数学二历年考研真题(1990-2009)
1 2004年考硕数学（二）真题 一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）
（1）设2(1)()lim1nnxfxnx, 则()fx的间断点为x .
（2）设函数()yx由参数方程 333131xttytt 确定, 则曲线()yyx向上凸的x取值范围为____.. （3）121dxxx_____..
（4）设函数(,)zzxy由方程232xzzey确定, 则3zzxy______. （5）微分方程3()20yxdxxdy满足165xy的特解为_______.
（6）设矩阵210120001A, 矩阵B满足2ABABAE, 其中A为A的伴随矩阵, E是单位矩阵, 则B______-.
二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0x时的无穷小量20cosxtdt, 20tanxtdt, 30sinxtdt排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是 （A）,,. （B）,,. （C）,,. （D）,,. （8）设()(1)fxxx, 则 （A）0x是()fx的极值点, 但(0,0)不是曲线()yfx的拐点. （B）0x不是()fx的极值点, 但(0,0)是曲线()yfx的拐点. 2
（C）0x是()fx的极值点, 且(0,0)是曲线()yfx的拐点. （D）0x不是()fx的极值点, (0,0)也不是曲线()yfx的拐点.
（9）22212limln(1)(1)(1)nnnnnn
等于
（A）221lnxdx. （B）212lnxdx. （C）212ln(1)xdx. （D）221ln(1)xdx （10）设函数()fx连续, 且(0)0f, 则存在0, 使得 （A）()fx在(0,)内单调增加. （B）()fx在(,0)内单调减小. （C）对任意的(0,)x有()(0)fxf. （D）对任意的(,0)x有()(0)fxf. （11）微分方程21sinyyxx的特解形式可设为
（A）2(sincos)yaxbxcxAxBx.
（B）2(sincos)yxaxbxcAxBx.
（C）2sinyaxbxcAx.
（D）2cosyaxbxcAx （12）设函数()fu连续, 区域22(,)2Dxyxyy, 则()Dfxydxdy等于
（A）221111()xxdxfxydy. （B）222002()yydyfxydx. （C）2sin200(sincos)dfrdr. 3
（D）2sin200(sincos)dfrrdr （13）设A是3阶方阵, 将A的第1列与第2列交换得B, 再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQC的可逆矩阵Q为
（A）010100101. （B）010101001.
（C）010100011. （D）011100001. （14）设A,B为满足0AB的任意两个非零矩阵, 则必有 （A）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关. （B）A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关. （C）A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关. （D）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关. 三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） （15）（本题满分10分）
求极限3012coslim13xxxx. （16）（本题满分10分） 设函数()fx在（,）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)fxxx, 若对任意的x都
满足()(2)fxkfx, 其中k为常数. (Ⅰ)写出()fx在[2,0]上的表达式; (Ⅱ)问k为何值时, ()fx在0x处可导. （17）（本题满分11分）
设2()sinxxfxtdt,(Ⅰ)证明()fx是以为周期的周期函数;(Ⅱ)求()fx的值域. 4
（18）（本题满分12分） 曲线2
xxeey
与直线0,(0)xxtt及0y围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x轴旋
转一周得一旋转体, 其体积为()Vt, 侧面积为()St, 在xt处的底面积为()Ft. (Ⅰ)求()()StVt的值; (Ⅱ)计算极限()lim()tStFt. （19）（本题满分12分）设2eabe, 证明2224lnln()babae.
（20）（本题满分11分） 某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700/kmh.经测试,
减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k).问从着陆点算
起,飞机滑行的最长距离是多少? 注 kg表示千克,/kmh表示千米/小时. （21）（本题满分10分）设22(,)xyzfxye
,其中f具有连续二阶偏导数,求
2,,zzzxyxy
.
（22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组
1234123412341234
(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,axxxxxaxxxxxaxxxxxax
试问a取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解. （23）（本题满分9分） 5
设矩阵12314315a的特征方程有一个二重根, 求a的值, 并讨论A是否可相似对角化. 2003年考研数学（二）真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1） 若0x时，1)1(4
12ax
与xxsin是等价无穷小，则a= .
（2） 设函数y=f(x)由方程4ln2yxxy所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程
是 . （3） xy2的麦克劳林公式中nx项的系数是__________.
（4） 设曲线的极坐标方程为)0(aea
，则该曲线上相应于从0变到2的一段
弧与极轴所围成的图形的面积为__________.
（5） 设为3维列向量，T
是的转置. 若111111111T，则
T= .
（6） 设三阶方阵A,B满足EBABA2，其中E为三阶单位矩阵，若
102020101A，则B________.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设}{},{},{nnncba均为非负数列，且0limnna,1limnnb,nnclim,则必有
(A) nnba
对任意n成立. (B) nncb对任意n成立.
(C) 极限nnncalim不存在. (D) 极限nnncb
lim不存在. [ ]
（2）设dxxxannnnn123101, 则极限nnna
lim等于 6
(A) 1)1(23e. (B) 1)1(2
31e
.
