美丽奇妙的勾股树
2024年度美丽奇妙的勾股树
THANKS
感谢观看
2024/3/24
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图案。
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复杂勾股树图案
01
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03
分形勾股树
利用分形几何的原理，构 造出具有自相似性的复杂 勾股树形结构，展现出数 学的无穷魅力。
2024/3/24
勾股幻方
将勾股数填入幻方中，使 每行、每列及两条对角线 上的数字之和相等，形成 独特的数学艺术。
立体勾股树
在三维空间中构造勾股树 形结构，通过透视和光影 效果，呈现出立体感和空 间感。
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创意性勾股树图案
1 2
结合其他数学元素的勾股树
将勾股定理与其他数学元素如圆周率、黄金分割 等相结合，创造出独具特色的数学艺术图案。
以著名数学问题为主题的勾股树
以费马大定理、哥德巴赫猜想等著名数学问题为 主题，设计具有象征意义和内涵的勾股树图案。
交互式勾股树
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利用计算机技术和交互设计，制作出可以与用户 互动的勾股树图案，让观众在参与中感受数学的 魅力。
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拓展数学研究领域
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数学美学研究
勾股树所展现的和谐与美感，为数学美学研究提供有力支持，推 动数学与艺术领域的交叉研究。
数学史研究
勾股树作为古代数学的重要成果，对于研究数学史、了解数学发展 历程具有重要意义。
数学与其他学科的交叉研究
勾股树在物理学、工程学等领域的应用，促进了数学与其他学科的 交叉融合，推动多学科协同发展。
生物运动学
在生物运动分析中，勾股定理可用于计算生物体的运动轨 迹、速度和加速度等参数，有助于揭示生物运动的规律和 机制。
生物医学工程
勾股定理在生物医学工程中应用于医疗器械的设计和优化 ，如手术导航系统的精度计算、医学影像的三维重建等。
1.1 探索勾股定理(第1课时) 八年级上册北师大版
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
思考2 怎样求出C的面积?
C A
B
图1
分割成若干个直角边为整数的三角形 S正方形C = 4×12×3×3 =18（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
练一练 通过对图1的学习，
求出图2正方形A,B,C中面积
各是多少?
C A
解：正方形A的面积是4个 单位面积，正方形B的面积 是4个单位面积，正方形C 的面积是8个单位面积.
探究新知
素养考点 1 利用勾股定理求直角三角形的边长
例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC=5厘米,AC=12厘米,
求斜边AB的长度.
A
解：在Rt△ABC中根据勾股定理, AC²+BC²=AB²， AC=12，BC=5
b
c
所以12²+5²=AB²，
C aB
所以AB²=12²+5²=169， 所以AB=13厘米. 答：斜边AB的长度为13厘米.
勾股树
A
B
素养目标
3.学生初步运用勾股定理进行简单的计算和实际的 应用. 2.在探索过程中，学生经历了“观察-猜想-归纳” 的教学过程，将形与数密切联系起来. 1.通过数格子的方法探索勾股定理；学生理解勾股定 理反映的是直角三角形三边之间的数量关系.
探究新知
知识点 勾股定理的探索
做一做
在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形， 分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长 的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.
_2_4___,斜边为上的高为__4_._8__.
