2009年考研数学二真题
块矩阵
⎛ ⎜ ⎝
O B
A O
⎞ ⎟ ⎠
的伴随矩阵为（
）
（A）
⎜⎜⎝⎛
O 2 A∗
3B∗ O
⎟⎟⎠⎞
（B）
⎜⎜⎝⎛
O 3A∗
【答案】B
2B O
∗
⎟⎟⎠⎞
（C）
⎜⎜⎝⎛
O 2B
∗
3A∗ O
⎟⎟⎠⎞
（D）
⎛ ⎜ ⎝
O 3B*
2 A* ⎞ ⎟
O⎠
【解析】由于分块矩阵
⎜⎜⎝⎛
0 B
0A⎟⎟⎠⎞ 的行列式
0 B
（6）设函数 y = f (x) 在区间 [−1,3]上的图形为
f (x)
-2 -1 0 1 2 3
x
-1
∫ 则函数 F ( x) =
x
f (t)dt 为
0
F ( x)
F ( x)
1
-2
0123
x
-1
（A）
x
-2
012 3
－1
(B)
F ( x)
1
F ( x)
1
x
x
-1 0 1 2 3
-2
0123
-1
⎜⎛ 0
=
6⎜ ⎜⎜⎝
1 2
A*
1 3
B* 0
⎟⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
=
⎜⎜⎝⎛
0 3A*
2B 0
*
⎟⎟⎠⎞
，故答案为
B。
【讲评】本题考查的知识点有：伴随矩阵和逆矩阵的关系，分块矩阵的行列式，分块矩阵的
逆矩阵等。
二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上
∫ （9）曲线
（3）函数 z = f (x, y) 的全微分为 dz = xdx + ydy ，则点（0，0）（ ）
（A）不是 f (x, y) 的连续点
（B）不是 f (x, y) 的极值点
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D1 = {(x, y)1 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ 2}, D2 = {(x, y)1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ 4 − y},
{ } D = (x, y)1 ≤ y ≤ 2,1 ≤ x ≤ 4 − y , 将二次积分交换积分秩序得到
∫12
dy
∫ 4−y 1
f (x, y)dx ，【答案】C。
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正确选项为 D。【答案】D
（7）设 A、B 均为 2 阶矩阵，且 A∗ , B∗ 分别为 A、B 的伴随矩阵，若 A = 2, B = 3 ，则分
得
y′′
=
−
2
y′
+ ( y′)2 x + ey
e
y
，当 x = 0 时， y = 0 ，
由零点定理， f (x) 在 [1,2]上有零点。应选（B）。【答案】B
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x ∈ (0,1) 时， f (x) < 0 ， F (x) ≤ 0, 且单调递减，。 x ∈ (1,2) 时， f ( x) > 0 ， F (x)单调递增。 x ∈ (2,3) 时， f (x) = 0 ， F (x)为常值函数。
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考点：曲率圆概念，零点定理与拉格朗日微分中值定理是水木艾迪辅导的星级考点，尤其 是拉格朗日微分中值定理的桥梁功能与逐点控制功能（连锁控制功能）是我们教学中一再 强调的概念与方法，参见水木艾迪《考研数学通用教材-----微积分》（清华大学出版社）4.5 节与相关例题，《考研数学 36 技》例 1-1，1-2，1-3 等题目。
f (x, y)dx = （
）
（A）
∫
2 1
dx
∫ 4−x 1
f (x, y)dy
（B）
∫
2 1
dx
∫
4−x x
f (x, y)dy
（C）
∫12
dy
∫ 4−y 1
f (x, y)dy
（D）
∫
2 1
dy
∫
2 y
f (x, y)dx
【解析】
∫
2 1
dx
∫
2 x
f
(
x,
y)dy
+
∫12
dy
∫
2 x
f (x, y)dx 的积分区域为两部分：
) +1
=
0
（12）设 y = y(x) 是方程 xy + e y = x + 1 确定的隐函数，则 d 2 y
= ________
dx 2 x=0
【解析与点评】方程两边关于 x 求导得
y+
xy′ +
y′e y
= 1，
y′ =
1− y x + ey
两边再次求导可得 2 y′ + xy′′ + y′′e y + ( y′)2 e y = 0 ，
（1）函数 f (x) = x − x3 的可去间断点的个数，则（ ） sin πx
（A）1
（B）2
（C） 3
（D） 无穷多个
【解析与点评】考点：简单极限运算与间断点的分类。水木艾迪辅导的星级考点。参见水
木艾迪考研数学 36 计例 1-1，1-2，1-3 等题目。【答案】C
f (x) = x − x3 则当 x 取整数时， f (x) 无定义。 sin πx
lim x − x3 = lim 1 − 3x 2 = 2 。 x→−1 sin πx x→−1 π cosπx π
(2)当 x → 0 时， f (x) = x − sin ax 与 g(x) = x 2 ln(1 − bx) 是等价无穷小，则（ ）
（A） a = 1, b = − 1 (B) a = 1, b = 1 (C) a = −1,b = − 1 (D) a = −1, b = 1
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（C）是 f (x, y) 的极大值点
（D）是 f (x, y) 的极小值点
【解析与点评】（方法 1） dz = xdx + ydy = 1 d ( x2 + y 2 ) ， 2
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2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
=
lim
x→0
1
− a cos ax − 3bx2
=
lim
x →0
a2 sin ax − 6bx
=
lim
x→0
a2 sin ax − 6b ⋅ ax
=
−
a3 6b
=1
a
a3 = −6b 意味选项 B，C 错误。再由 lim = 1 − a cos ax 存在，应有
x→0
− 3bx 2
1 − a cos ax → 0( x → 0) ，故 a = 1 ，D 错误，所以选 A。
（5）若 f ′′(x) 不变号，且曲线 y = f (x) 在点 (1,1) 上的曲率圆为 x2 + y 2 ＝2，则 f (x) 在区
间（1，2）内（ ） （A）有极值点，无零点（B）无极值点，有零点 （C）有极值点，有零点（D）无极值点，无零点
【解析与点评】在点（1，1）处的领域内 f (x) 凸性不变（上凸），即 f ′′( x) < 0 ，由曲率圆
+∞ −∞
ek
x
dx
=
2
+∞ 0
e
kx
dx
= 2 lim 1 ekx k b→•∞
b 0
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(C)
(D)
【解析与点评】考点：函数与其变限积分函数的关系、函数与其导函数之间的关系，定积分
的几何意义。由 y = f (x)的图形可见，其图像与 x 轴及 y 轴、 x = 0 所围的图形的代数面
积应为函数 F (x)，由于 f ( x) 由第一类间断点， F (x)只能为连续函数，不可导。
x ∈ (−1,0) 时， f ( x) > 0 且为常数，应有 F (x)单调递增且为直线函数。
概念得到 f (1) = 1， y′(1) = f ′(1) = −1 与 y′′(1) = f ′′(1) = −2 。
在 [1,2]上， f ′( x) ≤ f ′(1) = −1 < 0 ，即 f (x) 单调减少，没有极值点。
考研数学二历年真题(2003—2012)题目
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设2sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是( )(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰( )(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ .(11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y ==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<.(21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2，(I) 求实数a的值；将f化为标准形.(II) 求正交变换x Qy2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2010年考研数学二真题一填空题(8×4=32分)2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. （3）设函数(),zf x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xFx f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .()C .()D .（7）设A 、B 均为2阶矩阵，**AB，分别为A 、B 的伴随矩阵。
2009年考研数学(二)真题及解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）（科目代码：302）（考试时间：上午8:30-11:30）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
1()f x O23x-1122009年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）函数3()sin πx x f x x-=的可去间断点的个数为（A ）1．（B ）2．（C ）3．（D ）无穷多个．（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小量，则（A ）11,6a b ==-．（B ）11,6a b ==．（C ）11,6a b =-=-．（D ）11,6a b =-=．（3）设函数(,)z f x y =的全微分为d d d z x x y y =+，则点(0,0)（A ）不是(,)f x y 的连续点．（B ）不是(,)f x y 的极值点．（C ）是(,)f x y 的极大值点．（D ）是(,)f x y 的极小值点．（4）设函数(,)f x y 连续，则222411d (,)d d (,)d y xy x f x y y y f x y x -+=⎰⎰⎰⎰（A ）2411d (,)d xx f x y y -⎰⎰．（B ）241d (,)d x x x f x y y -⎰⎰．（C ）2411d (,)d yy f x y x -⎰⎰．（D ）221d (,)d yy f x y x ⎰⎰．（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点(1,1)处的曲率圆为222x y +=，则函数()f x 在区间(1,2)内（A ）有极值点，无零点．（B ）无极值点，有零点．（C ）有极值点，有零点．（D ）无极值点，无零点．（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形如图所示，则函数()()d xF x f t t =⎰的图形为()F x O23x1-1-11()F x O23x1-11()F x O23x1-1-11（A ）（B ）（C ）（D ）（7）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3==A B ，则分块矩阵⎛⎫ ⎪⎝⎭O A B O 的伴随矩阵为（A ）**32⎛⎫ ⎪⎝⎭O B A O ．（B ）**23⎛⎫⎪⎝⎭OB AO ．（C ）**32⎛⎫ ⎪⎝⎭O A B O ．（D ）**23⎛⎫⎪⎝⎭O A BO ．（8）设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且T100=010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，若1231223(,,),(,,)==+P Q ααααααα，则T Q AQ 为（A ）210110002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．（B ）110120002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．（C ）200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．（D ）100020002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．()F x O23x1-11（9）曲线21022e d ,ln(2)t u x u y t t --⎧=⎪⎨⎪=-⎩⎰在(0,0)处的切线方程为．（10）已知+e d 1k xx ∞-∞=⎰,则k =．（11）1n limesin d xnx x -→∞=⎰．（12）设()y y x =是由方程e 1yxy x +=+确定的隐函数，则22d d x yx==．（13）函数2xy x=在区间(0,1]上的最小值为．（14）设,αβ为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵Tαβ相似于200000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则T=βα．三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分9分）求极限[]40(1cos )ln(1tan )limsin x x x x x→--+．（16）（本题满分10分）计算不定积分ln(1x +⎰(0)x >．（17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有二阶连续偏导数，求d z 与2zx y∂∂∂．（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x =(0)x 满足微分方程20xy y '''-+=．