高中数学-平面向量专题
第一部分：平面对量的概念及线性运算
一.基础学问 自主学习
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有 又有 的量；向量的大小叫做向量的 (或称 ) 平面对量是自由向量
零向量 长度为 的向量；其方向是随意的 记作0
单位向量 长度等于 的
向量 非零向量a的单位向量为±a|a|
平行向量 方向 或 的非零向量 0与任一向量 或共线 共线向量
的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度 且方向 的向量 0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何
意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|.
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向 ；
当λ<0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb.
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的 条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
二.难点正本 疑点清源
1．向量的两要素
向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．
2．向量平行与直线平行的区分
向量平行包括向量共线(或重合)的状况，而直线平行不包括共线的状况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必需说明这两条直线不重合．
三．基础自测
1．化简OP→－QP→＋MS→－MQ→的结果等于________．
2．下列命题：①平行向量肯定相等；②不相等的向量肯定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；
④相等向量肯定共线．其中不正确命题的序号是_______．
3．在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b.若点D满意BD→＝2DC→，则AD→＝________(用b、c表示)．
4．如图，向量a－b等于( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
5．已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则肯定共线的三点是 ( )
A．A、B、D B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D
四．题型分类 深度剖析
题型一 平面对量的有关概念
例1 给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确的序号是________．
变式训练1 推断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．
(1)若向量a与b同向，且|a|＝|b|，则a>b；
(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)若|a|＝|b|，且a与b方向相同，则a＝b；
(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与随意向量平行；
(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；
(6)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；
(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
(8)任一向量与它的相反向量不相等
题型二 平面对量的线性运算
例2 如图，以向量OA→＝a，OB→＝b为边作▱OADB，BM→＝13BC→，CN→＝13CD→，用a、b表示OM→、ON→、MN→.
变式训练2 △ABC中，AD→＝23AB→，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设AB→＝a，AC→＝b，用a、b表示向量AE→、BC→、DE→、DN→、AM→、AN→.
题型三 平面对量的共线问题
例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB→＝2e1－8e2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2.
(1)求证：A、B、D三点共线；
(2)若BF→＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，求k的值．
变式训练3 设两个非零向量a与b不共线，
(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
五．思想与方法
5．用方程思想解决平面对量的线性运算问题
试题：如图所示，在△ABO中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC相交于点M，设OA→＝a，OB→＝b.试用a和b表示向量OM→.
六．思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．将向量用其它向量(特殊是基向量)线性表示，是非常重要的技能，也是向量坐标形式的基础．
2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如AB→∥CD→且AB与CD不共线，则AB∥CD；若AB→∥BC→，则A、B、C三点共线．
失误与防范
1．解决向量的概念问题要留意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满意条件．要特殊留意零向量的特殊性．
2．在利用向量减法时，易弄错两向量的依次，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．
七．课后练习
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，肯定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③λa＝0 (λ为实数)，则λ必为零；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若A、B、C、D是平面内随意四点，给出下列式子：AB＋CD→＝BC＋DA→；②AC＋BD→=ADBC；③AC－BD→＝DC→+AB.其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3. 已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满意CBAC2=0，则OC等于( ) A.OA2－OB→
B.OA＋2OB→
C.OA32－13OB→ D.OA31＋23OB→
4.如图所示，在△ABC中，BD＝12DC→，AE→＝3ED→，若AB＝a，AC＝b，则BE→等于( )
A.13a＋13b B．－12a＋14b
C.12a＋14b D．－13a＋13b
5. 在四边形ABCD中，AB＝a＋2b,BC＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，则四边形ABCD的形态是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
6. AB＝8，AC＝5，则BC的取值范围是__________．
7．给出下列命题：
①向量AB的长度与向量BA→的长度与向量BA→的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有公共终点的向量，肯定是共线向量；
⑤向量AB与向量CD→与向量CD→是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．
其中不正确的个数为____________．
8.如图，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N.若AB＝mAM→，
AC＝nAN→，则m＋n的值为________．
9．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.
10.在正六边形ABCDEF中，AB＝a，AF→＝b，求ADAC,，AE→.
11.如图所示，△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．
12.已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点.
