伯努利概型
二项概型和伯努利概型
二项概型和伯努利概型二项概型和伯努利概型一、引言概率论是数学中的一个重要分支，研究的是随机事件发生的规律。
二项概型和伯努利概型是概率论中的两个核心概念，旨在描述重复试验中的随机事件。
本文将对二项概型和伯努利概型进行介绍和解析，以便读者更好地理解和应用概率论的相关知识。
二、二项概型的定义和特点1. 二项概型的定义二项概型是指在一次试验中，重复进行n次相互独立的伯努利试验，并且每次试验只有两个可能的结果，成功和失败。
2. 二项概型的特点（1）每次试验结果只有成功和失败两种可能性；（2）每次试验的结果互相独立，前一次试验的结果不会影响后一次试验的结果；（3）每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p；（4）在n次试验中，成功次数的概率分布呈现二项分布。
三、二项概型的应用1. 二项概型在统计学中的应用二项概型在统计学中起到了非常重要的作用，经常被用来描述一系列试验中成功次数的概率分布。
例如，在调查中，我们可以使用二项概型来计算某个事件发生的概率，比如学生通过考试的概率，企业产品合格率的概率等。
2. 二项概型在风险管理中的应用在风险管理方面，二项概型经常被用来计算特定事件的发生概率，以便制定相应的风险控制策略。
通过对二项概型的分析，可以更好地评估和管理风险，提高决策的科学性和合理性。
四、伯努利概型的定义和特点1. 伯努利概型的定义伯努利概型是二项概型的一种特殊情况，即在一次试验中，只进行一次伯努利试验。
伯努利试验仅有两种可能的结果，成功和失败。
成功的概率为p，失败的概率为1-p。
2. 伯努利概型的特点（1）仅进行一次试验，结果只有成功和失败两种可能性；（2）成功的概率为p，失败的概率为1-p；（3）伯努利试验的结果互相独立。
五、伯努利概型的应用伯努利概型常常应用于具有两种可能结果的离散性随机事件中。
比如在金融市场中，我们可以使用伯努利概型来计算某只股票上涨或下跌的概率，以评估投资的风险。
六、总结二项概型和伯努利概型是概率论中的重要概念，它们描述和分析了在重复试验中的随机事件发生的规律。
伯努利概型的实际应用
伯努利概型的实际应用引言：伯努利概型是概率论中的重要概念，用于描述随机试验中的两个互斥事件的概率关系。
伯努利概型不仅在理论研究中有重要意义，也有广泛的实际应用。
本文将介绍伯努利概型在实际应用中的几个典型案例，并探讨其应用的意义和效果。
一、风险评估与投资决策在金融领域，伯努利概型常被用于风险评估和投资决策。
假设某投资者面临两个互斥事件：投资成功和投资失败。
通过对历史数据和市场趋势的分析，可以估计投资成功的概率p和投资失败的概率q=1-p。
基于这些概率，投资者可以计算预期收益和风险，并做出相应的投资决策。
例如，如果预期收益大于风险所承担的代价，投资者可能会选择进行投资；反之，如果风险过大，投资者可能会选择回避风险。
二、品质控制与质量改进在制造业中，伯努利概型被广泛应用于品质控制与质量改进。
假设某生产流程中存在两种互斥的事件：产品合格和产品不合格。
通过对抽样数据的统计分析，可以估计产品合格的概率p和产品不合格的概率q=1-p。
基于这些概率，企业可以评估产品质量，并采取相应的质量改进措施。
例如，如果产品质量不合格的概率较高，企业可以优化工艺流程、加强质量管理，以提高产品合格率。
三、疾病诊断与预防在医学领域，伯努利概型被应用于疾病诊断与预防。
假设某疾病的诊断结果存在两个互斥的事件：患病和不患病。
通过对大量的病例数据和医学知识的分析，可以估计患病的概率p和不患病的概率q=1-p。
基于这些概率，医生可以判断患者是否患有该疾病，并采取相应的治疗和预防措施。
例如，如果患病的概率较高，医生可以进一步进行检查和确诊，并及时进行治疗；反之，如果患病的概率较低，医生可以进行健康指导和预防教育，减少患病风险。
四、市场营销与用户行为分析在市场营销领域，伯努利概型被用于用户行为分析和市场预测。
假设某产品存在两个互斥的购买事件：购买和不购买。
通过对大量用户数据和市场调研的分析，可以估计购买的概率p和不购买的概率q=1-p。
基于这些概率，企业可以了解用户购买行为的特点和规律，并制定相应的市场推广策略。
1.5_伯努利(Bernoulli)概型
2017年3月25日星期六
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解 设系队得胜人数为 X ，则在上述三种方案中，系队 胜利的概率分别为
(1) P X 2 C 0.4 0.6
k 2 5 k 3 k k 5 k
3
3 k
0.352. 0.317. 0.290.
