《立体几何初步》单元小结
高中立体几何知识点总结（通用5篇）
高中立体几何知识点总结（通用5篇）高中立体几何知识点总结（通用5篇）总结是事后对某一阶段的学习、工作或其完成情况加以回顾和分析的一种书面材料，它能够给人努力工作的动力，为此要我们写一份总结。
你想知道总结怎么写吗？下面是小编为大家整理的高中立体几何知识点总结，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
高中立体几何知识点总结篇11、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
第一章 立体几何初步章末总结
第一章章末总结一、直观图和三视图的画法直观图和三视图是空间几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们更好地把握空间几何体的性质，由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化，解决此类问题主要依据它们的概念和画法规则．例1一几何体的三视图如图所示．(1)说出该几何体的结构特征并画出直观图；(2)计算该几何体的体积与表面积．二、共点、共线、共面问题1．关于多点共线问题往往需要证明这些点在某两个平面的交线上．2．多线共点问题的证明往往让其他线都过某两条线的交点．3．多点共面问题的证明往往让其他点在某三点或四点确定的平面上．4．多线共面问题的证明往往让其他线在某两条直线确定的平面内．例2如图所示，空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2．求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)GE与HF的交点在直线AC上．三、平行问题1．空间平行关系的判定方法：(1)判定线线平行的方法．①利用线线平行的定义证共面而且无公共点(结合反证法)；②利用平行公理；③利用线面平行性质定理；④利用线面垂直的性质定理(若a⊥α，b⊥α，则a∥b)；⑤利用面面平行性质定理(若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b)．(2)判断线面平行的方法：①线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理(a⊆α，b α，a∥b⇒a∥α)；③面面平行的性质定理(α∥β，a α⇒a∥β)；④面面平行的性质(α∥β，a⊆α，a⊆β，a∥α⇒a∥β)．(3)面面平行的判定方法有：①平面平行的定义(无公共点)；②判定定理(若a∥β，b∥β，a、b α，且a∩b＝A，则α∥β)；③判定定理的推论(若a∥a′，b∥b′，a α，b α且a∩b＝A，a′ β，b′β，且a′∩b′＝A′，则α∥β)；④线面垂直性质定理(若a⊥α，a⊥β，则α∥β)；⑤平面平行的性质(传递性：α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．2．平行关系的转化是：例3如图，S为矩形ABCD所在平面外一点，E、F分别是SD、BC上的点，且SE∶ED ＝BF∶FC．求证：EF∥平面SAB．例4如图所示，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD ＝2，DD1＝AB＝1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ．四、垂直问题1．空间垂直关系的判定方法：(1)判定线线垂直的方法有：①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；②线面垂直的性质(若a⊥α，b α，则a⊥b)；③面面垂直的定义：两平面相交形成的二面角的平面角为90°．(2)判定线面垂直的方法有：①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b α，c α，b∩c＝M⇒a⊥α)；③平行线垂直平面的传递性质(a ∥b ，b ⊥α⇒a ⊥α)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l ，a β，a ⊥l ⇒a ⊥α)；⑤面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；⑥面面垂直的性质(α∩β＝l ，α⊥γ，β⊥γ⇒l ⊥γ)．(3)面面垂直的判定方法有：①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，aα⇒α⊥β)．2．垂直关系的转化是：例5 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，N 是PB 的中点，过A ，D ，N 的平面交PC 于M ，E 为AD 的中点．求证：(1)EN ∥平面PDC ；(2)BC ⊥平面PEB ；(3)平面PBC ⊥平面ADMN ．第一章 章末总结 答案重点解读例1解 (1)由三视图知该几何体是由一个圆柱与一个等底圆锥拼接而成的组合体，其直观图如图所示．