(C) 1)1(231e. (D) 1)1(2
3e. [ ]
（3）已知xxyln
是微分方程)(yxxyy的解，则)(yx的表达式为
（A） .22xy (B) .22xy (C) .22yx (D) .22yx [ ] （4）设函数f(x)在),(内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]
y
O x （5）设401tandxxxI,dxxxI402tan, 则 (A) .121II (B) .121II
(C) .112II (D) .112II [ ]
（6）设向量组I：r,,,21
可由向量组II：s,,,21线性表示，则
(A) 当sr时，向量组II必线性相关. (B) 当sr时，向量组II必线性相关. (C) 当sr时，向量组I必线性相关. (D) 当sr时，向量组I必线性相关. [ ]
2010考研数学二真题
2010考研数学二真题考研数学二一直以来都是众多考生需要攻克的重要关卡，2010 年的考研数学二真题更是具有一定的代表性和难度。
在选择题部分，考查的知识点覆盖广泛，既有基础概念的理解，也有对细微知识点的甄别。
例如，函数的性质、极限的计算、导数的应用等。
这要求考生对基本概念有清晰的认识，并且能够迅速准确地运用所学知识进行判断和计算。
填空题同样注重基础知识的扎实掌握。
像曲线的切线方程、积分的计算等，都需要考生在平时的学习中积累足够的练习和经验，才能在有限的时间内准确作答。
而在解答题方面，更是对考生综合运用知识、解决问题的能力进行了深入的考察。
比如，在高等数学部分，有涉及到复杂函数的求导、积分的应用以及级数的相关问题。
这不仅要求考生熟练掌握求导和积分的各种方法和技巧，还需要具备较强的逻辑推理和分析问题的能力。
以某一道函数求导的题目为例，题目给出了一个较为复杂的函数表达式，要求考生求出其导数。
这就需要考生运用链式法则、乘积法则等多种求导法则，逐步进行推导和化简。
如果对求导法则掌握不熟练，或者在计算过程中粗心大意，就很容易出错。
再看一道积分的应用题，需要考生将实际问题转化为数学模型，然后通过积分计算来求解。
这不仅考验了考生的数学建模能力，还对积分计算的准确性提出了很高的要求。
对于线性代数部分，矩阵的运算、行列式的计算以及线性方程组的求解等也是重点考查内容。
考生需要清楚地理解矩阵和行列式的性质，掌握它们的运算规则，并能够灵活运用这些知识解决实际问题。
总之，2010 年考研数学二真题全面、系统地考查了考生在高等数学和线性代数方面的知识掌握程度和应用能力。
它既注重基础知识的考查，又强调了对知识的综合运用和深入理解。
对于准备考研的同学来说，认真研究这份真题，总结其中的规律和方法，找出自己的薄弱环节并加以强化，对于提高数学成绩具有重要的意义。
要想在考研数学二中取得好成绩，仅仅依靠死记硬背公式和定理是远远不够的。
需要在平时的学习中注重理解，多做练习题，提高解题的速度和准确性。
考研数学二历年真题及答案详解(2003—2012)
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中 ，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上()(A)(B) 2 (C) -2(D)-0 11⑺设a 0 , .a1 ,必31 ,必4 1 ,其中G,C 2,C 3,C 4为任意常数， 则下列向量组c 1C 2C 3C 4线性相关的为()(A)a , a , a(B)a , a , 04(C)a , a , a(D)(%2, a, 0C42(1)曲线y 罕芒的渐近线条数x 21(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3⑵设函数 f (x) (e x 1)(e 2x 2)L (e nx n)，n 1(A) ( 1) (n 1)!(B)(1)n (n ⑶ 设 a n 0 (n 1,2,3L ), S na 2 a 3(A)充分必要条件 (B)(C) 必要非充分条件(D)k 2(4) 设 l ko e x sinxdx,(k 1,2,3),则有(A) I 1 I 2 I 3 (B) I 3 I 2 I 1 (C)()其中n 为正整数，则f (0)()1)!(C)( 1)n 1 n! (D) ( 1)n n!L a n ，则数列 S n 有界是数列a n 收敛的()充分非必要条件 非充分也非必要()I 2 I 3 I 1(D)I 2 I 1 I 3⑸ 设函数f (x, y )为可微函数，且对任意的x, y 都有一乂 x0,30,则使不等式f (N, yjf (X 2, y ?)成立的一个充分条件是(A)人 X 2,% y 2 (B) 论 X 2,%y 2 (C)人 X 2,% y 2 (D) 人 X 2,%y 2(6)设区域D 由曲线y sin x, x2,y1 围成，则(x 5y 1)dxdyD1 0 0(8) 设 A 为 3 阶矩 阵，P 为3 阶 可逆矩阵，且P 1 A P 0 1 0.右Pa , a2, a0 0 2Qa a ,%2,a 3则 Q 1AQ( )1 0 01 0 0 20 02 0 0(A)0 2 0 (B)0 1 0 (C)0 1 0(D)0 2 00 0 10 0 20 0 20 0 1*BA.三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸 指定位置上•解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤• (15)(本题满分102 2x yx,y xe 2 的极值. 12分)二、填空题: 9-14小题，每小题 (9)设 yy(x)是由方程x 24分,共24分.请将答案写在答题纸 指定位置 dx 2e y 所确定的隐函数，则(10) limn_1 22 n 2n 2(11)In x，其中函数z 2 z可微，则X ： y -(12) 微分方程 ydx3y 2 dy0满足条件y X11的解为y(13) 曲线y0上曲率为辽的点的坐标是2(14) 设A 为3阶矩阵, A =3，A 为A 伴随矩阵，若交换 A 的第1行与第2行得矩阵B ，则已知函数f 1 x sin x(I) 求a 的值; (II) 若 x (16)(本题满分 0时， 10分)ka 与x 是同阶无穷小，求常数k 的值.求函数f (17)(本题满分过(0,1)点作曲线L:y Inx 的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,(II) 求正交变换x Qy 将f 化为标准形2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分。
考研数学历年真题(1998-2007)年数学二
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x +→时，与x 等价的无穷小量是（A ）1ex- （B ）1ln1xx+- （C ）11x +- （D ）1cos x - [ ]（2）函数在[],ππ-上的第一类间断点是x = [ ]（A ）0（B ）1（C ）2π-（D ）2π （3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：（ ）（A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F =（C ））（）（2433F F =-（D ））（）（2453-=-F F [ ] （4）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是（A ）若0()lim x f x x→存在，则(0)0f =（B ）若0()()limx f x f x x→+-存在，则(0)0f = .（C ）若0()lim x f x x→存在，则(0)0f '=（D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.（5）曲线()1ln 1e xy x=++渐近线的条数为（A ）0.（B ）1.（C ）2.（D ）3. [ ]（6）设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()n u f n =）（ ,2,1=n ，则下列结论正确的是： (A) 若12u u > ，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u > ，则{}n u 必发散(C) 若12u u < ，则{}n u 必收敛.