当曲线()y y x =过原点时，其与直线1x =及0y =围成的平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积．（19）（本题满分10分）计算二重积分()d d Dx y x y -⎰⎰，其中{}22(,)(1)(1)2,D x y x y y x =-+- ．（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间(π,π)-内过(的光滑曲线．当π0x -<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0πx < 时，函数()y x 满足0y y x ''++=．求函数()y x 的表达式．（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，则存在(,)a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在(0,)(0)δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=．（22）（本题满分11分）设111111042--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，1112-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，（Ⅰ）求满足21=A ξξ，231=A ξξ的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（I ）中的任意向量23,ξξ，证明123,,ξξξ线性无关．（23）（本题满分11分）设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-．（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值．2009年考研数学（二）试卷答案速查一、选择题（1）C （2）A （3）D （4）C （5）B （6）D（7）B （8）A二、填空题（9）2y x =（10）2-（11）0（12）3-（13）2ee-（14）2三、解答题（15）14．（16）1ln(12x C ++-+．（17）123123d ()d ()d z f f yf x f f xf y ''''''=+++-+，211223313233()()zf f xyf x y f x y f f x y∂'''''''''''=-++++-+∂∂．（18）17π6．（19）83-．（20）π0,πcos sin ,0π.x y x x x x -<<=+-<⎪⎩（21）略．（22）（Ⅰ）21101021k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξ，其中1k 为任意常数．323101/2100010k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξ，其中23,k k 为任意常数.（Ⅱ）略．（23）（Ⅰ）特征值为1232,,1a a a λλλ=-==+.（Ⅱ）2a =．2009年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）【答案】C ．【解答】当x 取任何整数时，sin π0x =，()f x 均无意义，所以()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点．由30x x -=解得0,1,1x =-．因为3200131lim lim sin ππcos ππx x x x x x x →→--==，3211132lim lim sin ππcos ππx x x x x x x →→--==，3211132lim lim sin ππcos ππx x x x x x x →-→---==，故可去间断点为3个，即0,1,1x =-．故选C ．（2）【答案】A ．【解答】2220000()sin sin 1cos limlim lim lim 1()ln(1)()3x x x x f x x ax x axa ax g x x bx x bx bx→→→→---====-⋅--，因为2lim(3)0x bx →-=，所以0lim(1cos )0x a ax →-=，从而 1.a =再有，2220001()1cos 12lim lim lim 1()336x x x x f x x g x bx bx b→→→-===-=--，得16b =-．故选A ．（3）【答案】D ．【解答】因为d d d z x x y y =+，所以,z z x y x y ∂∂==∂∂.因为，2221,0z z A B x x y ∂∂====∂∂∂，221zC y∂==∂，所以20,0B AC A -<>，故，(0,0)是(,)f x y 的极小值点．故选D ．（4）【答案】C ．【解答】222411d (,)d d (,)d y xyx f x y y y f x y x -+⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y = ，{}2(,)12,4D x y y y x y =- ，合并可得，{}(,)12,14D x y y x y =- ，故二重积分可以表示为2411d (,)d yy f x y x -⎰⎰．故选C ．（5）【答案】B ．【解答】因为曲率圆为222x y +=在点(1,1)处有()0f x ''<，而()f x ''不变号，所以曲线()y f x =是一个凸函数，于是()f x '单调递减.又因为在(1,2) 内，()(1)10f x f ''<=-<，所以()f x 单调减少，故没有极值点．对()f x 在[1,2] 上应用拉格朗日中值定理，得(2)(1)'()1(1,2)f f f ξξ-=<- , ∈ ，因为(1)10f =>，(2)0f <，由零点定理()f x 在(1,2) 内有零点，故选B ．（6）【答案】D ．【解答】0()()d xF x f t t =⎰，0()F x 表示()y f x =与x 轴、y 轴及0x x =所围的图形的代数面积．由()y f x =的图形可知，①因为()y f x =只有有限个第一类间断点，所以()F x 连续．②当[]1,0x ∈-时，()0F x ．③当[]0,1x ∈时，()0F x，且单调递减．④[]1,2x ∈时，()F x 单调递增，且(1)0,(2)0F F <>．⑤[]2,3x ∈时，()F x 为常函数．故选D ．（7）【答案】B ．【解答】因为当A 可逆时，1*-=A A A ，所以112211*--⨯-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）O A O A O A O B A B B O B O B O AO 1123-**-**⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O A B B OA B O B A B A O B A O AO ，故选B ．（8）【答案】A ．【解答】因为1223123100100(,,)(,,)110110001001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q P ααααααα，所以TTT T 100100100100110110110110001001001001⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦Q AQ P AP P AP110100100210010010110110001002001002⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选A ．二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）【答案】2y x =．【解答】当0x y ==时，1t =．2(1)11d e 1d t t t xt --===-=-，22211d 22ln(2)2d 2t t y tt t t t t ===--⋅=--，所以(0,0)d 2d yx =，切线方程为2y x =．（10）【答案】2-．【解答】022e d 2e d e lim e 1)k xkx kxkx x x x kk +∞+∞+∞-∞→+∞===-⎰⎰，因为极限存在，所以0k <，从而22(lim e 1)1kx x k k→+∞-=-=，2k =-．（11）【答案】0．【解答】设1esin d xn I nx x -=⎰，因为1110sin de e sin e cos d xxx n I nx nx n nx x---=-=-+⎰⎰1110e sin (e cos e sin d )x x n n nx n nx x ---=--+⎰112e sin e cos ,n n n n n n I --=--+-所以，22sin cos (1)e 1n n n n nI n n +=-+++．故22sin cos lim lim 0(1)e 1n n n n n n n I n n →∞→∞⎡⎤+=-+=⎢⎥++⎣⎦．（12）【答案】3-．【解答】由题设方程两边对x 求导得，e 1yy xy y ''++=，①再次对x 求导得，22e ()e 0yyy xy y y ''''''+++=，②由已知0x =，0y =，代入①式得1y '=，进而可得(0)3y ''=-（13）【答案】2ee-．【解答】由22ln e xx x y x==可得()22ln 2x y x x '=+，令0y '=，得唯一驻点1ex =．又()22222ln 2xxy x x x x ''=++⋅，得21e 1()2e 0ey -+''=>，故1e x =为2xy x =的极小值点.又因为0(1)1,(0)lim 1x y y ++→===，所以最小值为2e 1()e ey -=．（14）【答案】2．【解答】因为T αβ相似于200000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以Tαβ的特征值为2,0,0，因此T T ()2tr ==βααβ．三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分9分）解：原式[]242001ln(1tan )ln(1tan )2lim lim 2x x x x x x x x x →→-+-+==222000sec 11tan sec tan tan 1tan lim lim lim44(1tan )4x x x xx x x x x x x x x →→→-+--+===+0tan (1tan )1lim44x x x x →-==.（16）（本题满分10分）t =，得211x t =-，则原式2221ln(1)11ln(1)d()d 1111t t t t t t t +=+=----+⎰⎰2ln(1)111ln 1412(1)t t C t t t ++=+-+--+1ln(12x C =++-+．（17）（本题满分10分）解：因为，123123,z z f f yf f f xf x y∂∂''''''=++=-+∂∂，所以，123123d ()d ()d z f f yf x f f xf y ''''''=+++-+．故，21112132122233132333()z f f xf f f xf y f f xf f x y∂'''''''''''''''''''=-++-++-++∂∂11223313233()()f f xyf x y f x y f f '''''''''''=-++++-+．（18）（本题满分10分）解：由题可令p y '=，原方程可化为20xp p '-+=，解得2p Cx =+.则原方程通解为2122y C x x C =++，其中12,C C 为任意常数．因为，()y y x =过原点，所以20C =．又因为，111232111000()d (2)d ()1233C C D y x x C x x x x x ==+=+==⎰⎰，从而13C =．于是可得非负函数为23(0)y x x x =+2 ≥．D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积为11124300032172πd 2π(3)d 2π()π436V xy x x x x x x ==+2=+=⎰⎰．（19）（本题满分10分）解：在极坐标系下积分区域可化为2(sin cos )r θθ≤+，则3π2(sin cos )4π04()d d d (cos sin )d D x y x y r r r rθθθθθ+-=-⎰⎰⎰⎰3π34π48(cos sin )(sin cos )d 3θθθθθ=-+⎰334π48(sin cos )d(sin cos )3θθθθ=++⎰3π44π4818(sin cos ).343θθ=⋅+=-（20）(本题满分12分)解：当π0x -<<时，曲线上任一点(,)x y 处的法线得斜率为d d x k y=-，又法线过原点，则有d d x y k y x=-=，即d d y y x x =-.解方程可得得22y x C =-+.由于曲线过点(，可得2πC =，带入可得y =．当0πx <时，()y x 满足二阶微分方程0y y x ''++=，其对应的齐次方程0y y ''+=的通解为12cos sin y C x C x =+.设y y x ''+=-的特解为*y Ax B =+，解得，1,0A B =-=，从而0y y x ''++=的通解为12cos sin y C x C x x =+-．由于()y y x =是(π,π)-内的光滑曲线，故()y x 和()y x '在0x =处连续．于是100lim ()π,lim ()x x y x y x C -+→→= = ，得1πC =．(0)0y -'=，2(0)1y C +'=-，得21C =．所以()y y x =的表达式为π0πcos sin ,0πx y x x x x -<<=+-<⎪⎩．（21）（本题满分11分）证明：（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a F x f x f a x a b a-=----，有()()F a F b =，且()()()()f b f a F x f x b a -''=--．由罗尔定理存在(,)a b ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()()()f b f a F b a ξ'-=-，结论成立．（Ⅱ）由拉格朗日中值定理，得()000()0()(0)lim lim lim ()x x x f x f f x f f xx ξξ++++→→→-'''===，0x ξ<<.因为()0lim x f x A +→'=，所以0lim ()x f A ξ+→'=，故'(0)f +存在，且'(0)f A +=．（22）(本题满分11分)解：（Ⅰ）因为111111100(|)1111021104220000---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A ξ，解得21101021k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξ，其中1k 为任意常数．因为2220220440⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A ，有2122012201(|)2201000044020000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ξ，解得3231102100010k k ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭ξ，其中23,k k 为任意常数．（Ⅱ）由于1212131121102221k k k k k k ----=-≠--+，故123,,ξξξ线性无关．（23）（本题满分11分）解：（Ⅰ）二次型f 的矩阵为0101111a a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，由01||01()(2)(1)111a a a a a a λλλλλλλ---=-=--+----+E A ，解得A 的特征值为1232,,1a a a λλλ=-==+．（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +时，可知二次型相似于矩阵100010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则该二次型必有一个特征值为0，其余均大于0，故20a -=，2a =．。