(2) P X 3 C 0.4 0.6
§1.5 伯努利(Bernoulli)概型
2017年3月25日星期六
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定义 1：如果随机试验只有两个可能结果： A 与 A ， 其中 P(A)=p, P( A )=1-p=q, 为伯努利试验 .
__
__
0＜p＜1, 则称该试验
定义 2：独立地重复 n 次伯努利试验，称为 n 重伯 努利试验，也称伯努利概型.
在 n 重伯努利试验中，我们将事件 A 发生 k 次的概 率记作 B(k;n,p).
2017年3月25日星期六
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在 n 重 伯 努 利 试 验 中 ， 设 P( A) p ， P( A) 1 p q (其中 0 p 1 )，则事件 A 恰好发生 k 次 的概率为： k k n k k k n k P ( k ) C p (1 p ) C , (k 0,1, 2,, n) . n n n p q 定理
2017年3月25日星期六
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【例】 某人有一串 m 把外形相同的钥匙， 其中只有一把 能打开家门． 有一天该人酒醉后回家， 下意识地每次从 m 把钥匙中随便拿一只去开门，问该人在第 k 次才把门打 开的概率 多大？
1-6伯努利概型
定义1 若大量重复试验满足以下两个特点:
可能的结果为有限个，且在相同的条件下重复 进行； 各次试验的结果相互独立. 则称这一系列试验为独立试验序列或独立试验概型.
定义2 若n 次重复试验具有下列特点：
1) 每次试验的可能结果只有两个A 或 A ,
且 P ( A) p, P ( A ) 1 p ( 在各次试验中p是常数，保持不变）
2 2
1 当 p 时, 2
1 1 p2 p1; 当 p 时 p2 p1 . 2 2
1 故当 p 时, 对甲来说采用五局三胜 制为有利 . 2 1 当 p 时, 两种赛制甲、 乙最终获胜的概率 2 是相同的, 都是 50% .
, 例2 一批产品有20%的次品, 进行重复抽样检查 共取5件样品, 计算这5件样品中(1)恰好有3件次品的 概率, ( 2)至多有3件次品的概率.
