高中数学平面向量专题复习(知识要点+六大考试题型详解)
平面向量六大题型知识点：1．向量的有关概念（1）定义：即有大小，又有方向的量叫做向量． （2）表示：a AB(,)OA x y =2121(,)AB x x y y =--（3）向量的长度（模）：a 或AB 的模记作||a 或||AB ． （4）几种特殊向量： 定义备注0，方向任意||aa 即为单位向量记为ab ∥，规定0与任意向量共线a b =，相等一定平行，平行不一定相等a b =-，AB BA =-2．向量的运算 运算几何表示字母表示坐标表示加法a b AB BC AC +=+=三角形法则 类比“位移之和”首尾相连，首位连11(,)a x y =，22(,)b x y = 1212(,)a b x x y y +=++a b AB AD AC +=+= 平行四边形法则 类比“力的合成” 共起点，对角线减法a b AB AC CB -=-= 共起点，后指前11(,)a x y =，22(,)b x y = 1212(,)a b x x y y -=--数乘长度变为||λ倍0λ>，方向相同0λ<，方向相反 0λ=，0a λ=11(,)a x y =12(,)a x x λλλ=数量积||||cos a b a b θ⋅=11(,)a x y =，22(,)b x y =1212a b x x y y ⋅=+3．其他概念（1）平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+，我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（2）投影：||cos (||cos )a b θθ叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影．常用投影计算公式：||cos ||||||a b a a a b θ⋅==||a bb ⋅． （3）向量不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+（等号在向量a ，b 共线时取得）．4．重要结论ABC 中，的中点ABC 的重心(1)PC PA PB λλ=+-1()2AD AB AC =+GB GC ++5．常用性质设向量a 与b 夹角为θ，11(,)a x y =，22(,)b x y =．a b λ= ||||cos 0a b a b θ⋅==12a b x x ⋅=+2||a a = 21||a x y =+cos ||||a ba b θ⋅=122211cos x x x yθ+=+重要考试题型：题型一：向量概念1给出如下命题： ①若||||a b =，则a b =；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a b =，b c =，则a c =； ④a b =的充要条件是||||a b =且a b ∥； ⑤若a b ∥，b c ∥，则a c ∥． 其中正确的命题的序号是______．解析：①两向量模相等，方向不一定相同，所以a b =不正确；②AB DC =说明AB 和DC 两条边即平行又相等，可以推出四边形为平行四边形，反之也成立，是充要条件，正确；③两个向量相等说明它们大小相等，方向相同，故满足此条件的都是相等向量，正确； ④两向量模相等，且平行，不能说明它们方向相同，故错误；⑤若0b =，根据0与任意向量平行的性质，则a b ∥且b c ∥，但a 与c 之间不一定平行，不排除0时，向量之间没有平行的传递性，故错误；主要考察向量定义，表示、以及特殊向量，属于基础题型，需要注意的是： （1）向量二要素（大小、方向）（2）加模后变为实数，去掉了方向的要素，可以比较大小 （3）0与任意向量共线（没有平行传递性） （4）共线向量方向相同或相反 （5）相反向量长度相等AD BC =；AB DC =且||||AB AD =．AD BC =说明AD 和BC 两条边相等且平行，所以为平行四边形；AB DC =说明AB 和DC 相等且平行，为平行四边形，|||AB AD =说明两临边相等，为菱形．答案：（1）平行四边形 （2给出如下命题：①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有公共起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；AB 与向量CD 是共线向量，则点其中正确的命题个数是（ B ．2 C ．3AB 和BA 长度相等，方向相反，正确；②当为零向量时，不满足条件，错误；③起点相同，长度和方向也相同，终点一定相同，正确；④终点相同，起点未必相同，不一定是共线向量，错误；⑤共线向量即平行向量，它们的起点和终点不一定在同一直线上，错误；答案：C题型二：向量四则运算1如图：正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（ ） A ．0 B ．BE C ．AD D ．CF解析：由于BA DE =，故BA CD EF CD DE EF CF ++=++=． 答案：D2根如图所示，已知正六边形ABCDEF ，O 是它的中心，若BA =a ，BC =b ，试用a ，b 将向量OE ，BF ，BD ，FD 表示出来.解析：OE BO a b ==+；2BF BA AF BA BO a b =+=+=+；2BD BC CD BC BO a b =+=+=+；FD AC BC BA b a ==-=-．答案： a b +，2a b +，2a b +，b a -3AB AC BC --=（ ）A ．2BCB ．0C ．2BC -D ．2AC主要考察向量的加法、减法、数乘、数量积四种运算法则，包含纯字母运算、纯坐标运算、字母结合图形运算、坐标结合图形运算等形式，属于基础题型，需要注意： （1）向量没有位置概念，相等向量的有向线段等价 （2）熟练掌握加减法的口诀，可以直接计算的就不必画图 （3）注意数形结合思想的运用，加减法的对角线性质 （4）字母运算和坐标运算自成一体，也可相互转化AC AB BD CD --+=（ A ．0 B ．DA BC AB 0AC AB BD CD BC BD CD DC CD --+=-+=+=． A OA OC OB CO --+-=_____．解析：原式等于 ()()OB OA CO CO AB -+-=． AB如图，D ，E ，F 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ） A ．0AD BE CF ++= B ．0BD CF DF -+= C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --=AD FE =，BE EC =，则0AD BE CF FE EC CF ++=++=，A 正确．A在ABCD 中，BC CD BA -+=（ ） A ．BC B ．AD C ．AB D ．AC在平行四边形中，BA 和CD 是相反向，则0CD BA -+=，故0BC BC +=．答案：A8若O 是ABC 所在平面内一点，且满足||2|OB OC OB OC OA -=+-，则的形状为_______．2()()OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+，ABC为直角三角(2,4)a=，(1,1)b=-，则a b-=（）B．(5,9)．(3,7)D(4,8)(1,1)(5,7)a b-=--=．已知四边形ABCD2BC AD=，则顶点D的坐标为（(,AD x=2(24)(4,3)BC AD x y==-=，即72y=．(1,3)a=-，(2,4)b=-，若表示向量a，32b a-，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（1)-．(1,1)-4,6)D．(4,6)-(,)c x y=，能构成三角432230a b a c a b c+-+=++=，即2,4)(,6)(6,12)(4,6)(0,0)x y x y-+-+--++=，即40x-+=，，解得4x=，(2,3)BA=(4,7)CA=BC=（2,4)-B．(3,4)C．(6,10)(4,7)AC=--，(2,3)(4,BC BA AC=+=+-ABC 中，|5BC =，|8CA =，BC CA ⋅．解析：设BC 和CA 的夹角为θ，则120θ=︒，因为||5BC =，|8CA =，则||||cos 58cos120BC CA BC CA θ⋅==⨯答案：20-14已知a ，b 为单位向量，其夹角为)a b b -⋅=（ ） A ．1- B D ．2 221)22||||cos60||2102a b b a b b a b b -⋅=⋅-=︒-=⨯-=．已知两个单位向量a ，b 夹角为60︒，(1)c ta t b =+-，若0b c ⋅=，则2(1)cos6010b c ta b t b t t ⋅=⋅+-=︒+-=，解得2t =． 2设(1,2)a =-，(3,4)b =-，(3,2)c =，则(2)a b c +⋅=（ ） A ．(15,12)- B ．0 C ． D ．11- 2(1,2)2(3,4)5,6)a b +=-+-=-，(2)(5,6)(3,2)a b c +⋅=-⋅C已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为3π，若向量1122b e e =-，21234b e e =+，则12b b ⋅=______．2212121211221(2)(34)32832862b b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=-⋅-=-⨯-=-． 6-题型三：平面向量基本定理1在ABCD 中，AB a =，AD b =，3AN NC =，M 为BC 的中点，则MN =_____．解析：33()44AN AC a b ==+，1122AM AB BM AB AD a b =+=+=+， 所以1144MN AN AM a b =-=-+．答案：1144a b -+2如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM c =，AN d =，试用c ，d 表示AB ，AD ．解析：设AB a =，AD b =，则1212c AM AD DM b a d AN AB BN a b⎧==+=+⎪⎪⎨⎪==+=+⎪⎩，解得2(2)32(2)3a d c b c d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以4233AB d c =-，4233AD c d =-． 答案：4233AB d c =-，4233AD c d =-主要考察用两个不共线向量表示一个向量，即12a e e λμ=+，大部分是围绕求基底的系数出题，属简单题型，但考查方式较为灵活，需要注意：（1）有些目标向量用已知基底不太好构造，可以用相对熟悉的基底（例如平行四边形的临边）来表示已知基底，再用熟悉的基底来表示目标向量（2）有些题目会用到几何图形比例问题，注意观察图形中的三角形相似 （3）在求一些长度问题时，可能会用到解三角形内容在梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB CD =，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB AM AN λμ=+，则λμ+=______．2AB AN NB AN CN AN CA AN AN CM MA =+=+=++=++=14AN AB AM --，所以8455AB AN AM =-，即45λ=-，85μ=，故λ+答案：454在ABC 中，AB c =，AC b =，若点D 满足2BD DC =，则AD =（ A ．2133b c + B ．5233c b - C ．13b c - D ．1233b c + 22221()()()33333AD AB BD AB BC AB AC AB c b c b c =+=+=+-=+-=+．答案：A在平行四边形ABCD 中，AC 与DB 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 延长线与CD 交于F ，若AC a =，BD b =，则AF =（ ） A ．1142a b + B ．2133a b +C ．1124a b + D ．1233a b +AD AB aAD AB b+=-=，解得1()2AD a b =+，1()2AB a b =-，EDFEBA ，DE 13=，故11121()()23233AF AD DF a b a b a b =+=++⨯-=+．B如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，OA 与OB 夹角为120︒，OA 与OC 夹角为30︒，且||||1OA OB ==，||23OC =，若OC OA OB λμ=+，则λμ+的值为_____．解析：作平行四边形ODCE ，则OC OD OE OA OB λμ=+=+，4cos30OCOD ==︒，2tan30OCOE ==︒，即4λ=，2μ=，6λμ+=． 答案：6(1,1)a =，(1,1)b =-，(4,2)c =，则c =（ ）a b + B ．3a b - C ．3a b + D ．3a b +(,)(,)(,)(4,2)c a b λμλλμμλμλμ=+=+-=-+=，所以4λμ-=，λ+3，1μ=-，则3c a b =-．如图：向量a b -=（ ） A ．1224e e -- B ．1242e e -- C ．123e e - D ．123e e -+解析：由图可知12()3a b a b e e -=+-=-+． 答案：D向量a b c ++可表示为（ ） A ．1232e e - B ．1233e e -- C ．1232e e + D ．1223e e +解析：a b c ++在图上画出来，可知1232a b c e e ++=+．答案：C10向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c a b λμ=+，则λμ=______． 解析：如图所示建立平面直角坐标系，可得(1,1)a =--，(6,2)b =，(1,3)c =--，则(,)(6,2)c a b λμλλμμ=+=-+=(6,2)(1,3)μλλμ-+=--，解得2λ=-，12μ=-，则4λμ=． 答案：4题型四：共线、中点、重心问题1设1e ，2e 是不共线向量，若向量1235a e e =+与向量123b me e =-共线，则m 的值等于（ ）A ．95-B ．53-C ．35-D ．59-解析，a 与b 共线，则满足b a λ=，即12123(35)me e e e λ-=+，则335m λλ=⎧⎨-=⎩，解得95m =-．答案：A主要考察一些常用结论，即本学案知识点第4点的内容，属中下难度题型，再强调一下：（1）(0)a b a b b λ⇔=≠∥，1221x y x y =（2）(1),,PC PA PB A B C λλ=+-⇔三点共线，P A 和PB 系数和为0（3）D 为BC 中点，1()2AD AB AC =+，即平行四边形对角线的一半（4）G 为ABC 重心，0GA GB GC ++=a b λ+与(2)b a --共线((2))a b b a λμ+=--，即2a b a b λμμ+=-，12μλμ=⎧⎨=-⎩，解得λ答案：D3已知(1,0)a =，(2,1)b =，ka b -与2a b +共线；（23AB a b =+，BC a mb =+，且A 三点共线，求m 的值．1）(,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=-=--2(1,0)(4,2)(5,2)a b +=+=，两者共线，2)(1)5=-⨯，解得12k =-．