(2)由三视图中的尺寸知，组合体下部是底面直径为8 cm ，高为20 cm 的圆柱，上部为底面直径为8 cm ，母线长为5 cm 的圆锥．易求得圆锥高h ＝52－42＝3(cm)，∴体积V ＝π·42·20＋13π·42·3＝336π(cm 3)，表面积S ＝π·42＋2π·4·20＋π·4·5＝196π(cm 2)．∴该几何体的体积为336π cm 3，表面积为196π cm 2．点评 三视图画法：它包括主视图、左视图、俯视图三种．画图时要遵循“高平齐、长对正、宽相等”的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线画成虚线．例2 证明 (1)∵BG ∶GC ＝DH ∶HC ，∴GH ∥BD ，又EF ∥BD ，∴EF ∥GH ，∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)∵G ，H 不是BC 、CD 的中点，∴EF ≠GH又EF ∥GH ，∴EG 与FH 不平行，则必相交，设交点为M ．⎭⎪⎬⎪⎫EG面ABCHF 面ACD ⇒M ∈面ABC 且M ∈面ACD ⇒M 在面ABC 与面ACD 的交线上⇒M ∈AC ．∴GE 与HF 的交点在直线AC 上．点评 证明线共点、点共线、线共面问题，重要是应用平面的基本性质，先证部分元素共点、共线、共面，再利用基本性质1,2,3证明其他元素也具有这个性质，要熟练地掌握这三个基本性质．例3 证明 方法一 转化为证明面面平行．过F 作FG ∥AB ，交AD 于G ，连接EG ．∵FG ∥AB ，∴AG ∶GD ＝BF ∶FC ，∴AG ∶GD ＝SE ∶ED ，故EG ∥SA ．又∵FG ∥AB ，AB ∩SA ＝A ，∴平面SAB ∥平面EFG ．又∵EF ⊂平面SAB ，∴EF ∥平面SAB ．方法二 转化为证明线线平行．过E 作EG ∥AD 交SA 于G ，连接BG ，∵BF ∥AD ，∴BF ∥EG ，∴平面BFEG ∩平面SAB ＝BG ．∵SE ∶ED ＝BF ∶FC ，∴SE ∶SD ＝BF ∶BC ．又∵SE ∶SD ＝EG ∶AD ．∴BF ∶BC ＝EG ∶AD ，∵BC ＝AD ．∴BF ＝EG ，故四边形BFEG 为平行四边形．∴EF ∥BG ，∴EF ∥平面SAB ．点评 本题的证明体现了证明线面平行的常用方法，解决此类问题关键是选择或添加适当的辅助线(或面)，使问题得以转化．证明线面平行常用的方法是利用线面平行的定义和线面平行的判定定理．例4 证明 连接CD 1、AD 1，∵P 、Q 分别是CC 1、C 1D 1的中点，∴PQ ∥CD 1，且CD 1⊆平面BPQ ，∴CD 1∥平面BPQ ．又D 1Q ＝AB ＝1，D 1Q ∥AB ，∴四边形ABQD 1是平行四边形，∴AD 1∥BQ ，且AD 1平面BPQ ，∴AD 1∥平面BPQ ．又AD 1∩CD 1＝D 1，∴平面ACD 1∥平面BPQ ，∵AC 平面ACD 1，∴AC ∥平面BPQ ．例5 证明 (1)因为AD ∥BC ，BC平面PBC ， AD ⊆平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ，又平面ADMN ∩平面PBC ＝MN ，所以AD ∥MN ，所以MN ∥BC ．因为N 为PB 的中点，所以M 为PC 的中点，所以MN ∥BC ，且MN ＝12BC ． 又E 为AD 的中点，所以四边形DENM 为平行四边形．所以EN ∥DM ．又EN ⊆平面PDC ，DM 平面PDC ，所以EN ∥平面PDC ．(2)因为ABCD 是边长为2的菱形，且∠BAD ＝60°，所以BE ⊥AD ．又因为PE ⊥AD ，PE ∩BE ＝E ，所以AD ⊥平面PEB ．因为AD ∥BC ，所以BC ⊥平面PEB ．(3)由(2)知AD ⊥PB ．又因为P A ＝AB 且N 为PB 的中点，所以AN ⊥PB ，又AD ∩AN ＝A ，所以PB ⊥平面ADMN ．又PB 平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ADMN ．点评 立体几何的证明，我们要牢牢抓住“转化”这一思想，线与线，线与面，面与面之间的垂直与平行都可互相转化，转化的理论依据是这三种平行与垂直的判定定理、性质定理等．。
高中数学立体几何知识点归纳总结
③正棱锥中六个元素,即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边
长一半,构成四个直角三角形;如上图： SOB, SOH, SBH, OBH 为直角三角形
3.3 侧面展开图：正 n 棱锥的侧面展开图是有 n 个全等的等腰三角形组成的;
3.4
面积、体积公式：S
正棱锥侧=
1 2
ch
,S
正棱锥全=
推论 2：两条相交直线确定一个平面. 图形语言：
推论 3：两条平行直线确定一个平面. 图形语言：
用途：用于确定平面;
公理 3：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有公共点,这些公共点的集合是一条直线两个
平面的交线.