(D) 若12u u < ，则{}n u 必发散. [ ]（7）二元函数(,)f x y 在点()0,0处可微的一个充分条件是[ ] （A ）()[](,)0,0lim(,)(0,0)0x y f x y f →-=.α均为n ,,s,,s α线性相关，则,,s A α线性相关,,s α线性相关，则,,s A α线性无关,,s α线性无关，则,,s A α线性相关,,s α线性无关，则,,s A α线性无关阶矩阵，将A 行得B ，再将2,)（A ）F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.（C ） F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.（D ）F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ ]（9）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是(A)32ln 81+. (B) 32ln 81+-. (C) 32ln 8+-.(D) 32ln 8+. [ ]（10）设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()((A) πab . (B)π2ab. (C) π)(b a +.(D)π2ba + . [ ] （11）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yu x u ∂∂=∂∂. (C) 222y u y x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ ] （12）设函数,11)(1-=-x x ex f 则（ ）（A ）x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ）x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.（C ）x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.（D ）x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ.(C) 01=λ. (D) 02=λ. [ ]（14）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则 [ ] （A ）交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -.(D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -.三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x（16）（本题满分11分）如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x（18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,10='===x x y y的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f（20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y) 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.（21）（本题满分9分）计算二重积分σd y xD⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（22）（本题满分9分）确定常数a,使向量组,),1,1(1T a =α,)1,,1(2Ta =αT a )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.（23）（本题满分9分）22(1)nn+1试问a取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a-⎛⎫⎪--⎪⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a的值, 并讨论A是否可相似对角化.2003年考研数学（二）真题(A) 求曲线 )(x f y =的方程；(B) 已知曲线x y sin =在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线)(x f y =的弧长s .九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.+++1cos四、（本题满分７分）设.11.)1(232)(22≤≤<≤-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=xxexexxxfxx，，，求函数⎰-=x dttfxF1)()(的表达式．五、（本题满分７分）已知函数)(xf在），（∞+0内可导，0)(>xf，1)(lim=+∞→xfx，且满足xh exfhxxfh11))()((lim=+→，求)(xf．六、（本题满分７分）求微分方程0)2(=-+dxyxxdy的一个解)(xyy=，使得由曲线)(xyy=与直线2,1==xx以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小．七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次抛物线与线段ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分的高h应为多少米？八、（本题满分８分）设31<<x，)3(1nnnxxx-=+（n＝1,2，…）．证明：数列｛nx｝的极限存在，并求此极限．九、（本题满分８分）设ba<<0，证明不等式abababbaa1lnln222<--<+．1、设1101)(>≤⎩⎨⎧=x x x f ，，则)]}([{x f f f =( ) （ A ） 0；（B ）1；（C ）1101>≤⎩⎨⎧x x ； （D ）111>≤⎩⎨⎧x x ．2、设当0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而nx x sin 是比()12-x e高阶的无穷小，则正整数n 等于（ ）（ A ）1； （B ）2；（C ）3； （D ）4．3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为( ) （ A ）０；（B ）１；（C ）２；（D ）３．4、已知函数)(x f 在区间（1-δ，1+δ）内具有二阶可导，)(x f ' 严格单调减小，且)1(f =)1(f '=1，则( ) （A ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x <； （B ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <，在（1，1+δ）内，有)(x f x >； （D ）在（1-δ，1）内有)(x f x >，在（1，1+δ）内，有)(x f x <．5、已知函数)(x f y =在其定义域内可导，它的图形如图所示：则其导函数)(x f y '=的图形为 ( )三、（本题满分6分）求⎰++1)12(22x xdx．四、（本题满分7分）求极限sin sin sin lim()sin xt x t x t x-→记此极限为)(x f ，求函数)(x f 的间断点并指出其类型．1、 写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、 证明在],[a a -上至少存在一点η，使⎰-=''a adx x f f a )(3)(3η十一、（本题满分6分）已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A 且矩阵X 满足X E E BXA AXB BXA AXA 阶单位矩阵，求是其中3,++=+．十二、（本题满分6分）已知4321,,,αααα是线性方程组0=AX 的一个基础解系，若144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，讨论实数t 满足什么关系时， 4321,,,ββββ也是0=AX 的一个基础解系．