，B ，C 三点共线，则AB BC λ=，即23()a b a mb λ+=+，则23=⎧⎨=⎩32m = (2,2)，(,0)B a ，(0,)C b (0)ab ≠共线，则1a b(AB a =-(2,AC =-AB AC ∥，2)(2)=-⨯，化简得2ab a -，得1112a b +=BC ，已知点(A -AB DC =，设D (8,8)AB =(8DC =-0=，2y =-，故．答案：(0,6已知向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）363AD AB BC CD a b AB =++=+=，所以AD AB ∥，A ，AABC 中，12AM AC =，29AD mAB AC =+，则m =______．12(1)(1)29AD AB AM AB AC mAB AC λλλλ=+-=+-=+，则12，则59m λ==．59设D ，E ，F 分别为ABC 的三边BC ，CA ，AB ，的中点，则EB FC +=（ ）A ．ADB ．12ADC ．BC D ．12BC 11()()()22EB FC BE CF BA BC CA CB AB AC AD +=-+=-+++=+=.A已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ）AO OD = 2AO OD = 3AO OD = D ．2AO OD =是中点，则有2OB OC OD +=，原式变为220OA OD +=，即OA OD =-，故AO OD =．答案：A10设M 是ABC 所在平面上的一点，且33022MB MA MC ++=，D 是AC 中点，则||||MD BM 的值为（ A ．13 B ．12D ．23)232MA MC MD MD BM +=⋅==，即MD 与BM 共线，则||13||MD BM =．ABC 和点Ｍ满足0MA MB MC ++=，若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则m =_____．解析：由0MA MB MC ++=可知M 为ABC 的重心，则2211[()]()3323AM AD AB AC AB AC ==+=+，即3AB AC AM +=，则3m =． 答案：312如图，在ABC 中，点O 是B C 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为______．1()222m n AO AB AC AM AN =+=+，因为，O ，N 三点共线，m n2n =． 2在ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ ） ．23 3D ．23- 解析：因为A ，D ，13CD CA CB λ=+，则113λ+=，23λ=．三点在同一条直线l 上，O 为直线l 外一点，0pOA qOB rOC ++= ，0pOA qOB rOC ++=变形得q rOA OB OC p p=--，因，B ，C 三点共线，则有0=，化简得p q r ++=答案：015已知点G 是ABC 的重心，点P 是GBC 内一点，若AP AB AC λμ=+，则λμ+的取值范围是（ ）A ．1(,1)2 B ．2(,1)3 C ．3(1,)2D ．(1,2)解析：P 是GBC 内一点，则1λμ+<，当且仅当P 在线段BC 上时，λμ+最大等于1，当P 和G 重合时，λμ+最小，此时1()3AP AG AB AC ==+，即23λμ+=，故213λμ<+<． 答案：B 16在ABC 中，2AB =，3AC =，D 是边B C 的中点，则AD BC ⋅=______．解析：1()2AD AB AC =+，BC AC AB =-，则221()2AD BC AC AB ⋅=-15(94)22=-=．答案：52题型五：面积比问题1在ABC 所在平面内有一点P ，如果2PA PC AB PB +=-，那么PBC 与ABC 的面积之比是（ ） A ．34 B ．12 C ．13D ．23 主要考察用向量性质来研究三角形的关系，掌握了原理后较为简单，大体有3种形式：（1）高相同，底不同，向量线性计算得出底的比例关系（2）高不同，底相同，高的比转换为相似三角形的比，再转化为向量基底的长度比 （3）三角形店内一点与三个顶点的连线把三角形分成三个小三角，它们的面积比问题，把题目给出的向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比解析：2PA PC AB PB +=-化简可得3PC AP =，即P 在AC 上，两个三角形高相等，则34S PBC PC S ABC AC ==．答案：A如图，设P ，Q 为ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+，2134AQ AB AC =+，则ABP 与ABQ 的面积之比为______．解析：如图作辅助线，EF ，GH 分别为两个三角形的高，15AE AC =，14AG AC =，则45S ABP EF AE S ABQ GH AG ===．答案：45已知O 是正三角形ABC 内部一点，230OA OB OC ++=，则OAC 与OAB 的面23 D ．13解析：画图，把向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比，则OAC 与OAB 的面积比为2:3． 答案：BABC 内一点且满足320PA PB PC ++=，则PBC ，PAC ，PAB 的面积比为（ ）4:3:2 2:3:4 C ．1:1:1 D ．3:4:6 解析：画图，把向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比，则面积比为4:3:2． 答案：A题型六：垂直、求模、求角、投影问题1已知向量(,3)a k =，(1,4)b =，(2,1)c =，且(23)a b c -⊥，则k =（ ） A ．92- B ．0 C ．3 D ．152解析：23(2,6)(3,12)(23,6)a b k k -=-=--，由题意知(23)0a b c -⋅=，则(23,6)(2,1)2(23)60k k --⋅=--=，解得3k =．答案：C2设向量a ，b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b ⋅=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：由||10a b +=两边平方得22210a b a b ++⋅=，由||6a b -=两边平方得2226a b a b +-⋅=，两式相减得1a b ⋅=．答案：A 3已知向量a ，b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，且||1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为主要考察数量积的性质，即本学案知识点第5点的内容，利用数量积的字母公式或坐标公式进行带入计算，由于是本章最后一节，题目融合程度可以比较高，需要记住一些常见题型和结论，大量的练习，高考出题大部分是考察这里，题目难度较低，但也可以出一些中等难度题型，需要注意的是：（1）两个向量的夹角一定要看准，向量的夹角不是线段的夹角，是方向的夹角 （2）0a b a b ⊥⇔⋅=，此乃五星级考点（3）求模公式2||a a =和2211||a x y =+一定要熟练运用，给你带模的条件很多时候都需要平方后再使用（4）求角公式就是数量积公式反过来用 （5）投影有简化公式||a bb ⋅，考察方式比较多样，涉及数量积最值的投影问题，通常需要作图来看，数形结合22222)()21226a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-⨯+⋅=-，解1a b ⋅=，11cos 122||||a b a b ⋅==⨯，3πθ=．答案：3π4已知点1,1)-，(1,2)B AB 在CD 方向上的投影为(2,1)AB =(5,5)CD = ，||52CD =10510||||552AB CD AB CD ⋅+==⨯ ，投影为3103|cos 510AB θ⨯=322如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，且3AP =，则AP AC ⋅=_____．22||||cos AP AC AP AO AP AO ⋅=⋅=∠Rt APO 中，|cos ||AO PAC AP ∠=，所以22||218AP AC AP ⋅==⨯．答案：186在平行四边形ABCD 中，1AD =，60BAD ∠=为CD 的中点，1AC BE ⋅=，则AB 的长为_____．AB a =，AD b =，AC a b =+，12BE b a=-，222111111()()||||11222222AC BE a b b a a b a b a a ⋅=+⋅-=⋅-+=⨯-+=，解得||0()a =舍去或1||2=a ．答案：127已知1e ，2e 是夹角为2π的两个单位向量，122a e e =-，12b ke e =+，若a ⋅则实数k 的值为______a ，b 不共线，且|||a b =，则下列结论中正确的是（a b +与a b -垂直 B ．a b +与a b -共线 a b +与a 垂直 D ．a b +与a 共线|||a b =可得22||||a b =，即2222||||()()0a b a b a b a b -=-=+⋅-=，A 项很明显都不正确．答案：A 设向量a ，b 满足||||1a b ==，12a b ⋅=-，则|2|a b +=（ ） B ．3 C ．5 D ．72222|(2)441423a b a b a b a b +=+=++⋅=+-=．B若(1,3)OA =-，||||OA OB =，0OA OB ⋅=，则||AB =______解析：设||(,)OB x y =，由两个条件可知2221330x y x y ⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩，解得(3,1)(3,OB =-或，则(2,4)2)AB OB OA =-=-或，22||=AB 答案：2511设向量a ，b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b ⋅=（ ）A ．B ．2C ．3D ．5解析：条件中两式分别平方得22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得4a b ⋅=，1a b ⋅=．答案：Aa b ∥ a b ⊥ |||a b = a b a b +=-解析：法一：根据向量加法和减法法则，||a b +和||a b -分别代表以a ，b 为临边的平行四边形的对角线长度，两对角线长度一样，说明四边形为矩形．故有a b ⊥；可得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即40a b ⋅=，则a b ⊥．(2,4)a =，(1,2)b =-，若()c a a b b =-⋅，则||c =_____． ()(2,4)(28)(1,2)(8,8)c a a b b =-⋅=--+-=-，22||8(8)82c =+-=．82(,1)a x =，(1,)b y =，(2,4)c =-a c ⊥，b c ∥，则||a b +=（ A ．5 B ．10 ．25 D ．10a c ⊥，则240a c x ⋅=-=，得2x =，bc ∥，则42y -=，(2,1)(1,2)(3,1)a b +=+-=-，故|9110a b +=+=．答案：B15已知(1,1)m λ=+，(2,2)n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λA ．4- ．3- C ．2- D ．1-(2m n λ+=+(1,m n -=--()()(2m n m n λ+⋅-=-．B单位向量1e 与2e 的夹角为α，且13=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹，则cos β=_____1212(32)(3)8a b e e e e ⋅=-⋅-=，212|(32)3a e e =-=，212||(3)8b e e =-=，8||||38a b a b ⋅==2 已知向量a ，b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，|1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为222)()2186a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+⋅=-，所以1a b ⋅=，故11122||||a b a b ⋅==⨯，60θ=︒． 60︒若向量(1,2)a =，(1,1)b =-，则a b +与a b -的夹角等于（A ．4π- B ．6π 4π D ．34π (3,3)a b +=，(0,3)a b -=，)()9a b a b +⋅-=，|2|32a b +=，922||||323a b a b ⋅===⨯，夹角为4π．设向量a ，b 夹角为θ(3,3)a =，(1,1)b a -=-(,)b x y =，2(23,23)(1,1)b a x y -=---，得(1,2)b =，9a b ⋅=，||32a =，|5b =，9310cos 10||||325a b a b θ⋅===⨯． 答案：31010已知i ，j 为互相垂直的单位向量，2a i j =+，i j +，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ5(,0)(0,)3-+∞ 3 C ．5[,0)(0,)3-+∞ D ．5(,0)3- 由题意知(1,2)a =，(1,1)b =，(1,2)a b λλλ+=++，夹角为锐角，即cos 0θ>|||||sin a b a b θ⨯=，a 与b 的夹角，若(3,a =--(1,3)b =|a b ⨯=（ ）A ．3B ．23C ．2D ．432||||a b a b ⋅-=⨯|||||sin a b a b θ⨯==已知点(1,1)A -(3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）D ．3152- (2,1)AB =(5,5)CD =15AB CD ⋅=，|5AB =，|52CD =151010||||552a b a b θ⋅===⨯，投影为2||cos AB θ=． A (,1)A a ，(2,B 为平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（．543a b -= D ．5414a b +=OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则有OA OC OB OC ⋅=⋅，带入坐标，则有85b =+，即45a b -=．A向量a 的模为1，且a ，b 满足||4a b -=，||2a b +=，则b 在a 方向上的投影等|4a b -=两22216a b a b +-⋅=，|2a b +=两2224a b a b ++⋅=，两式相减得3a b ⋅=-，则投影为3||a b a ⋅=-． 答案：3- 25 在矩形ABCD 中，2，1BC =，的中点，若界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为（2．4 C ．2解析：如图，建立坐标系，设AE 与AF 夹角为θ，则||||cos AE AF AE AF θ⋅==2212()||cos 2AF θ+，||cos AF θ为AF 在AE 方向上的投影，由投影定义可知，只有点F 取点C 时，投影有最大值，此时19(2,)(2,1)22AE AF ⋅=⋅=． 答案：C如图，在等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，22BC =，G 是ABC 的重心，P 是ABC 内的任意一点（含边界），则BG BP ⋅的最大值为_____．解析：如图所示，2222225||413333BG BD AB AD ==+=+=， 25||||cos ||cos 3BG BP BG BP BP θθ⋅==，则BG BP ⋅的最大值即||cos BP θ最大，由投影定义可知，当P 与C 重合时，有最大值，由余弦定理得222581310cos 2102522BD BC CD BD BC θ+-+-===⋅⨯，则最大值25310||||cos 224310BG BP BG BC θ⋅==⨯⨯=．数学浪子整理制作，侵权必究。