A D
C
B
课堂检测
基础巩固题
1.1.1勾股树欣赏备份
（2）三个 ） 正方形A， 正方形 ， B，C的面 ， 的面 积之间有什 么关系？ 么关系？
A
C
B
图1-3
C A B
图1-4
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
幻灯片 7
议一议
（1）你能用 ） C 三角形的边长表 A 示正方形的面积 吗？ C B (2）你能发 ） A 现直角三角形三 图1-3 边长度之间存在 B 什么关系吗？ 什么关系吗？与 图1-4 同伴进行交流。 同伴进行交流。 厘米、 厘米为直角边作出 （3）分别以 厘米、12厘米为直角边作出 ）分别以5厘米 一个直角三角形，并测量斜边的长度。（ 。（2） 一个直角三角形，并测量斜边的长度。（ ） 中的规律对这个三角形仍然成立吗？ 中的规律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理（gou勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、 如果直角三角形两直角边分别为 、b, 斜边为c， 斜边为 ，那么 c 2 2 2 a
a +b = c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。 于斜边的平方。 在西方又称毕达 哥拉斯定理耶！ 哥拉斯定理耶！
图1-4
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
幻灯片 7
议一议
（1）你能用三 ） 角形的边长表示 正方形的面积吗？ 正方形的面积吗？
（2）你能发现 ）
A
C
直角三角形三边 长度之间存在什 么关系吗？ 么关系吗？与同 伴进行交流。 伴进行交流。
B
图1-3
C A B
图1-4
C A B C 图1-1 A B 图1-2
勾股定理奇闻异事
勾股定理奇闻异事历史的误会大约在公元前l100年左右，我国周朝初年，周武王的弟弟周公与数学家商高进行了一次伟大的历史性对话。
周公问商高：“听说您对数很精通，请问古代伏羲如何测定天体的位置?要知道天是不可能用梯子攀登上去的，地也无法用尺子来测量，请问数是从哪里来的呢?”商高回答说：“数的方法是从研究圆形和方形开始的，圆形是由方形产生的，而方形又是由折成直角的矩尺产生的。
在研究矩形前需要知道九九口诀。
设想把一个矩形沿对角线切开，使得短直角边(勾)长为3，长直角边(股)长为4，斜边(弦)长则为5。
以弦为边作一正方形，并用四个与上述直角三角形一样的半矩形把它围成一个方形盘。
从它的总面积49中，减去由勾股弦均分别为3、4、5的四个直角三角形构成的2个矩形的面积24，便得到最初所作正方形的面积25。
这种方法称为‘积矩’。
”这个故事记载于我国古代“算经十书”之一的《周髀算经》，其含义就是对直角三角形(图1．1)的特例即勾3、股4、弦5作出了直观的、简捷易懂的说明，它表明世界上最早发现并深入研究勾股定理的历史可以追溯到我国的周朝时期。
然而，在西方，直到公元前6世纪，古希腊数学家、天文学家、哲学家毕达哥拉斯才发现了“直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方”，千百年来，西方人却把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”。
殊不知，历史的真相是毕达哥拉斯的发现晚了中国人的发现500—600年。
这种历史的误会不能不令人感到十分遗憾!“弦图”与勾股定理对于商高所说的“积矩”，三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，以我国古代证明几何问题的一种独特方法——割补原理，做了进一步的直观演算。
他画“弦图’’，将图形的各部分分别涂以不同的颜色，然后经过适当地拼补搭配，使其“出入相补，各从其类”，如图1．2所示。
图1．2赵爽的“弦图”商高的“积矩”可用现代数学表述为：如图1．3所示，把矩形ADBC用对角线AB分成两个直角三角形，然后以AB为边长作正方形BMNA，再用与直角三角形BAD相同的三角形把这个正方形围起来，形成一个新的正方形(方形盘)DEFG，其面积为(3+4)2=49，而这四个直角三角形的面积等于两个矩形ADBC的面积之和，即2×3×4=24。
2024年度美丽的勾股树
水利工程师在设计水坝、桥梁等工程时，需要利用勾股定理来计算水流对结构的作用力。
勾股定理在水利工程中的应用
机械工程师在设计机械零件时，需要利用勾股定理来计算零件的精度和配合间隙。
勾股定理在机械工程中的应用
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勾股定理在计算机图形学中的应用
01
计算机图形学中的很多算法都涉及到向量的计算，而勾股定理是向量计算的基础。