（1）求GA＋GB→＋GO→；
(2)若PQ过△ABO的重心G,且AO＝a, OB→＝b，OP→＝ma，OQ→＝nb，求证：1m＋1n＝3.
其次部分：平面对量的基本定理及坐标表示
一．基础学问 自主学习
1．两个向量的夹角
定义 范围
已知两个 向量a，b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)
向量夹角θ的范围是 ,
当θ＝ 时,两向量共线，当θ＝ 时，两向量垂直，记作a⊥b.
2.平面对量基本定理及坐标表示
(1)平面对量基本定理 假如e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的随意向量a， 一对实数λ1，λ2，使a＝ .其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内全部向量的一组 ．
(2)平面对量的正交分解及坐标表示
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解．
(3)平面对量的坐标表示
①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面对量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，把有序数对 叫做向量a的坐标，记作a＝ ，其中 叫做a在x轴上的坐标， 叫做a在y轴上的坐标．
②设OA→＝xi＋yj，则向量OA→的坐标(x，y)就是 的坐标，即若OA→＝(x，y)，则A点坐标为 ，反之亦成立．(O是坐标原点)
3．平面对量坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝ ，a－b＝ ，
λa＝ ，|a|＝ .
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝ ，|AB→|＝ .
4．平面对量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔ .
二．难点正本 疑点清源
1．基底的不唯一性
只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内随意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
2．向量坐标与点的坐标的区分
在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA→＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应留意其表示形式的区分，如点A(x，y)，向量a＝OA→＝(x，y)．
平面向量及空间向量高考数学专题训练
平面向量及空间向量高考数学专题训练（四）
一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分）
1．设1(acos,3), (bsin)3,,且a∥b， 则锐角为（ ）
A. 6 B. 4 C. 3 D. 125
2．已知点)0,2(A、)0,3(B，动点2),(xPBPAyxP满足，则点P的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
3．已知向量值是相互垂直，则与且kbabakba2),2,0,1(),0,1,1(（ ）
A. 1 B. 51 C. 53 D. 57
4．已知ba,是非零向量且满足的夹角是与则babababa,)2(,)2(（ ）
A. 6 B. 3 C. 32 D. 65
5．将函数y=sinx的图像上各点按向量a（2,3）平移，再将所得图像上各点的横坐标变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（ ）
A.y=sin(2x+3)+2 B.y=sin(2x－3)－2 C.y=(321x)－2 D.y=sin(321x)+2
6．若A,B两点的坐标是A(3cos,3sin,1),B(2,cos2,sin1),|AB|的取值范围是( )
A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25]
7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(a方向取线段长|AB|=34,则点B的坐标为（ ）
A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17)
高中数学平面向量专题复习(含例题练习)
1 专题八 平面向量
一、复习要求
一．向量有关概念：
1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：
2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；
3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是||ABAB)；
4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。
提醒：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,
但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有0)；
④三点ABC、、共线 ABAC、共线；
6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。如
下列命题：（1）若ab，则ab。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。（5）若,abbc，则ac。（6）若//,//abbc，则//ac。其中正确的是_______
二、向量的表示
1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；
2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；
3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向2 相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为,axiyjxy，称,xy为向量a的坐标，a＝,xy叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1＋2e2。如
平面向量专题
专题：平面向量
一．共线定理与等和线
1.共线定理：对于共面向量,,OAOBOC
,OCxOAyOB
，则A、B、C三点共线充
要条件是1xy．
2.等和线：对于不共线向量,OAOB
,若OCxOAyOB
，则
（1）点C在直线AB外侧（不含点O一侧）的充要条件是1xy．
（2）点C在直线AB内侧（含点O一侧）的充要条件是1xy．
2典例分析：
1．已知A，B，C为直线l上的不同三点，O为l外一点，存在实数,0,0mnmn，使得OC94mOAnOB成立，则49
mn的最小值为（）
A．36B．72C．144D．169
2．如图，点C是半径为1的扇形圆弧AB上一点，0OAOB，1OAOB
，若
OCOAOBxy
，则2xy的最小值是（）A．5B．1C．2D．5
3．如图，在三角形OPQ中，M、N分别是边OP、OQ的中点，点R在直线MN上，
且(,)ORxOPyOQxyR
，则代数式221
2xyxy的最小值为（）A．2
4B．3
2C．2
4D．3
2
4．已知ABC为等边三角形，动点P在以BC为直径的圆上，若APABAC
，则
2的最大值为（）A．1
2B．313C．5
2D．322
5．已知RtABC，3AB，4BC，5CA，P为ABC外接圆上的一动点，且
APxAByAC
，则xy的最大值是（）A．5
4B．4
3C．17
6D．5
3
6.在矩形ABCD中，2,1ADAB，点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若满足
ADABAP，则的最大值为
A．3B．22C．5D．2二．奔驰定理与三角形四心
点O是ABC所在平面上且与,,ABC不重合的一点，若0,0xOAyOBzOCxyz，则||||OABABCSzSxyz，||||OBCABCSxSxyz，||||OCAABCSy
平面向量(全部)
1 平面向量
一.基本知识点
1、在表示两向量的夹角和两条直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？①两直线所成的角的取值范围依次是.2,0②向量的夹角的取值范围是[0，π],并且分同向,反向,垂直三种特殊情况.
