集合小结

集合小结➢ 教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．➢ 教学过程 一、知识点归纳 1．集合①定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，每个对象叫做集合的元素。

②表示方法：列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，如{a,b,c} 描述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式为：P={x ∣P(x)}.如：}1),({},1{},1{-=-=-=x y y x x y y x y x又如:{x ︱x ≥1}与{y ︱y=x 2-2x+2} 图示法：用文氏图表示题中不同的集合。

③分类：有限集、无限集、空集。

④性质： 确定性：A a A a ∉∈或必居其一，互异性：不写{1，1，2，3}而是{1，2，3}，集合中元素互不相同， 无序性：{1，2，3}={3，2，1}2．常用数集复数集C 实数集R 整数集Z 自然数集N 正整数集*N （或N+） 有理数集Q3．元素与集合的关系A a A a ∈∉或4．集合与集合的关系①子集：若对任意A x ∈都有B x ∈[或对任意B x ∉都有A x ∉] 则A 是B 的子集。

记作：A B B A ⊇⊆或 C A C B B A ⊆⇒⊆⊆, ②真子集：若B A ⊆，且存在A x B x ∉∈00,但，则A 是B 的真子集。

记作：AB[或“B A B A ≠⊆且”] A B ，B CA C③B A A B B A =⇔⊆⊆且④空集：不含任何元素的集合，用φ表示 对任何集合A 有A ⊆φ，若φ≠A 则φ A注：}{}0{}{φφφ≠≠≠a a5．子集的个数若},,{21n a a a A Λ=，则A 的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为2n个，2n-1个和2n-2个。

满足{}{}n A ,,3,2,13,2,1Λ⊆⊆的集合A 的个数为32-n 。

6．交集}{B x A x x B A ∈∈=且IABA BA B7．并集}{B x A x x B A ∈∈=⋃或ABABA B8．全集如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用U 表示。

9．补集}{A x U x x A C U ∉∈=且AU C U A10．常用运算性质及一些重要结论 ①A B B A A A A A I I I I ===φφ ②A B B A AA A A A Y Y Y Y ===φ③U A C A A C A U U ==Y I φ④B A B B A B A A B A ⊆⇔=⊆⇔=Y I⑤)()()()()()(B C A C B A C B C A C B A C U U U U U U I Y Y I ==⑥)()()()(B A Card B Card A Card B A Card I Y -+=二、主要运用方法1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键． 三、应用举例例1：在集合{}22,1,122+---=a a a a A 中，a 的值可以是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．1或2 答案：A例2：设集合},214{},,412{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，则（ ） A ．M = N B ．M N C ．M N D ．M ∩N=φ 分析:}42{},214{},,412{},412{Z k k x x Z k k x x N Z k k x x Z k k x x M ∈+==∈+==∈+==∈+==应选B例3：设集合{}01|≤<-=m m P ， {}恒成立对任意实数x mx mx R m Q 044|2<-+∈=，则下列关系中成立的是（ ）A ．P QB ．Q PC ．P ＝QD ．Q Q P =I答案：C例4：已知非空集合M ⊆{1,2,3,4,5},且若a ∈M,则6-a ∈M ，求集合M 的个数[P8变式] 解：∵M ⊆{1,2,3,4,5}，且若a ∈M,则6-a ∈M∴若1∈M ，则5∈M ，反之亦然，∴1∈M 且5∈M ，或1∉M 且5∉M 同理：2∈M 且4∈M ，或2∉M 且4∉M 3∈M 且6-3∈M ， 又∵M 是非空集合，∴M 个数为23-1=7例5：已知}023{},02{22≤+-=≤+-=x x x B a x x x A ，且A B ，求实数a 的取值范围。

解：可得}21{≤≤=x x B对于A ：∆<0即a>1时,A=φ,A B ∆=0即a=1时,A={1},A B∆>0即a<1时,}1111{a x a x A -+≤≤--=,A B 不成立， 综上所述：所求a 的范围是[1，+∞]例6：记函数132)(++-=x x x f 的定义域为A ，)1)](2)(1lg[()(<---=a x a a x x g 的定义域为B 。

（1）求A ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围。

解：(1)2－13++x x ≥0, 得11+-x x ≥0, x <－1或x ≥1 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞) (2) 由(x －a －1)(2a －x )>0, 得(x －a －1)(x －2a )<0. ∵a <1,∴a +1>2a , ∴B=(2a ,a +1). ∵B ⊆A, ∴2 a ≥1或a +1≤－1, 即a ≥21或a ≤－2, 而a <1, ∴21≤a <1或a ≤－2, 故当B ⊆A 时, 实数a 的取值范围是 (－∞,－2)∪[21,1]例7：已知x ∈R,，y ∈N*，A={y/y =-x 2-2x +18}，求A ∩B. 解：}2{}2)2({}64}{22≥=+-==+-==y y x y y x x y y A}19{}19)1({}182}{22≤=++-==+--==y y x y y x x y y B *∈≤≤=N y y y B A ΘI }192{ }19,18,,4,3,2{ΛI =∴B A例8：已知集合}90{}06{2<-<=<--=m x x B x x x A ①若B B A =Y ，求实数m 的取值范围； ②若φ=B A I ，求实数m 的取值范围。

解：}9{}32{+<<=<<-=m x m x B x x A Θ ①B A B B A ⊆∴=Y Θ2662392-≤≤-⎩⎨⎧-≥-≤∴⎩⎨⎧≥+-≤m m m m m 即 ②φ=B A I Θ311329≥-≤≥-≤+∴m m m m 或即或例9：设}01{}032{2=-==--=ax x N x x x M ，若N N M =I ，求所有满足条件的a 的集合。