用途：常用于证明线在面内,证明点在线上.
图形语言：
符号语言：
形语言,文字语言,符号语言的转化：
2.3 侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和 母线长为邻边的矩形.
A
O
B
2.4 面积、体积公式：
C'
轴
轴截面
C
侧面
底面
S = 圆柱侧 2 rh ；S = 圆柱全 2 rh 2 r2 ,V 圆柱=S 底 h= r2h 其中 r 为底面半径,h 为圆柱高
3.棱锥
3.1 棱锥——有一个面是多边形,其余各 面是有一个公共顶点的三角形,由这些
母线 l
轴
h
侧面
轴截面
A
r O
B 底面
S
我们把截面与底面之间的部分称为棱台.
5.2 正棱台的性质： ①各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形； ②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是 正多边形； ③ 如右图：四边形 O`MNO,O`B`BO 都是直角梯 形
《立体几何初步》单元知识总结
学习必备欢迎下载第一章《立体几何初步》单元知识总结知识链接构成几何体的基本元平行投影与中心投空间几何体柱，锥，台，球的结构特征柱，锥，台，球的表面积和体积直观图和三视图的画法平面的基本性质确定平面的条件空间平行直线及其传递点，线，面之空间中的平行关直线与平面平行的判定及性间的位置关质系平面与平面平行的判定及性直线与平面垂直的判定及性空间中的垂直关系平面与平面垂直的判定及性点击考点（1）了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。
（2）能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，并会用斜二测法画出它们的直观图。
（3）通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。
（4）理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。
（5）理解平面的基本性质及确定平面的条件。
（6）掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。
（7）掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。
名师导航1.学习方法指导（ 1）空间几何体①空间图形直观描述了空间形体的特征，我们一般用斜二测画法来画空间图形的直观图。
②空间图形可以看作点的集合，用符号语言表述点，线，面的位置关系时，经常用到集合的有关符号，要注意文字语言，符号语言，图形语言的相互转化。
③柱，锥，台，球是简单的几何体，同学们可用列表的方法对它们的定义，性质，表面积及体积进行归纳整理。
④对于一个正棱台， 当上底面扩展为下底面的全等形时， 就变为一个直棱柱； 当上底面收缩为中心点时，就变为一个正棱锥。
由 S 正棱台侧1(c c )h 和 V 正棱台h(sss s ) ，就可看出它们的侧面积与体积23公式的联系。
（ 2） 点，线，面之间的位置关系①“确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，这种转化最基本的就是三个 公理。
②空间中平行关系之间的转化：直线与直线平行 直线与平面平行平面与平面平行。
③空间中垂直关系之间的转化：直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直。
高中立体几何初步小结
《立体几何初步》精要总结一、空间几何体1．棱柱：有两个互相平行的面，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两面的交线都平行。
（1）分类：①按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱（侧棱不垂直于底面）和直棱柱（侧棱垂直于底面），其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。
②按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形…，分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱等。
（2）棱柱性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形；②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形；③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。
2．平行六面体：底面是平行四边形的柱叫做平行六面体。
（1）{平行六面体}⊃≠{直平行六面体}⊃≠{长方体}⊃≠{正四棱柱}⊃≠{正方体}；（2）性质：①平行六面体的任何一个面都可以作为底面；②平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；3样的棱锥叫正棱锥。
特别地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体。
