ｘｅｘ的通解．
九、选择题（本题共４小题，每小题４分，满分１６分）（１）ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘｅｃｏｓｘ（－∞＜ｘ＜＋∞）是（ ）
（Ａ）有界函数． （Ｂ）单调函数．
（Ｃ）周期函数．（Ｄ）偶函数．
（２）函数ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘ（ ）
（Ａ）当ｘ→∞时为无穷大．（Ｂ）在（－∞，＋∞）内有界．
2009考研数学一真题及参考答案
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四
个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括
号内.) (1)当0x→时,()sinfxxax=−与()()2ln1gxxbx=−等价无穷小,则 (A)11,6ab==− (B)11,6ab==
(C)11,6ab=−=− (D)11,6ab=−= (2)如图,正方形(),1,1xyxy被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4kDk=,coskkDIyxdxdy=,则14maxkkI=
(A)1I (B)2I
(C)3I (D)4I
(3)设函数()yfx=在区间1,3−上的图形为
则函数()()0xFxftdt=的图形为 1 ()fx
-2 0 2 3 x -1 O (A) (B)
(C)
(D) (4)设有两个数列,nnab,若lim0nna→=,则 ()fx
0 2 3 x 1 -2 -1
1 ()fx
0 2 3 x 1 -1 1 ()fx
0 2 3 x 1 -2 -1
1 ()fx
0 2 3 x 1 -2 -1 1 (A)当1nnb=收敛时,1nnnab=收敛.
(B)当1nnb=发散时,1nnnab=发散.
(C)当1nnb=收敛时,221nnnab=收敛.
(D)当1nnb=发散时,221nnnab=发散.
(5)设123,,ααα是3维向量空间3R的一组基,则由基12311,,23ααα到基
122331,,+++αααααα的过渡矩阵为
(A)101220033 (B)120023103 (C)111246111246111246−−− (D)111222111444111666−−−
1987-1989考研数学二真题及参考答案
1987年 • 第1页 1987年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答
数
学（试卷Ⅰ）
一、填空题（每小题3分，满分15分. 只写答案不写解题过程）
(1)与两直线1
1
2x
yt
zt
及 121
121xyz
都平行，且过原点的平面方程是
50xy
(2)当x1/ln2
；时，函数2xyx
取得极小值.
(3)由lnyx
与两直线(1)yex
及0y
围成图形的面积= 3 / 2
(4)设L为取正向的圆周922
yx，则曲线积分dyxxdxyxy
L)4()22(2
的值是
18
.
(5)已知三维线性空间的一组基底)1,1,0(,)1,0,1(,)0,1,1(
321
，则向量
＝(2, 0, 0)在上述基底下的坐标是 ( 1 , 1 , -1 )
二、（本题满分8分）
求正的常数a
与b，使式1
sin1
lim
022
0
dt
tat
xbxx
x成立.
解：假若1b
，则根据洛必达法则有
22
2200011
limlim()01
sincosx
xxtx
dt
bxxbx
atax
，与题设矛盾，于是1b
.此时222
2
12220000
21112
limlim()lim()
sin1cosx
xxxtxx
dt
bxxxxa
ataxax
， 即2
1
a，因此4a.
三、（本题满分7分）
(1)设函数,fg
连续可微，(,),()ufxxyvgxxy，求,.uv
xx
解：
1212()uxxy
fffyf
xxx
；()
(1)vxxy
gyg
xx
. 1987年 • 第2页 (2)设矩阵A
和B
满足2ABAB
，其中A301
110
014
，求矩阵B
.
解：因2ABAB
，故2ABBA
，即(2)AEBA
，
故1
(2)BAEA
522
2019-2009年考研数学二真题及答案
(21)(本题满分11分）
已知函数f(x)在[0
, 1]上具有2阶导数，且八0)= 0 , f(I) = 1 ,f
1c
x) d
x = 1 , 证明：
i�; !!! : ��·.:: ·. 言;��)
=<�2
(22)(本题满分11分）
巳知向最组I
,
a,
= [:]
. a,
=[n
a, = [
矿;�}
TI , P
, {�J
P,
{ ;』
P, = [
矿；J
若向显组I与II等价，求a的取值，并将P,正，
a,,
a,线性表示．
(23)(本题满分11分）
巳知矩阵
Ac [-,
2
。
(I)求x,y;-.
2 _尸[�
_1,
�]相似
0 -2 0 0 y
(II)求可逆矩阵P,使得P-1
A
P= B.