高中数学平面向量知识点总结及常见题型
平面向量一.向量的基本概念与基本运算1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,,,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x yjxia向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a ＝0｜a ｜＝0由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量｜0a ｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大小相等，方向相同),(),(2211y x y x 2121y y x x 2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BCb ，则a +b =AB BC =AC（1）a aa 0；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR ，但这时必须“首尾相连”．3向量的减法①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量记作a ,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：（i ）)(a =a ； (ii)a +(a )=(a )+a =0；(iii)若a 、b 是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =0②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作：)(b a b a 求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0时，λa 的方向与a 的方向相同；当0时，λa 的方向与a 的方向相反；当0时，0a，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a6平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,使：2211e ea，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成axiyj ，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1)若1122,,,ax y b x y ，则1212,a bx x y y (2)若2211,,,y x B y x A ，则2121,ABx x y y (3)若a =(x,y)，则a =(x,y)(4)若1122,,,a x y b x y ，则1221//0a b x y x y (5)若1122,,,a x y b x y ，则1212a b x x y y 若ab ，则02121y y x x 3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则1212(,)a b x x y y ab b a )()(c b a c b a AB BCAC 向量的减法三角形法则1212(,)a b x x y y )(b aba ABBAOB OAAB向量的乘法a 是一个向量,满足: >0时,a 与a 同向; <0时,a 与a 异向; =0时,a =0),(y x a a a )()(aaa)(ba b a)(a ∥ba b向量的数量积b a 是一个数0a或0b 时,b a =00a且0b时,b a b a b a ,cos ||||1212a b xx y y ab ba )()()(b a b a b a cb c a cb a )(22||a a,22||yxa ||||||b a b a 三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos 叫做a 与b 的数量积（或内积）规定00a2向量的投影：︱b︱cos=||a b a ∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a aa 5乘法公式成立：2222a ba b abab ；2222a b aa b b222aa b b6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a②对实数的结合律成立：a ba b a bR③分配律成立：a b ca cb cca b 特别注意：（1）结合律不成立：a b ca bc ；（2）消去律不成立a b a c 不能得到b c（3）a b =0不能得到a =0或b =07两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)ax y bx y ，则a ·b =1212x x y y 8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=（01800）叫做向量a 与b 的夹角cos=cos,a b a bab=222221212121y x y x y y x x 当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ba ·b ＝O02121y y x x 平面向量数量积的性质题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量.（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点.（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的.（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD .（5）若AB CD ，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形.（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量.（7）若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线. （8）若mamb ，则ab .（9）若mana ，则m n .（10）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量.（11）若||||a b a b ，则//a b .（12）若||||ab a b ，则ab .题型2.向量的加减运算1.设a 表示“向东走8km ”,b 表示“向北走6km ”,则||a b .2.化简()()ABMB BOBC OM.3.已知||5OA ,||3OB ,则||AB 的最大值和最小值分别为、 .4.已知AC AB AD 为与的和向量，且,ACa BDb ，则AB ，AD.5.已知点C 在线段AB 上，且35AC AB ,则AC BC ，ABBC .题型3.向量的数乘运算1.计算：（1）3()2()a b a b （2）2(253)3(232)a b c a b c 2.已知(1,4),(3,8)a b，则132ab.题型4.作图法球向量的和已知向量,a b ，如下图，请做出向量132ab 和322ab .a b题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC 中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC ，表示AD . 2.在平行四边形ABCD 中，已知,ACa BDb ，求AB AD 和.题型6.向量的坐标运算1.已知(4,5)AB ，(2,3)A ，则点B 的坐标是 .2.已知(3,5)PQ ，(3,7)P ，则点Q 的坐标是 .3.若物体受三个力1(1,2)F ,2(2,3)F ,3(1,4)F ,则合力的坐标为 .4.已知(3,4)a ，(5,2)b ，求a b ，a b ，32a b .5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y 与AB 相等，求,x y 的值.6.已知(2,3)AB，(,)BC m n ，(1,4)CD ，则DA.7.已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B ，且30AB BC ，求OC 的坐标.题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知12,e e 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：A.1212e e e e 和 B.1221326e e e e 和4 C.122133e e e e 和 D.221e e e 和2.已知(3,4)a，能与a 构成基底的是（）A.34(,)55 B.43(,)55C.34(,)55D.4(1,)3题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，||2OA ，150xOA ，求OA 的坐标. 2.已知O 是原点，点A 在第一象限，||43OA ，60xOA，求OA 的坐标.题型9.求数量积1.已知||3,||4a b ，且a 与b 的夹角为60，求（1）a b ，（2）()a a b ，（3）1()2ab b ，（4）(2)(3)a b a b .2.已知(2,6),(8,10)a b ，求（1）||,||a b ，（2）a b ，（3）(2)a a b ，（4）(2)(3)ab a b .题型10.求向量的夹角1.已知||8,||3a b ，12a b ，求a 与b 的夹角.2.已知(3,1),(23,2)a b，求a 与b 的夹角.3.已知(1,0)A ，(0,1)B ，(2,5)C ，求cos BAC .题型11.求向量的模1.已知||3,||4a b ，且a 与b 的夹角为60，求（1）||a b ，（2）|23|a b . 2.已知(2,6),(8,10)a b ，求（1）||,||a b ，（5）||ab ，（6）1||2ab .3.已知||1||2a b ，，|32|3ab ，求|3|a b .题型12.求单位向量【与a 平行的单位向量：||a ea 】1.与(12,5)a 平行的单位向量是 .2.与1(1,)2m平行的单位向量是 .题型13.向量的平行与垂直1.已知(6,2)a，(3,)b m ，当m 为何值时，（1）//a b ？（2）a b ？2.已知(1,2)a ，(3,2)b，（1）k 为何值时，向量ka b 与3a b 垂直？（2）k 为何值时，向量ka b 与3a b 平行？3.已知a 是非零向量，a b a c ，且b c ，求证：()a b c .题型14.三点共线问题1.已知(0,2)A ，(2,2)B ，(3,4)C ，求证：,,A B C 三点共线.2.设2(5),28,3()2ABa b BC a b CDa b ，求证：A B D 、、三点共线.3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b ，则一定共线的三点是.4.已知(1,3)A ，(8,1)B ，若点(21,2)C a a在直线AB 上，求a 的值.5.已知四个点的坐标(0,0)O ，(3,4)A ，(1,2)B ，(1,1)C ，是否存在常数t ，使OA t OB OC 成立？题型15.判断多边形的形状1.若3AB e ，5CD e ，且||||AD BC ,则四边形的形状是 .2.已知(1,0)A ，(4,3)B ，(2,4)C ，(0,2)D ，证明四边形ABCD 是梯形.3.已知(2,1)A ，(6,3)B ，(0,5)C ，求证：ABC 是直角三角形.4.在平面直角坐标系内，(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC ,求证：ABC 是等腰直角三角形.题型16.平面向量的综合应用1.已知(1,0)a ，(2,1)b，当k 为何值时，向量ka b 与3a b 平行？2.已知(3,5)a ，且a b ，||2b ，求b 的坐标.3.已知a b 与同向，(1,2)b，则10a b ，求a 的坐标. 3.已知(1,2)a，(3,1)b，(5,4)c，则cab .4.已知(5,10)a ，(3,4)b ，(5,0)c ，请将用向量,a b 表示向量c .5.已知(,3)a m ，(2,1)b，（1）若a 与b 的夹角为钝角，求m 的范围；（2）若a 与b 的夹角为锐角，求m 的范围.6.已知(6,2)a，(3,)bm ，当m 为何值时，（1）a 与b 的夹角为钝角？（2）a 与b的夹角为锐角？7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2)A ，(3,4)B ，(2,1)D ，且//AB DC ，2AB CD ，求点C 的坐标.8.已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(2,1)A ，(1,3)B ，(3,4)C ，求第四个顶点D 的坐标.9.一航船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度与船的实际速度.10.已知ABC 三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(0,0)B ，(,0)C c ，（1）若0AB AC ，求c 的值；（2）若5c，求sin A 的值.【备用】1.已知||3,||4,||5a b a b ，求||a b 和向量,a b 的夹角.2.已知xa b ，2ya b ，且||||1a b ，ab ，求,x y 的夹角的余弦.1.已知(1,3),(2,1)ab，则(32)(25)a b a b .4.已知两向量(3,4),(2,1)a b ，求当a xb a b 与垂直时的x 的值.5.已知两向量(1,3),(2,)ab，a b 与的夹角为锐角，求的范围.11 变式：若(,2),(3,5)a b ，a b 与的夹角为钝角，求的取值范围. 选择、填空题的特殊方法：1.代入验证法例：已知向量(1,1),(1,1),(1,2)a b c ，则c （）A.1322a b B.1322a b C.3122a b D.3122a b2.排除法例：已知M 是ABC 的重心，则下列向量与AB 共线的是（）A.AM MB BC B.3AM AC C.AB BC ACD.AM BM CM。
专题08平面向量重点题型复习(4知识点7题型)高考数学
A. B. C. D.2
√
【分析】根据给定条件，利用平面向量基本定理求解即得.