性质：①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫斜高）也相等；②正棱锥的高h 、斜高h '、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径r ）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径R ）、底面的半边长可组成四个直角三角形。
4．正棱台：由正棱锥截得的棱台叫正棱台。
正棱台的特性，尤其是正棱台的上、下底面半径、边心距和 侧棱、斜高和台高所形成的三个直角梯形和两个直角三角形，在解决问题中往往起到关键的作用。
直角梯形可以转化为直角三角形，这四个直角三角形包含了正棱台的主要元素，底面边长、边心距、高、斜高，应用它们之间的关系就可以解 决正棱台的有关计算问题。
5．球：球的截面的性质：①用任意平面截球所得的截面是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直。
立体几何初步知识点全总结
立体几何初步知识点全总结一、空间几何体的结构。
1. 棱柱。
- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
- 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
- 性质：- 侧棱都相等，侧面是平行四边形。
- 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。
- 过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形。
2. 棱锥。
- 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
- 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥。
- 性质：- 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）。
- 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
3. 棱台。
- 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。
- 分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台等。
- 性质：- 棱台的各侧棱延长后交于一点。
- 棱台的上下底面是相似多边形，侧面是梯形。
4. 圆柱。
- 定义：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。
- 性质：- 圆柱的轴截面是矩形。
- 平行于底面的截面是与底面全等的圆。
5. 圆锥。
- 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
- 性质：- 圆锥的轴截面是等腰三角形。
- 平行于底面的截面是圆，截面半径与底面半径之比等于顶点到截面距离与圆锥高之比。
6. 圆台。
- 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
《几何图形的初步认识》单元小结（共5篇）
《几何图形的初步认识》单元小结（共5篇）第一篇：《几何图形的初步认识》单元小结第二章几何图形的初步认识单元小结单元内容概述本章的主要内容是图形的初步认识，主要介绍了生活中的多姿多彩的图形（立体图形、平面图形），以及最基本的平面图形——点、线、角等，都是从现实生活中熟悉的物体入手，使对物体的形状逐步由模糊的、感性的认识，上升到抽象的数学图形的理性认识.单元教学重点重点：线段、射线、直线与角的有关概念和性质单元教学难点难点：线段的长短比较，角的大小比较及关于线段、角的有关运算知识点梳理1．几何体是从实物中抽象出的数学模型。
识别几何体，应以直观观察为主，一般特征以观察者获得的形象感觉加以表述即可，如圆柱：特征如两个底面是相等的圆等。
圆锥：特征如象锥子，底面是个圆等。
棱柱：特征如底边是多边形，侧面是长方形等。
但这类特征并非是要做出严密的、科学的结论，可因观察者的视角变化而变化例1 如图1所示，是三棱锥的立体图形是（）图1分析：解决本题的关键是根据图形特征，区分三棱锥与圆锥、四棱锥、五棱锥，可从底面的形状入手进行判断。
B中的底面是圆，故不是棱锥，C的底面是四边形，D的底面是五边形，它们都不是三棱锥，只有A是三棱锥。
解：A 2．生活中的立体图形都是由最基本几何图形组成的，其中线是由点组成的，面是由线构成的，体是由面围成的。
用运动的观点看，即“点动成线、线动成面、面动成体”。