考研数学二历年真题(2000-2012)
2 2
的极值.
(17)(本题满分 12 分) 过 (0,1) 点作曲线 L : y ln x 的切线,切点为 A ,又 L 与 x 轴交于 B 点,区域 D 由 L 与直线 A B 围成,求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. (18)(本题满分 10 分) 计算二重积分 xy d ，其中区域 D 为曲线 r 1 cos 0 与极轴围成.
D
(19)(本题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) 满足方程 f ( x ) f ( x ) 2 f ( x ) 0 及 f ( x ) f ( x ) 2 e x , (I) 求 f ( x ) 的表达式; (II) 求曲线 y f ( x 2 ) f ( t 2 )d t 的拐点.
(6) 设区域 D 由曲线 y sin x , x
, y 1 围成，则 ( x y 1)d x d y
5 D
( (A) (B) 2 (C) -2 (D) -
)
0 0 1 1 (7) 设 α 1 0 , α 2 1 , α 3 1 , α 4 1 ,其中 c1 , c 2 , c 3 , c 4 为任意常数，则下列向量 c c c c 2 3 4 1
*
1 T （8）设 A ， P 均为 3 阶矩阵， P 为 P 的转置矩阵，且 P A P = 0 0
T
0 1 0
0 0 ，若 2
）
T ，则 Q A Q 为（ P= （ 1， 2， 3） ， Q = （ 1 + 2， 2， 3）
2 A . 1 0 2 C . 0 0
考研数学二一元函数微分学历年真题试卷汇编1_真题-无答案
考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编1(总分76,考试时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1. (2010年试题，3)曲线y=x2与曲线y=alnx(a≠0)相切，则a=( )．A. 4eB. 3eC. 2eD. e2. (2005年试题，二)设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是( )．A.B.C. 一8ln2+3D. 81n2+33. (2006年试题，二)设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h"(1)=1，g"(1)=2，则g(1)等于( )．A. ln3—1B. 一ln3—1C. 一ln2—1D. ln2—14. (1999年试题，二)设其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处( )．A. 极限不存在B. 极限存在，但不连续C. 连续，但不可导D. 可导5. (2006年试题，二)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f"(x)>0,f"(x)>0，△x为自变量x在点xo处的增量，△y与dy分别为f(x)在点xo处对应的增量与微分，若△x>0，则( )．A. 0<dy<△yB. 0<△y<dyC. △y<dy<0D. dy<△y<06. (2002年试题，二)设函数f(u)可导，y=f(x2)当自变量x在x=-1处取得增量△x=-0．1时，相应的函数增量△)，的线性主部为0．1，则f"(1)=( )．A. 一1B. 0．1C. 1D. 0.57. (2004年试题，二)设函数f(x)连续，且f"(0)>0，则存在δ>0，使得( )．A. f(x)在(0，δ)内单调增加B. f(x)在(一δ，0)内单调减少C. 对任意的x∈(0，δ)有f(x)>f(0)D. 对任意的x∈(一δ，0)有f(x)>f(0)8. (2003年试题，二)设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如右图1—2—3所示，则f(x)有( )．A. 一个极小值点和两个极大值点B. 两个极小值点和一个极大值点C. 两个极小值点和两个极大值点D. 三个极小值点和一个极大值点9. (2001年试题，二)已知函数y=f(x)在其定义域内可导，它的图形如图1—2—4所示，则其导函数y=f"(x)的图形如图1一2—5所示：( )．A.B.C.D.10. (2000年试题，二)设函数f(x)，g(x)是大于零的可导函数，且f"(x)g(x)一f(x)g"(x)A. f(x)g(b)>f(b)g(x)B. f(x)g(a)>f(a)g(x)C. f(x)g(x)>f(b)g(b)D. f(x)g(x)>f(a)g(a)11. (1998年试题，二)设函数f(x)在x=a的某个领域内连续，且f(x)为其极大值，则存在δ>0，当x∈(a一δ，a+δ)时，必有( )．A. (x一a)[f(x)-f(a)]≥0．B. (x一a)[f(x)一f(a)]≤0．C.D.12. (1997年试题，二)已知函数y=f(x)对一切x满足xf""(x)+3x[f"(x)]2=1一e-x，若f"(x0)=0(x0≠0)，则( )．A. f(x0)是f(x)的极大值B. f(x0)是f(x)的极小值C. (x0,f(x2))是曲线y=f(x)的拐点D. f(x0)不是f(x)的极值，(x0,f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点2. 填空题1. (2012年试题，二)曲线y=x2+x(x的点的坐标是__________．2. (2010年试题，13)已知一个长方形的长l以2cm／s的速率增加，宽W以3cm／s的速率增加，则当l=12cm，w=5cm时，它的对角线增加速率为_______．3. (2009年试题，二)曲线在(0，0)处的切线方程为________.4. (2008年试题，二)曲线sin(xy)+ln(y一x)=x在点(0，1)处的切线方程为________．5. (2007年试题，二)曲线上对应于的点处的法线斜率为________．6. (2003年试题，一)设函数y=f(x)由方程xy+21nx=y4所确定，则曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线方程是__________.7. (2001年试题，一)设函数y=f(x)由方程e2x+y—cos(xy)=e—1所确定，则曲线)，=f(x)在点(0，1)处的法线方程为_________．8. (1999年试题，一)曲线，在点(0，1)处的法线方程为__________.9. (2010年试题，11)函数y=ln(1—2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=________．10. (2009年试题，二)设y=y(x)是由方程xy+ey=x+1确定的隐函数，则____________________.11. (2007年试题，二)设函数则Y(n)(0)=______．12. (2006年试题，一)设函数Y=y(x)由方程Y=1一xey确定，则=__________.13. (1997年试题，三(2))设y=y(x)由所确定，求14. (1997年试题，一)设=__________.15. (2005年试题，一)设y=(1+sinx)x，则dy｜x=π=__________．16. (2000年试题，一)设函数y=y(x)由方程2xy=x+y所确定，则dy｜x=0__________.3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二一元函数微分学历年真题试卷汇编19_真题-无答案
考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编19(总分150,考试时间180分钟)选择题1. 1.[2002年] 设函数f(u)可导，y=f(x2)．当自变量x在x=一1处取得增量Δx=一0．1时，相应的函数增量Δy的线性主部为0．1，则f＇(1)=( )．A. 一1B. 0．1C. 1D. 0．52. 2.[2002年] 设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则( )．A. 当f(x)=0时，必有f′(x)=0B. 当f′(x)存在时，必有f′(x)=0C. 当f(x)=0时，必有f′(x)=0D. 当f′(x)存在时，必有f′(x)=03. 3.[2013年] 设函数f(x)=F(x)=∫0xf(t)dt则( )．A. x=π是函数F(x)的跳跃间断点B. x=π是函数F(x)的可去间断点C. F(x)在x=π处连续但不可导D. F(x)在x=π处可导4. 4.[2003年] 设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图1．2．5．1所示，则f(x)有( )．A. 一个极小值点和两个极大值点B. 两个极小值点和一个极大值点C. 两个极小值点和两个极大值点D. 三个极小值点和一个极大值点5. 5.[2009年] 若f″(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2．则函数f(x)在区间(1，2)内( )．A. 有极值点，无零点B. 无极值点，有零点C. 有极值点，有零点D. 无极值点，无零点填空题6. 6.[2007年] 设函数y=1／(2x+3)，则y(n)(0)=________．7. 7.[2010年] 函数y=ln(1—2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=_________．8. 8.[2015年] 函数f(x)=x2·2x在x=0处的n阶导数f(n)(0)=_________．9. 9.[2016年] 已知函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt，则当n≥2时，f(n)(0)=_________．10. 10.[2014年] 设z=f(x，y)是由e2yz+x+y2+z=确定的函数，则=__________.11. 11.[2005年] 设y=(1+sinx)x，则dy∣x=π=_________．12. 12.[2001年] 已知f(x)在(一∞，+∞)内可导，f′(x)=e，[f(x)一f(x一1)]，则c=_________．13. 13.[2003年] 在y=2x的麦克劳林公式中含xn项的系数是_________．解答题14. 14.[2009年] (I)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)使得f(b)一f(a)=f′(ξ)(b－a)．(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且f′(x)=A，则f′+(0)存在，且f′+(0)=A．15. 15.[2007年] 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导且存在相等的最大值．又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)使得f″(ξ)=g″(ξ)．[2013年] 设奇函数f(x)在[－1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：16. 16.存在ξ∈(0，1)，使得f′(∈)=1；17. 17.存在η∈(一1，1)，使得f″(η)+f′(η)=1．[2005年] 已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明：18. 18.存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1一ξ；19. 19.存在两个不同的点η∈(0，1)，ζ∈(0，1)，使得f′(η)f′(ζ)=1．20. 20.[20l0年] 设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1／3．证明：存在ξ∈(0，1／2),η∈(1／2，1)，使得f′(ξ)+f′(η)=ξ2+η2．[2003年] 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f′(x＞0．若极限存在，证明：21. 21.在(a，b)内f(x)＞0；22. 22.在(a，b)内存在点ξ，使(b2－a2).23. 23.在(a，b)内存在与(2)中手相异的点η，使f′(η)(b2一a2)=f(x)dx．24. 24.[2008年] (I)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得f(x)d x=f(η)(b一a)．(Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ″(ξ)＜0．25. 25.[2010年] 求函数f(x)=∫1x2(x3一t)e-t3dt的单调区间与极值．26. 26.[2014年] 已知函数y=y(x)满足微分方程x2+y2y′=1一y′，且y(2)=0．求y=y(x)的极大值与极小值．。