—4
— —１ —２０１８年全国硕士研究生招生考试试题
一、选择题（本题共８小题，每小题４分，共３２分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）
（１）若ｌｉｍ
ｘ→０（ｅ
ｘ＋ａｘ２＋ｂｘ）１
ｘ２＝１，则（ ）
（Ａ）ａ＝１２，ｂ＝－１．（Ｂ）ａ＝－１２，ｂ＝－１．
（Ｃ）ａ＝１２，ｂ＝１．（Ｄ）ａ＝－１２，ｂ＝１．
（２）下列函数中，在ｘ＝０处不可导的是（ ）
（Ａ）ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘ．（Ｂ）ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘ．
（Ｃ）ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ．（Ｄ）ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ．
（３）设函数ｆ（ｘ）＝－１， ｘ＜０，
１， ｘ≥０，{
ｇ（ｘ）＝２－ａｘ， ｘ≤－１，
ｘ，－１＜ｘ＜０，
ｘ－ｂ，ｘ≥０．{
若ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）在Ｒ上连续，
则（ ）
（Ａ）ａ＝３，ｂ＝１．（Ｂ）ａ＝３，ｂ＝２．
（Ｃ）ａ＝－３，ｂ＝１．（Ｄ）ａ＝－３，ｂ＝２．
（４）设函数ｆ（ｘ）在［０，１］上二阶可导，且∫
１０ｆ（ｘ）ｄｘ＝０，则（ ）
（Ａ）当ｆ′（ｘ）＜０时，ｆ１
２()
＜０．（Ｂ）当ｆ″（ｘ）＜０时，ｆ１
２()
＜０．
（Ｃ）当ｆ′（ｘ）＞０时，ｆ１
２()
＜０．（Ｄ）当ｆ″（ｘ）＞０时，ｆ１
２()
＜０．
（５）设Ｍ＝∫
π
２－π
1987-2009考研数学二真题
1987年全国硕士研究生招生考试试题
（试卷皿）
-、填空题（本题共5
小题
，每小题3分
，满分15分）
(1
)设y=
In
(1 +
ax
) , 其中a为非零常数，则y
'=
,y
" =
(2)曲线
y= arctan x
在横坐标
为1的点处的切线
方程是；法线
方程是．
(3)积分中值定理的条
件是，结论是．
(4
)l
im
(n -
2 r
=
n--+
oc n
+ l
(5
)
ff'(x
) dx
=
,
ff'(2x
) dx
= .
二、（本题满分6分）
求极限l
im(11
x----t()了-
ex
-1).
三、（本题满分7分）
设
{
x =
5
(t -sin
t)
,
求少
心
y =
5
(1 -cos
t) , dx'
dx
2·
四、（本题满分8分）
计算定积分r
xarcsi
n xdx.
。
五、（本题满分8分）
设D是由曲线
y= sin x + I与三条直线
X=
0
,X ='IT
,y =
0
围成的曲
边梯形，求D绕Ox
轴旋转一
周所生成的旋转体的体积
六
、证明题
（本题满分10分）
(1
)若八x
)在(a,b)内可导，且导数J'(x
)恒大千零，则J(x
)在(a,b)内单调增加
(2)若g(x
)在
X=
C处二阶导数存在，且g'(c)=
O,g"(c) < 0
, 则g(c)为g(x
)的一个极大值
七、（本题满分10分）
计算不定积分f
2-
2d
x
2
'其中a,b是不全为0的非负常数
a sm x +
b
2 cos x
1219
88
年
全国硕士研究生招生考试试题
（试卷川）
-、填空题（本题共5小题，每小题4分
，满分2
0分）
(I
)设八
x
)= { 2
x + a
,x :::;;;
O
,
在(-oo,+
oo)内
连续，则a=
.
ex (s
in
x + cos
x) , x > 0
(2
)设兀
）= lim t
(
I + _!_)让X
,则f'(t
)=
.
x--+oo
X
(3)设瓜
）连续，
且J止1
j(t
)dt =
X, 则八
7
)= .
(4
)lim (_!_}an
2009年教育学考研真题及答案(二)
凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！
第 1 页 共 1 页 2009年教育学考研真题及答案（二）
二、辨析题：46—48小题，每小题15分，共45分。要求判断正误并着重阐明理由。
46.人是教育的产物。
47.学校教学的重点应放在思维和问题解决一般方法的训练上，而不应放在学科基础知识和基本技能的教学上。
48.在教育研究中，样本容量越大越好。
三、简答题：49～53小题，每小题15分，共75分。
49.简述建构主义教学理论的基本主张。
50.简述教育的个体个性化功能。
51.简述墨家教育的特色。
52.简述20世纪二三十年代中国科学教育运动发展的主要表现。
53.列举教育研究资料定量分析中数据描述的三种量数并简要解释其含义。
四、分析论述题：54—56小题，每小题30分，共90分。
54.评析下述案例中的教育内容、教育方法和师生关系。
某班有个名叫张亮的9岁小男孩，患有轻度小儿麻痹症，是全班捉
弄的对象。他松不开夹克衫拉链，课间休息在操场上做游戏动作不协调，诸如此类的事情常使他遭到同学的取笑。每当张亮遭到嘲笑和捉弄，就会非常伤心，甚至上课时也会哭泣。
有一天，张亮没来上学。班主任华老师抓住这个机会，要求全班学生讨论一下班级里存在的这个严重问题。学生们听到老师说这是一个“问题”时，都感到十分惊讶，但他们还是围在一起展开了讨论。
华老师解释说：“有的人得过某些病后，就不能像正常人那样行动自如。我不知道，如果你们自己做不了一些事情，还被其他小朋友取笑，你们会是什么样子?”
教室里一片安静。华老师说话的语气不愠不火，充满了关爱。
有个女孩开始说话了：“小明和小刚取笑张亮的时候，我感到非常难过。”
小明马上应道：“我不是想伤害他呀。”
讨论继续进行着，几乎每个学生都发了言。有些学生站在张亮的立场上看问题。冬冬说：“如果有人那样取笑我，我会很生气，很难过。”丽丽提出了“公平”问题：“那不公平——就像我们做游戏时那样，故意跑得那么快，而张亮没有办法跑快，我们是在作弊。”