2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) （1） ()=+-→30x 21ln arctan limx xx _____________.-（2）设函数()x y y =由方程y x xy+=2所确定，则=-0x dy _____________.（3）()=-+⎰+∞227x x dx_____________.（4）曲线()xe x y 112-=的斜渐进线方程为_____________.（5）设E A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=7000650004300021为4阶单位矩阵，且()()()=+-+=--11,B E A E A E B 则_____________.（C ）()().00的拐点）是曲线，点（x f y f = （D ）()()()()00.0f x f f ，点的极值不是也不是曲线()x f y =的拐点8.设函数()()x g x f ，是大于零的可导函数，且()()()()时，有则当b x a x g x f x g x f <<<'-',0（ ） （A ）()()()().x g b f b g x f > （B ）()()()().x g a f a g x f > （C ）()()()().b g b f x g x f > （D ）()()()().a g a f x g x f >9.若()()为则20306lim ,06sin lim x x f x x xf x x x +=⎪⎭⎫⎝⎛+→→（ ） （A ）0.（B ）6.（C ）36.（D ）∞10.具有特解xx x e y xe y e y 3,2,321===--的3阶常系数齐次线性微分方程是（ ）（A ）.0=+'-''-'''y y y y （B ）.0=-'-''+'''y y y y（C ）.06116=-'+''-'''y y y y （D ）.022=+'-''-'''y y y y 三、解答题 11.设()()()⎰+=.,1ln ln dx x f xx x f 计算12.设xOy 平面上有正方形{}10,10,≤≤≤≤=y x y x D ）（及直线()()t S t t y x l 若.0:≥=+表示正方形D 位于直线l 左下方部分的面积，试求()().00⎰≥xx dt t S13.求函数()()()().3001ln 2≥=+=n f n x x x x f x阶导数处的在14.设函数(),cos 0dt t x S x⎰=（1）当n 为正整数，且()()();1221+<≤+<≤n x S n n x n 时，证明：ππ21.已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01,1211032,1b a βββ，与向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=7691033213,2,1ααα，，具有相同的秩，且3β可由321ααα，，线性表示，求b a ,的值。
1990考研数一真题及解析
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1) 过点(1,2,1)M -且与直线2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是_____________.(2) 设a 为非零常数,则lim()x x x a x a→∞+-=_____________. (3) 设函数1, ||1,()0, ||1,x f x x ≤⎧=⎨>⎩ 则[()]f f x =_____________. (4) 积分2220y x dx e dy -⎰⎰的值等于_____________. (5) 已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7)αααα====,则该向量的秩是_____________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1) 设()f x 是连续函数,且()()x e x F x f t dt -=⎰,则()F x '等于 ( ) (A) ()()x x ef e f x ---- (B) ()()x x e f e f x ---+ (C) ()()x x e f e f x --- (D) ()()x x e f e f x --+(2) 已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()]f x f x '=,则当n 为大于2的正整数时,()f x的n 阶导数()()n f x 是 ( )(A) 1![()]n n f x + (B) 1[()]n n f x + (C) 2[()]n f x (D) 2![()]nn f x (3) 设α为常数,则级数21sin (n n n α∞=-∑ ( ) (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛(C) 发散 (D) 收敛性与α的取值有关(4) 已知()f x 在0x =的某个领域内连续,且(0)0f =,0()lim 21cos x f x x→=-,则在点0x =处 ()f x ( )(A) 不可导 (B) 可导,且(0)0f '≠(C) 取得极大值 (D) 取得极小值(5) 已知1β、2β是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解,1α、2α是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,12,k k 为任意常数,则方程组Ax b =的通解(一般解)必是( ) (A) 1211212()2k k ββααα-+++ (B) 1211212()2k k ββααα++-+ (C) 1211212()2k k ββαββ-+++ (D) 1211212()2k k ββαββ++-+三、(本题满分15分,每小题5分.)(1) 求 120ln(1)(2)x dx x +-⎰. (2) 设(2,sin )z f x y y x =-,其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2z x y∂∂∂. (3) 求微分方程244x y y y e-'''++=的通解(一般解).四、(本题满分6分.)求幂级数0(21)n n n x∞=+∑的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分)求曲面积分2,SI yzdzdx dxdy =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.六、(本题满分7分)设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()()f a f b =.证明在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得()0f ξ'>.七、(本题满分6分)设四阶矩阵1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1B -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,2 13 40 2 1 30 0 2 10 0 0 2C ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 且矩阵A 满足关系式1()T T A E C B C E --=,其中E 为四阶单位矩阵,1C -表示C 的逆矩阵,TC 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A .八、(本题满分8分)求一个正交变换,化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-为标准形.九、(本题满分8分)质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 作用(见图).F 的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于2π,求变力F 对质点P 所作的功.十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)(1) 已知随机变量X 的概率密度函数||1(),2x f x e x -=-∞<<∞,则X 的概率分布函数 ()F X =_______.(2) 设随机事件A 、B 及其和事件A B 的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =_______.(3) 已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即{}22,!k e P X k k -== 0,1,2k =,,则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =_______.十一、(本题满分6分.)设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,||D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差()D Z .。