例2 将一个直角三角形ABC绕它的一边旋转，试画出旋转后所得到的几何体.分析：由于题目中没有说明绕哪条边旋转，考虑到直角三角形有三条边，所以必须分三种情况，得到三个不同的几何体.解：如图2分别沿三条边旋转一周，得到如图3所示的三个几何体：注：在旋转过程中，若点在“轴”上，则旋转一周后该点的位置不变；若点不在“轴”上，则旋转一周后形成一个圆；与“轴”重合的线段旋转一周后仍然与轴重合；与“轴”垂直的线段旋转一周后得到一个平面（圆）；与“轴”不垂直的线段旋转一周后得一个曲面.3.线段、射线、直线(1)线段、射线、直线的定义①线段：线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线.线段可以量出长度.②射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有一个端点.射线无法量出长度.③直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线，直线没有端点.直线无法量出长度.4.线段、射线、直线的表示方法（1）线段的表示方法有两种：一是用两个端点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示.（2）射线的表示方法只有一种：用端点和射线上的另一个点来表示，端点要写在前面.（3）直线的表示方法有两种：一是用直线上的两个点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示.例3 如图（3），A、B、C、D为平面内每三点都不在同一直线的四点，那么过其中的两点，可画出6条直线，那么A、B、C、D、E为平面内每三点都不在同一直线的五点过其中两点可以画几条直线？若是n个点呢？析解：对于已知四点A点与其他三点各确定一条直线，共3条直线，过B、C、D也各有三条直线，这样共有12条直线，但每条都重复一次，所以应该是对于已知五个点，类似地可以得到：对于n个点，就可以得到1⨯4⨯3=6条； 21⨯5⨯4=10； 21n(n-1)条。
部编版高中数学必修二第八章立体几何初步知识点总结归纳
(名师选题)部编版高中数学必修二第八章立体几何初步知识点总结归纳单选题1、如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，BD=2，DE=1，点P在线段EF上.给出下列命题：①存在点P，使得直线DP//平面ACF；②存在点P，使得直线DP⊥平面ACF；③直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是[√5,1]；5.④三棱锥A−CDE的外接球被平面ACF所截得的截面面积是9π8其中所有真命题的序号（）A．①③B．①④C．①②④D．①③④答案：D分析：当点P是线段EF中点时判断①；假定存在点P，使得直线DP⊥平面ACF，推理导出矛盾判断②；利用线面角的定义转化列式计算判断③；求出△ACF外接圆面积判断④作答.取EF中点G，连DG，令AC∩BD=O，连FO，如图，在正方形ABCD中，O为BD中点，而BDEF是矩形，则DO//GF且DO=GF，即四边形DGFO是平行四边形，即有DG//FO，而FO⊂平面ACF，DG⊄平面ACF，于是得DG//平面ACF，当点P与G重合时，直线DP//平面ACF，①正确；假定存在点P，使得直线DP⊥平面ACF，而FO⊂平面ACF，则DP⊥FO，又DG//FO，从而有DP⊥DG，在Rt△DEF中，∠DEF=90∘，DG是直角边EF上的中线，显然在线段EF上不存在点与D连线垂直于DG，因此，假设是错的，即②不正确；因平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，则线段EF上的动点P在平面ABCD上的射影在直线BD上，于是得∠PDB是直线DP与平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，当P与E不重合时，∠PDB=∠DPE，sin∠PDB=sin∠DPE=DEDP =√DE2+EP2=√1+EP2，而0<EP≤2，则√55≤sin∠PDB<1，当P与E重合时，∠PDB=π2，sin∠PDB=1，因此，√55≤sin∠PDB≤1，③正确；因平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，BF⊥BD，BF⊂平面BDEF，则BF⊥平面ABCD，BC=√2，在△ACF中，AF=CF=√BC2+BF2=√3，显然有FO⊥AC，sin∠FAC=FOAF =√BO2+BF2AF=√2√3，由正弦定理得△ACF外接圆直径2R=CFsin∠FAC =√2，R=2√2，三棱锥A−CDE的外接球被平面ACF所截得的截面是△ACF的外接圆，其面积为πR2=9π8，④正确，所以所给命题中正确命题的序号是①③④.故选：D小提示：名师点评两个平面互相垂直，则一个平面内任意一点在另一个平面上的射影都在这两个平面的交线上.2、边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（）A．10cm B．5√2cmC．5√π2+1cm D．52√π2+4cm答案：D分析：将圆柱展开，根据题意即可求出答案.圆柱的侧面展开图如图所示，展开后E′F=12×2π×52=52π(cm)，∴E′G=√52+(5π2)2=52√π2+4(cm)，即为所求最短距离．故选:D.3、如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC=90°，AB=AA1=1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在线段B1P上，则下列结论中正确的是（）.A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BDB．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BDC．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BDD．