2009-1987年考研数学二真题及答案
历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）（１９８７－２００９）考研数学命题研究组㊀编世纪高教编辑部１９８７年全国硕士研究生招生考试试题ʌ编者注ɔ１９８７年到１９９６年的数学试卷Ⅲ为现在的数学二．（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝ｌｎ（１＋ａｘ），其中ａ为非零常数，则ｙᶄ＝，ｙᵡ＝．（２）曲线ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ在横坐标为１的点处的切线方程是；法线方程是．（３）积分中值定理的条件是，结论是．（４）ｌｉｍｎңɕｎ－２ｎ＋１()ｎ＝．（５）ʏｆᶄ（ｘ）ｄｘ＝，ʏｂａｆᶄ（２ｘ）ｄｘ＝．二㊁（本题满分６分）求极限ｌｉｍｘң０１ｘ－１ｅｘ－１()．三㊁（本题满分７分）设ｘ＝５（ｔ－ｓｉｎｔ），ｙ＝５（１－ｃｏｓｔ），{求ｄｙｄｘ，ｄ２ｙｄｘ２．四㊁（本题满分８分）计算定积分ʏ１０ｘａｒｃｓｉｎｘｄｘ．五㊁（本题满分８分）设Ｄ是由曲线ｙ＝ｓｉｎｘ＋１与三条直线ｘ＝０，ｘ＝π，ｙ＝０围成的曲边梯形，求Ｄ绕Ｏｘ轴旋转一周所生成的旋转体的体积．六㊁证明题（本题满分１０分）（１）若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内可导，且导数ｆᶄ（ｘ）恒大于零，则ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内单调增加．（２）若ｇ（ｘ）在ｘ＝ｃ处二阶导数存在，且ｇᶄ（ｃ）＝０，ｇᵡ（ｃ）＜０，则ｇ（ｃ）为ｇ（ｘ）的一个极大值．七㊁（本题满分１０分）计算不定积分ʏｄｘａ２ｓｉｎ２ｘ＋ｂ２ｃｏｓ２ｘ，其中ａ，ｂ是不全为０的非负常数．１１９８７年真题八㊁（本题满分１０分）（１）求微分方程ｘｄｙｄｘ＝ｘ－ｙ满足条件ｙｘ＝２＝０的特解．（２）求微分方程ｙᵡ＋２ｙᶄ＋ｙ＝ｘｅｘ的通解．九㊁选择题（本题共４小题，每小题４分，满分１６分）（１）ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘｅｃｏｓｘ（－ɕ＜ｘ＜＋ɕ）是（㊀㊀）（Ａ）有界函数．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）单调函数．（Ｃ）周期函数．（Ｄ）偶函数．（２）函数ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘ（㊀㊀）（Ａ）当ｘңɕ时为无穷大．（Ｂ）在（－ɕ，＋ɕ）内有界．（Ｃ）在（－ɕ，＋ɕ）内无界．（Ｄ）当ｘңɕ时有有限极限．（３）设ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ处可导，则ｌｉｍｘң０ｆ（ａ＋ｘ）－ｆ（ａ－ｘ）ｘ等于（㊀㊀）（Ａ）ｆᶄ（ａ）．（Ｂ）２ｆᶄ（ａ）．（Ｃ）０．（Ｄ）ｆᶄ（２ａ）．（４）设Ｉ＝ｔʏｓｔ０ｆ（ｔｘ）ｄｘ，其中ｆ（ｘ）连续，ｓ＞０，ｔ＞０，则Ｉ的值（㊀㊀）（Ａ）依赖于ｓ，ｔ．（Ｂ）依赖于ｓ，ｔ，ｘ．（Ｃ）依赖于ｔ，ｘ，不依赖于ｓ．（Ｄ）依赖于ｓ，不依赖于ｔ．十㊁（本题满分１０分）在第一象限内求曲线ｙ＝－ｘ２＋１上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积．２历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９８８年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题４分，满分２０分）（１）设ｆ（ｘ）＝２ｘ＋ａ，ｘɤ０，ｅｘ（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ），ｘ＞０{在（－ɕ，＋ɕ）内连续，则ａ＝．（２）设ｆ（ｔ）＝ｌｉｍｘңɕｔ１＋１ｘ()２ｔｘ，则ｆᶄ（ｔ）＝．（３）设ｆ（ｘ）连续，且ʏｘ３－１０ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｘ，则ｆ（７）＝．（４）ｌｉｍｘң０＋１ｘæèçöø÷ｔａｎｘ＝．（５）ʏ４０ｅｘｄｘ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题４分，满分２０分）（１）ｆ（ｘ）＝１３ｘ３＋１２ｘ２＋６ｘ＋１的图形在点（０，１）处的切线与ｘ轴交点的坐标是（㊀㊀）（Ａ）－１６，０()．（Ｂ）（－１，０）．（Ｃ）１６，０()．（Ｄ）（１，０）．（２）若ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上皆可导，且ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ），则必有（㊀㊀）（Ａ）ｆ（－ｘ）＞ｇ（－ｘ）．（Ｂ）ｆᶄ（ｘ）＜ｇᶄ（ｘ）．（Ｃ）ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）＜ｌｉｍｘңｘ０ｇ（ｘ）．（Ｄ）ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ＜ʏｘ０ｇ（ｔ）ｄｔ．（３）若函数ｙ＝ｆ（ｘ），有ｆᶄ（ｘ０）＝１２，则当Δｘң０时，该函数在ｘ＝ｘ０处的微分ｄｙ是（㊀㊀）（Ａ）与Δｘ等价的无穷小．（Ｂ）与Δｘ同阶的无穷小．（Ｃ）比Δｘ低阶的无穷小．（Ｄ）比Δｘ高阶的无穷小．（４）由曲线ｙ＝ｓｉｎ３２ｘ（０ɤｘɤπ）与ｘ轴围成的平面图形绕ｘ轴旋转而成的旋转体的体积为（㊀㊀）（Ａ）４３．（Ｂ）４３π．（Ｃ）２３π２．（Ｄ）２３π．（５）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）是微分方程ｙᵡ－２ｙᶄ＋４ｙ＝０的一个解，且ｆ（ｘ０）＞０，ｆᶄ（ｘ０）＝０，则ｆ（ｘ）在点ｘ０处（㊀㊀）（Ａ）有极大值．（Ｂ）有极小值．（Ｃ）某邻域内单调增加．（Ｄ）某邻域内单调减少．３１９８８年真题三㊁（本题共３小题，每小题５分，满分１５分）（１）已知ｆ（ｘ）＝ｅｘ２，ｆ［φ（ｘ）］＝１－ｘ且φ（ｘ）ȡ０，求φ（ｘ）并写出它的定义域．（２）已知ｙ＝１＋ｘｅｘｙ，求ｙᶄｘ＝０，ｙᵡｘ＝０．（３）求微分方程ｙᶄ＋１ｘｙ＝１ｘ（ｘ２＋１）的通解（一般解）．四㊁（本题满分１２分）作函数ｙ＝６ｘ２－２ｘ＋４的图形，并填写下表．单调增加区间单调减少区间极值点极值凹（ɣ）区间凸（ɘ）区间拐点渐近线五㊁（本题满分８分）将长为ａ的一段铁丝截成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？六㊁（本题满分１０分）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）满足微分方程ｙᵡ－３ｙᶄ＋２ｙ＝２ｅｘ，且其图形在点（０，１）处的切线与曲线ｙ＝ｘ２－ｘ＋１在该点处的切线重合，求函数ｙ＝ｙ（ｘ）．七㊁（本题满分７分）设ｘȡ－１，求ʏｘ－１（１－ｔ）ｄｔ．八㊁（本题满分８分）设ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上有连续导数，且ｍɤｆ（ｘ）ɤＭ．（１）求ｌｉｍａң０＋１４ａ２ʏａ－ａ［ｆ（ｔ＋ａ）－ｆ（ｔ－ａ）］ｄｔ；（２）证明：１２ａʏａ－ａｆ（ｔ）ｄｔ－ｆ（ｘ）ɤＭ－ｍ（ａ＞０）．４历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９８９年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共７小题，每小题３分，满分２１分）（１）ｌｉｍｘң０ｘｃｏｔ２ｘ＝．（２）ʏπ０ｔｓｉｎｔｄｔ＝．（３）曲线ｙ＝ʏｘ０（ｔ－１）（ｔ－２）ｄｔ在点（０，０）处的切线方程是．（４）设ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２） （ｘ＋ｎ），则ｆᶄ（０）＝．（５）设ｆ（ｘ）是连续函数，且ｆ（ｘ）＝ｘ＋２ʏ１０ｆ（ｔ）ｄｔ，则ｆ（ｘ）＝．（６）设ｆ（ｘ）＝ａ＋ｂｘ２，ｘɤ０，ｓｉｎｂｘｘ，ｘ＞０{在ｘ＝０处连续，则常数ａ与ｂ应满足的关系是．（７）设ｔａｎｙ＝ｘ＋ｙ，则ｄｙ＝．二㊁（本题共５小题，每小题４分，满分２０分）（１）已知ｙ＝ａｒｃｓｉｎｅ－ｘ，求ｙᶄ．（２）求ʏｄｘｘｌｎ２ｘ．（３）求ｌｉｍｘң０（２ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）１ｘ．（４）已知ｘ＝ｌｎ（１＋ｔ２），ｙ＝ａｒｃｔａｎｔ，{求ｄｙｄｘ，ｄ２ｙｄｘ２．（５）已知ｆ（２）＝１２，ｆᶄ（２）＝０及ʏ２０ｆ（ｘ）ｄｘ＝１，求ʏ１０ｘ２ｆᵡ（２ｘ）ｄｘ．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀三㊁选择题（本题共６小题，每小题３分，满分１８分）（１）当ｘ＞０时，曲线ｙ＝ｘｓｉｎ１ｘ（㊀㊀）（Ａ）有且仅有水平渐近线．（Ｂ）有且仅有铅直渐近线．（Ｃ）既有水平渐近线，也有铅直渐近线．（Ｄ）既无水平渐近线，也无铅直渐近线．（２）若３ａ２－５ｂ＜０，则方程ｘ５＋２ａｘ３＋３ｂｘ＋４ｃ＝０（㊀㊀）（Ａ）无实根．（Ｂ）有唯一实根．（Ｃ）有三个不同实根．（Ｄ）有五个不同实根．（３）曲线ｙ＝ｃｏｓｘ(－π２ɤｘɤπ２)与ｘ轴所围成的图形，绕ｘ轴旋转一周所成的旋转体的体积为（㊀㊀）（Ａ）π２．（Ｂ）π．（Ｃ）π２２．（Ｄ）π２．５１９８９年真题（４）设两函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）都在ｘ＝ａ处取得极大值，则函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）在ｘ＝ａ处（㊀㊀）（Ａ）必取极大值．（Ｂ）必取极小值．（Ｃ）不可能取极值．（Ｄ）是否取极值不能确定．（５）微分方程ｙᵡ－ｙ＝ｅｘ＋１的一个特解应具有形式（式中ａ，ｂ为常数）（㊀㊀）（Ａ）ａｅｘ＋ｂ．（Ｂ）ａｘｅｘ＋ｂ．（Ｃ）ａｅｘ＋ｂｘ．（Ｄ）ａｘｅｘ＋ｂｘ．（６）设ｆ（ｘ）在点ｘ＝ａ的某个邻域内有定义，则ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ处可导的一个充分条件是（㊀㊀）（Ａ）ｌｉｍｈң＋ɕｈ［ｆ（ａ＋１ｈ）－ｆ（ａ）］存在．（Ｂ）ｌｉｍｈң０ｆ（ａ＋２ｈ）－ｆ（ａ＋ｈ）ｈ存在．（Ｃ）ｌｉｍｈң０ｆ（ａ＋ｈ）－ｆ（ａ－ｈ）２ｈ存在．（Ｄ）ｌｉｍｈң０ｆ（ａ）－ｆ（ａ－ｈ）ｈ存在．四㊁（本题满分６分）求微分方程ｘｙᶄ＋（１－ｘ）ｙ＝ｅ２ｘ（０＜ｘ＜＋ɕ）满足ｙ（１）＝０的特解．五㊁（本题满分７分）设ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ－ʏｘ０（ｘ－ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ，其中ｆ为连续函数，求ｆ（ｘ）．六㊁（本题满分７分）证明方程ｌｎｘ＝ｘｅ－ʏπ０１－ｃｏｓ２ｘｄｘ在区间（０，＋ɕ）内有且仅有两个不同实根．七㊁（本题满分１１分）对函数ｙ＝ｘ＋１ｘ２填写下表．单调减少区间单调增加区间极值点极值凹区间凸区间拐点渐近线八㊁（本题满分１０分）设抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ过原点，当０ɤｘɤ１时，ｙȡ０．又已知该抛物线与ｘ轴及直线ｘ＝１所围图形的面积为１３．试确定ａ，ｂ，ｃ的值，使此图形绕ｘ轴旋转一周而成的旋转体的体积Ｖ最小．６历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９９０年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）曲线ｘ＝ｃｏｓ３ｔ，ｙ＝ｓｉｎ３ｔ{上对应于ｔ＝π６处的法线方程是．（２）设ｙ＝ｅｔａｎ１ｘｓｉｎ１ｘ，则ｙᶄ＝．（３）ʏ１０ｘ１－ｘｄｘ＝．（４）下列两个积分的大小关系是：ʏ－１－２ｅ－ｘ３ｄｘʏ－１－２ｅｘ３ｄｘ．（５）设函数ｆ（ｘ）＝１，ｘɤ１，０，㊀ｘ＞１，{则函数ｆ［ｆ（ｘ）］＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）已知ｌｉｍｘңɕｘ２ｘ＋１－ａｘ－ｂ()＝０，其中ａ，ｂ是常数，则（）（Ａ）ａ＝１，ｂ＝１．（Ｂ）ａ＝－１，ｂ＝１．（Ｃ）ａ＝１，ｂ＝－１．（Ｄ）ａ＝－１，ｂ＝－１．（２）设函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上连续，则ｄʏｆ（ｘ）ｄｘ[]等于（）（Ａ）ｆ（ｘ）．（Ｂ）ｆ（ｘ）ｄｘ．（Ｃ）ｆ（ｘ）＋Ｃ．（Ｄ）ｆᶄ（ｘ）ｄｘ．（３）已知函数ｆ（ｘ）具有任意阶导数，且ｆᶄ（ｘ）＝［ｆ（ｘ）］２，则当ｎ为大于２的正整数时，ｆ（ｘ）的ｎ阶导数ｆ（ｎ）（ｘ）是（㊀）（Ａ）ｎ！［ｆ（ｘ）］ｎ＋１．（Ｂ）ｎ［ｆ（ｘ）］ｎ＋１．（Ｃ）［ｆ（ｘ）］２ｎ．（Ｄ）ｎ！［ｆ（ｘ）］２ｎ．（４）设ｆ（ｘ）是连续函数，且Ｆ（ｘ）＝ʏｅ－ｘｘｆ（ｔ）ｄｔ，则Ｆᶄ（ｘ）等于（㊀㊀）（Ａ）－ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）－ｆ（ｘ）．（Ｂ）－ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）＋ｆ（ｘ）．（Ｃ）ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）－ｆ（ｘ）．（Ｄ）ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）＋ｆ（ｘ）．（５）设Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｘ，ｘʂ０，ｆ（０），ｘ＝０，{其中ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导，ｆᶄ（０）ʂ０，ｆ（０）＝０，则ｘ＝０是Ｆ（ｘ）的（㊀㊀）（Ａ）连续点．（Ｂ）第一类间断点．（Ｃ）第二类间断点．（Ｄ）连续点或间断点不能由此确定．