【详解】向量不共线，则，由共线，得，，于是，则且，解得，所以实数的值为 故选：
10.两个非零向量，平行的充要条件是( )
A. B. C. D.存在非零实数，使
证明：因为，所以，所以，同理可得，，所以为重心
证明：，，(为内切圆的半径)，所以，再由奔驰定理可得
③是的外心：
证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以(为外接圆的半径)，同理可得，，所以，再由奔驰定理可得
④是的垂心：
证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得
A. B. C. D.
【分析】根据平面向量共线定理可设，可得，再根据平面向量基本定理列方程组即可求解.
√
【详解】因为，所以设，因为，，所以，可得，所以，故选：
15.设是不共线的两个向量.
(1)若，，，求证：三点共线；
【答案】证明见解析；
【分析】要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.
③、至少有一个时
(1)向量的夹角
①定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，则()叫做向量与的夹角.
②Hale Waihona Puke 质：当时，与同向；当时，与反向.(2)向量的数量积的定义
①定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量 与的数量积(或内积)；
②记法：向量与的数量积记作，即；
③规定：零向量与任一向量的数量积为0；
√
【分析】根据向量共线定理进行判断即可.
【详解】因为不共线，，，，易得互不共线，所以A，B，C三点不共线，B，C，D三点不共线，故AD错误；又，易得不共线，则A，C，D三点不共线，故B错误；而，所以A，B，D三点共线，故C正确.故选：
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》知识点总复习含答案解析
高中数学《平面向量》复习知识点一、选择题1．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，225+=8λμ，则双曲线的离心率为（ ）A ．233B ．35C ．322D ．98【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知求出,u λ，再代入225+=8λμ求出双曲线的离心率. 【详解】由题得双曲线的渐近线方程为b y x a =±，设F(c,0)，则2(,),(,),(,),bc bc b A c B c P c a a a-因为(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，所以2(,)((),())b bc c u c u a aλλ=+-.所以,,bu c u cλλ+=-= 解之得,.22b c c bu c cλ+-== 因为225+=8λμ，所以22522()(),3, 3.22833b c c b c e c c a +-+=∴=∴= 故答案为A 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.解答本题的关键是根据(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v求出,u λ.2．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r（ ）A ．2133BA AC +u uu r u u u rB ．2133BA AC -u uu r u u u rC ．1233BA AC +u uu r u u u rD ．4233BA AC +u uu r u u u r【答案】A 【解析】 【分析】连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，则()()221121332333OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===⨯+=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r . 故选：A.【点睛】本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题.3．已知单位向量a r ，b r 的夹角为3π，(),c a b R μλμ+=λ+∈r u u r u u r ，若2λμ+=，那么c r 的最小值为（ ） A 2 B 6C 10D 3【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的数量积的运算公式，求得12a b ⋅=r r ，再利用模的公式和题设条件，化简得到24c λμ=-u r ，最后结合基本不等式，求得1λμ≤，即可求解．【详解】由题意，向量,a b r r 为单位向量，且夹角为3π，所以11cos 11322a b a b π⋅=⋅=⨯⨯=r r r r ，又由(),c a b μλμ=λ+∈R r u u r u u r，所以()22222222()4c a b a b λμλμλμλμλμλμλμλμ=+=++⋅=++=+-=-u r r r r r ，因为,R λμ+∈时，所以222()122λμλμ+⎛⎫≤== ⎪⎝⎭，当且仅当λμ=时取等号，所以23c ≥u r ，即3c ≥u r ．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及向量的模的计算，其中解答中熟记向量的数量积和模的计算公式，以及合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．4．已知菱形ABCD 的边长为4，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点2DF AF =-u u u r u u u r，则AE BF ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．24B ．7-C ．10-D ．12-【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理,将AE BF ⋅u u u r u u u r用基底,AB AD u u u r u u u r 表达,再根据平面向量的数量积公式求解即可. 【详解】由已知得13AF AD =u u u r u u u r ,12BE BC =u u u r u u u r ,AD BC =u u u r u u u r,所以1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,13BF AF AB AD AB =-=-u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r .因为在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,所以120BAD ∠=︒.又因为菱形ABCD 的边长为4,所以1||||cos1204482AB AD AB AD ⎛⎫⋅=⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1123AE BF AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111||||16(8)16126666AB AB AD AD --⋅+=--⨯-+⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：D 【点睛】本题考查平面向量的线性运算及向量的数量积,考查推理论证能力以及数形结合思想.5．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．1B ．2-C ．12D ．12-【答案】C 【解析】 【分析】以,BA BC u u u r u u u r为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.【详解】222,,33BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,11,22AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r,211()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r22111362BC BC BA BA =-⋅-u u ur u u u r u u u r u u u r 111123622=-⨯⨯⨯=.故选:C. 【点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.6．如图，已知1OA OB ==u u u v u u u v ，2OC =u u u v ，4tan 3AOB ∠=-，45BOC ∠=︒，OC mOA nOBu u u v u u u v u u u v =+，则mn等于（ ）A ．57B ．75C ．37D ．73【答案】A 【解析】【分析】依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B 、C 的坐标，利用向量相等建立关于m 、n 的方程，求解即可． 【详解】以OA 所在的直线为x 轴，过O 作与OA 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系如图所示：因为1OA OB ==u u u r u u u r ，且4tan 3AOB ∠=-，∴34cos sin 55AOB AOB ∠=-∠=，，∴A （1，0），B （3455-，），又令θAOC ∠=，则θ=AOB BOC ∠-∠，∴413tan θ413--=-=7，又如图点C 在∠AOB 内，∴cos θ=210，sin θ=7210,又2OC u u u v =C （1755，）， ∵OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，（m ，n ∈R ），∴（1755，）=（m,0）+（3455n n -，）=(m 35n -，45n ） 即15= m 35n -，7455n =，解得n=74，m=54，∴57m n =， 故选A ． 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．7．已知6a =r 2b =r ，且()(2)b a a b -⊥+r rr r ，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为（ ） A ．-4 B ．-2C ．2D ．4【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直，数量积为0，求出a b r r g ，即求向量a r 在向量br方向上的投影a b b ⋅r r r . 【详解】()(2),()(2)0b a a b b a a b -⊥+∴-+=r r r r r r r r Q g ， 即2220b a a b -+=r r r r g .2,8a b a b ==∴=r r r r Q g ，所以a r 在b r方向上的投影为4a b b⋅=r r r .故选：D . 【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.8．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ） A ．13- B ．13C ．12-D ．12【答案】C 【解析】 【分析】由向量的加减法运算，求得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，进而得出()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，列式分别求出λ和μ，即可求得λμ+.【详解】解：已知D 、P 分别为BC 、AD 的中点， 由向量的加减法运算， 得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，2AB AD DB BD PD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2AC AD DC BD PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，则1221μλλμ-=⎧⎨+=-⎩，则12λμ+=-.故选：C.【点睛】本题考查平面向量的加减法运算以及向量的基本定理的应用.9．已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC uuu r ()PB PD +⋅u u ur u u u r 的最小值为（ ） A ．1- B ．3-C ．12-D ．32-【答案】A 【解析】 【分析】建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解． 【详解】建立如图所示坐标系，设(,)P x y ，则(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)A B C D ，所以(2,2),(2,)(,2)(22,22)PC x y PB PD x y x y x y =--+=--+--=--u u u r u u u r u u u r，故223131()(2)(22)(2)(22)222222PC PB PD x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=--+--=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r223322122x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当32x y ==时，PC uuu r ()PB PD +⋅u u u r u u u r 的最小值为1-.故选：A ． 【点睛】本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.10．已知向量m =r (1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r ，且m r ⊥n r，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ）A ．12B ．2C ．D ．﹣2【答案】B 【解析】 【分析】根据m r ⊥n r 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案. 【详解】因为向量m =r (1，cosθ)，n =r(sinθ，﹣2)，所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r因为m r ⊥n r ，所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，所以sin 2θ+6cos 2θ22222626226141sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2.故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.11．已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r，则当,1[]2t ∈-时，a tb-r r 的最大值为（ ）A BC ．2D 【答案】D 【解析】 【分析】根据(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r，得到1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，再利用a tb -==r r 求解.【详解】因为(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r，所以1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r，所以a tb -==r r当[]2,1t ∈-时，max5a tb -=rr. 故选：D 【点睛】本题考查向量的模以及数量积的运算，还考查运算求解能力，属于中档题.12．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，3BAC π∠=，若23BD BC =u u u vu u uv ，则AD BD ⋅=u u u v u u u v （ ） A ．229B ．229-C ．169D ．89-【答案】A 【解析】 【分析】本题主要是找到两个基底向量AB u u u v ，AC u u u v ，然后用两个基底向量表示AD u u u v ，BD u u u v，再通过向量的运算即可得出结果． 【详解】解：由题意，画图如下：则：()22223333BD BC AC AB AB AC ==-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v ， 2233AD AB BD AB AB AC =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1233AB AC =+u u u v u u u v .∴12223333AD BD AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22242999AB AC AB AC =-⋅+⋅-⋅⋅u u uv u u u v u u u v u u u v24249cos 999AB AC BAC =-⋅+⋅-⋅⋅⋅∠u u uv u u u v82423cos 993π=-+-⋅⋅⋅229=. 故选A ． 【点睛】本题主要考查基底向量的建立以及用两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积的计算．本题属基础题．13．已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u v u u u v的最小值是（ ）A ．21-B ．2C ．0D ．1【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，设，,,又因为,所以，所以PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为1，故答案选D.考点：1.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算.14．已知向量m →，n →的夹角为60︒，且1m →=，3m n →→-=n →=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】设||n x →=，利用数量积的运算法则、性质计算即可. 【详解】 设||n x →=，因为1m →=，向量m →，n →的夹角为60︒， 所以2213m n x x →→-=-+=， 即220x x --=，解得2x =，或1x =-（舍去）， 所以2n →=. 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的模的性质，向量数量积的运算，属于中档题.15．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=u u u r u u u r （ ）A ．