1990年全国卷高考理科数学真题及答案
1990年全国卷高考理科数学真题及答案一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1．（4分）方程=的解是（）A．x=B．x=C．x =D．x=92．（4分）把复数1+i 对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量对应的复数是（）A．B．iC．D．3．（4分）如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（）A．B．C．D．4．（4分）方程sin2x=sinx在区间（0，2π）内的解的个数是（）A．1B．2C．3D．45．（4分）已知如图是函数y=2sin（ωx+φ）（|φ|＜）的图象，那么（）A．ϖ=，φ=B．ϖ=，φ=﹣C．ϖ=2，φ=D．ϖ=2，φ=﹣6．（4分）函数的值域是（）A．{﹣2，4} B．{﹣2，0，4} C．{﹣2，0，2，4} D．{﹣4，﹣2，0，4}7．（4分）如果直线y=ax+2与直线y=3x﹣b关于直线y=x对称，那么（）A．a=，b=6 B．a=，b=﹣6C．a=3，b=﹣2 D．a=3，b=68．（4分）极坐标方程4sinθ=5ρ表示的曲线是（）A ． 圆B ． 椭圆C ． 双曲线的一支D ． 抛物线9．（4分）设全集I={（x ，y ）|x ，y ∈R}，集合M={（x ，y ）|=1}，N=（x ，y ）|y ≠x+1．那么等于（ ）A ．B ． {（2，3）}C ． （2，3）D ． {（x ，y ）|y=x+1}10．（4分）（2010•建德市模拟）若实数x 、y 满足（x+2）2+y 2=3，则的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．11．（4分）如图，正三棱锥SABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）A ． 90°B ． 60°C ． 45°D ． 30° 12．（4分）已知h ＞0．设命题甲为：两个实数a ，b 满足|a ﹣b|＜2h ；命题乙为：两个实数a ，b 满足|a ﹣1|＜h 且|b ﹣1|＜h ．那么（ ） A ． 甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 B ． 甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 C ． 甲是乙的充分条件 D ． 甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 13．（4分）A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A ，B 可以不相邻），那么不同的排法共有（ ） A ． 24种 B ． 60种 C ． 90种 D ． 120种 14．（4分）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ） A ． 70个 B ． 64个 C ． 58个 D ． 52个 15．（4分）设函数y=arctgx 的图象沿x 轴正方向平移2个单位所得到的图象为C ．又设图象C'与C 关于原点对称，那么C'所对应的函数是（ ） A ． y =﹣arctg （x ﹣2） B ． y =arctg （x ﹣2） C ． y =﹣arctg （x+2） D ． y =arctg （x+2）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）16．（5分）双曲线的准线方程是_________ ．17．（5分）（x﹣1）﹣（x﹣1）2+（x﹣1）3﹣（x﹣1）4+（x﹣1）5的展开式中，x2的系数等于_________ ．18．（5分）（2011•上海模拟）已知{a n}是公差不为零的等差数列，如果s n是{a n}的前n项的和，那么等于_________ ．19．（5分）函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是_________ ．20．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2= _________ ．三、解答题（共6小题，满分65分）21．（10分）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．22．（10分）已知sina+sinB=，cosa+cosB=，求tg（a+B）的值．23．（10分）如图，在三棱锥SABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E．又SA=AB，SB=BC．求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数．24．（11分）设a为实数，在复数集C中解方程：z2+2|z|=a．25．（12分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0）到这个椭圆上的点最远距离是．求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．26．（12分）f（x）=lg，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2．（Ⅰ）如果f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义，求a的取值范围；（Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立．参考答案一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1．考点：对数的运算性质；指数式与对数式的互化．分析：根据指数式与对数式的互化可知，⇔，进而得到答案．解答：解：∵∴∴故选A．点评：本题主要考查指数式与对数式的相互转化．2．考点：复数代数形式的混合运算．分析：把复数1+i乘以cos（﹣）+isin（﹣），化简为代数形式即可．解答：解：复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量：（1+i）[cos（﹣）+isin（﹣）]=（1+i）=，故选D．点评：复数旋转，实际上复数乘以一个模为1的辅角为﹣复数三角形式，注意旋转方向，本题是基础题．3．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设圆柱高为h，推出底面半径，求出圆柱的侧面积，然后求出圆柱的体积即可得到选项．解答：解：设圆柱高为h，则底面半径为．由题意知，S=πh2，∴h=，∴V=π（）2•h=．故选D．点评：本题是基础题，考查圆柱的侧面积、体积的计算及其关系，考查计算能力，常考题型．4．考点：正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：通过二倍角公式化简的2sinxcosx=sinx，进而推断sinx=0或cosx=，进而求出x的值．解答：解：sin2x=2sinxcosx=sinx∴sinx=0或cosx=∵x∈（0，2π）∴x=π或或故选C点评：本题主要考查了三角函数的二倍角公式．属基础题．5．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；数形结合法．分析：由图象过（0，1）及|φ|＜，求出ψ的值，函数图象过点（，0），据五点法作图的过程知ω•+=2π，求出ω．