三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）（１）已知ｌｉｍｘңɕｘ＋ａｘ－ａ()ｘ＝９，求常数ａ．（２）求由方程２ｙ－ｘ＝（ｘ－ｙ）ｌｎ（ｘ－ｙ）所确定的函数ｙ＝ｙ（ｘ）的微分ｄｙ．７１９９０年真题（３）求曲线ｙ＝１１＋ｘ２（ｘ＞０）的拐点．（４）计算ʏｌｎｘ（１－ｘ）２ｄｘ．（５）求微分方程ｘｌｎｘｄｙ＋（ｙ－ｌｎｘ）ｄｘ＝０满足条件ｙｘ＝ｅ＝１的特解．四㊁（本题满分９分）在椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１的第一象限部分上求一点Ｐ，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小（其中ａ＞０，ｂ＞０）．五㊁（本题满分９分）证明：当ｘ＞０时，有不等式ａｒｃｔａｎｘ＋１ｘ＞π２．六㊁（本题满分９分）设ｆ（ｘ）＝ʏｘ１ｌｎｔ１＋ｔｄｔ，其中ｘ＞０，求ｆ（ｘ）＋ｆ１ｘ()．七㊁（本题满分９分）过点Ｐ（１，０）作抛物线ｙ＝ｘ－２的切线，该切线与上述抛物线及ｘ轴围成一平面图形．求此平面图形绕ｘ轴旋转一周所成旋转体的体积．八㊁（本题满分９分）求微分方程ｙᵡ＋４ｙᶄ＋４ｙ＝ｅａｘ的通解，其中ａ为实数．８历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９９１年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝ｌｎ（１＋３－ｘ），则ｄｙ＝．（２）曲线ｙ＝ｅ－ｘ２的凸区间是．（３）ʏ＋ɕ１ｌｎｘｘ２ｄｘ＝．（４）质点以速度ｔｓｉｎ（ｔ２）米／秒作直线运动，则从时刻ｔ１＝π２秒到ｔ２＝π秒内质点所经过的路程等于米．（５）ｌｉｍｘң０＋１－ｅ１ｘｘ＋ｅ１ｘ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）若曲线ｙ＝ｘ２＋ａｘ＋ｂ和２ｙ＝－１＋ｘｙ３在点（１，－１）处相切，其中ａ，ｂ是常数，则（㊀㊀）（Ａ）ａ＝０，ｂ＝－２．（Ｂ）ａ＝１，ｂ＝－３．（Ｃ）ａ＝－３，ｂ＝１．（Ｄ）ａ＝－１，ｂ＝－１．（２）设函数ｆ（ｘ）＝ｘ２，㊀０ɤｘɤ１，２－ｘ，１＜ｘɤ２，{记Ｆ（ｘ）＝ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ，０ɤｘɤ２，则（㊀㊀）（Ａ）Ｆ（ｘ）＝ｘ３３，㊀㊀㊀㊀０ɤｘɤ１，１３＋２ｘ－ｘ２２，１＜ｘɤ２．ìîíïïïï㊀㊀（Ｂ）Ｆ（ｘ）＝ｘ３３，㊀㊀㊀㊀㊀０ɤｘɤ１，－７６＋２ｘ－ｘ２２，１＜ｘɤ２．ìîíïïïï（Ｃ）Ｆ（ｘ）＝ｘ３３，㊀㊀㊀㊀０ɤｘɤ１，ｘ３３＋２ｘ－ｘ２２，１＜ｘɤ２．ìîíïïïï（Ｄ）Ｆ（ｘ）＝ｘ３３，㊀㊀０ɤｘɤ１，２ｘ－ｘ２２，１＜ｘɤ２．ìîíïïïï（３）设函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）内有定义，ｘ０ʂ０是函数ｆ（ｘ）的极大值点，则（㊀㊀）（Ａ）ｘ０必是ｆ（ｘ）的驻点．（Ｂ）－ｘ０必是－ｆ（－ｘ）的极小值点．（Ｃ）－ｘ０必是－ｆ（ｘ）的极小值点．（Ｄ）对一切ｘ都有ｆ（ｘ）ɤｆ（ｘ０）．（４）曲线ｙ＝１＋ｅ－ｘ２１－ｅ－ｘ２（㊀㊀）（Ａ）没有渐近线．（Ｂ）仅有水平渐近线．（Ｃ）仅有铅直渐近线．（Ｄ）既有水平渐近线又有铅直渐近线．（５）如图，ｘ轴上有一线密度为常数μ，长度为ｌ的细杆，若质量为ｍ的质点到杆右端的距离为ａ，已知引力系数为ｋ，则质点和细杆之间引力的大小为（㊀㊀）９１９９１年真题（Ａ）ʏ０－ｌｋｍμ（ａ－ｘ）２ｄｘ．０ｋｍμ（ａ－ｘ）２ｘ．（Ｃ）２ʏ０－ｌ２ｋｍμ（ａ＋ｘ）２ｄｘ．（Ｄ）２ʏｌ２０ｋｍμ（ａ＋ｘ）２ｄｘ．三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）{求ｄ２ｙｄｘ２．（１）设ｘ＝ｔｃｏｓｔ，ｙ＝ｔｓｉｎｔ，（２）计算ʏ４１ｄｘｘ（１＋ｘ）．（３）求ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｘ２（ｅｘ－１）．（４）求ʏｘｓｉｎ２ｘｄｘ．（５）求微分方程ｘｙᶄ＋ｙ＝ｘｅｘ满足ｙ（１）＝１的特解．四㊁（本题满分９分）利用导数证明：当ｘ＞１时，ｌｎ（１＋ｘ）ｌｎｘ＞ｘ１＋ｘ．五㊁（本题满分９分）求微分方程ｙᵡ＋ｙ＝ｘ＋ｃｏｓｘ的通解．六㊁（本题满分９分）曲线ｙ＝（ｘ－１）（ｘ－２）和ｘ轴围成一平面图形，求此平面图形绕ｙ轴旋转一周所成的旋转体的体积．七㊁（本题满分９分）如图，Ａ和Ｄ分别是曲线ｙ＝ｅｘ和ｙ＝ｅ－２ｘ上的点，ＡＢ和ＤＣ均垂直ｘ轴，且ＡＢʒＤＣ＝２ʒ１，ＡＢ＜１，求点Ｂ和Ｃ的横坐标，使梯形ＡＢＣＤ的面积最大．八㊁（本题满分９分）设函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上满足ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ－π）＋ｓｉｎｘ，且ｆ（ｘ）＝ｘ，ｘɪ［０，π）．计算ʏ３ππｆ（ｘ）ｄｘ．０１１９９２年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｘ＝ｆ（ｔ）－π，ｙ＝ｆ（ｅ３ｔ－１），{其中ｆ可导，且ｆᶄ（０）ʂ０，则ｄｙｄｘｔ＝０＝．（２）函数ｙ＝ｘ＋２ｃｏｓｘ在[０，π２]上的最大值为．（３）ｌｉｍｘң０１－１－ｘ２ｅｘ－ｃｏｓｘ＝．（４）ʏ＋ɕ１ｄｘｘ（ｘ２＋１）＝．（５）由曲线ｙ＝ｘｅｘ与直线ｙ＝ｅｘ所围成的图形的面积Ｓ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）当ｘң０时，ｘ－ｓｉｎｘ是ｘ２的（㊀㊀）（Ａ）低阶无穷小．（Ｂ）高阶无穷小．（Ｃ）等价无穷小．（Ｄ）同阶但非等价的无穷小．（２）设ｆ（ｘ）＝ｘ２，㊀㊀ｘɤ０，ｘ２＋ｘ，㊀ｘ＞０，{则（㊀㊀）（Ａ）ｆ（－ｘ）＝－ｘ２，㊀㊀㊀ｘɤ０，－（ｘ２＋ｘ），㊀ｘ＞０．{（Ｂ）ｆ（－ｘ）＝－（ｘ２＋ｘ），㊀ｘ＜０，－ｘ２，㊀㊀㊀ｘȡ０．{（Ｃ）ｆ（－ｘ）＝ｘ２，㊀㊀ｘɤ０，ｘ２－ｘ，㊀ｘ＞０．{（Ｄ）ｆ（－ｘ）＝ｘ２－ｘ，㊀ｘ＜０，ｘ２，㊀㊀ｘȡ０．{（３）当ｘң１时，函数ｘ２－１ｘ－１ｅ１ｘ－１的极限（㊀㊀）（Ａ）等于２．（Ｂ）等于０．（Ｃ）为ɕ．（Ｄ）不存在但不为ɕ．（４）设ｆ（ｘ）连续，Ｆ（ｘ）＝ʏｘ２０ｆ（ｔ２）ｄｔ，则Ｆᶄ（ｘ）等于（㊀㊀）（Ａ）ｆ（ｘ４）．㊀㊀㊀㊀（Ｂ）ｘ２ｆ（ｘ４）．㊀㊀㊀㊀（Ｃ）２ｘｆ（ｘ４）．㊀㊀㊀㊀（Ｄ）２ｘｆ（ｘ２）．（５）若ｆ（ｘ）的导函数是ｓｉｎｘ，则ｆ（ｘ）有一个原函数为（㊀㊀）（Ａ）１＋ｓｉｎｘ．（Ｂ）１－ｓｉｎｘ．（Ｃ）１＋ｃｏｓｘ．（Ｄ）１－ｃｏｓｘ．三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）（１）求ｌｉｍｘңɕ３＋ｘ６＋ｘ()ｘ－１２．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｙ－ｘｅｙ＝１所确定，求ｄ２ｙｄｘ２ｘ＝０的值．１１（３）求ʏｘ３１＋ｘ２ｄｘ．（４）求ʏπ０１－ｓｉｎｘｄｘ．（５）求微分方程（ｙ－ｘ３）ｄｘ－２ｘｄｙ＝０的通解．四㊁（本题满分９分）{求ʏ３１ｆ（ｘ－２）ｄｘ．设ｆ（ｘ）＝１＋ｘ２，㊀ｘɤ０，ｅ－ｘ，㊀㊀ｘ＞０，五㊁（本题满分９分）求微分方程ｙᵡ－３ｙᶄ＋２ｙ＝ｘｅｘ的通解．六㊁（本题满分９分）计算曲线ｙ＝ｌｎ（１－ｘ２）上相应于０ɤｘɤ１２的一段弧的长度．七㊁（本题满分９分）求曲线ｙ＝ｘ的一条切线ｌ，使该曲线与切线ｌ及直线ｘ＝０，ｘ＝２所围成的平面图形面积最小．八㊁（本题满分９分）已知ｆᵡ（ｘ）＜０，ｆ（０）＝０，证明对任何ｘ１＞０，ｘ２＞０，有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＜ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）．２１１９９３年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）ｌｉｍｘң０＋ｘｌｎｘ＝．（２）函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）＋ｅｘ－ｘｙ２＝０所确定，则ｄｙｄｘ＝．（３）设Ｆ（ｘ）＝ʏｘ１２－１ｔæèçöø÷ｄｔ（ｘ＞０），则函数Ｆ（ｘ）的单调减少区间是．（４）ʏｔａｎｘｃｏｓｘｄｘ＝．（５）已知曲线ｙ＝ｆ（ｘ）过点(０，－１２)，且其上任一点（ｘ，ｙ）处的切线斜率为ｘｌｎ（１＋ｘ２），则ｆ（ｘ）＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）当ｘң０时，变量１ｘ２ｓｉｎ１ｘ是（㊀㊀）（Ａ）无穷小．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）无穷大．（Ｃ）有界的，但不是无穷小．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）无界的，但不是无穷大．（２）设ｆ（ｘ）＝ｘ２－１ｘ－１，㊀ｘʂ１，２，㊀㊀㊀㊀ｘ＝１，{则在点ｘ＝１处函数ｆ（ｘ）（㊀㊀）（Ａ）不连续．（Ｂ）连续，但不可导．（Ｃ）可导，但导数不连续．（Ｄ）可导，且导数连续．（３）已知ｆ（ｘ）＝ｘ２，０ɤｘ＜１，１，１ɤｘɤ２，{设Ｆ（ｘ）＝ʏｘ１ｆ（ｔ）ｄｔ（０ɤｘɤ２），则Ｆ（ｘ）为（㊀㊀）（Ａ）１３ｘ３，㊀０ɤｘ＜１，ｘ，㊀㊀１ɤｘɤ２．{（Ｂ）１３ｘ３－１３，０ɤｘ＜１，ｘ，㊀㊀㊀１ɤｘɤ２．{（Ｃ）１３ｘ３，０ɤｘ＜１，ｘ－１，１ɤｘɤ２．{（Ｄ）１３ｘ３－１３，０ɤｘ＜１，ｘ－１，㊀１ɤｘɤ２．{（４）设常数ｋ＞０，函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｘｅ＋ｋ在（０，＋ɕ）内的零点个数为（㊀㊀）（Ａ）３．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）２．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｃ）１．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）０．（５）若ｆ（ｘ）＝－ｆ（－ｘ），在（０，＋ɕ）内ｆᶄ（ｘ）＞０，ｆᵡ（ｘ）＞０，则ｆ（ｘ）在（－ɕ，０）内（㊀㊀）（Ａ）ｆᶄ（ｘ）＜０，ｆᵡ（ｘ）＜０．（Ｂ）ｆᶄ（ｘ）＜０，ｆᵡ（ｘ）＞０．（Ｃ）ｆᶄ（ｘ）＞０，ｆᵡ（ｘ）＜０．（Ｄ）ｆᶄ（ｘ）＞０，ｆᵡ（ｘ）＞０．３１三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）（１）设ｙ＝ｓｉｎ［ｆ（ｘ２）］，其中ｆ具有二阶导数，求ｄ２ｙｄｘ２．（２）求ｌｉｍｘң－ɕｘ（ｘ２＋１００＋ｘ）．（３）求ʏπ４０ｘ１＋ｃｏｓ２ｘｄｘ．（４）求ʏ＋ɕ０ｘ（１＋ｘ）３ｄｘ．（５）求微分方程（ｘ２－１）ｄｙ＋（２ｘｙ－ｃｏｓｘ）ｄｘ＝０满足初值条件ｙ（０）＝１的特解．四㊁（本题满分９分）设二阶常系数线性微分方程ｙᵡ＋αｙᶄ＋βｙ＝γｅｘ的一个特解为ｙ＝ｅ２ｘ＋（１＋ｘ）ｅｘ，试确定常数α，β，γ，并求该方程的通解．五㊁（本题满分９分）设平面图形Ａ由ｘ２＋ｙ２ɤ２ｘ与ｙȡｘ所确定，求图形Ａ绕直线ｘ＝２旋转一周所得旋转体的体积．六㊁（本题满分９分）作半径为ｒ的球的外切正圆锥，问此圆锥的高ｈ为何值时，其体积Ｖ最小，并求出该最小值．七㊁（本题满分９分）设ｘ＞０，常数ａ＞ｅ．证明：（ａ＋ｘ）ａ＜ａａ＋ｘ．八㊁（本题满分９分）设ｆᶄ（ｘ）在［０，ａ］上连续，且ｆ（０）＝０，证明：ʏａ０ｆ（ｘ）ｄｘɤＭａ２２，其中Ｍ＝ｍａｘ０ɤｘɤａｆᶄ（ｘ）．４１１９９４年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）若ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ＋ｅ２ａｘ－１ｘ，ｘʂ０，ａ，㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｘ＝０{在（－ɕ，＋ɕ）上连续，则ａ＝．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由参数方程ｘ＝ｔ－ｌｎ（１＋ｔ），ｙ＝ｔ３＋ｔ２{所确定，则ｄ２ｙｄｘ２＝．（３）ｄｄｘʏｃｏｓ３ｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ()＝．（４）ʏｘ３ｅｘ２ｄｘ＝．（５）微分方程ｙｄｘ＋（ｘ２－４ｘ）ｄｙ＝０的通解为．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｌｉｍｘң０ｌｎ（１＋ｘ）－（ａｘ＋ｂｘ２）ｘ２＝２，则（㊀㊀）（Ａ）ａ＝１，ｂ＝－５２．（Ｂ）ａ＝０，ｂ＝－２．（Ｃ）ａ＝０，ｂ＝－５２．（Ｄ）ａ＝１，ｂ＝－２．（２）设ｆ（ｘ）＝２３ｘ３，ｘɤ１，ｘ２，㊀ｘ＞１，{则ｆ（ｘ）在点ｘ＝１处的（㊀㊀）（Ａ）左㊁右导数都存在．（Ｂ）左导数存在，但右导数不存在．（Ｃ）左导数不存在，但右导数存在．（Ｄ）左㊁右导数都不存在．（３）设ｙ＝ｆ（ｘ）是满足微分方程ｙᵡ＋ｙᶄ－ｅｓｉｎｘ＝０的解，且ｆᶄ（ｘ０）＝０，则ｆ（ｘ）在（㊀㊀）（Ａ）ｘ０的某个邻域内单调增加．（Ｂ）ｘ０的某个邻域内单调减少．（Ｃ）ｘ０处取得极小值．（Ｄ）ｘ０处取得极大值．（４）曲线ｙ＝ｅ１ｘ２ａｒｃｔａｎｘ２＋ｘ＋１（ｘ－１）（ｘ＋２）的渐近线有（㊀㊀）（Ａ）１条．㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）２条．㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｃ）３条．㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）４条．（５）设Ｍ＝ʏπ２－π２ｓｉｎｘ１＋ｘ２ｃｏｓ４ｘｄｘ，Ｎ＝ʏπ２－π２（ｓｉｎ３ｘ＋ｃｏｓ４ｘ）ｄｘ，Ｐ＝ʏπ２－π２（ｘ２ｓｉｎ３ｘ－ｃｏｓ４ｘ）ｄｘ，则有（㊀㊀）（Ａ）Ｎ＜Ｐ＜Ｍ．（Ｂ）Ｍ＜Ｐ＜Ｎ．（Ｃ）Ｎ＜Ｍ＜Ｐ．（Ｄ）Ｐ＜Ｍ＜Ｎ．５１三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）（１）设ｙ＝ｆ（ｘ＋ｙ），其中ｆ具有二阶导数，且其一阶导数不等于１，求ｄ２ｙｄｘ２．（２）计算ʏ１０ｘ（１－ｘ４）３２ｄｘ．（３）计算ｌｉｍｎңɕｔａｎｎπ４＋２ｎ()．（４）计算ʏｄｘｓｉｎ２ｘ＋２ｓｉｎｘ．（５）如图，设曲线方程为ｙ＝ｘ２＋１２，梯形ＯＡＢＣ的面积为Ｄ，曲边梯形ＯＡＢＣ的面积为Ｄ１，点Ａ的坐标为（ａ，０），ａ＞０．证明：ＤＤ１＜３２．四㊁（本题满分９分）设当ｘ＞０时，方程ｋｘ＋１ｘ２＝１有且仅有一个解，求ｋ的取值范围．