134-B ．54C ．5D ．154 【答案】B【解析】【分析】 据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF u u u r u u u r ，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.【详解】 设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD u u u r 的方向为x 轴，CA u u u r 的方向为y 轴，建立直角坐标系， 则1,12E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ， 所以95144DE DF ⋅=-=u u u r u u u r . 故选：B.【点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.16．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()cos ,1b α=r ，且//a b r r ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13 B ．22 C ．2D ．13- 【答案】D【解析】【分析】根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案.【详解】//a b ∴r r 1cos tan sin 3ααα∴=⋅= 1cos sin 23παα⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.17．已知向量()1,3a =-v ，()3,b m =v ，若a b ⊥v v ，则2a b +v v 等于（ ）A ．10B ．16C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 先利用向量垂直的坐标表示求出实数m 的值，得出向量b r 的坐标，并计算出向量2a b +r r ，最后利用向量模的坐标运算得出结果．【详解】 ()1,3a =-r Q ，()3,b m =r ，a b ⊥r r ，则1330a b m ⋅=⨯-=r r ，得1m =，()3,1b ∴=r ，则()()()221,33,15,5a b +=-+=-r r ，因此，2a b +==r r C.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示以及向量模的坐标运算，意在考查学生对这些公式的理解掌握情况，考查运算求解能力，属于中等题．18．已知向量(),1a x =-r ， (b =r ，若a b ⊥r r ，则a =r （ ）A B C ．2 D ．4 【答案】C【解析】由a b r r ⊥，(),1a x =-r ， (b r =，可得：x 0x ，==，即)1a =-r所以2a ==r 故选C19．已知1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ）A ．12B ．C ．24D ．【答案】C【解析】【分析】 设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和12MFMF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积.【详解】 解：设1MF m =，2MF n =， ∵1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，∴24m n a -==，122F F c ==∵120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ， ∴12MF MF ⊥，∴222440m n c +==，∴()2222m n m n mn -=+-，即2401624mn =-=，∴12mn =，解得6m =，2n =， 设2NF t =，则124NF a t t =+=+，在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++，解得6t =， ∴628MN =+=，∴1MF N ∆的面积111862422S MN MF =⋅=⨯⨯=. 故选C ．【点睛】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．20．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r （ ）A 19B 11C 3D ．74【答案】A【解析】【分析】 根据向量的线性运算可得3144EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计算即可.【详解】 因为11131()22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以22229311216441||6EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u 229311112()2168216=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916=， 所以19||EB =u u u r ， 故选：A【点睛】 本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.。
高中平面向量知识点详细归纳总结(附带练习)
向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,()0a a +-=.(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3. a b =的充要条件是( )A.a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥ []l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )A.AD BC =B.AD BC ∥且AB CD ∥C.AB DC =且AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。
【高中数学】专题2.3.1 平面向量基本定理重难点题型(举一反三)(解析版)
由平面向量基本定理可得， D 正确；
故选： D ．
【点睛】本题考查了平面向量基本定理的运用，基底的选择必须时不共线的两个向量．
【变式 1-2】（2019•福田区校级模拟）如果 e1 ， e2 是平面 a 内所有向量的一组基底，那么 (
，
P
为线段 CD
上一点，且
DP
1
PC
，
E
为
BC
的中点，若
2
EP AB AD ( , R ) ，则 的值为 ( )
1
A．
3
B． 1
C．0
3
1
D．
2
【分析】根据条件可得出
CP
4
AB,
EC
1
AB
1
AD
，从而根据
EP
EC
CP
即可求出
EP
5
AB
1
AD
，这样根据
3
22
若 ， 有一个不为 0，不妨设 不等于 0，则：
e1
e2
；
e1, e2 共线，这与 e1, e2 不共线矛盾．
0 ．
故选： B ．
【点睛】本题考查共面向量基本定理和共线向量基本定理，注意定理所满足的条件．
【考点 2 平面向量的夹角】
【例 2】（2019•马鞍山二模）已知 A ， B ， C 是圆 O 上的三点，若 AO 1 ( AB AC) ，则 AB 与 AC 的夹角为 (
【点睛】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几
何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的．
高考平面向量题型归纳总结
高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中，平面向量是一个常见的考点，也是学生普遍认为较为困难的部分之一。
平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。
本文将对高考平面向量题型进行归纳总结，帮助学生更好地掌握此类题型。
一、向量的加减1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
在解题过程中，可以利用向量的平移性质，将向量平移至同一起点，再连接终点得到新的向量。
2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理，即a - b = a + (-b)。
其中，-b表示b的反向量，即方向相反的向量，模长相等。
二、数量积数量积又称为内积或点积，记作a·b。
1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂)，它们的数量积a·b = x₁x₂ +y₁y₂。
另外，数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积，即a·b =|a| · |b| · cosθ，其中θ为a与b的夹角。
2. 性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为实数(4) 若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个为零向量(5) 若a·b > 0，则夹角θ为锐角；若a·b < 0，则夹角θ为钝角。
三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示：1. 向量的方向角：向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α，其中-π < α ≤ π。
2. 方向余弦：向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα，与y轴的夹角的余弦值cosβ。
在解决平面向量题型时，可以利用这两种方式来确定向量的方向。
2023年新高考数学一轮复习6-1 平面向量的概念及其运算(知识点讲解)含详解
专题6.1 平面向量的概念及其运算（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合平面向量的有关概念，考查对向量特性的理解，凸显数学抽象的核心素养．2．结合向量的线性运算，考查用向量刻画平面图形的能力，凸显逻辑推理的核心素养．3．结合向量的线性运算的几何意义，考查数形结合的思想，凸显直观想象的核心素养．4.与向量线性运算相结合，考查共线向量定理及其应用，凸显数学建模的核心素养．5.与向量线性运算相结合，考查数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．6．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．【知识点展示】（一）平面向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．（二）平面向量的线性运算三角形法则平行四边形法则三角形法则①|λa |＝|λ||a |；（三）共线向量定理1.共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 提醒：当a ≠0时，定理中的实数λ才唯一，否则不唯一．2.平面向量共线定理的三个应用（四）两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a 和b ，作＝a ，＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a 与b 同向时，夹角θ＝0°；a 与b 反向时，夹角θ＝180°. 3．向量垂直如果向量a 与b 的夹角是90°，则a 与b 垂直，记作a ⊥b . （五）平面向量的数量积 OA OB（六）数量积的运算律 1．交换律：a ·b ＝b ·a .2．分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .3．对λ∈R ，λ(a ·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )． （七）向量数量积的性质1．如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a . 2．a ⊥b a ·b ＝0.3．a ·a ＝|a |2，.4．cos θ＝.(θ为a 与b 的夹角)5．|a ·b |≤|a ||b |.【常考题型剖析】题型一：平面向量的有关概念例1.（2008·宁夏·高考真题（理））平面向量，共线的充要条件是( ) A ．，方向相同B ．，两向量中至少有一个为零向量C ．，D ．存在不全为零的实数，，例2．（2022·安徽·模拟预测（理））给出下列命题： ①若,a b 同向，则有b a b a +=+； ②a b +与a b +表示的意义相同； ③若,a b 不共线，则有a b a b +>+； ④a a b <+恒成立；⑤对任意两个向量,a b ，总有a b ab +≤+；⑥若三向量,,a b c 满足0a b c ++=，则此三向量围成一个三角形．其中正确的命题是__________(填序号)⇔|a ||||⋅a ba b【易错提醒】有关平面向量概念的注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆． (4)非零向量a 与a |a |的关系：a |a |是与a 同方向的单位向量，－a|a |是与a 反方向的单位向量．(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小． (6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件． 题型二：平面向量的线性运算例3.（2022·全国·高考真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +例4.（2020·海南·高考真题）在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =（ ） A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA -D ．2CD CA +例5.（2018·全国·高考真题（文））在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．3144AB AC - B ．1344AB AC -C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC例6. （2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知在ABC 中， 3AD BD =-，CD CE λ=，23AE AB AC μ=+，则μ=（ ） A ．14B ．12C ．34D ．1【规律方法】1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解． 2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较、观察可知所求． 【特别提醒】关于平面向量的线性运算的考查，命题角度主要有两个：一是平面向量的线性运算，二是利用向量线性运算求参数.解题过程中应注意：①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解． 题型三：共线向量定理及其应用例7. （2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知向量1e ，2e 是两个不共线的向量，122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=（ ） A ．2B ．2-C ．12-D ．12例8．（2020·全国·高三专题练习（文））如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，2,,3AE AD AB a AC b ===. (1)用,a b 表示,,,,AD AE AF BE BF ；(2)求证：B ，E ，F 三点共线． 【总结提升】求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程：A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t ∈R )． 题型四：平面向量数量积的运算例9. （2022·全国·高考真题（理））已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅=（ ） A ．2- B ．1- C ．1D ．2例10. （2018·天津·高考真题（理））如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为A ．2116 B ．32C ．2516D ．3 例11．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件例12．（2019·江苏高考真题）如图，在中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点.若，则的值是_____. 【总结提升】1.计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解． 2.总结提升：（1）.公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >与a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解．题型五：平面向量的模、夹角 例13.(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6例14.（2020·全国高考真题（理））已知向量ab a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b +（ ）ABC O 6AB AC AO EC ⋅=⋅ABACA ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935例15.（2020·全国高考真题（理））设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________. 例16.（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________． 【总结提升】1.求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系； (2)提醒：〈a ，b 〉∈[0，π]．数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．注意共线时，数量积为±1的特殊情况！2．平面向量模问题的类型及求解方法 (1)求向量模的常用方法①若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解． 题型六：两个向量垂直问题例17．（2020·全国高考真题（文））已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A ．2a b +B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -例18．