解 设A0 , A1 , A2 , A3分别表示5件样品中恰好
有0件, 1件, 2件, 3件次品, A表示至多有件次品 ,则
3 P( A3 ) C5 (0.2)3 (0.8)53
有4件废品，问我们能否相信此工厂出废品的概 率不超过0.005？ 解 假设此工厂出废品的概率为0.005，则200件 产品中出现4件废品的概率为
4 p C200 0.0054 0.995196 0.015
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可认为工厂的废品率不超过0.005的说法是不
解
设Bm表示4道题中碰对m道题这一事实 ,则 m 1 m 3 4 m P ( Bm ) C4 ( ) ( ) ( m 0,1,2,3,4) 4 4 0 1 0 3 4 0 经计算得 P ( B0 ) C 4 ( ) ( ) 0.316 4 4 3 1 3 3 4 3 P ( B3 ) C 4 ( ) ( ) 0.048 4 4
伯努利概型方差公式
伯努利概型方差公式前几天写了一个概型方差公式，估计大家还没有来得及了解，这篇文章将继续写概型方差公式。
不过最近，网上出现了很多类似的数学公式，比如方差公式等等。
下面我们将介绍一个比较常用的算法：伯努利概型方差公式(Bennett Freedom Mathematical Mechanical Solutions),也就是伯努利方差公式(Bennett Freedom Mathematical Mechanical Solutions)。
伯努利概型方差公式使用两个自变量（观测值之差）来描述方差函数。
我们知道观测值的方差函数为自变量与观测值之差——通常以观测值为变量（即观测值）。
通常在求解方差方程时会用到这两个概念：观测值之差（如图1);而在求解方差方程时则通常将这两种概念结合起来来表达了一个数学计算过程并且可以用于方差方程中分析实际情形。
下面我们分别介绍伯努利概型方差公式及其求解原理和具体应用。
一、伯努利概型方差公式的原理假设有两个观测值分别是 y和 z,则用一元数表达式定义(1)和(2)式：其中 k为观测值之差; b为零，称(1- b))。
这里 p就是观察值的差异性。
在这个问题中，假定观测值 a、 b和 c 分别为 p (u, z)、 d和 z? r; e为观测值之差的绝对值；则是由观测值之差所得到的，用离散化后的概率分布形式来描述。
方差方程解时通常需要考虑以下问题：其中 a称为系数β, a和 b 两个变量；在这里 u= i, j是观测值之差；因此 p j为γ i的平方（μ j)时称该问题是一个不确定量分布的函数。
我们假设有两个变量 M与 T分别为正数以及零点 z所在方向的直线与点O的夹角。
1、当给定正假定在给定一个随机变量 x, y, t, z所在方向，即 n点方向上, m, n+1=4。
其中 k为观察值之差; p p j为观察值之差。
其中 p为观测值之差。
定义中的 t是离散分布：设 b对所有观测值之差都为0. b. p是观测值之差; c是离散分布参数; d是分布形式; n为个数。
§1.7事件的独立性与伯努利概型
关于三个事件的相互独立性定义
对于任意三个事件A，B，C，若下述四个等式
P ( AB) P ( A) P B , P ( AC ) P ( A) P C , P ( BC ) P ( B) P C ,
P( ABC ) P( A) P( B) P C ,
25
问题归结为求最小的n使得
P (k ) 0.99 .
k 1 n
n
于是 1 0.4 0.99 ，解此不等式得
n
ln0.01 n 5.026 , ln0.4
所以n至少应取6，即至少需要6人同时射击才能 以99℅以上的概率击中目标．
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三、小概率事件
如果一个事件发生的概率很小，我们就说 它是小概率事件． 在实际生活中，我们常常忽略小概率事件 发生的可能性，并认为小概率事件在一次试验 中不会发生，通常称为小概率原理． ◎虽然人坐飞机出现事故的概率不等于 零，但我们还是很坦然地坐飞机；反过来，一 旦小概率事件发生了，人们会不由自主地诧异
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判断事件的独立性常有三种途径：
◎由实际问题本身决定．如在例1.28中，Ａ与Ｂ 独立性的获知． ◎根据事件独立性的定义及概率计算得知．如在 例1.27中，Ａ与Ｂ的独立性的获知． ◎在已知独立事件的基础经过一些推理得知相