解：M={-1，3} M N N N M ⊆∴=I Θ ①当φ=N 时，ax-1=0无解，∴a=0②a x N 1,=≠时当φ 311311131=-=∴=-=∴=-=∴a a a a x x 或或或综①②得：所求集合为{-1，0，31}例10：已知集合φ=+==-==N M b x y y x N x y y x M I 且}),({}9),({2，实数b 的取值范围。

解：φ=N M I Θ，∴两点集M 与N 无公共点点集M 是一个半圆，点集N 是随b 变化的一组平行直线233,),(2121>-<∴=+=b b N M l l l l b x y 或满足时不包括外侧与在φI例11：已知}3{},1,13,3{}3,1,{22-=+--=-+=B A a a a B a a A I 若，求a 的值。

解：⎪⎩⎪⎨⎧+≠-+≠-=-⎪⎩⎪⎨⎧+≠-+≠-=-1313131131332222a a a a a a a a a a 或 320-==a a 或检验：}1,3{}1,1,3{}3,1,0{0-=--=-==B A B A a I 时当32}3{}1,3,311{}3,31,94{32-=∴-=--=-=-=a B A B A a I 时当例12：某校组织高一学生对所在市的居民中拥有电视机、电冰箱、组合音响的情况进行一次抽样调查，调查结果：3户特困户三种全无；至少有一种的：电视机1090户，电冰箱747户，组合音响850户；至少有两种的：电视机、组合音响570户，组合音响、电冰箱420户，电视机、电冰箱520户，“三大件”都有的265户。

调查组的同学在统计上述数字时，发现没有记下被调查的居民总户数，你能避免重新调查而解决这个问题吗？解：设拥有电视机、电冰箱、组合音响的居民户的集合分别是A 、B 、C ， 由文氏图得，被调查总居民户数为：265+125+72+305+155+255+265+3=1445（户） 答：被调查总居民户数为1445户。

例13：设全集{}|010,U x x x N *=<<∈，若{}3A B =I ，{}1,5,7U A C B =I ，{}9U U C A C B =I ，则A ={}1,3,5,7，B ={}2,3,4,6,8．解法要点：利用文氏图．A B C 265722553051251552653例14：已知集合{}32|320A x x x x =++>，{}2|0B x x ax b =++≤， 若{}|02A B x x =<≤I ，{}|2A B x x =>-U ，求实数a 、b 的值． 解：由32320x x x ++>得(1)(2)0x x x ++>，∴21x -<<-或0x >，∴(2,1)(0,)A =--+∞U ，又∵{}|02A B x x =<≤I ，且{}|2A B x x =>-U ， ∴[1,2]B =-，∴1-和2是方程20x ax b ++=的根， 由韦达定理得：{1212a b-+=--⨯=，∴{12a b =-=-．说明：区间的交、并、补问题，要重视数轴的运用．例15：已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，1{(,)|0}2y B x y x -==-，则A B =I φ； A B =U {(,)|(2)(1)0}x y x y y --=；（参见《高考A 计划》考点2“智能训练”第6题）． 解法要点：作图．注意：化简{(,)|1,2}B x y y x ==≠，(2,1)A ∈．例16：已知集合{}2(,)|20,A x y x mx y x R =+-+=∈，{}(,)|10,02B x y x y x =-+=≤≤，若A B φ≠I ，求实数m 的取值范围．分析：本题的几何背景是：抛物线22y x mx =++与线段1(02)y x x =+≤≤有公共点，求实数m 的取值范围．解法一：由{22010x mx y x y +-+=-+=得2(1)10x m x +-+= ①∵A B φ≠I ，∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解， 首先，由2(1)40m ∆=--≥，解得：3m ≥或1m ≤-． 设方程①的两个根为1x 、2x ，（1）当3m ≥时，由12(1)0x x m +=--<及121x x ⋅=知1x 、2x 都是负数，不合题意； （2）当1m ≤-时，由12(1)0x x m +=-->及1210x x ⋅=>知1x 、2x 是互为倒数的两个正数，故1x 、2x 必有一个在区间[0,1]内，从而知方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解， 综上所述，实数m 的取值范围为(,1]-∞-．解法二：问题等价于方程组{221y x mx y x =++=+在[0,2]上有解，即2(1)10x m x +-+=在[0,2]上有解，令2()(1)1f x x m x =+-+，则由(0)1f =知抛物线()y f x =过点(0,1)，∴抛物线()y f x =在[0,2]上与x 轴有交点等价于2(2)22(1)10f m =+-+≤ ①或22(1)401022(2)22(1)10m mf m ∆=--≥⎧-⎪<<⎨⎪=+-+>⎩ ② 由①得32m ≤-，由②得312m -<≤， ∴实数m 的取值范围为(,1]-∞-．四、巩固练习1．设全集为U ，在下列条件中，是B A ⊆的充要条件的有 （ ） ①A B A =U ，②U C A B φ=I ，③U U C A C B ⊆，④U A C B U =U ， ()A 1个()B 2个()C 3个()D 4个答案：D2．集合{(,)|||}A x y y a x ==，{(,)|}B x y y x a ==+，若A B I 为单元素集，实数a 的取值范围为[1,1]- ． 五、小结1．集合中元素的性质（互异性），求值问题要注意检验互异； 2．元素与集合之间的关系；3．集合与集合之间的关系，不要忘记“φ”的考虑； 4．子集个数问题；5．含参问题常用转化思想或数形结合求解；6．用文氏图解题；7．可与不等式、方程、几何结合。