(2020·福州模拟)已知向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝mOA →＋nOB →，若OA →与OB →的夹角为60°，且OC →⊥AB →，则实数m n 的值为( )A ．16B ．14C ．6D ．4例19．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知两非零向量a ，b 满足()4a b a ⊥-，且4b =，则2a b -=（ ）A．8 B ．3 C ．2 D例20．（2020·全国高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________. 【规律方法】1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值（涉及向量垂直问题为高频考点） 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．专题6.1 平面向量的概念及其运算（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合平面向量的有关概念，考查对向量特性的理解，凸显数学抽象的核心素养．2．结合向量的线性运算，考查用向量刻画平面图形的能力，凸显逻辑推理的核心素养．3．结合向量的线性运算的几何意义，考查数形结合的思想，凸显直观想象的核心素养．4.与向量线性运算相结合，考查共线向量定理及其应用，凸显数学建模的核心素养．5.与向量线性运算相结合，考查数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．6．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．【知识点展示】（一）平面向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．（二）平面向量的线性运算三角形法则平行四边形法则三角形法则①|λa|＝|λ||a|；（三）共线向量定理1.共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一，否则不唯一．2.平面向量共线定理的三个应用（四）两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°. 3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.（五）平面向量的数量积（六）数量积的运算律1．交换律：a ·b ＝b ·a .2．分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .3．对λ∈R ，λ(a ·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )．（七）向量数量积的性质 1．如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a .2．a ⊥b ⇔a ·b ＝0.3．a ·a ＝|a |2，|a 4．cos θ＝||||⋅a b a b .(θ为a 与b 的夹角) 5．|a ·b |≤|a ||b |.【常考题型剖析】题型一：平面向量的有关概念例1.（2008·宁夏·高考真题（理））平面向量，共线的充要条件是( )A ．，方向相同B ．，两向量中至少有一个为零向量C ．，D ．存在不全为零的实数，， 【答案】D【解析】【详解】若均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数使得； 若，则由两向量共线知，存在，使得，即，符合题意，故选D.例2．（2022·安徽·模拟预测（理））给出下列命题：①若,a b 同向，则有b a b a +=+； ②a b +与a b +表示的意义相同； ③若,a b 不共线，则有a b a b +>+；④a a b <+恒成立； ⑤对任意两个向量,a b ，总有a b a b +≤+；⑥若三向量,,a b c 满足0a b c ++=，则此三向量围成一个三角形．其中正确的命题是__________(填序号)【答案】①⑤【解析】【分析】 根据向量的模、共线向量的基本概念以及向量加法的法则，逐一分析即可．【详解】对于①，若,a b 同向，则+b a 与,a b 同向，所以b a b a +=+，故①正确； 对于②，a b +与a b +前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意义不相同，故②不正确； 对于③，若,a b 不共线，则有a b a b +<+，故③不正确； 对于④，若0b =，则a a b =+，故④不正确； 对于⑤，对任意两个向量,a b ，总有a b a b +≤+，故⑤正确；对于⑥，若三向量,,a b c 满足0a b c ++=，若,,a b c 中有零向量，则此三向量不能围成一个三角形，故⑥不正确．故答案为：①⑤．【易错提醒】有关平面向量概念的注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆． (4)非零向量a 与a |a |的关系：a |a |是与a 同方向的单位向量，－a|a |是与a 反方向的单位向量． (5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．(6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．题型二：平面向量的线性运算例3.（2022·全国·高考真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n + 【答案】B【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-，所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+．故选：B ．例4.（2020·海南·高考真题）在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =（ ）A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA + 【答案】C【解析】【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.【详解】 ()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-=故选：C 例5.（2018·全国·高考真题（文））在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ）A ．3144AB AC - B ．1344AB AC -C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC 【答案】A 【解析】【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果. 【详解】 根据向量的运算法则，可得 ()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A. 例6. （2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知在ABC 中， 3AD BD =-，CD CE λ=，23AE AB AC μ=+，则μ=（ ） A ．14B ．12C ．34D ．1【答案】A【解析】【分析】 根据3AD BD =-，23AE AB AC μ=+，得到4233AE AD AC μ=+，再根据CD CE λ=求解. 【详解】解：因为3AD BD =-，所以43AB AD =，因为23AE AB AC μ=+， 所以4233AE AD AC μ=+， 又CD CE λ=，所以11AE AD AC λλλ-=+， 又1233AE AD AC =+，所以143123μλλλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 得14μ=． 故选：A【规律方法】1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较、观察可知所求．【特别提醒】关于平面向量的线性运算的考查，命题角度主要有两个：一是平面向量的线性运算，二是利用向量线性运算求参数.解题过程中应注意：①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解． 题型三：共线向量定理及其应用例7. （2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知向量1e ，2e 是两个不共线的向量，122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=（ ）A ．2B ．2-C ．12- D ．12【答案】C 【解析】【分析】根据向量共线的充要条件建立方程直接求解.【详解】因为122a e e =-与12b e e λ=+共线，所以ka b =，0k ≠，所以12121212()22=k k e e e e e e e e k λλ-+⇒-=+，因为向量1e ，2e 是两个不共线的向量，所以21k k λ=⎧⎨-=⎩，解得12λ=-， 故选：C ．例8．（2020·全国·高三专题练习（文））如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，2,,3AE AD AB a AC b ===. (1)用,a b 表示,,,,AD AE AF BE BF ；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．【答案】(1)1122AD a b =+，1133AE a b =+，12=AF b ，1233BE b a =-，12BF b a =- (2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据平面向量的线性运算结合图像计算即可得解；（2）利用平面向量共线定理证明BE BF ∕∕，即可得证.(1)解：在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，则()111111222222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b =+=+=+-=+=+， 故211333AE AD a b ==+，1122==AF AC b ， 11123333BE AE AB a b a b a =-=+-=-， 12BF AF AB b a =-=-； (2)证明：因为()1212333BE b a b a =-=-，()122b a BF =-， 所以23BE BF =， 所以BE BF ∕∕，又因,BE BF 有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．【总结提升】求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程：A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t ∈R )． 题型四：平面向量数量积的运算例9. （2022·全国·高考真题（理））已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ， 又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，∴1a b ⋅=故选：C.例10. （2018·天津·高考真题（理））如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为A ．2116B ．32C ．2516D ．3 【答案】A【解析】【详解】分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD △为等边三角形，把数量积AE BE ⋅分拆，设(01)DE tDC t =≤≤，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。
高中数学平面向量专题复习含例题练习
平面向量专题复习一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？〔向量可以平移〕。
如：2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；4．相等向量：长度相等且方向一样的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量〔也叫共线向量〕：方向一样或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！〔因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
如例1：〔1〕假设a b =，那么a b =。
〔2〕两个向量相等的充要条件是它们的起点一样，终点一样。
〔3〕假设AB DC =，那么ABCD 是平行四边形。
〔4〕假设ABCD 是平行四边形，那么AB DC =。
〔5〕假设,a b b c ==，那么a c =。
〔6〕假设//,//a b b c ，那么//a c 。
其中正确的选项是_______二、向量的表示1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向一样的两个单位向量i ，j 为基底，那么平面的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
2024年高考复习数学知识点+题型12+5类平面向量解题技巧
题型125类平面向量解题技巧（“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题）技法01“爪子定理”的应用及解题技巧知识迁移形如AD xAB y AC =+条件的应用（“爪子定理”）“爪”字型图及性质：（1）已知,AB AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD，必存在,x y ，使得AD xAB y AC =+.则,,B C D 三点共线⇔1x y +=当01x y <+<，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间当1x y +>，则D 与A 位于BC 两侧1x y +=时，当0,0x y >>，则D 在线段BC 上；当0xy <，则D 在线段BC 延长线上（2）已知D 在线段BC 上，且::BD CD m n =，则n m AD AB AC m n m n=+++（全国·高考真题）例1-1.设D 为ABC 所在平面内一点，且3BC CD =，则（）A.1433AD AB AC =-+ B.1334AD AB AC =-C.4133AD AB AC=+D.4133AD AB AC=-解析：由图可想到“爪字形图得：1344AC AB AD =+ ，解得：1433AD AB AC =-+答案：A（2023江苏模拟）例1-2．如图，在ABC 中，13AN NC = ，P 是BN 上的一点，若211AP m AB AC =+，则实数m 的值为（）A.911B.511C.311D.211解：观察到,,B P N 三点共线，利用“爪”字型图，可得AP m AB n AN=+，且1m n +=，由13AN NC = 可得14AN AC = ，所以14AP m AB n AC =+ ，由已知211AP m AB AC =+ 可得：12841111n n =⇒=，所以311m =答案：C（2022·全国·统考高考真题）1．在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ （全国·高考真题）2．在ABC 中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（）A ．2133b c+ B ．5233c b-C ．2133b c-D ．1233b c+（2020·新高考全国1卷·统考高考真题）3．已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB a =，AD b =，则EF 等于（）A ．()12a b+ B ．()12a b- C ．()12b a- D ．12a b+ （全国·高考真题）4．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC -B ．1344AB AC -C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC（江苏·高考真题）5．设D 、E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =.若12DE AB AC λλ=+（12,λλ为实数），则12λλ+的值是技法02系数和（等和线）的应用及解题技巧知识迁移如图，P 为AOB ∆所在平面上一点，过O 作直线//l AB ，由平面向量基本定理知：存在,x y R ∈，使得OP xOA yOB=+下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x y +的值①若P l ∈时，则射线OP 与l 无交点，由//l AB 知，存在实数λ，使得OP AB λ= 而AB OB OA =- ，所以OP OB OA λλ=-，于是=-=0x y λλ+②若P l ∉时，（i ）如图1，当P 在l 右侧时，过P 作//CD AB ，交射线OA OB ，于,C D 两点，则OCD OAB ∆~∆，不妨设OCD ∆与OAB ∆的相似比为k由,P C D ，三点共线可知：存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA k OBλλλλ=+-=+- 所以(1-)x y k k kλλ+=+=（ii ）当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1作P 关于O 的对称点P '，由（i ）的分析知：存在存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA OB λλλλ'=+-=+- 所以--(1)OP k OA OBλλ'=+- 于是--(1-)-x y k k kλλ+=+=综合上面的讨论可知：图中OP 用,OA OB线性表示时，其系数和x y +只与两三角形的相似比有关.我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画.因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过O 作AB 边的垂线l '，设点P 在l '上的射影为P '，直线l '交直线AB 于点1P ，则1||||||OP k OP '=（k 的符号由点P 的位置确定），因此只需求出||OP '的范围便知x y +的范围（全国·高考真题）例2-1．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP=λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）A ．3B ．CD ．2【系数和】分析：如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l 与圆相切时，λμ+最大，此时33AF AB BE EF ABAB AB ABλμ+++====, 故选A .