2、你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量——既有大小又有方向的量，（）向量的模——有向线段的长度，2||a
，）单位向量（1||30a （）零向量，4000||，（）相等的向量长度相等方向相同5ab
在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）共线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。
babba∥存在唯一实数，使()0
（7）向量的加、减法：
3、平面向量基本定理（向量的分解定理）：为该平面任一向量，的非零向量，是平面内的两个不共线，aee21则存在唯一的实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量12112212aeeee的一组基底。
4、向量的坐标表示设，，，axybxy1122，则，，，abxyyyxyxy11121122，
axyxy1111，，
若，，，AxyBxy1122,则，ABxxyy2121，
||ABxxyyAB212212，、两点间距离公式
5、平面向量的数量积
（）··叫做向量与的数量积（或内积）。1ababab||||cos为向量与的夹角，，ab0
数量积的几何意义：ababab·等于与在的方向上的射影的乘积。||||cos
（2）数量积的运算法则
2 ①··abba②··()abcacbc
③·，·，abxyxyxxyy11221212
高中数学专题学习：平面向量及其应用
1 第10讲 平面向量及其应用
【课标解读】
（1）向量的概念、向量的基本定理，有关向量概念和向量的基本定理的命题，主要以选择题或填空题为
主，考查的难度属中档类型.
（2）向量的运算，命题形式主要以填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公
式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合.
（3）向量与三角函数、向量与解析几何的综合问题.命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量
与解三角形、向量与解析几何的的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题.
向量与三角函数的综合问题是经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了试题的覆盖
面的要求.
【知识梳理
】
1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．
2．向量的表示：①用有向线段表示；用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方
向．②用字母a、b（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：
AB；
3．向量的长度：向量的大小称为向量的长度（或称为模）
，记作
AB
．
4．几组特殊的向量：①零向量：长度为零方向任意的向量叫做零向量，记作0或
0
．
②单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．
③平行向量（即共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．记作a
b∥
．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．若
a
与
b
相等，记作ab
．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量．向量
a
的相反向量记为a
．
5．向量加法：①规定：0aa
，
0aaaa
，即0ABBA
；
②向量加法的三角形法则③向量加法的平行四边形法则：
6．向量加法的运算律：交换律：abba
；结合律：
abcabc
．
7．向量减法：三角形法则即ab
表示从向量
b
的终点指向被减向量
a
的终点的向量．
2 8．向量的数乘的定义：一般的，实数
与向量
高中数学复习专题平面向量
平面向量（专题复习）
一．基本概念
1.向量： ．
2.平行向量： ．
3.相等向量：ba ；相反向量：ba
4.两个非零向量a、b的夹角：作 =a； =b； 叫做a与b的夹角。
5.坐标表示：i、j分别是 ，若a
则 叫做a的坐标。
6.向量a在b方向上的投影：设为a、b的夹角，则
一． 基本运算：
运算 向量形式 坐标形式：11,yxa；22,yxb
加法 三角形法则(作图)：
BCAB
平行四边形法则(作图)：
ABAD a+b=
减法 作图：
ACAB a-b=