解答：解：因为函数图象过（0，1），所以，1=2sinφ，∴sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=，故函数y=2sin（ωx+），又∵函数图象过点（，0），∴0=2sin（ω•+），由五点法作图的过程知，ω•+=2π，∴ω=2，综上，φ=，ω=2，故选C．点评：本题考查五点法作图的方法，在本题图中的一个完整的标准周期内，图象上的五个关键点的横坐标分别为：0，，π，，2π．6．考点：函数的值域；三角函数的化简求值．专题：计算题；分类讨论．分析：根据正切和余切的定义求出函数的定义域，分四种情况由三角函数值的符号，去掉绝对值求解．解答：解：由题意知，函数的定义域是{x|x≠，k∈Z}，下由各个象限中三角函数值的符号来确定在各个象限中函数的值当x是第一象限角时，因所有三角函数值大于零，故y=4；当x是第二象限角时，因为只有正弦值大于零，故y=1﹣1﹣1﹣1=﹣2；当x是第三象限角时，因为正切值和余切值大于零，故y=﹣1﹣1+1+1=0；当x是第四象限角时，因为只有余弦值大于零，故y=﹣2；所以函数的值域是{﹣2，0，4}．故选B．点评：本题主要考查了三角函数的定义以及符号，根据定义求出函数的定义域，由三角函数值的符号进行化简求值．7．考点：反函数．分析：本题考查对互为反函数的两个函数图象之间的关系、反函数的求法等相关知识；本题可有两种方法，其一，求出y=ax+2的反函数令其与y=3x﹣b的对应系数相等获得，其二由互为反函数图象上的点之间的对称关系，通过在图象上取特殊点求解．解答：解：法一：由题意，函数y=3x﹣b的反函数为y=，与y=ax+2对照可得a=，b=6；法二：在y=ax+2上取点（0，2），则点（2，0）在y=3x﹣b上，故得b=6；又y=3x﹣6上有点（0，﹣6），则点（﹣6，0）在y=ax+2上，代入得a=，由此可得a=，b=6答案：a=，b=6点评：本题解题思路清晰，方向明确，运算量也小，属于容易题目．这里提供了两种方法，比较可见各有特点，直接求反函数过程简捷，较为简单，特值代入，小巧易行，过程稍繁．8．考点：简单曲线的极坐标方程．分析：先在极坐标方程4sinθ=5ρ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程即可进行判断．解答：解：将方程4sinθ=5ρ两边都乘以p得：4ρsinθ=5ρ2，化成直角坐标方程为5x2+5y2﹣4y=0．它表示一个圆．故选A．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．9．考点：交、并、补集的混合运算．分析：先化简集合M，再计算．解答：解：∵M={（x，y）|y=x+1或（x，y）≠（2，3）}，∴，又∵．∴．故答案选B．点评：本题主要考查了集合间的交，并，补混合运算，注意弄清各集合中的元素．10．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先判断出方程表示的图形，再给赋与几何意义，作出图象，结合图判断出当直线与圆相切时斜率最大求出最大值．解答：解：（x+2）2+y2=3，表示以（﹣2，0）为圆心，以为半径的圆表示圆上的点与（0，0）连线的斜率，设为k则y=kx由图知，当过原点的直线与圆相切时斜率最大故有解得或由图知，故选A点评：本题考查圆的标准方程、两点连线斜率公式的形式、数形结合求最值．11．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；压轴题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点AC的中点D，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，再利用余弦定理求出此角即可．解答：解：如图，取AC的中点D，连接DE、DF，∠DEF为异面直线EF与SA所成的角设棱长为2，则DE=1，DF=1，根据SA⊥BC，则ED⊥DF∴∠DEF=45°，故选C．点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：巧妙运用绝对值不等式|a|+|b|≥|a+b|及必要、充分条件，可以解答本题．解答：解：由|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h 得|a﹣b|=|a﹣1+1﹣b|≤|a﹣1|+|1﹣b|＜2h，所以甲是乙的必要条件；不妨令h=1，a=0.5，b=﹣0.3，|a﹣1|=0.5＜1，而|b﹣1|=1.3＞1，因而甲不是乙的充分条件．故选B点评：|a|+|b|≥|a+b|的合理运用，以及巧妙运用|a﹣1|+|1﹣b|的使用，是解答甲是乙的必要条件的一个关键；充分条件的推导用的是特殊值否定法．13．考点：排列、组合的实际应用．专题：转化思想．分析：根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案．解答：解：根据题意，使用倍分法，五人并排站成一排，有A55种情况，而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，则其情况数目是相等的，则B站在A的右边的情况数目为×A55=60，故选B．点评：本题考查排列、组合的应用，注意使用倍分法时，注意必须保证其各种情况是等可能的．考点：棱锥的结构特征．专题：压轴题；分类讨论．分析：以一个正方体的顶点为顶点中任意选4个除去在同一个平面上的点，可得四面体的个数．解答：解：正方体的8个顶点中任取4个共有C84=70个不能组成四面体的4个顶点有，已有的6个面，对角面有6个所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：70﹣12=58个故选C．点评：本题考查棱锥的结构特征，考查逻辑思维能力，是中档题．15．考点：函数的图象与图象变化．专题：压轴题．分析：根据平移变换和对称变换引起的解析式变化规律依次求出C、C'对应的解析式即可．解答：解：将函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C则C对应的解析式为y=arctg（x﹣2）又∵图象C'与C关于原点对称则C'对应的解析式为y=﹣arctg（﹣x﹣2）=arctg（x+2）故选D点评：平移变换的口决是“左加右减，上加下减”对称变换的口决是“关于Y轴负里面，关于X轴负外面，关于原点，既负里面，又负外面”二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）16．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由焦点在y轴的双曲线的准线方程公式进行求解．解答：解：∵a=4，b=3，则c=5，双曲线的准线方程是，故答案是．点评：本题比较简单，解题时要注意双曲线的焦点在y轴上．17．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：多项式展开式的含x2项的系数等于各个二项式展开式的系数和，利用二项展开式的通项公式求出各个系数．解答：解：展开式中含x2项的系数为﹣1﹣C32﹣C42﹣C52=﹣1﹣3﹣6﹣10=﹣20故答案为﹣20点评：本题考查等价转化能力及二项展开式的通项公式的应用．18．考点：等差数列的性质；极限及其运算；等差数列的前n项和．分析：设a n=a1+（n﹣1）d，s n=na1+d，代入求出极限即可．解答：解：设a n=a1+（n﹣1）d，s n=na1+d，代入得===2故答案为2点评：考查学生运用等差数列性质的能力，运用等差数列求和公式的能力，会求极限及运算极限的能力．19．考点：三角函数的最值．专题：计算题；压轴题．分析：利用sinx与cosx的平方关系，令sinx+cosx=t，通过换元，将三角函数转化为二次函数，求出对称轴，利用二次函数的单调性求出最值．解答：解：令t=sinx+cosx=则∴sinxcosx=∴y==（）对称轴t=﹣1∴当t=时，y有最大值故答案为点评：本题考查三角函数中利用平方关系sinx+cosx与2sinxcosx两者是可以相互转化的、二次函数的最值的求法．20．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题．分析：设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；V AEF﹣A1B1C1=V1；V BCFE﹣B1C1=V2；总体积为：V，根据棱台体积公式求V1；V2=V﹣V1以及面积关系，求出体积之比．