关事件的独立性．如在上述注记4º 的证明中，
由 A 与 B 的独立性推知 A 与 B 的独立性．
例1.30 店内有4名售货员，根据经验每名 售货员平均在一小时内只用秤15分钟，若店内 只有1个台秤，求任一时刻台秤不够用的概 率． 解 在任一时刻，考察一名售货员是否使 用台秤相当于作一次试验，如果使用台秤则视 为成功，否则视为失败，从而每次试验成功的 概率为15/60 =1／4． 现同时考察4名售货员使用台秤的情况， 因此这是每次成功概率为1／4的4重伯努利试验．
§1.6 事件的独立性与伯努利概型
例3 随机投掷编号为 1 与 2 的两个骰子 表示1号骰子向上一面出现奇数 事件 A 表示 号骰子向上一面出现奇数 B 表示 号骰子向上一面出现奇数 表示2号骰子向上一面出现奇数 C 表示两骰子出现的点数之和为奇数 则
P(A) = P(B) = P(C) =1/ 2
P(AB) = P(B ) = P(CA =1/ 4 C )
a2 ba a ② P ( B ) = P ( AB ) + P ( AB ) = + = 2 2 (a + b) (a + b) a+b 这里： 这里： P ( B | A) = P ( B ) P ( AB ) = P ( A) P ( B ) 8
西南财经大学天府学院
若采用不放回摸球： 若采用不放回摸球：则为不独立情形 不放回摸球 a a(a −1) ba P( A) = , P( AB) = , P( AB) = a +b (a + b)(a + b −1) (a + b)(a + b −1)
关键： 甲投中” 关键：”甲投中”与“乙投中”这两事件是独立的。 乙投中”这两事件是独立的。
5 西南财经大学天府学院
一个均匀的正四面体，其第一面染成红色， 例2 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面 染成白色，第三成染成黑色，而第四面同时染上红、 染成白色，第三成染成黑色，而第四面同时染上红、白、 黑三种前面颜色。现在以A、B、C分别记投一次四面体 黑三种前面颜色。现在以 、 、 分别记投一次四面体 出现红、 黑颜色的事件.判断它们的独立性 判断它们的独立性。 出现红、白、黑颜色的事件 判断它们的独立性。 易知： 易知： P( A) = P( B) = P(C ) =
伯努利概型
第一章随机事件及其概率第八讲伯努利概型教授主讲教师胡发胜一试验的独立性121212 ,,,,,,n n n n E E E E E E n E E E 类似地可以定义个试验的相互独立性：如果试验的任一结果，试验的任一结果，，试验的任一结果都是相互独立的个事件，则称试验相互独立.121212 .E E E E E E 设有两个试验和，假如试验的任一结果(事件)与试验的任一结果(事件)都相互独立， 定义相则称试和互独立验利用事件的独立性可以定义两个或多个试验的独立性.=0.810.p 对某种药物的疗效进行考察，设这种药物对某种疾病的有效率为，现有名患此种疾病的患者同时服用该药，求至少有6名患者服药有例 效的概率 {}-======⋅⋅≈∑∑101010101066:100.8()()0.80.20.97.k kkk k n p A P A P k C 这是贝努利概型，，，记 至少有6名患者服药有效 =解0.60.4 甲乙两名运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为.比赛可采用三局两胜制或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下，甲获胜的例 可能性大？======+=+⨯=+⨯⨯⨯=121121222212:1"2:0""2:1"()()()()(2)(1)0.60.60.60.40.60.648A A P P A A P A P A P P C （）若采用三局两胜制，则下列两种情况下甲获胜甲胜前两局，前两局各胜一局，第三局甲胜.则 甲胜 解=======++=++=+⨯+⨯=+⋅⋅123212312333432232"3:0""3:1""3:2" ()()()()()(3)(2)0.6(2)0.60.60.60.4B B B P P B B B P B P B P B P P P C （）若采用五局三胜制，则下列三种情况下甲获胜甲胜前三局，前三局甲胜二局，第四局甲胜. 前四局甲乙各胜两局,第五局甲胜则 甲胜 ⋅+⋅⋅⋅=22240.60.60.40.60.682C 结论：五局三胜制甲获胜的可能性大..——本讲小结伯努利概型有着广泛的应用，希望大家牢记其计算公式. 下一章我们还将研究伯努利概型的性质 我们将学习第二章的内容 下一 讲随机 变量及 其分布.。