数乘 a是一个 ，a
方向：
a
数量积 a·b= a·b=
三、基本定理、公式：
1． 平面向量基本定理：若1e与2e ，则对平面内的任意一个向量a， 一对实数1、2；使得a____________________
2． 向量的模：a＝ ＝ ；
a与b夹角：cos_________ = _____________
3． 向量平行：a∥b_________________ __________________ ；
向量垂直：a⊥b_________________ _________________
4． 中点坐标公式：_________________
四、复习题
高二数学平面向量的实际背景及基本概念3
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
三明九中：张智勇
一、三维目标
1、知识与技能
（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；
并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系
（3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
2、过程与方法
引导发现法与讨论相结合。这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。
3、情感目标与价值观
通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。
二、教学重点及难点
1重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等
2难点：向量的概念和共线向量的概念
三、教学过程与操作设计
环节 内容设置 师生互动
创
设
情
境
力也是物理中常见的量，同样满足既有大小，又有方向，从以下四个图示进行说明（课件展示）
从本章引言，我们知道位移是既有大小，又有方向的量，可用有向线段表示。 （*引申出有向线段的概念）
具有方向的线段就叫做有向线段。
有向线段的三要素：起点、方向、长度。
思考：还能举出物理学中的这样的一些实例吗？
从中归纳数学中向量的定义。 情境设置符合学生的认知规律；从具体到抽象，从特殊到一般，从学生熟悉的经验和感兴趣的问题开始，从而顺利地将学生引导到向量的学习中来。
生：观察、思考、总结、概括得出结论，并相互进行交流。
1、向量定义：我们把既有大小又有方向的量叫向量
设问：时间、路程、功是向量吗？速度与加速度呢？
从而归纳出数量与向量的相关概念：数量只有大小，是一个代数量；向量有方向，大小，双重性. 并类比得到数量的定义。
高中数学平面向量专题经典练习题(附答案)高中数学平面向量专题经典练习题(附答案)
高中数学平面向量专题经典练习题（附答案）
一.单选题（共10小题，每题5分，共50分）
1.设
，是两个非零向量，下列说法正确的是（）
A.
若
，则
B.
若
，则
C.
若，则存在实数
，使得
D.若存在实数
，使得
，则
2.如图，在平行四边形
中，
分别是的中点，则图中所示
的向量中与平行的有（）A.个B.个C.个D.个
3.下列说法中正确的是（）
A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B.
向量
与向量的长度相等
C.向量就是有向线段
D.零向量是没有方向的4.
数轴上点
分别对应
则向量的长度是（）A.B.C.D.
5.
已知向量
与
的方向相反，且，若点的坐标为，则点的坐标为（）
A.
B.
C.
，
D.
6.
已知为两个单位向量，则下列叙述正确的是（）
A.
B.
若
，则
C.
或
D.
若
，
，则
7.
已知点
，
，
，
，则与向量同向的单位向量为（）
A.
B.
C.
D.
8.
已知抛物线的焦点为，准线为是上一点是直线与抛物线
的一个交点，若
，则（）
A.
B.C.D.9.下列结论中正确的是（）
若
且
，则；
若
，则
且；
若
与
方向相同且
，则；
若
，则
与
方向相反且.
A.
B.
C.
D.
10.已知直线
经过点
和点，则直线的单位方向向量为（）
A.,
B.
C.
D.
二.填空题（共10小题，每题5分，共50分）
11.
已知向量
，，若
与方向相反，则等于.
12.
若向量
满足
，则.13.等腰直角中，点是斜边
边上一点，若，则的面积为.
14.在中，，是
的中点，，则，.
15.在
中，内角所对的边分别为则.
16.在中，内角
的对边分别是
若则.
17.在
中，，是
中点，
，试用表示
为
，若，则的最大值为.
18.如图，已知在矩形
中
设则
.19.
已知向量
满足
则.
20.已知向量与
的夹角为则.
三.解答题（共5小题，每题10分，共50分）
21.
已知与的夹角为.
(1)
若求；
(2)若与垂直，求.