解答：解：由题：设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；V AEF﹣A1B1C1=V1；V BCFE﹣B1C1=V2；总体积为：V计算体积：V 1=h（s1+s+）①V=sh ②V2=V﹣V1③由题意可知，s1=④根据①②③④解方程可得：V1=sh，V2=sh；则故答案为：点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，转化思想，考查空间想象能力，是基础题．三、解答题（共6小题，满分65分）21．考点：数列的应用．专题：计算题．分析：设四个数依次为x，y，12﹣y，16﹣x．根据等差数列和等比数列的性质知，由此能求出这四个数．解答：解：设四个数依次为x，y，12﹣y，16﹣x．依题意，有由①式得x=3y﹣12．③将③式代入②式得y（16﹣3y+12）=（12﹣y）2，整理得y2﹣13y+36=0．解得y1=4，y2=9．代入③式得x1=0，x2=15．从而得所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．22．考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用．分析：和差化积，两已知等式出现相同的因式，两式相除，约分得角的正切，用二倍角公式代入即求的结果，注意二倍角公式的符号．解答：解法一：由已知得sinα+sinβ=2sin cos=，cos，两式相除得tan=，tan（α+β）==点评：数学课本中常见的三角函数恒等式的变换，既是重点，又是难点．其主要难于三角公式多，难记忆，角度变化、函数名称变化，运算符号复杂、难掌握，解题时抓住题目本质，熟记公式，才不会出错．23．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：计算题．分析：欲证BD⊥DE，BD⊥DC，先证BD⊥面SAC，从而得到∠EDC是所求的二面角的平面角，利用Rt△SAC与Rt△EDC相似求出∠EDC即可．解答：解：由于SB=BC，且E是SC的中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE．又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，∴SC⊥面BDE，∴SC⊥BD．又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上，∴SA⊥BD．而SC∩SA=S，∴BD⊥面SAC．∵DE=面SAC∩面BDE，DC=面SAC∩面BDC，∴BD⊥DE，BD⊥DC．∴∠EDC是所求的二面角的平面角．∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC．设SA=a，则AB=a，BC=SB= a∵AB⊥BC，∴AC=，在Rt△SAC中tan∠ACS=∴∠ACS=30°．又已知DE⊥SC，所以∠EDC=60°，即所求的二面角等于60°．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．24．考点：复数的基本概念；复数相等的充要条件．专题：压轴题；分类讨论．分析：由于z2=a﹣2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．当z是实数时，本题是一个关于z的一元二次方程组，解方程组即可；当z是一个纯虚数时，按照实数方程求解得到z的虚部，写出纯虚数即可．解答：解：设|z|=r．若a＜0，则z2=a﹣2|z|＜0，于是z为纯虚数，从而r2=2r﹣a．由于z2=a﹣2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．解得r=（r=＜0，不合，舍去）．故z=±（）i．若a≥0，对r作如下讨论：（1）若r≤a，则z2=a﹣2|z|≥0，于是z为实数．解方程r2=a﹣2r，得r=（r=＜0，不合，舍去）．故z=±（）．（2）若r＞a，则z2=a﹣2|z|＜0，于是z为纯虚数．解方程r2=2r﹣a，得r=或r=（a≤1）．故z=±（）i（a≤1）．综上所述，原方程的解的情况如下：当a＜0时，解为：z=±（）i；当0≤a≤1时，解为：z=±（），z=±（）i；当a＞1时，解为：z=±（）．点评：本题还可以令z=x+yi（x、y∈R）代入原方程后，由复数相等的条件将复数方程化归为关于x，y的实系数的二元方程组来求解．25．考点：椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题设条件取椭圆的参数方程，其中0≤θ＜2π，根据已知条件和椭圆的性质能够推出b=1，a=2．从而求出这个椭圆的方程和椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．解答：解：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中0≤θ＜2π，由可得，即a=2b．设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则====．如果，即，则当sinθ=﹣1时，d2有最大值，由题设得，由此得，与矛盾．因此必有成立，于是当时，d2有最大值，由题设得，由此可得b=1，a=2．∴椭圆的方程是，所求椭圆的参数方程是，由可得，椭圆上的点和到点P的距离都是．点评：本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要注意参数方程的合理运用．26．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）、f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+（n﹣1）x+n x a＞0，x∈（﹣∞，1]，n≥2，，然后由函数的单调性求实数a的取值范围．（Ⅱ）、欲证如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立，只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n﹣1）x+n x a]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2x a]，a∈（0，1]，x≠0即可得证．解答：解：（Ⅰ）f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+（n﹣1）x+n x a＞0，x∈（﹣∞，1]，n≥2，即，∵上都是增函数，∴在（﹣∞，1]上也是增函数，从而它在x=1时取得最大值．所以，∵等价于，故a的取值范围是{a|a＞﹣}．（Ⅱ）证明：只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n﹣1）x+n x a]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2x a]，a∈（0，1]，x≠0．∵（a1+a2+…+a n2）2=（a12+a22+…a n2）+2（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）≤（a12+a22+…a n2）+[（a12+a22）+…+（a12+a n2）]+[（a22+a32）+…+（a22+a n2）]+…+[（a n﹣22+a n﹣12）+（a n﹣22+a n2）]+（a n﹣12+a n2）=n（a12+a22+…+a n2）．于是（a1+a2+…+a n）2≤n（a12+a22+…+a n2）当a1=a2=…=a n时成立．利用上面结果知，当a=1，x≠0时，因1≠2x，所以有[1+2x+…+（n﹣1）x+n x a]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2x a]，a∈（0，1]，当0＜a＜1，x≠0时，因a2＜a，所以有[1+2x+…+（n﹣1）x+n x a]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2x a]，即有2f（x）＜f（2x）a∈（0，1]，x≠0．点评：本题是比较难的对数函数的综合题，在解题过程中要注意等价转化思想的灵活运用，并且细心运算，避免不必要的错误．。
数二考研2000年真题
数二考研2000年真题数学二考研2000年真题2000年数学二考研真题涵盖了线性代数、高等数学、概率论与数理统计等内容。