五㊁（本题满分９分）设ｙ＝ｘ３＋４ｘ２，（１）求函数的增减区间及极值；（２）求函数图形的凹凸区间及拐点；（３）求其渐近线；（４）作出其图形．六㊁（本题满分９分）求微分方程ｙᵡ＋ａ２ｙ＝ｓｉｎｘ的通解，其中常数ａ＞０．七㊁（本题满分９分）设ｆ（ｘ）在［０，１］上连续且递减，证明：当０＜λ＜１时，ʏλ０ｆ（ｘ）ｄｘȡλʏ１０ｆ（ｘ）ｄｘ．八㊁（本题满分９分）求曲线ｙ＝３－ｘ２－１与ｘ轴围成的封闭图形绕直线ｙ＝３旋转所得的旋转体体积．６１１９９５年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝ｃｏｓ（ｘ２）ｓｉｎ２１ｘ，则ｙᶄ＝．（２）微分方程ｙᵡ＋ｙ＝－２ｘ的通解为．（３）曲线ｘ＝１＋ｔ２，ｙ＝ｔ３{在ｔ＝２处的切线方程为．（４）ｌｉｍｎңɕ１ｎ２＋ｎ＋１＋２ｎ２＋ｎ＋２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ＋ｎ()＝．（５）曲线ｙ＝ｘ２ｅ－ｘ２的渐近线方程为．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｆ（ｘ）和φ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上有定义，ｆ（ｘ）为连续函数，且ｆ（ｘ）ʂ０，φ（ｘ）有间断点，则（㊀㊀）（Ａ）φ［ｆ（ｘ）］必有间断点．（Ｂ）［φ（ｘ）］２必有间断点．（Ｃ）ｆ［φ（ｘ）］必有间断点．（Ｄ）φ（ｘ）ｆ（ｘ）必有间断点．（２）曲线ｙ＝ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）与ｘ轴所围图形的面积可表示为（㊀㊀）（Ａ）－ʏ２０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ．（Ｂ）ʏ１０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ－ʏ２１ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ．（Ｃ）－ʏ１０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ＋ʏ２１ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ．（Ｄ）ʏ２０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ．（３）设ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）内可导，且对任意ｘ１，ｘ２，当ｘ１＞ｘ２时，都有ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ２），则（㊀㊀）（Ａ）对任意ｘ，ｆᶄ（ｘ）＞０．（Ｂ）对任意ｘ，ｆᶄ（－ｘ）ɤ０．（Ｃ）函数ｆ（－ｘ）单调增加．（Ｄ）函数－ｆ（－ｘ）单调增加．（４）设函数ｆ（ｘ）在［０，１］上ｆᵡ（ｘ）＞０，则ｆᶄ（１），ｆᶄ（０），ｆ（１）－ｆ（０）或ｆ（０）－ｆ（１）的大小顺序是（㊀㊀）（Ａ）ｆᶄ（１）＞ｆᶄ（０）＞ｆ（１）－ｆ（０）．（Ｂ）ｆᶄ（１）＞ｆ（１）－ｆ（０）＞ｆᶄ（０）．（Ｃ）ｆ（１）－ｆ（０）＞ｆᶄ（１）＞ｆᶄ（０）．（Ｄ）ｆᶄ（１）＞ｆ（０）－ｆ（１）＞ｆᶄ（０）．（５）设ｆ（ｘ）可导，Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）（１＋ｓｉｎｘ）．若Ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导，则必有（㊀㊀）（Ａ）ｆ（０）＝０．（Ｂ）ｆᶄ（０）＝０．（Ｃ）ｆ（０）＋ｆᶄ（０）＝０．（Ｄ）ｆ（０）－ｆᶄ（０）＝０．７１三㊁（本题共６小题，每小题５分，满分３０分）（１）求ｌｉｍｘң０＋１－ｃｏｓｘｘ（１－ｃｏｓｘ）．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｘｅｆ（ｙ）＝ｅｙ确定，其中ｆ具有二阶导数，且ｆᶄʂ１，求ｄ２ｙｄｘ２．（３）设ｆ（ｘ２－１）＝ｌｎｘ２ｘ２－２，且ｆ［φ（ｘ）］＝ｌｎｘ，求ʏφ（ｘ）ｄｘ．（４）设ｆ（ｘ）＝ｘａｒｃｔａｎ１ｘ２，ｘʂ０，０，㊀㊀㊀ｘ＝０，{试讨论ｆᶄ（ｘ）在ｘ＝０处的连续性．（５）求摆线ｘ＝１－ｃｏｓｔ，ｙ＝ｔ－ｓｉｎｔ{一拱（０ɤｔɤ２π）的弧长Ｓ．（６）设单位质点在水平面内作直线运动，初速度ｖｔ＝０＝ｖ０．已知阻力与速度成正比（比例常数为１），问ｔ为多少时此质点的速度为ｖ０３？并求到此时刻该质点所经过的路程．四㊁（本题满分８分）求函数ｆ（ｘ）＝ʏｘ２０（２－ｔ）ｅ－ｔｄｔ的最大值和最小值．五㊁（本题满分８分）设ｙ＝ｅｘ是微分方程ｘｙᶄ＋ｐ（ｘ）ｙ＝ｘ的一个解，求此微分方程满足条件ｙｘ＝ｌｎ２＝０的特解．六㊁（本题满分８分）如图，设曲线Ｌ的方程为ｙ＝ｆ（ｘ），且ｙᵡ＞０．又ＭＴ，ＭＰ分别为该曲线在点Ｍ（ｘ０，ｙ０）处的切线和法线．已知线段ＭＰ的长度为（１＋ｙᶄ２０）３２ｙᵡ０（其中ｙᶄ０＝ｙᶄ（ｘ０），ｙᵡ０＝ｙᵡ（ｘ０）），试推导出点Ｐ（ξ，η）的坐标表达式．七㊁（本题满分８分）设ｆ（ｘ）＝ʏｘ０ｓｉｎｔπ－ｔｄｔ，计算ʏπ０ｆ（ｘ）ｄｘ．八㊁（本题满分８分）设ｌｉｍｘң０ｆ（ｘ）ｘ＝１，且ｆᵡ（ｘ）＞０，证明ｆ（ｘ）ȡｘ．８１１９９６年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝（ｘ＋ｅ－ｘ２）２３，则ｙᶄｘ＝０＝．（２）ʏ１－１（ｘ＋１－ｘ２）２ｄｘ＝．（３）微分方程ｙᵡ＋２ｙᶄ＋５ｙ＝０的通解为．（４）ｌｉｍｘңɕｘｓｉｎｌｎ１＋３ｘ()－ｓｉｎｌｎ１＋１ｘ()[]＝．（５）由曲线ｙ＝ｘ＋１ｘ，ｘ＝２及ｙ＝２所围图形的面积Ｓ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设当ｘң０时，ｅｘ－（ａｘ２＋ｂｘ＋１）是比ｘ２高阶的无穷小，则（㊀㊀）（Ａ）ａ＝１２，ｂ＝１．㊀㊀（Ｂ）ａ＝１，ｂ＝１．㊀㊀（Ｃ）ａ＝－１２，ｂ＝－１．㊀㊀（Ｄ）ａ＝－１，ｂ＝１．（２）设函数ｆ（ｘ）在区间（－δ，δ）内有定义，若当ｘɪ（－δ，δ）时，恒有ｆ（ｘ）ɤｘ２，则ｘ＝０必是ｆ（ｘ）的（㊀㊀）（Ａ）间断点．（Ｂ）连续而不可导的点．（Ｃ）可导的点，且ｆᶄ（０）＝０．（Ｄ）可导的点，且ｆᶄ（０）ʂ０．（３）设ｆ（ｘ）处处可导，则（㊀㊀）（Ａ）当ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ）＝－ɕ，必有ｌｉｍｘң－ɕｆᶄ（ｘ）＝－ɕ．（Ｂ）当ｌｉｍｘң－ɕｆᶄ（ｘ）＝－ɕ，必有ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ）＝－ɕ．（Ｃ）当ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ）＝＋ɕ，必有ｌｉｍｘң＋ɕｆᶄ（ｘ）＝＋ɕ．（Ｄ）当ｌｉｍｘң＋ɕｆᶄ（ｘ）＝＋ɕ，必有ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ）＝＋ɕ．（４）在区间（－ɕ，＋ɕ）内，方程ｘ１４＋ｘ１２－ｃｏｓｘ＝０（㊀㊀）（Ａ）无实根．（Ｂ）有且仅有一个实根．（Ｃ）有且仅有两个实根．（Ｄ）有无穷多个实根．（５）设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，且ｇ（ｘ）＜ｆ（ｘ）＜ｍ（ｍ为常数），由曲线ｙ＝ｇ（ｘ），ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ＝ａ及ｘ＝ｂ所围平面图形绕直线ｙ＝ｍ旋转而成的旋转体体积为（㊀㊀）（Ａ）ʏｂａπ［２ｍ－ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ．（Ｂ）ʏｂａπ［２ｍ－ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ．（Ｃ）ʏｂａπ［ｍ－ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ．（Ｄ）ʏｂａπ［ｍ－ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ．９１三㊁（本题共６小题，每小题５分，满分３０分）（１）计算ʏｌｎ２０１－ｅ－２ｘｄｘ．（２）求ʏｄｘ１＋ｓｉｎｘ．（３）设ｘ＝ʏｔ０ｆ（ｕ２）ｄｕ，ｙ＝［ｆ（ｔ２）］２，{其中ｆ（ｕ）具有二阶导数，且ｆ（ｕ）ʂ０，求ｄ２ｙｄｘ２．（４）求函数ｆ（ｘ）＝１－ｘ１＋ｘ在点ｘ＝０处带拉格朗日型余项的ｎ阶泰勒展开式．（５）求微分方程ｙᵡ＋ｙᶄ＝ｘ２的通解．（６）设有一正椭圆柱体，其底面的长㊁短轴分别为２ａ，２ｂ，用过此柱体底面的短轴且与底面成α角０＜α＜π２()的平面截此柱体，得一楔形体（如图），求此楔形体的体积Ｖ．四㊁（本题满分８分）计算不定积分ʏａｒｃｔａｎｘｘ２（１＋ｘ２）ｄｘ．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀五㊁（本题满分８分）设函数ｆ（ｘ）＝１－２ｘ２，ｘ＜－１，㊀㊀ｘ３，㊀㊀－１ɤｘɤ２，１２ｘ－１６，ｘ＞２．㊀㊀ìîíïïï（１）写出ｆ（ｘ）的反函数ｇ（ｘ）的表达式；（２）ｇ（ｘ）是否有间断点㊁不可导点，若有，指出这些点．六㊁（本题满分８分）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程２ｙ３－２ｙ２＋２ｘｙ－ｘ２＝１所确定，试求ｙ＝ｙ（ｘ）的驻点，并判别它是否为极值点．七㊁（本题满分８分）设ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上具有二阶导数，且ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝０，ｆᶄ（ａ）ｆᶄ（ｂ）＞０．证明：存在ξɪ（ａ，ｂ）和ηɪ（ａ，ｂ），使ｆ（ξ）＝０及ｆᵡ（η）＝０．八㊁（本题满分８分）设ｆ（ｘ）为连续函数，（１）求初值问题ｙᶄ＋ａｙ＝ｆ（ｘ），ｙｘ＝０＝０{的解ｙ（ｘ），其中ａ是正常数；（２）若ｆ（ｘ）ɤｋ（ｋ为常数），证明：当ｘȡ０时，有ｙ（ｘ）ɤｋａ（１－ｅ－ａｘ）．０２１９９７年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）已知函数ｆ（ｘ）＝（ｃｏｓｘ）ｘ－２，ｘʂ０，ａ，㊀㊀㊀ｘ＝０{在ｘ＝０处连续，则ａ＝．（２）设ｙ＝ｌｎ１－ｘ１＋ｘ２，则ｙᵡｘ＝０＝．（３）ʏｄｘｘ（４－ｘ）＝．（４）ʏ＋ɕ０ｄｘｘ２＋４ｘ＋８＝．（５）已知向量组α１＝（１，２，－１，１），α２＝（２，０，ｔ，０），α３＝（０，－４，５，－２）的秩为２，则ｔ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｘң０时，ｅｔａｎｘ－ｅｘ与ｘｎ是同阶无穷小，则ｎ为（㊀㊀）（Ａ）１．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）２．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｃ）３．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）４．（２）设在闭区间［ａ，ｂ］上ｆ（ｘ）＞０，ｆᶄ（ｘ）＜０，ｆᵡ（ｘ）＞０．记Ｓ１＝ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，Ｓ２＝ｆ（ｂ）（ｂ－ａ），Ｓ３＝１２［ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）］（ｂ－ａ），则（㊀㊀）（Ａ）Ｓ１＜Ｓ２＜Ｓ３．（Ｂ）Ｓ２＜Ｓ１＜Ｓ３．（Ｃ）Ｓ３＜Ｓ１＜Ｓ２．（Ｄ）Ｓ２＜Ｓ３＜Ｓ１．（３）已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）对一切ｘ满足ｘｆᵡ（ｘ）＋３ｘ［ｆᶄ（ｘ）］２＝１－ｅ－ｘ，若ｆᶄ（ｘ０）＝０（ｘ０ʂ０），则（㊀㊀）（Ａ）ｆ（ｘ０）是ｆ（ｘ）的极大值．（Ｂ）ｆ（ｘ０）是ｆ（ｘ）的极小值．（Ｃ）（ｘ０，ｆ（ｘ０））是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点．（Ｄ）ｆ（ｘ０）不是ｆ（ｘ）的极值，（ｘ０，ｆ（ｘ０））也不是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点．（４）设Ｆ（ｘ）＝ʏｘ＋２πｘｅｓｉｎｔｓｉｎｔｄｔ，则Ｆ（ｘ）（㊀㊀）（Ａ）为正常数．（Ｂ）为负常数．（Ｃ）恒为零．（Ｄ）不为常数．（５）设函数ｇ（ｘ）＝２－ｘ，㊀ｘɤ０，ｘ＋２，㊀ｘ＞０，{ｆ（ｘ）＝ｘ２，㊀ｘ＜０，－ｘ，㊀ｘȡ０，{则ｇ［ｆ（ｘ）］＝（㊀㊀）（Ａ）２＋ｘ２，㊀ｘ＜０，２－ｘ，㊀㊀ｘȡ０．{（Ｂ）２－ｘ２，㊀ｘ＜０，２＋ｘ，㊀㊀ｘȡ０．{（Ｃ）２－ｘ２，㊀ｘ＜０，２－ｘ，㊀㊀ｘȡ０．{（Ｄ）２＋ｘ２，㊀ｘ＜０，２＋ｘ，㊀㊀ｘȡ０．{三㊁（本题共６小题，每小题５分，满分３０分）（１）求极限ｌｉｍｘң－ɕ４ｘ２＋ｘ－１＋ｘ＋１ｘ２＋ｓｉｎｘ．１２（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由ｘ＝ａｒｃｔａｎｔ，２ｙ－ｔｙ２＋ｅｔ＝５{所确定，求ｄｙｄｘ．（３）计算ʏｅ２ｘ（ｔａｎｘ＋１）２ｄｘ．（４）求微分方程（３ｘ２＋２ｘｙ－ｙ２）ｄｘ＋（ｘ２－２ｘｙ）ｄｙ＝０的通解．（５）已知ｙ１＝ｘｅｘ＋ｅ２ｘ，ｙ２＝ｘｅｘ＋ｅ－ｘ，ｙ３＝ｘｅｘ＋ｅ２ｘ－ｅ－ｘ是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．（６）已知矩阵Ａ＝１１－１０１１００－１æèççöø÷÷，且Ａ２－ＡＢ＝Ｅ，其中Ｅ是３阶单位矩阵，求矩阵Ｂ．四㊁（本题满分８分）λ取何值时，方程组２ｘ１＋λｘ２－ｘ３＝１，λｘ１－ｘ２＋ｘ３＝２，４ｘ１＋５ｘ２－５ｘ３＝－１ìîíïïï无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解．五㊁（本题满分８分）设曲线Ｌ的极坐标方程为ｒ＝ｒ（θ），Ｍ（ｒ，θ）为Ｌ上任一点，Ｍ０（２，０）为Ｌ上一定点．若极径ＯＭ０，ＯＭ与曲线Ｌ所围成的曲边扇形面积值等于Ｌ上Ｍ０，Ｍ两点间弧长值的一半，求曲线Ｌ的方程．六㊁（本题满分８分）设函数ｆ（ｘ）在闭区间［０，１］上连续，在开区间（０，１）内大于零，并满足ｘｆᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋３ａ２ｘ２（ａ为常数），又曲线ｙ＝ｆ（ｘ）与ｘ＝１，ｙ＝０所围的图形Ｓ的面积值为２，求函数ｙ＝ｆ（ｘ），并问ａ为何值时，图形Ｓ绕ｘ轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．