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勾股树在三角函数中的应用
勾股树可以用来推导三角函数的基本性质和公式，如正弦、余弦、正切等函数的定义和性质。
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CHAPTER
勾股树在其他领域应用
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建筑师在设计建筑时，需要利用勾股定理来计算结构的稳定性和承重能力。
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勾股定理是初等几何中的一个基本定理，也是数学中的重要内容之一。
它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，如计算三角形的面积、求解直角三角形中的未知边长等。
勾股定理及其逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要方法，具有极高的实用性和理论价值。
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2024/3/24
02
CHAPTER
欧拉勾股树
瑞士数学家欧拉对勾股定理做出了重要贡献，以他的名字命名的欧拉勾股树在数学界享有盛誉。
毕达哥拉斯勾股树
古希腊数学家毕达哥拉斯提出的勾股定理，以他的名字命名的勾股树具有深远的历史意义。
中国古代勾股树
中国古代数学家在《周髀算经》等著作中提出了具有中国特色的勾股定理证明方法，相应的中国古代勾股树也独具魅力。
2024版美丽的勾股树课件
勾股树不仅具有外在的美感，还蕴含着丰 富的数学内涵。通过勾股树，可以深入理 解勾股定理、无理数、分数等数学概念。
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美丽勾股树应用领域
数学教育
美丽勾股树可以作为数学教育的辅 助工具，帮助学生更直观地理解抽 象的数学概念，提高数学学习的兴 趣和效果。
艺术创作
艺术家们可以从美丽勾股树中汲取 灵感，创作出具有数学美感的艺术 作品，展现数学与艺术的交融之美。
的重要作用。
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06
总结与回顾
2024/1/29
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关键知识点总结
2024/1/29
勾股定理的定义与证明
01
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是数学中的
重要定理之一。
勾股树的构造方法
02
通过不断在直角三角形上构造新的直角三角形，可以生成一棵
美丽的勾股树。
勾股树在数学中的应用
03
勾股树不仅具有美学价值，而且在数学中有广泛应用，如用于
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下一步学习计划
2024/1/29
拓展勾股树的应用领域
进一步探索勾股树在数学中的应用，如研究其在三角函数、解析 几何等领域的作用。
学习相关数学知识
为了更好地理解和应用勾股树，我需要学习更多相关的数学知识， 如三角函数、数列与极限等。
提高解题能力
通过大量练习和参加数学竞赛等方式，提高自己的解题能力和数学 素养。
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数学中简洁美体现
勾股定理的简洁性
勾股定理是数学中最著名的定理 之一，它用简单的语言和符号表 达了直角三角形三边之间的关系， 这种简洁性使得勾股定理易于理
解和应用。
数学符号的简洁性
数学符号的使用大大简化了数学 表达和计算的过程，如加减乘除、 等号、不等号等符号，它们以简 洁的形式传递着复杂的数学信息。
几何画板：如何绘制勾股树
几何画板：如何绘制勾股树————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：几何画板课件：如何绘制勾股树美丽奇妙的勾股树，又称毕达哥拉斯树，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名。
下面将讲解利用几何画板绘制勾股树的制作方法。
几何画板制作勾股树的具体的步骤如下：1、用旋转的方法画正方形ABCD（1）绘制出线段AB。
（2）双击点A，把点A标记为旋转中心。
选中点B，选择“变换”—“旋转”命令，将点B旋转90度，得到点D。
（3）双击点D，把点D标记为旋转中心。
选中点A，选择“变换”—“旋转”命令，将点A旋转－90度，得到点C。