22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴
建立极坐标系是曲线：上任一点，点
满足.设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的直角坐标方程；
(2)已知曲线向上平移
个单位后得到曲线设曲线与直线：
平面向量在高中数学中的应用
平面向量在高中数学中的应用
“平面向量”的引入不仅丰富了高中数学的内容，也突出了向量作为数学工具的重要性。在实际运用中，向量跟其他很多数学知识都紧密联系在一起，比如向量与函数的联系、向量与三角函数的联系等。本文对平面向量在高中数学中的运用进行了总结，并就当前在平面向量的综合运用的过程中存在的问题，提出相应的解决对策，以供我们互相交流、学习。
标签：平面向量；综合运用；解决办法
我们在高中数学知识学习期间，由于数学具有理论性与逻辑性的特点，不能更好的对其进行掌握，因此，我们应当合理学习平面向量相关知识，掌握相关解题技巧，以便于完成当前的学习任务。
1 平面向量的运用
平面向量因其特殊性，常常会与其他内容结合作为选择题和填空题在考试中出现。但我们却往往因为没有彻底掌握平面向量的知识，或是对其他内容的知识点没有理解到位，常常在做有关平面向量的综合运用的问题时感到束手无策。但其实总结起来，平面向量通常与下面三个内容进行综合：
1.1解决三角函数问题
三角函数是我们高中数学学习中的重点知识内容，其中蕴含较多的等差数列或是等比数列等知识，而平面向量知识中，也存在很多此类知识，能够更好的对三角函数知识性质进行分析，将各类已知条件与知识等融合在一起，创建坐标运算解题机制，以便于提升自身的解题能力。在解决三角函数问题的过程中，我们可以利用平面向量的方式，对各类数量知识进行计算，保证可以更好的对各类知识进行衔接，形成知识交汇体系，保证在学习知识的过程中，能够结合当前实际情况解决问题。同时，在解决三角函数问题期间，还要创建现代化学习机制，形成相关学习体系，完成定量致死的应用任务。我们在解决三角函数问题期间，还可以根据平面向量知识特点与应用要求等，建立现代化的知识体系，系统化的对各类知识进行学习，确保可以达到预期的学习目的。
1.2对函数与不等式相关问题进行解决
在我们高中数学知识学习期间，函数与不等式属于重点内容，虽然平面向量知识从表面来看属于独立的个体，但是，如果将其与函数知识汇总，可以产生相互联系的关系。因此，我们在解决问题期间，可以尝试将平面向量作为主要的解题工具，对函数问题与不等式问题进行分析，使用合理的方式对问题进行转化，以便于提升不等式问题的解决效果。如问题“求解函数的相关值域”。在解决这个问题的时候，我们就可以利用向量知识对其进行处理。
高中数学平面向量专题向量计算法则的运用,数形结合比较清晰
高中数学平面向量专题向量计算法则的运用，数形结合比较清晰
引言
平面向量是高中数学中重要的概念之一，它在几何和代数中都有广泛的应用。向量计算法则是解决向量运算的基本工具，结合数学与图形可以使计算更加直观、清晰。
向量加法和减法
向量的加法是指将两个向量进行相加，得到一个新的向量。向量的减法是指将一个向量与另一个向量相减，得到一个新的向量。
向量加法的运算法则是使用平行四边形法则进行计算。通过将两个向量首尾相接构成平行四边形，新的向量就是对角线。
向量减法可以通过将减数取负后与被减数进行向量加法来实现。
数量积和向量积
数量积（点积）是指两个向量相乘后取得的一个标量。向量积（叉积）是指两个向量相乘后得到的一个新的向量。
数量积的运算法则是将两个向量对应分量的乘积相加。
向量积的运算法则涉及到向量的长度和夹角的三角函数，需要进行更复杂的计算。
数形结合的应用 向量计算法则在数形结合上有着广泛的应用。
在几何中，可以利用向量计算法则求解线段的中点、线段的长度、线段的垂直平分线等。
在代数中，可以用向量计算法则解决线性方程组、判断向量的共线性与垂直性等。
通过数形结合，向量计算法则使得数学问题更具直观性，易于理解和解决。