七㊁（本题满分８分）设函数ｆ（ｘ）连续，φ（ｘ）＝ʏ１０ｆ（ｘｔ）ｄｔ，且ｌｉｍｘң０ｆ（ｘ）ｘ＝Ａ（Ａ为常数），求φᶄ（ｘ）并讨论φᶄ（ｘ）在ｘ＝０处的连续性．八㊁（本题满分８分）就ｋ的不同取值情况，确定方程ｘ－π２ｓｉｎｘ＝ｋ在开区间(０，π２)内根的个数，并证明你的结论．２２１９９８年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）ｌｉｍｘң０１＋ｘ＋１－ｘ－２ｘ２＝．（２）曲线ｙ＝－ｘ３＋ｘ２＋２ｘ与ｘ轴所围成的图形的面积Ａ＝．（３）ʏｌｎ（ｓｉｎｘ）ｓｉｎ２ｘｄｘ＝．（４）设ｆ（ｘ）连续，则ｄｄｘʏｘ０ｔｆ（ｘ２－ｔ２）ｄｔ＝．（５）曲线ｙ＝ｘｌｎｅ＋１ｘ()（ｘ＞０）的渐近线方程为．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设数列｛ｘｎ｝与｛ｙｎ｝满足ｌｉｍｎңɕｘｎｙｎ＝０，则下列断言正确的是（㊀㊀）（Ａ）若｛ｘｎ｝发散，则｛ｙｎ｝必发散．（Ｂ）若｛ｘｎ｝无界，则｛ｙｎ｝必有界．（Ｃ）若｛ｘｎ｝有界，则｛ｙｎ｝必为无穷小．（Ｄ）若１ｘｎ{}为无穷小，则｛ｙｎ｝必为无穷小．（２）函数ｆ（ｘ）＝（ｘ２－ｘ－２）ｘ３－ｘ的不可导点的个数为（㊀㊀）（Ａ）０．（Ｂ）１．（Ｃ）２．（Ｄ）３．（３）已知函数ｙ＝ｙ（ｘ）在任意点ｘ处的增量Δｙ＝ｙΔｘ１＋ｘ２＋α，其中α是比Δｘ（Δｘң０）高阶的无穷小，且ｙ（０）＝π，则ｙ（１）＝（㊀㊀）（Ａ）πｅπ４．（Ｂ）２π．（Ｃ）π．（Ｄ）ｅπ４．（４）设函数ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ的某个邻域内连续，且ｆ（ａ）为其极大值，则存在δ＞０，当ｘɪ（ａ－δ，ａ＋δ）时，必有（㊀㊀）（Ａ）（ｘ－ａ）［ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）］ȡ０．（Ｂ）（ｘ－ａ）［ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）］ɤ０．（Ｃ）ｌｉｍｔңａｆ（ｔ）－ｆ（ｘ）（ｔ－ｘ）２ȡ０（ｘʂａ）．（Ｄ）ｌｉｍｔңａｆ（ｔ）－ｆ（ｘ）（ｔ－ｘ）２ɤ０（ｘʂａ）．（５）设Ａ是任一ｎ（ｎȡ３）阶方阵，Ａ∗是其伴随矩阵，又ｋ为常数，且ｋʂ０，ʃ１，则必有（ｋＡ）∗＝（㊀㊀）（Ａ）ｋＡ∗．（Ｂ）ｋｎ－１Ａ∗．（Ｃ）ｋｎＡ∗．（Ｄ）ｋ－１Ａ∗．三㊁（本题满分５分）求函数ｆ（ｘ）＝（１＋ｘ）ｘｔａｎ（ｘ－π４）在区间（０，２π）内的间断点，并判断其类型．３２四㊁（本题满分５分）确定常数ａ，ｂ，ｃ的值，使ｌｉｍｘң０ａｘ－ｓｉｎｘʏｘｂｌｎ（１＋ｔ３）ｔｄｔ＝ｃ（ｃʂ０）．五㊁（本题满分５分）利用代换ｙ＝ｕｃｏｓｘ将方程ｙᵡｃｏｓｘ－２ｙᶄｓｉｎｘ＋３ｙｃｏｓｘ＝ｅｘ化简，并求出原方程的通解．六㊁（本题满分６分）计算积分ʏ３２１２ｄｘｘ－ｘ２．七㊁（本题满分６分）从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度ｙ（从海平面算起）与下沉速度ｖ之间的函数关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始垂直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为ｍ，体积为Ｂ，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为ｋ（ｋ＞０）．试建立ｙ与ｖ所满足的微分方程，并求出函数关系式ｙ＝ｙ（ｖ）．八㊁（本题满分８分）设ｙ＝ｆ（ｘ）是区间［０，１］上的任一非负连续函数．（１）试证存在ｘ０ɪ（０，１），使得在区间［０，ｘ０］上以ｆ（ｘ０）为高的矩形面积，等于在区间［ｘ０，１］上以ｙ＝ｆ（ｘ）为曲边的曲边梯形面积；（２）又设ｆ（ｘ）在区间（０，１）内可导，且ｆᶄ（ｘ）＞－２ｆ（ｘ）ｘ，证明（１）中的ｘ０是惟一的．九㊁（本题满分８分）设有曲线ｙ＝ｘ－１，过原点作其切线，求由此曲线㊁切线及ｘ轴围成的平面图形绕ｘ轴旋转一周所得到的旋转体的表面积．十㊁（本题满分８分）设ｙ＝ｙ（ｘ）是一向上凸的连续曲线，其上任意一点（ｘ，ｙ）处的曲率为１１＋ｙᶄ２，且此曲线上点（０，１）处的切线方程为ｙ＝ｘ＋１，求该曲线的方程，并求函数ｙ＝ｙ（ｘ）的极值．十一㊁（本题满分８分）设ｘɪ（０，１），证明：（１）（１＋ｘ）ｌｎ２（１＋ｘ）＜ｘ２；４２（２）１ｌｎ２－１＜１ｌｎ（１＋ｘ）－１ｘ＜１２．十二㊁（本题满分５分）设（２Ｅ－Ｃ－１Ｂ）ＡＴ＝Ｃ－１，其中Ｅ是４阶单位矩阵，ＡＴ是４阶矩阵Ａ的转置矩阵，Ｂ＝１２－３－２０１２－３００１２０００１æèççççöø÷÷÷÷，㊀㊀Ｃ＝１㊀２㊀０㊀１０㊀１㊀２㊀００㊀０㊀１㊀２０㊀０㊀０㊀１æèççççöø÷÷÷÷．求Ａ．十三㊁（本题满分６分）已知α１＝（１，４，０，２）Ｔ，α２＝（２，７，１，３）Ｔ，α３＝（０，１，－１，ａ）Ｔ，β＝（３，１０，ｂ，４）Ｔ，问：（１）ａ，ｂ取何值时，β不能由α１，α２，α３线性表示？（２）ａ，ｂ取何值时，β可由α１，α２，α３线性表示？并写出此表示式．５２１９９９年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）曲线ｘ＝ｅｔｓｉｎ２ｔｙ＝ｅｔｃｏｓｔ{在点（０，１）处的法线方程为．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｌｎ（ｘ２＋ｙ）＝ｘ３ｙ＋ｓｉｎｘ确定，则ｄｙｄｘｘ＝０＝㊀㊀㊀．（３）ʏｘ＋５ｘ２－６ｘ＋１３ｄｘ＝．（４）函数ｙ＝ｘ２１－ｘ２在区间１２，３２[]上的平均值为．（５）微分方程ｙᵡ－４ｙ＝ｅ２ｘ的通解为．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｆ（ｘ）＝１－ｃｏｓｘｘ，ｘ＞０，ｘ２ｇ（ｘ），ｘɤ０，{其中ｇ（ｘ）是有界函数，则ｆ（ｘ）在ｘ＝０处（㊀㊀）（Ａ）极限不存在．（Ｂ）极限存在，但不连续．（Ｃ）连续，但不可导．（Ｄ）可导．（２）设α（ｘ）＝ʏ５ｘ０ｓｉｎｔｔｄｔ，β（ｘ）＝ʏｓｉｎｘ０（１＋ｔ）１ｔｄｔ，则当ｘң０时，α（ｘ）是β（ｘ）的（㊀㊀）（Ａ）高阶无穷小．（Ｂ）低阶无穷小．（Ｃ）同阶但不等价的无穷小．（Ｄ）等价无穷小．（３）设ｆ（ｘ）是连续函数，Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）的原函数，则（㊀㊀）（Ａ）当ｆ（ｘ）是奇函数时，Ｆ（ｘ）必是偶函数．（Ｂ）当ｆ（ｘ）是偶函数时，Ｆ（ｘ）必是奇函数．（Ｃ）当ｆ（ｘ）是周期函数时，Ｆ（ｘ）必是周期函数．（Ｄ）当ｆ（ｘ）是单调增函数时，Ｆ（ｘ）必是单调增函数．（４） 对任意给定的εɪ（０，１），总存在正整数Ｎ，当ｎȡＮ时，恒有ｘｎ－ａɤ２ε 是数列｛ｘｎ｝收敛于ａ的（㊀㊀）（Ａ）充分条件但非必要条件．（Ｂ）必要条件但非充分条件．（Ｃ）充分必要条件．（Ｄ）既非充分条件又非必要条件．（５）记行列式ｘ－２ｘ－１ｘ－２ｘ－３２ｘ－２２ｘ－１２ｘ－２２ｘ－３３ｘ－３３ｘ－２４ｘ－５３ｘ－５４ｘ４ｘ－３５ｘ－７４ｘ－３为ｆ（ｘ），则方程ｆ（ｘ）＝０的根的个数为（㊀㊀）（Ａ）１．㊀㊀（Ｂ）２．㊀㊀（Ｃ）３．㊀㊀（Ｄ）４．６２三㊁（本题满分５分）求ｌｉｍｘң０１＋ｔａｎｘ－１＋ｓｉｎｘｘｌｎ（１＋ｘ）－ｘ２．四㊁（本题满分６分）计算ʏ＋ɕ１ａｒｃｔａｎｘｘ２ｄｘ．五㊁（本题满分７分）求初值问题（ｙ＋ｘ２＋ｙ２）ｄｘ－ｘｄｙ＝０（ｘ＞０），ｙｘ＝１＝０{的解．六㊁（本题满分７分）为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深３０ｍ，抓斗自重４００Ｎ，缆绳每米重５０Ｎ，抓斗抓起的污泥重２０００Ｎ，提升速度为３ｍ／ｓ．在提升过程中，污泥以２０Ｎ／ｓ的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：①１Ｎˑ１ｍ＝１Ｊ；ｍ，Ｎ，ｓ，Ｊ分别表示米，牛顿，秒，焦耳．②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计．）七㊁（本题满分８分）已知函数ｙ＝ｘ３（ｘ－１）２，求（１）函数的增减区间及极值；（２）函数图形的凹凸区间及拐点；（３）函数图形的渐近线．八㊁（本题满分８分）设函数ｆ（ｘ）在闭区间［－１，１］上具有三阶连续导数，且ｆ（－１）＝０，ｆ（１）＝１，ｆᶄ（０）＝０，证明：在开区间（－１，１）内至少存在一点ξ，使ｆ‴（ξ）＝３．九㊁（本题满分８分）设函数ｙ（ｘ）（ｘȡ０）二阶可导，且ｙᶄ（ｘ）＞０，ｙ（０）＝１．过曲线ｙ＝ｙ（ｘ）上任意一点Ｐ（ｘ，ｙ）作该曲线的切线及ｘ轴的垂线，上述两直线与ｘ轴所围成的三角形的面积记为Ｓ１，区间［０，ｘ］上以ｙ＝ｙ（ｘ）为曲边的曲边梯形面积记为Ｓ２，并设２Ｓ１－Ｓ２恒为１，求此曲线ｙ＝ｙ（ｘ）的方程．７２十㊁（本题满分７分）设ｆ（ｘ）是区间［０，＋ɕ）上单调减少且非负的连续函数，ａｎ＝ ｎｋ＝１ｆ（ｋ）－ʏｎ１ｆ（ｘ）ｄｘ（ｎ＝１，２， ），证明数列｛ａｎ｝的极限存在．十一㊁（本题满分６分）设矩阵Ａ＝１１－１－１１１１－１１æèççöø÷÷，矩阵Ｘ满足Ａ∗Ｘ＝Ａ－１＋２Ｘ，其中Ａ∗是Ａ的伴随矩阵，求矩阵Ｘ．十二㊁（本题满分８分）设向量组α１＝（１，１，１，３）Ｔ，α２＝（－１，－３，５，１）Ｔ，α３＝（３，２，－１，ｐ＋２）Ｔ，α４＝（－２，－６，１０，ｐ）Ｔ．（１）ｐ为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量α＝（４，１，６，１０）Ｔ用α１，α２，α３，α４线性表示；（２）ｐ为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组．８２２０００年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）ｌｉｍｘң０ａｒｃｔａｎｘ－ｘｌｎ（１＋２ｘ３）＝．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程２ｘｙ＝ｘ＋ｙ所确定，则ｄｙｘ＝０＝．（３）ʏ＋ɕ２ｄｘ（ｘ＋７）ｘ－２＝．（４）曲线ｙ＝（２ｘ－１）ｅ１ｘ的斜渐近线方程为．（５）设Ａ＝１０００－２３０００－４５０００－６７æèççççöø÷÷÷÷，Ｅ为４阶单位矩阵，且Ｂ＝（Ｅ＋Ａ）－１（Ｅ－Ａ），则（Ｅ＋Ｂ）－１＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设函数ｆ（ｘ）＝ｘａ＋ｅｂｘ在（－ɕ，＋ɕ）内连续，且ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ）＝０，则常数ａ，ｂ满足（㊀㊀）（Ａ）ａ＜０，ｂ＜０．（Ｂ）ａ＞０，ｂ＞０．（Ｃ）ａɤ０，ｂ＞０．（Ｄ）ａȡ０，ｂ＜０．（２）设函数ｆ（ｘ）满足关系式ｆᵡ（ｘ）＋［ｆᶄ（ｘ）］２＝ｘ，且ｆᶄ（０）＝０，则（㊀㊀）（Ａ）ｆ（０）是ｆ（ｘ）的极大值．（Ｂ）ｆ（０）是ｆ（ｘ）的极小值．（Ｃ）点（０，ｆ（０））是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点．（Ｄ）ｆ（０）不是ｆ（ｘ）的极值，点（０，ｆ（０））也不是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点．（３）设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）是大于零的可导函数，且ｆᶄ（ｘ）ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＜０，则当ａ＜ｘ＜ｂ时，有（㊀㊀）（Ａ）ｆ（ｘ）ｇ（ｂ）＞ｆ（ｂ）ｇ（ｘ）．（Ｂ）ｆ（ｘ）ｇ（ａ）＞ｆ（ａ）ｇ（ｘ）．（Ｃ）ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＞ｆ（ｂ）ｇ（ｂ）．（Ｄ）ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＞ｆ（ａ）ｇ（ａ）．（４）若ｌｉｍｘң０ｓｉｎ６ｘ＋ｘｆ（ｘ）ｘ３＝０，则ｌｉｍｘң０６＋ｆ（ｘ）ｘ２为（㊀㊀）（Ａ）０．㊀㊀（Ｂ）６．㊀㊀（Ｃ）３６．㊀㊀（Ｄ）ɕ．（５）具有特解ｙ１＝ｅ－ｘ，ｙ２＝２ｘｅ－ｘ，ｙ３＝３ｅｘ的３阶常系数齐次线性微分方程是（㊀㊀）（Ａ）ｙ‴－ｙᵡ－ｙᶄ＋ｙ＝０．（Ｂ）ｙ‴＋ｙᵡ－ｙᶄ－ｙ＝０．（Ｃ）ｙ‴－６ｙᵡ＋１１ｙᶄ－６ｙ＝０．（Ｄ）ｙ‴－２ｙᵡ－ｙᶄ＋２ｙ＝０．三㊁（本题满分５分）设ｆ（ｌｎｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）ｘ，计算ʏｆ（ｘ）ｄｘ．９２四㊁（本题满分５分）设ｘＯｙ平面上有正方形Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）０ɤｘɤ１，０ɤｙɤ１｝及直线ｌ：ｘ＋ｙ＝ｔ（ｔȡ０）．若Ｓ（ｔ）表示正方形Ｄ位于直线ｌ左下方部分的面积，试求ʏｘ０Ｓ（ｔ）ｄｔ（ｘȡ０）．五㊁（本题满分５分）求函数ｆ（ｘ）＝ｘ２ｌｎ（１＋ｘ）在ｘ＝０处的ｎ阶导数ｆ（ｎ）（０）（ｎȡ３）．六㊁（本题满分６分）设函数Ｓ（ｘ）＝ʏｘ０ｃｏｓｔｄｔ，（１）当ｎ为正整数，且ｎπɤｘ＜（ｎ＋１）π时，证明：２ｎɤＳ（ｘ）＜２（ｎ＋１）；（２）求ｌｉｍｘң＋ɕＳ（ｘ）ｘ．七㊁（本题满分７分）某湖泊的水量为Ｖ，每年排入湖泊内含污染物Ａ的污水量为Ｖ６，流入湖泊内不含Ａ的水量为Ｖ６，流出湖泊的水量为Ｖ３．已知１９９９年底湖中Ａ的含量为５ｍ０，超过国家规定指标．为了治理污染，从２０００年初起，限定排入湖泊中含Ａ污水的浓度不超过ｍ０Ｖ．问至多需经过多少年，湖泊中污染物Ａ的含量才可降至ｍ０以内？（注：设湖水中Ａ的浓度是均匀的）．八㊁（本题满分６分）设函数ｆ（ｘ）在［０，π］上连续，且ʏπ０ｆ（ｘ）ｄｘ＝０，ʏπ０ｆ（ｘ）ｃｏｓｘｄｘ＝０．试证明：在（０，π）内至少存在两个不同的点ξ１，ξ２，使ｆ（ξ１）＝ｆ（ξ２）＝０．九㊁（本题满分７分）已知ｆ（ｘ）是周期为５的连续函数，它在ｘ＝０的某个邻域内满足关系式ｆ（１＋ｓｉｎｘ）－３ｆ（１－ｓｉｎｘ）＝８ｘ＋α（ｘ），其中α（ｘ）是当ｘң０时比ｘ高阶的无穷小，且ｆ（ｘ）在ｘ＝１处可导，求曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（６，ｆ（６））处的切线方程．十㊁（本题满分８分）设曲线ｙ＝ａｘ２（ａ＞０，ｘȡ０）与ｙ＝１－ｘ２交于点Ａ，过坐标原点Ｏ和点Ａ的直线与曲线ｙ＝ａｘ２围成一平面图形．问ａ为何值时，该图形绕ｘ轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？十一㊁（本题满分８分）函数ｆ（ｘ）在［０，＋ɕ）上可导，ｆ（０）＝１，且满足等式０３历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）ｆᶄ（ｘ）＋ｆ（ｘ）－１ｘ＋１ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ＝０．