（4）绘制出线段AD、DC、BC。
在几何画板中用旋转的方法画正方形ABCD示例2、构造DC的中点E，并以点E为圆心，EC为半径构造圆（1）选中线段DC，选择“构造”—“中点”命令，绘制出DC的中点E。
（2）依次选中点E和点C，选择“构造”—“以圆心和圆周上点绘圆”命令。
构造DC的中点E并构造圆E3、构造圆弧CD，并在弧CD上取点F（1）选中点C、D和圆E，选择“构造”—“圆上的弧”命令。
（2）保持弧的选中状态，选择“构造”—“弧上的点”命令，任意绘制出点F。
构造圆弧CD，并在弧CD上取点F4、构建勾股树动画按钮（1）选择点F，单击“编辑”—“操作类按钮”—“动画”，打开“操作类按钮动画点的属性”对话框，选择“动画”选项卡，将“方向”设为“双向”；“速度”设为“慢速”。
（2）再选择“标签”选项卡，在标签栏输入“勾股数动画按钮”，单击“确定”。
（3）把按钮的位置调整，如下图所示。
构建勾股树动画按钮并调整到相应位置5、隐藏部分对象隐藏圆E、圆弧CD、点E，如下图所示。
隐藏圆E、圆弧CD、点E6、度量出FD的长度，构造出正方形的内部（1）选择动点F和定点D，单击“度量”——“距离”，测出距离FD；（2）选择点A、B、C、D，单击“构造”—“四边形内部”。
美丽奇妙的勾股树
THANKS
感谢您的观看
图形渲染与可视化效果 为了实现勾股树的高质量可视化效果，需要研究高效的图 形渲染技术和可视化算法。
跨平台应用与兼容性 为了满足不同用户的需求，需要开发跨平台的应用程序， 并确保在各种设备和操作系统上的兼容性。
推广应用前景展望
教育领域
将勾股树作为数学、艺术、计算 机科学等多个学科的教学工具， 帮助学生更好地理解相关概念和
当达到预设的递归深度或满足特定条件时，递归过程终止。
无限分支结构特性分析
分支生长规律
01
勾股树的分支按照特定规律生长，形成无限分支结构。
分支长度与角度关系
02
不同分支的长度和角度之间存在一定的关系，可通过数学模型
进行描述。
无限性与有限性辩证统一
03
虽然勾股树具有无限分支结构，但在实际绘制和计算中需要考
计算机科学与可视化技术
利用计算机科学和可视化技术，模拟和呈现勾股树的生长过程，为 科学研究和教育提供直观、生动的工具。
生物学与生态学的启示
借鉴勾股树的分形结构和生长规律，研究生物学和生态学中的相关 问题，如生物形态、生态系统稳定性等。
技术实现难题及解决方案
数据处理与计算能力 勾股树的复杂结构需要强大的数据处理和计算能力支持， 可通过优化算法、提高计算效率等方式解决。
数学教育
勾股树作为数学美的体现， 可以用于数学教育中，帮 助学生更直观地理解勾股 定理。
艺术设计
艺术家可以利用勾股树的 形态美感进行创作，设计 出独特的艺术品或装饰品。
计算机图形学
在计算机图形学中，勾股 树可以作为一种基本的图 形元素，用于构建更复杂 的图形或场景。
03
美学价值：对称与
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美丽奇妙的勾股树
勾股树，又称毕达哥拉斯树，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名。
那些数学特有的图形和数字能和“美丽”划上等号吗?利用勾股定理画出的“美丽的勾股树”，就具有浓浓的数学味。
…
从每一个图中两个较小的正方形出发，又可以分别作出一个第三代的勾股定理图（下图），就这样一生二、二生四、四生八，继续繁殖下去，就长成了图1那样的大树，整棵大树完全是由勾股定理图形组成的，把它叫做勾股树，名副其实，非常恰当。
通过改变第一代勾股定理图中直角三角形三边的比例，或者在繁殖过程中适当改变两条直角边的方向，可以得到不同图形的勾股树，就是另外一幅美丽的勾股树形图。
如果自己动手，画一幅勾股树，填上五彩缤纷的颜色，用来装饰教室里的墙报，或是美化自己的房间，会显得别具一格，自己看了心旷神怡，朋友看了也会击掌称奇的。
利用电脑的绘图软件（如几何画板），可以大大简化勾股树的画图过程，如果编制专门的画图程序，画起来就更简便了。
美丽的勾股树除了用来欣赏之外，中考数学试题也出现这一类题目，可能这是许多在学生在欣赏之外唯一的不足点吧！
（2009•达州）如下图（左边）是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是()
A.13
B.26
C.47
D.94
分析：根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积。
解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，即：S3=9+25+4+9=47。
故选C.
点评：能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积.
看吧，数学原来也可以这么美!。