（衡水中学二模）例2-2．边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含短点）上运动，P 是圆Q 上及其内部的动点，设向量(,)AP m AB n AF m n R =+∈，则m n+的取值范围是（）(][][][].1,2.5,6.2,5.3,5A B C D分析:如图，设AP mAB nAF =+ ，由等和线结论，22AG ABm n AB AB+===.此为m n +的最小值；同理，设AP mAB nAF =+ ，由等和线结论，5AHm n AB+==.此为m n +的最大值.综上可知[2,5]m n +∈.例2-3．已知ABC 为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上.若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的取值范围是__________【解析】如图，取AB 中点为D ，2AP AB AC AD ACλμλμ=+=+ 显然，当P 与C 重合时，2λμ+取最小值1.将CD 平行移动至与O 相切处，P 为切点时，2λμ+取最大值.延长PO 交CD 于G ，易知12OG OF FP ===.由等和线及平行截割定理，52,2EF AP FP AE ==.所以2λμ+的最大值为52.故2λμ+的取值范围是51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．27．如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内（包括边界）的动点，设AP ＝αAB＋βAF（α，β∈R ），则α＋β的取值范围是.8．如图在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，13AD DC AB ===，，动点P 在以C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设(,R)AP AD AB αβαβ=+∈，则αβ+的取值范围是9．若点C 在以P 为圆心，6为半径的弧 AB 上，且120APB ∠=，PC = xPA yPB + ，则23x y +的取值范围为（2023·浙江·高三专题练习）10．如图，在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，AB ∥DC ，2AB =，1AD DC ==，图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若AP xAB yAC =+，其中x y R ∈，，则4x y -的取值范围是（）A ．32234⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，B ．5232⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，C ．253342⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，D ．17173322⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，技法03极化恒等式的应用及解题技巧知识迁移极化恒等式22()()4a b a b a b +--⋅=恒等式右边有很直观的几何意义:向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系如图在平行四边形ABCD 中，,AB a AD b==则22()()4AB AD AB AD a b +--⋅=在上述图形中设平行四边形ABCD 对角线交于M 点，则对于三角形来说:2222()()||||44AB AD AB AD DB a b AM +--⋅==-（全国·高考真题）例3-1．设向量,a b 满足||10a b +，||6a b -= a b （）A ．1B ．2C ．3D ．5由极化恒等式可得：2222()()144a b a b a b a b a b +--+--⋅=== ，故选A ．（2023·全国·统考高考真题）例3-2．正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A 5B ．3C ．25D ．5设CD 中点为O 点，由极化恒等式可得：22134EC ED EO DC ⋅=-= 故选：B.（江苏·高考真题）11．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4⋅=BA CA ，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅uur uur的值是.12．如图，在ABC ∆中，已知4,6,60AB AC BAC ==∠=︒，点,D E 分别在边,AB AC 上，且2,3AB AD AC AE == ，点F 为DE 中点，则BF DE的值为.13．在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-技法04奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧知识迁移1.奔驰定理如图，已知P 为ABC 内一点，则有0PBC PAC PABS OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= △△△.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.2.奔驰定理的证明如图：延长OA 与BC 边相交于点D则BOD ABD BOD ABD ACD COD ACD COD AOC AOBS S S S S BD DC S S S S S -===- DC BD OD OB OCBC BC=+ AOC AOBAOC AOB AOC AOBS S OB OC S S S S =+++ BOD COD BOD CODBOA COA BOA BOC AOC AOB COA S S S S S OD OA S S S S S S +====++BOC AOC AOBS OD OAS S ∴=-+ BOC AOC AOBAOC AOB AOC AOB AOC AOBS S S OA OB OCS S S S S S ∴-=++++ 0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∴⋅+⋅+⋅=3.奔驰定理的推论及四心问题推论O 是ABC 内的一点，且0x OA y OB z OC ⋅+⋅+⋅=，则::::BOC COA AOB S S S x y z=△△△有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r .（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.已知点O 在ABC 内部，有以下四个推论：①若O 为ABC 的重心，则0OA OB OC ++=；②若O 为ABC 的外心，则sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=；或OA OB OC== ③若O 为ABC 的内心，则0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=；备注：若O 为ABC 的内心，则sin sin sin 0⋅+⋅+⋅=A OAB OBC OC 也对.④若O 为ABC 的垂心，则tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，或OA OB OB OC OC OA⋅=⋅=⋅ （宁夏·高考真题）例4-1．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（）（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A ．重心外心垂心B ．重心外心内心C ．外心重心垂心D．外心重心内心因为OA OB OC == ，所以O 到定点,,A B C 的距离相等，所以O 为ABC ∆的外心，由0NA NB NC ++= ，则NA NB NC +=-，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +=-= ，所以2NE CN = ，所以N 是ABC ∆的重心；由•••PA PB PB PC PC PA ==，得()0PA PC PB -⋅= ，即0AC PB ⋅=，所以AC PB ⊥，同理AB PC ⊥，所以点P 为ABC∆的垂心，故选C.（江苏·高考真题）例4-2．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，,[)0λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D．垂心【详解】OP OA AP -= ，()||||AB ACAP AB AC λ∴=+令||||AB ACAM AB AC +=，则AM 是以A 为始点，向量||ABAB与||AC AC 为邻边的菱形的对角线对应的向量，即AM →在BAC ∠的平分线上，AP AM λ= ，,AP AM ∴ 共线，故点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，故选：B（2023·全国·高三专题练习）例4-3．奔驰定理：已知点O 是ABC 内的一点，若,,BOC AOC AOB 的面积分别记为123,,S S S ，则1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O 是ABC 的垂心，且230OA OB OC ++=，则cos C =（）A ．31010B ．1010C ．255D ．55【详解】延长CO 交AB 于点P ，O 是ABC 的垂心，OP AB ∴⊥，1211::22S S OC BP OC AP ⎛⎫⎛⎫∴=⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:(tan ):(tan )BP AP OP POB OP POA ==∠∠tan :tan tan():tan()tan :tan COB COA A B A B ππ=∠∠=--=．同理可得13:tan :tan S S A C =，231::tan :tan :tan S S S A B C ∴=．又1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=，tan tan tan 0A OA B OB C OC ∴⋅+⋅+⋅=．又230OA OB OC ++= ，tan :tan :tan 1:2:3A B C ∴=．不妨设tan ,tan 2,tan 3A k B k C k ===，其中0k ≠．tan tan tan tan()1tan tan B CA B C B C +=-+=-- ，23123k kk k k+∴=--⋅，解得1k =±．当1k =-时，此时tan 0,tan 0,tan 0A B C <<<，则A ，B ，C 都是钝角，不合题意，舍掉．故1k =，则tan 30C =>，故C 为锐角，∴22sin 3cos sin cos 1CC C C ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得cos 10C =，故选：B．（2023春·上海长宁·高三上海市延安中学校考期末）14．若O 是ABC 内一点，0OA OB OC ++=，则O 是ABC 的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心（2023·江苏·高三专题练习）15．在ABC 中，若HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅，则点H 是ABC 的（）A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心（2023春·湖南株洲·高三炎陵县第一中学校联考期末）16．如图.P 为ABC 内任意一点，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，总有优美等式0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++=成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（）A ．若P 是ABC 的重心，则有0PA PB PC ++=B ．若0aPA bPB cPC ++=成立，则P 是ABC 的内心C ．若2155AP AB AC =+，则:2:5ABP ABC S S =△△D ．若P 是ABC 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+ ，则)m n ⎡+∈⎣技法05范围与最值的应用及解题技巧（浙江·高考真题）例5-1．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-= ，则c的最大值是（）A ．1B ．2C ．D ．【详解】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C ．（四川·高考真题）例5-2．在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ，DA ⋅ DB =DB ⋅ DC =DC ⋅ DA =–2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC，则2BM 的最大值是（）A ．434B ．494C ．37634+D ．372334+【详解】试题分析：由已知易得120,2ADC ADB BDC DA DB DC ∠=∠=∠=︒===.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()((2,0,1,3,3.A B C --设(),,P x y 由已知1AP = ，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-++=∴∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()(222+1334x y BM ++∴=，它表示圆()2221x y -+=上的点()x y ，与点(1,33--的距离的平方的14，()()2222max149333144BM⎫∴=+=⎪⎭，故选B.（2023·全国·高三专题练习）例5-3．若平面向量a ，b ，c 满足1c = ，1a c ⋅= ，3b c ⋅= ，2a b ×=，则a ，b 夹角的取值范围是（）A ．ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】设OA a = ，OB b = ，OC c = ，以O 为原点，c方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系，10a c ⋅=> ，30b c ⋅=> ，20a b ⋅=>，a ∴ ，b ，c三者直接各自的夹角都为锐角，1c =，cos ,1a c a c a c ⋅=⋅= ，c s 3o ,b c b c b c ⋅⋅== ，cos ,1a a c ∴= ，,3cos b b c = ，即a 在c 上的投影为1，b 在c 上的投影为3，()1,A m ∴，()3,B n，如图()1,a m ∴=，()3,b n = 32a mn b =∴+=⋅即1mn =-，且cos ,a b a b a b ⋅==⋅则2222222244cos ,99109a b n m m n n m ===+++++ ，由基本不等式得22966n m mn +≥==，21cos ,4a b ∴≤ ，a 与b的夹角为锐角，10cos ,2a b ∴<≤ ，由余弦函数可得：a 与b 夹角的取值范围是ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭，（湖南·高考真题）17．已知,a b 是单位向量，0a b = .若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（）A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦（湖南·高考真题）18．已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC++的最大值为A ．6B ．7C ．8D ．9（2023·全国·高三专题练习）19．已知平面向量a OA = ，b OB = ，c OC =，满足241OC AC OA ⋅=- ，241OB CB OC ⋅=- ，则向量4a b - 与2c b -所成夹角的最大值是（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6（2022·浙江湖州·湖州市菱湖中学校考模拟预测）20．已知平面向量a ，b ，c 满足1a = ，2b = ，2a a b =⋅ ，22c b c =⋅，则22c a c b-+- 的最小值为.（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）21．在平面内，定点,,,A B C O ，满足2OA OB OC === ，且0OA OB OC ++=，则AB =；平面内的动点,P M 满足1AP = ，PM MC =，则2||BM 的最大值是．参考答案：1．B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+．故选：B ．2．A【详解】试题分析：，故选A ．3．A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结AC ，则AC 为ABC 的中位线，∴111222EF AC a b ==+ ，故选：A 4．A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+ ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5．12【详解】依题意，121212()232363DE DB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+，∴121263AB AC AB AC λλ-+=+ ，∴116λ=-，223λ=，故12121632λλ+=-+=.【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.6．A【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径r ，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-= ，若满足AP AB AD λμ=+uu u r uu u r uuu r ，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12x y λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A .【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.7．