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C= A6 A7 A8 A9 A10 P(C)=P(A6)+P(A7)+P(A8)+P(A9)+P(A10)
6 7 8 9 P(C)= C10 0.25 6 0.75 4 C10 0.25 7 0.75 3 C10 0.25 8 0.75 2 C10 0.25 9 0.751
授课主要内容或板书
伯努利概型 活动一：讨论 n 次独立试验特点 活动二：讨论伯努利概型概率计算公式 任务一：引例（计算结果） 任务二：1、 任务三：完成练习 任务四：作业 2、
课堂教学安排
学生预习内容
n 次伯努利试验
课堂教学安排 主要活动内容（知识点） 学生活 动 教师活动
n 次独立试验：
活动一：
代 表 回 答
公式特征： Pn (k ) 正好是 [ P (1 P)] 二项展开式按 P 的升幂排列
n
的第 k+1 项 会务一：计算试验中某同学及格的概率 解： 试验次数 n=10， 选对， P( A) 0.25, P( A) 1 P 0.75 A= P 引导
Ai 道题中选对了i道(i 0,1,2,10) ，C= 考试及格 10
课题序号 授课课时 授课章节 名 称 使用教具
1 2
授课班级 授课形式
10.2 伯努利概型
教学目标
1. 会识别独立试验序列，并会判别伯努利概型 2. 掌握伯努利概型的概率计算公式 1. 伯努利概型的识别 2. 伯努利概型的概率计算公式
教学重点
教学难点
更新、补 充、删节 内 容
补充教与学例题
课外作业
教学后记
k P( Bk ) C n P k (1 P) n k
引导、示 范
板书 集 体 探 讨
小 组 讨 表述：在 n 次独立重复试验中，若一次试验事件 A 发生的概率是 P， 论
则 n 次中事件 A 恰好发生 k 次（ k n ）的概率为
k Pn (k ) C n P k (1 P) n k
归纳 小 组 讨 论Fra bibliotek+ C 10 0.25 0.75 0.0197
10 10 0
结论：该学生能蒙混过关的可能性不到 2% 任务二：1. 将 5 个不同的球放入 10 个不同编号的盒中（每盒球数不 限） ，求 1 号盒恰有 2 球的概率。 解： 法一：这是 5 次放球入盒的独立重复试验，设 A= 球放入1号盒内
n 次独立试验：
一次测验，试卷上有 10 道 4 选 1 的选择题，某位学生想碰运气，能 及格的概率有多大？ 讨论：设 A= 选对 ， A 选错，在这样的试验中，A 发生 k 次 （ k 10 ）的可能性有多大？若及格，则 k 6 。 试验的特点： （独立、重复） （1）每次试验都是独立的； （2）每次试验的结果只有两个（发生与不发生） ； （3）每次试验结果发生的概率相同。 此试验称为 n 次伯努利试验，把求事件 A 恰好发生 k 次（ k n ）的 概率问题称为伯努利概型或独立重复试验概型。 活动二：讨论伯努利概型的计算公式 设在一次试验中 A 发生的概率为 P(A)=P， P( A) 1 P 记 Bk 在n次独立重复试验中A发生k次
3 ） 8
2. 某人投篮命中率为 0.7，求他投 10 次中 8 次的概率。
（0.233） 3. 有甲、乙、丙三种产品，每种产品的合格率都是 P，从这三种产品 中各抽取 1 件样品，求 3 件样品中恰有 1 件次品的概率。 （3P2(1-P)） 任务四：完成教与学 第一课时
课堂检测
6. 小结 设在一次试验中 A 发生的概率为 P(A)=P， P( A) 1 P 记 Bk 在n次独立重复试验中A发生k次 小 结
P( A)
1 , P5 ( 2) C52 0.12 0.9 3 0.0729 10
2
法二：2 球放入 1 号盒共有 C 5 种情形，剩余 3 球放入 2—10 号盒中 共 93 种放法，其本事件总数为 105 种。 P( A)
C52 9 3 0.0729 10 5
2. 一种电子元件次品率为 1%，以每盒 100 只标准分装，为了保障客 户的利益， 厂方拟在每盒内多放几个备用品， 以保证每盒有 99%的可 能性有 100 只正品，盒内应多放几只为宜。 解：略 任务三：完成下列练习 1. 抛掷 3 枚硬币，求出现两个正面的概率。 （