本文将按照考试的不同部分进行讨论和解答，以帮助考生更好地备考。
一、线性代数线性代数部分的题目主要涉及矩阵与行列式、向量空间、线性方程组和特征值等内容。
1. 矩阵与行列式2. 向量空间3. 线性方程组4. 特征值二、高等数学高等数学部分的题目主要包括极限、连续与可导函数、微分方程和曲线积分等内容。
1. 极限2. 连续与可导函数3. 微分方程4. 曲线积分三、概率论与数理统计概率论与数理统计部分的题目涉及概率、随机变量、统计量以及最小二乘法等内容。
1. 概率2. 随机变量3. 统计量4. 最小二乘法根据以上分析，我们可以得出一些备考的重点和建议。
一、线性代数部分的备考建议：线性代数是数学二考研的重要内容之一，需要掌握矩阵与行列式的性质、向量空间的定义和性质、线性方程组的求解方法以及特征值和特征向量的求解方法等知识点。
备考建议：1. 熟悉矩阵与行列式的运算法则，掌握矩阵的转置、求逆、相似对角化等操作；2. 理解向量空间的定义，熟悉向量组的线性相关与线性无关的判定方法；3. 学习线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、克莱姆法则和矩阵的秩等；4. 理解特征值和特征向量的概念，掌握求解特征值和特征向量的方法。
二、高等数学部分的备考建议：高等数学是数学二考研的必考内容，需要掌握极限、连续与可导函数、微分方程和曲线积分等知识点。
备考建议：1. 熟练掌握极限的定义，掌握极限的运算法则，特别是常见函数的极限性质；2. 理解连续与可导函数的定义，掌握连续函数的性质和可导函数的求导法则；3. 学习微分方程的基本概念和解法，包括一阶微分方程和二阶线性齐次微分方程等；4. 熟悉曲线积分的定义和性质，掌握曲线积分的计算方法。
三、概率论与数理统计部分的备考建议：概率论与数理统计是数学二考研的重点和难点，需要掌握概率的基本概念、随机变量的性质和分布以及统计量的定义和性质。
1990数学二
1990数学二1.引言1.1 概述1990年是中国高考的一年，也是中国数学教育的重要里程碑。
数学二科目是一门考察学生综合数学能力的科目，也是广大考生备战高考的重点和难点之一。
本文将对1990年数学二科目的考试内容和难度进行全面分析与总结，旨在帮助考生更好地应对这一挑战。
在1990年数学二科目的考试中，各个考点涵盖了高中数学的多个章节，从而对考生在知识储备、思维能力和解题技巧方面提出了较高的要求。
从整体来看，考试内容围绕数学的基本概念、定理和公式展开，同时也注重考察学生的数学推理能力和问题解决能力。
具体而言，数学二科目的考试内容包括但不限于代数、几何、函数、概率与统计等多个方面。
考生需要掌握代数运算的基本规则和思想方法，能够灵活运用各类代数公式和等式变换。
同时，在几何方面，考生需要熟悉不同图形的性质和判定方法，能够解决与尺规作图、相似三角形和圆相关的问题。
此外，函数部分要求考生能够理解函数的定义、性质和图像，能够绘制函数的图象并进行函数关系的分析。
概率与统计部分则要求考生具备统计数据的收集、整理和分析能力，能够运用概率原理解决实际问题。
考试难度方面，1990年数学二科目相对来说较为适中。
试题内容综合，既有基础知识的考查，也有较高层次的思维训练。
对于备考的考生来说，既需要扎实的基础知识，也需要进行大量练习和运算题的总结与归纳。
只有在不断实践中不断提高，才能够在考试中做到游刃有余、迎刃而解。
总之，1990年数学二科目的考试内容涵盖了数学的各个领域，需要考生全面掌握各个知识点，并在解题过程中灵活运用所学的数学方法和技巧。
备考过程中，考生应注重平衡各个知识点的学习进度，重视解题能力的培养和提高。
相信通过努力和准备，每一位考生都能在1990年数学二科目的考试中取得优异的成绩。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：文章结构是指文章整体的组织框架和逻辑顺序。
一个清晰、有条理的文章结构对于读者的阅读理解和信息获取非常重要。
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题和答案解析
所以有
1 1 2 A 2 3 3 4 4
2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 7
第一行 r1 分别乘以 2 、 3 、 4 加到第二行、第三行、第四行上，得到
1 2 3 4 0 1 2 3 A 0 2 4 6 0 3 6 9
由第一归纳法，可归纳证明 y 假设 n k 成立，即 y 则y
( k 1) ' (k ) (n)
n ! y n 1
k ! k ! y k 1 ! y y '
k 1 ! y
x t 2 （1）过点 M (1, 2, 1) 且与直线 y 3t 4 垂直的平面方程是 _______。 z t 1
【答案】 x 3 y z 4 0. 【解析】由直线的参数方程，可得直线的方向向量 l ( 1,3,1) ， 所求平面的法向量 n 平行于所给直线的方向向量 l ( 1,3,1) ，取 n l ，又平面过已知点 M (1, 2, 1) .已知平面 的法向量和过已知点可唯一确定这个平面，所求平面的方程为 ( x 1) 3( y 2) ( z 1) 0, 化简即是
n 1
1 1 发散.因为此为 p 级数： p 当 p 1 时收敛；当 p 1 时发散. n n 1 n
sin n sin n 1 1 p 收敛.因为由三角函数的有界性 ，而 级数： 收敛， 2 2 2 2 n n n n 1 n 1 n
根据正项级数的比较判别法：
n 1 n 1 n 1 n 1
（3） 当 A 时，若
vn 收敛，则 un 收敛；若 un 发散，则 vn 发散.
考研数学一(1990-2005)历年真题详细解析
−2
5
0
0
(5)【答案】
0
0
1 3
2 3
.
0
0
−1 3
1 3
【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换 ,也可用分块求逆.根据
本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.
注意：
A
0
0 B
−1
=
A−1 0
0 0
B
−1
,
B
A −1
0
=
0 A−1
B−1 .
1
x −1 y − 2 z −3 1 0 −1 =0 , 211
即 x − 3y + z + 2 =0 .
(4)【答案】 − 3 2
【解析】因为当
x
→
0
时, sin
x
x, (1+
1
x)n
−1
1 n
x
,
当 x → 0 时ax2
1
)3
−1
1 3
ax2
,
cos
x
−1
=−
0
a b
对于
2
阶矩阵的伴随矩阵有规律：
A
=
c
d
,则求
A
的伴随矩阵
= A*
a
b
∗
= c d
d
−c
−b
a
.
如果 A ≠ 0 ,这样
2
a b −1 = c d
= 1A −dc −ab
1 d
ad
− bc
−c
−b
a
.
A
再利用分块矩阵求逆的法则：
考研真题与答案数学
考研真题与答案数学考研数学是许多考生在准备研究生入学考试时必须面对的科目之一。
它不仅考察学生的数学基础，还考察逻辑推理和问题解决的能力。
考研真题与答案对于考生来说是一个宝贵的资源，它可以帮助学生了解考试的难度、题型以及解题技巧。
考研数学的主要内容考研数学通常分为数学一、数学二和数学三三个不同的科目，每个科目的侧重点和难度略有不同。
数学一通常包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计等内容；数学二则可能更侧重于工程数学；而数学三则可能更侧重于经济数学。
真题的重要性真题是考生了解考试风格的直接途径。
通过分析历年的真题，考生可以发现考试中常见的题型和知识点，从而更有针对性地进行复习。
同时，真题的答案也可以帮助考生检验自己的解题思路是否正确，提高解题效率。
如何使用真题与答案1. 模拟考试：将真题当作模拟考试来完成，这样可以在考试环境下检验自己的真实水平。
2. 分析题型：通过真题，找出考试中经常出现的题型，针对性地加强练习。
3. 总结解题技巧：观察答案中的解题步骤，学习解题技巧，提高解题速度。
4. 查漏补缺：通过真题发现自己的知识盲点，及时补充相关知识点。
真题与答案的获取考生可以通过多种渠道获取考研数学的真题与答案，例如：- 购买考研辅导书籍，这些书籍通常会附带历年真题及答案。
- 访问教育网站和论坛，许多网站会提供真题下载服务。
- 加入考研学习小组，与其他考生共享资源。
结束语考研数学的准备是一个系统性的过程，真题与答案的使用是其中重要的一环。
希望每位考生都能够充分利用这些资源，提高自己的数学水平，为考研成功打下坚实的基础。
记住，持续的努力和正确的方法将是你成功的关键。
祝你在考研的道路上一切顺利。