（１）求导数ｆᶄ（ｘ）；（２）证明：当ｘȡ０时，不等式ｅ－ｘɤｆ（ｘ）ɤ１成立．十二㊁（本题满分６分）设α＝１２１æèççöø÷÷，β＝１１２０æèççççöø÷÷÷÷，γ＝００８æèççöø÷÷，Ａ＝αβＴ，Ｂ＝βＴα，其中βＴ是β的转置，求解方程２Ｂ２Ａ２ｘ＝Ａ４ｘ＋Ｂ４ｘ＋γ．十三㊁（本题满分７分）已知向量组β１＝０１－１æèççöø÷÷，β２＝ａ２１æèççöø÷÷，β３＝ｂ１０æèççöø÷÷与向量组α１＝１２－３æèççöø÷÷，α２＝３０１æèççöø÷÷，α３＝９６－７æèççöø÷÷具有相同的秩，且β３可由α１，α２，α３线性表示，求ａ，ｂ的值．１３２０００年真题２００１年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）ｌｉｍｘң１３－ｘ－１＋ｘｘ２＋ｘ－２＝．（２）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）由方程ｅ２ｘ＋ｙ－ｃｏｓ（ｘｙ）＝ｅ－１所确定，则曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（０，１）处的法线方程为．（３）ʏπ２－π２（ｘ３＋ｓｉｎ２ｘ）ｃｏｓ２ｘｄｘ＝．（４）过点(１２，０)且满足关系式ｙᶄａｒｃｓｉｎｘ＋ｙ１－ｘ２＝１的曲线方程为．（５）设方程组ａ㊀１㊀１１㊀ａ㊀１１㊀１㊀ａæèççöø÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝１１－２æèççöø÷÷有无穷多解，则ａ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｆ（ｘ）＝１，㊀ｘɤ１，０，㊀ｘ＞１，{则ｆ｛ｆ［ｆ（ｘ）］｝等于（㊀㊀）（Ａ）０．㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）１．㊀㊀㊀㊀㊀（Ｃ）１，㊀ｘɤ１，０，㊀ｘ＞１．{㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）０，㊀ｘɤ１，１，㊀ｘ＞１．{（２）设当ｘң０时，（１－ｃｏｓｘ）ｌｎ（１＋ｘ２）是比ｘｓｉｎｘｎ高阶的无穷小，ｘｓｉｎｘｎ是比ｅｘ２－１高阶的无穷小，则正整数ｎ等于（㊀㊀）（Ａ）１．（Ｂ）２．（Ｃ）３．（Ｄ）４．（３）曲线ｙ＝（ｘ－１）２（ｘ－３）２的拐点个数为（㊀㊀）（Ａ）０．（Ｂ）１．（Ｃ）２．（Ｄ）３．（４）已知函数ｆ（ｘ）在区间（１－δ，１＋δ）内具有二阶导数，ｆᶄ（ｘ）严格单调减少，且ｆ（１）＝ｆᶄ（１）＝１，则（㊀㊀）（Ａ）在（１－δ，１）和（１，１＋δ）内均有ｆ（ｘ）＜ｘ．（Ｂ）在（１－δ，１）和（１，１＋δ）内均有ｆ（ｘ）＞ｘ．（Ｃ）在（１－δ，１）内，ｆ（ｘ）＜ｘ，在（１，１＋δ）内，ｆ（ｘ）＞ｘ．（Ｄ）在（１－δ，１）内，ｆ（ｘ）＞ｘ，在（１，１＋δ）内，ｆ（ｘ）＜ｘ．（５）已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）在其定义域内可导，它的图形如右图所示，则其导函数ｙ＝ｆᶄ（ｘ）的图形为（㊀㊀）２３历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）三㊁（本题满分６分）求ʏｄｘ（２ｘ２＋１）ｘ２＋１．四㊁（本题满分７分）求极限ｌｉｍｔңｘｓｉｎｔｓｉｎｘ()ｘｓｉｎｔ－ｓｉｎｘ，记此极限为ｆ（ｘ），求函数ｆ（ｘ）的间断点并指出其类型．五㊁（本题满分７分）设ρ＝ρ（ｘ）是抛物线ｙ＝ｘ上任一点Ｍ（ｘ，ｙ）（ｘȡ１）处的曲率半径，ｓ＝ｓ（ｘ）是该抛物线上介于点Ａ（１，１）与Ｍ之间的弧长，计算３ρｄ２ρｄｓ２－ｄρｄｓ()２的值．（在直角坐标系下曲率公式为Ｋ＝ｙᵡ（１＋ｙᶄ２）３２．）六㊁（本题满分７分）设函数ｆ（ｘ）在［０，＋ɕ）上可导，ｆ（０）＝０，且其反函数为ｇ（ｘ）．若ʏｆ（ｘ）０ｇ（ｔ）ｄｔ＝ｘ２ｅｘ，求ｆ（ｘ）．七㊁（本题满分７分）设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）满足ｆᶄ（ｘ）＝ｇ（ｘ），ｇᶄ（ｘ）＝２ｅｘ－ｆ（ｘ），且ｆ（０）＝０，ｇ（０）＝２，求ʏπ０ｇ（ｘ）１＋ｘ－ｆ（ｘ）（１＋ｘ）２[]ｄｘ．八㊁（本题满分９分）设Ｌ是一条平面曲线，其上任意一点Ｐ（ｘ，ｙ）（ｘ＞０）到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在ｙ轴上的截距，且Ｌ经过点(１２，０)．（１）试求曲线Ｌ的方程；（２）求Ｌ位于第一象限部分的一条切线，使该切线与Ｌ以及两坐标轴所围图形的面积最小．九㊁（本题满分７分）一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积Ｓ成正比，比例常数Ｋ＞０．假设在融化过程３３２００１年真题。
[考研类试卷]考研数学二(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编1.doc
（B）必要条件但非充分条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分条件又非必要条件
8 (1998年试题，二)设数列xn满足 xnyn=0，则下列断言正确的是( )．
（A）若xn发散，则yn必发散
（B）若xn无界，则yn必有界
（C）若xn有界，则yn必为无穷小
（D）若 为无穷小，则yn必为无穷小
[考研类试卷]考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编1
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (2005年试题，二)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“ ”表示“M的充分必要条件是N”，则必有( )。
（A）F(x)是偶函数 f(x)是奇函数
（B）F(x)是奇函数 (x)是偶函数
（A）充分必要条件
（B）充分非必要条件
（C）必要非充分条件
（D）非充分也非必要条件
6 (2003年试题，二)设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且 =∞，则必有( )。
（A）ann对任意n成立
（B）bnn对任意n成立
（C）极限 ancn不存在
（D）极限 bncn不存在
7 (1999年试题，二)“对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n≥N时，恒有｜xn一a｜≤2ε”是数列{xn}收敛于a的( )．
35 (2002年试题，一)
36 (1999年试题，十)设f(x)是区间[0，+∞)上单调减少且非负的连续函数， 证明数列{an}的极限存在．
9 (2002年试题，二)设y=y(x)是二阶常系数微分方程yn+py'+qy=e3x满足初始条件y(0)=y'(0)=0的特解，则当x→0时，函数 的极限( )．
考研数学年真题下载
真题一定要成套的练习。
历年真题从10往前做，先前做李永乐400做真题填空选择都要做到400那么顺手。
2011年考研数学必备——1996年到2010年——1 5年考研数学真题（数1、数2、数3、数4）大汇总——免费超值下载2010年全国硕士研究生入学考试数学一试题2010年全国硕士研究生入学考试数学二试题2010年全国硕士研究生入学考试数学三试题2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题题2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2007年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题题2005年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2005年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2004年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题题2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2003年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2002年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题2001年全国硕士研究生入学考试数学一试题2001年全国硕士研究生入学考试数学二试题2001年全国硕士研究生入学考试数学三试题2000年全国硕士研究生入学考试数学一试题2000年全国硕士研究生入学考试数学二试题2000年全国硕士研究生入学考试数学三试题2000年全国硕士研究生入学考试数学四试题1999年全国硕士研究生入学考试数学一试题1999年全国硕士研究生入学考试数学二试题1999年全国硕士研究生入学考试数学三试题1999年全国硕士研究生入学考试数学四试题1998年全国硕士研究生入学考试数学一试题1998年全国硕士研究生入学考试数学二试题1998年全国硕士研究生入学考试数学三试题1998年全国硕士研究生入学考试数学四试题1997年全国硕士研究生入学考试数学一试题1997年全国硕士研究生入学考试数学二试题1997年全国硕士研究生入学考试数学三试题1997年全国硕士研究生入学考试数学四试题1996年全国硕士研究生入学考试数学二试题1996年全国硕士研究生入学考试数学三试题1996年全国硕士研究生入学考试数学四试题。
2009年数学二试题 考研数学真题及解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）函数3()sin x x f x nx-=与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）无穷多个（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（） （A ）11,6a b ==-（B ）11,6a b == （C ）11,6a b =-=-（D ）11,6a b =-= （3）设函数(,)z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点（0，0）（） （A ）不是(,)f x y 的连续点 （B ）不是(,)f x y 的极值点 （C ）是(,)f x y 的极大值点（D ）是(,)f x y 的极小值点（4）设函数(,)f x y 连续，则222411(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰=（）（A ）2411(,)ydx f x y dy -⎰⎰（B ）241(,)xx dx f x y dy -⎰⎰（C ）2411(,)ydx f x y dx -⎰⎰（D ）221(,)ydx f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点（1，1）的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间（1，2）内（）（A ）有极值点，无零点 （B ）无极值点，有零点（C ）有极值点，有零点（D ）无极值点，无零点（6）设函数()y f x =在区间[-1,3]上的图形为则函数0()()xF x f t dt =⎰为（）（7）设Ａ、B 均为2阶矩阵，,A B **分别为A 、B 的伴随矩阵。
若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（） （A ）0320B A**⎛⎫⎪⎝⎭ （B ）0230B A**⎛⎫⎪⎝⎭ （C ）0320A B**⎛⎫⎪⎝⎭ （D ）0230A B**⎛⎫⎪⎝⎭（8）设A ，P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且T P A Ｐ＝100010002 ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭，若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T Q AQ 为（）（Ａ）2101 ⎛⎫ ⎪ 1 0 ⎪ ⎪0 0 2⎝⎭ （Ｂ）11012000 ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 2⎝⎭ （Ｃ）20001 ⎛⎫ ⎪ 0 ⎪ ⎪0 0 2⎝⎭ （Ｄ）100020002 ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭二、填空题：9-14 小题，每小题 4分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。
考研数学二历年真题2004-2012
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++ ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设2sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是( )(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰( )(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ . (11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+<. (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<. (21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++= n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.(22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2，(I) 求实数a 的值；(II) 求正交变换x Qy =将f 化为标准形.2011年全国硕士研究生入学统一考试一、 选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。