[3，4]【详解】直线BF 为k ＝1的等和线，当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的等和线，过D 点的等和线是最远的，所以α＋β∈[，]＝[3，4].8．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，先求出以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆方程，设(,)P x y ，再根据(,R)AP AD AB αβαβ=+∈，可求出点P 的坐标，再根据P 在圆内，可得关于,αβ的一个不等关系，设t αβ+=，进而可得出答案.【详解】如图所示以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,3,0,1,1,0,1A B C D ，直线BD 的方程为131xy+=，化简得330x y +-=，∴点C 到BD的距离10d =，可得以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆方程为221(1)(1)10x y -+-=，设(,)P x y ，则(,)AP x y =，(0,1)AD = ，(3,0)AB =，(),R AP AD AB αβαβ=+∈，()()()(),0,13,03,x y αββα∴=+=，可得3x β=且y α=，P 的坐标为()3,βα，P 在圆内，()()22131110βα-+-<，设t αβ+=，则t αβ=-，代入上式化简整理得()221910242010t t t ββ-++-+<，若要上述不等式有实数解，则()2219Δ244102010t t t ⎛⎫=+-⨯⨯-+> ⎪⎝⎭，化简得23850t t -+<，解得513t <<，即513αβ<+<，αβ∴+取值范围是51,3⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为：51,3⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：利用向量的坐标表示将点P 的坐标用,αβ表示是解决本题的关键.9．⎡⎢⎣⎦【分析】首先根据三点共线的推论得1111,23PA PA PB PB ==，而在11PA B △中，11113,2,120PA PB A PB ︒==∠=，进一步由向量模的公式得11A B =11PA B △中，由等面积法得出||319PD ≤≤，结合623PC x y PD PD +== 即可得解.【详解】令(23)PC x y PD =+，则2323x y PD PA PB x y x y=+++ ，即11232323x y PD PA PB x y x y =+++，其中1111,23PA PA PB PB == .由2312323x yx y x y+=++知点D 在线段11A B 上，如下图:由于在11PA B △中，11113,2,120PA PB A PB ︒==∠=，且点D 在线段11A B 上（含端点11,A B ），因此1PH PD PA ≤≤，其中PH 是边11A B 上的高.()222211111111219A B PB PA PB PA PB PA =-=+-⋅=可得11A B =1111111111sin 22PA B S PA PB A PB A B PH =⋅⋅∠=⋅可得||19PH =.||3PD ≤≤.再由(23)PC x y PD =+ ，可知623PC x y PD PD ⎡+==∈⎢⎣⎦ .故答案为：⎡⎢⎣⎦.10．B【分析】建立直角坐标系，将4x y -由P 点坐标转化后数形结合求解【详解】以A 点为坐标原点，,AB AD方向为x ,y 轴正方向建立直角坐标系，则(0,0),(2,0),(1,1),(0,1)A B C D ，(2,0),(1,1)AB BC ==- ，设(,)P m n ，则2m x y n y =-⎧⎨=⎩，解得2m n x y n+⎧=⎪⎨⎪=⎩，故42z x y m n =-=+，即2n m z =-+，数形结合可得当1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取最小值2，当直线与圆221(1)(1)4x y -+-=12=，z 取得最大值3.故选：B11．78【详解】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--== （）（），2211114123234FD BC BF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC == ，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--=== （）（）【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简.对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．12．4【详解】试题分析：1111()()()()2223BF DE BD DF DA AE AB DE AB AC ⋅=+⋅+=-+⋅-+111113111()()()()246234623AB AB AC AB AC AB AC AB AC =--+⋅-+=-+⋅-+223113111163646624 4.818381832AB AC AB AC =+-⋅=⨯+⨯-⨯⨯⨯=+-= 考点：向量数量积13．D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA ，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=--，()cos ,4sin PB θθ=-- ，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯- 22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈- ；故选：D14．D 【分析】利用向量的加法法则，结合重心定义判断作答.【详解】取线段AB 的中点D ，连接OD ，则2OA OB OD +=，而0OA OB OC ++= ，因此2CO OD =，即,,C O D 三点共线，线段CD 是ABC 的中线，且O 是靠近中点D 的三等分点，所以O 是ABC 的重心.故选：D 15．A 【分析】根据向量的运算结合向量垂直分析判断.【详解】因为HA HB HB HC ⋅=⋅，则()0HB HA HC HB CA ⋅-=⋅=uu u r uu u r uuu r uu u r uu r ，所以HB CA ⊥uu u r uu r，即点H 在边CA 的高线所在直线上，同理可得：,HA CB HC AB ⊥⊥uu u r uu r uuu r uu u r，所以点H 为ABC 的三条高线的交点，即点H 是ABC 的垂心.故选：A.16．AB【分析】对于A ：利用重心的性质=PBC S △=PAC PAB S S △△，代入0PBC PAC PABS PA S PB S PC ++=即可；对于B ：利用三角形的面积公式结合0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++= 与0aPA bPB cPC ++=可知点P 到AB BC CA 、、的距离相等.对于C ：利用AB AC 、将PA PB PC、、表示出来，代入0PBC PAC PABS PA S PB S PC ++= ，化简即可表示出PBC PAC PAB S S S 、、△△△的关系式，用PAB S 将ABP ABC S S 、△△表示出来即可得处其比值.对于D ：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将PA mPB nPC =+两边平方，化简可得22+1m n =，结合m n 、的取值范围可得出答案.【详解】对于A ：如图所示：因为D E F 、、分别为CA AB BC 、、的中点，所以2CP PE =，121,233AEC ABC APC AEC ABC S S S S S === ，同理可得13APB ABC S S = 、13BPC ABC S S = ，所以=PBC S △=PAC PAB S S △△，又因为0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++=，所以0PA PB PC ++=uu r uu r uu u r r.正确；对于B ：记点P 到AB BC CA 、、的距离分别为123h h h 、、，231111=,,222PBC PAC PAB a h h h S c S S ==⋅⋅⋅△△△，因为0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++=，则2311110222a h PAb h PBc h PC ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，即2310a h PA b h PB c h PC ⋅+⋅+⋅= ，又因为0aPA bPB cPC ++=，所以123==h h h ，所以点P 是ABC 的内心，正确；对于C ：因为2155AP AB AC =+，所以2155PA AB AC =--，所以3155PB PA AB AB AC =+=- ，所以2455PC PA AC AB AC =+=-+，所以2131240555555PBC PAC PAB S AB AC S AB AC S AB AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得：232114+0555555PBC PAC PAB PBC PAC PAB S S S AB S S S AC ⎛⎫⎛⎫--+--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为AB AC、不共线，所以232+=0555114=0555PBC PAC PABPBC PAC PAB S S S S S S ⎧--⎪⎪⎨⎪--+⎪⎩ ，所以=2=2PBC PAB PAC PAB S S S S ⎧⎨⎩ ，所以15ABP PAB PBC PAC PAB ABC S S S S S S =++= △△，错误；对于D ：因为P 是ABC 的外心，π4A =，所以π2BPC ∠=,PA PB PC == ，所以=cos 0PB PC PB PC BPC ⋅⨯⨯∠=，因为PA mPB nPC =+ ，则222222PA m PB mnPB PC n PC =+⋅+ ，化简得：22+1m n =，由题意知m n 、同时为负，记cos sin m n αα=⎧⎨=⎩，3ππ2α<<，则πcos sin sin +4m n ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因为5ππ7π444α<+<，所以π1sin 4α⎛⎫-≤+< ⎪⎝⎭所以π2+14α⎛⎫-≤<- ⎪⎝⎭，所以)1m n ⎡+∈-⎣，错误.故答案为：AB.17．A【详解】因为1c a b --= ，()1c a b -+= ，做出图形可知，当且仅当c 与()a b +方向相反且1c a b -+= 时，c1；当且仅当c 与()a b +方向相同且1a b c +-=时，c1.18．B【详解】由题意，AC 为直径，所以24437PA PB PC PO PB PB ++=+≤+≤+=,当且仅当点B 为（-1，0）时，PA PB PC ++取得最大值7，故选B.考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想.由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.19．A【分析】由向量线性运算和数量积的定义和运算律可化简已知等式得到22441c a c a -⋅=- ，22441b b c c -⋅=- ，根据向量夹角公式，结合推导出的等式可化简得到cos θ=cos 2θ≥，由此可得θ的最大值.【详解】()2244441OC AC OC OC OA OC OC OA OA⋅=⋅-=-⋅=-，即22441c a c a -⋅=- ，()2224421c a c a c a∴-⋅+=-= ；()2244441OB CB OB OB OC OB OB OC OC⋅=⋅-=-⋅=- ，即22441b b c c -⋅=- ，()2224421b b c c b c∴-⋅+=-= ；设向量4a b - 与2c b -所成夹角为θ，242cos a b c b θ-⋅-∴=()2222211311244444a a b b a b -+-⋅+-+=≥4a b -= 号）；又[]0,πθ∈，max π6θ∴=.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查向量夹角最值的求解问题，解题关键是能根据向量夹角的计的函数的形式，利用基本不等式求解函数的最小值即可得到夹角的最大值.20．72【分析】令OA a = ，OB b =，OC c = ，OB 的中点为D ，AB 的中点为E ，OD 的中点为F，a 与b 的夹角为θ，由题意，计算π3θ=，AB = C 的轨迹为以OD 为直径的圆，利用向量基底表示，将()()222222+=+-- c b BC a AC c 转化为()222243-+-=+ c b CE c a ，然后转化为圆上任意一点到定点距离的最小值进而求解()222+--c ab c 最小值.【详解】令OA a = ，OB b = ，OC c =，OB 的中点为D ，AB 的中点为E ，OD 的中点为F ，a 与b的夹角为θ，连接CA 、CB 、CD 、CO 、EF .由1a = ，2b = ，2a a b =⋅ ，得112cos θ=⨯⨯，1cos 2θ=，因为[]0,πθ∈，所以π3θ=，在OAB中，由余弦定理得AB = 又由22c b c =⋅，得02⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭b c c ，即()0OC OC OD OC DC ⋅-=⋅= ，所以点C 的轨迹为以OD 为直径的圆.因为()()222222+=+-- c b BCa AC c 2222112422EC AB EC AB CE AB⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦uu ur uu u r uu u r uu u r uur uu ur 222114343437222CE EF ⎫⎛⎫=+≥-+≥+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当点C 、E 、F 共线，且点C 在点E 、F 之间时，等号成立.所以22c a c b -+-的最小值为72故答案为：72【点睛】本题解题关键是通过平面向量的几何表示，将问题转化为圆上任意一点到定点距离的最值从而根据几何知识得解.21．494【分析】（1）利用向量线性运算法则和数量积运算法则计算出2O B O C ⋅=-，进而根据AB OB OA =- ，平方后计算出212AB =，从而求出AB =uu u r 设出()cos ,sin P θθ，表达出3sin 2M θ⎫+⎪⎪⎝⎭和2π373sin 34BM θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，利用三角函数有界性求出最大值.【详解】因为2OA OB OC === ，0OA OB OC ++= ，所以()OA OB OC =-+ ，两边平方得：()2222OA OB OC OB OB OC OC =-+=+⋅+ ，即4424OB OC =+⋅+ ，解得：2O B O C ⋅=-，因为AB OB OA =- ，所以222244412AB OB OA OA OB =+-⋅=++= ，因为0AB ≥所以AB =uu u r ；可得到△ABC是等边三角形，且边长为如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直AB 为y轴建立平面直角坐标系，)C，()B ，因为1AP = ，所以设()cos ,sin P θθ，[)0,2πθ∈，由PM MC = 可得：M 是线段PC的中点，则cos 3sin ,22M θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，则222cos 3sin 3733sin cos 22422BM θθθθ++⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭⎝ π373sin 34θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当πsin 13θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，2π373sin 34BM θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 取得最大值，最大值为494.故答案为：494。
高考数学复习考点题型专题讲解 题型46 平面向量运算(解析版)
高考数学复习考点题型专题讲解题型：平面向量运算【高考题型一】：向量几何运算中的平行四边形法则与三角形法则。
『解题策略』：加法运算找首尾相连的向量(从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点)；减法运算要找起点相同的向量(指向被减数)。
1.(2014年新课标全国卷II)设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+ ( ) A. B.21 C.21 D. 【解析】：由三角形中线向量性质得：()()()AD AC AB CB CA BC BA FC EB =+=+-+-=+212121，选A 。
2.(高考题)如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：A.2AC AF BC +=B.22AD AB AF =+A B DE CFC.AC AD AD AB ⋅=⋅D.()()AD AF EF AD AF EF ⋅=⋅其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号)。
【解析】：利用向量平行移动，对于选项A ：2==+=+，正确； 对于选项B ：同上，正确；对于选项C ：数量积可以转化为投影，因为、在上的投影不同，错误； 对于选项D ：同上，正确。
选ABD 。
3.(高考题)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ= 。
【解析】：AO AC AD AB 2==+，2=∴λ。
4.(高考题)已知直角梯形ABCD 中，//,90AD BC ADC ∠=︒，2,1AD BC ==，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为 。
【解析】：由三角形法则(首尾相连的向量)：33()35PA PB PD DA PC CB PD PC CB +=+++=++,当30PD PC +=时最小，最小值为5。
【高考题型二】：平行四边形两条对角线的向量性质。
『解题策略』：a b +与a b -分别是构成平行四边形的两条对角线，注意其几何意义。
※注意两类平行四边形在向量中的应用：①()()a b a b a b =⇔+⊥-(菱形两条对角线互相垂直)；②a b a b a b ⊥⇔+=-(矩形两条对角线相等)；※平行四边形性质：四条边的平方和等于两条对角线的平方和，即222222AB AD AC BD +=+或 222222()()a b a b a b +=++-。