不存在DQ与平面A1BD垂直答案：D分析：依据线面垂直性质定理，利用反证法即可否定选项ABC；按照点Q为线段B1P的中点和点Q不为线段B1P的中点两种情况利用反证法证明选项D判断正确.连接AB1，交A1B于H在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，AB=AA1=1，则四边形A1B1BA为正方形，则AB1⊥A1B又∠BAC=90°，即AB⊥AC，又AA1⊥AC，AB∩AA1=A，AA1⊂面A1B1BA，AB⊂面A1B1BA则AC⊥面A1B1BA，则AC⊥A1B又AB1⊥A1B，AB1∩AC=A，AB1⊂面AB1C，AC⊂面AB1C则A1B⊥面AB1C，选项A：当点Q为线段B1P的中点时，又D是棱CC1的中点，则DQ//AB1若DQ⊥平面A1BD，则AB1⊥平面A1BD又A1B⊥面AB1C，则面AB1C//平面A1BD，这与AB1∩A1B=H矛盾，故假设不成立，即当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD不正确；选项B：当点Q为线段B1P的三等分点时，又D是棱CC1的中点，则DQ//AB1不成立，即DQ与AB1为相交直线，若DQ⊥平面A1BD，则DQ⊥A1B又AB1⊥A1B，DQ与AB1为相交直线，AB1⊂面AB1P，DQ⊂面AB1P则A1B⊥面AB1P，又A1B⊥面AB1C，则面AB1P//面AB1C这与面AB1P∩面AB1C=AB1矛盾，故假设不成立，即当点Q为线段B1P的点三等分时，DQ⊥平面A1BD，不正确；选项C：在线段B1P的延长线上一点Q，又D是棱CC1的中点，则DQ//AB1不成立，即DQ与AB1为相交直线，若DQ⊥平面A1BD，则DQ⊥A1B又AB1⊥A1B，DQ与AB1为相交直线，AB1⊂面AB1P，DQ⊂面AB1P则A1B⊥面AB1P，又A1B⊥面AB1C，则面AB1P//面AB1C这与面AB1P∩面AB1C=AB1矛盾，故假设不成立，即在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD不正确；选项D：由选项A可知，点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD不成立；假设点Q在线段B1P上，且不是中点，又D是棱CC1的中点，则DQ//AB1不成立，即DQ与AB1为相交直线，若DQ⊥平面A1BD，则DQ⊥A1B又AB1⊥A1B，DQ与AB1为相交直线，AB1⊂面AB1P，DQ⊂面AB1P则A1B⊥面AB1P，又A1B⊥面AB1C，则面AB1P//面AB1C这与面AB1P∩面AB1C=AB1矛盾，故假设不成立，即点Q在线段B1P上，且不是中点时，DQ⊥平面A1BD不正确；故不存在DQ与平面A1BD垂直.判断正确.故选：D4、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容积约为（）A．100cm3B．200cm3C．300cm3D．400cm3答案：B分析：根据题意可知圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为ℎ，所以ℎ−4ℎ=610，求出ℎ的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为ℎ，所以ℎ−4ℎ=610，解得：ℎ=10，则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6， 所以该壶的容积V =13×π×52×10−13×π×32×6=1963π≈200cm 3.故选：B.5、已知平面α内的∠APB =60°，射线PC 与PA,PB 所成的角均为135°，则PC 与平面α所成的角θ的余弦值是（ ） A ．−√63B ．√63C ．√33D ．−√33答案：B分析：作出图形，如图，通过分析，可得∠CPD 为PC 与平面α所成的角的补角，利用余弦定理可以计算. 作出如下图形，令PA =PB =PC =2，则∠CPA =∠CPB =135∘，∴AC =BC ，取AB 中点D ，连接PD ，则∠CPD 即为PC 与平面α所成的角的补角， 在△APC 中，AC 2=PA 2+PC 2−2PA ⋅PC ⋅cos135∘=8+4√2， ∴在△PCD 中，CD 2=AC 2−AD 2=7+4√2， ∵PD =√3， ∴cos∠CPD =PC 2+PD 2−CD 22PC⋅PD=−√63，∴PC与平面α所成的角θ的余弦值是√6.3故选：B.小提示：本题考查线面角的求法，找出所成角，构造三角形是解题的关键.，P是A1B上的一动点，6、如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=1，AB=BC=√3，cos∠ABC=13则AP+PC1的最小值为（）A．√5B．√7C．1+√3D．3答案：B分析：连接BC1，以A1B所在直线为轴，将△A1BC1所在平面旋转到平面ABB1A1，设点C1的新位置为C′，连接AC′，判断出当A、P、C′三点共线时，则AC′即为AP+PC1的最小值.分别求出∠AA1C′=120°,AA1=1,A1C′= 2,利用余弦定理即可求解.连接BC1，得△A1BC1，以A1B所在直线为轴，将△A1BC1所在平面旋转到平面ABB1A1，设点C1的新位置为C′，连接AC′，则有AP+PC1≥AC′.当A、P、C′三点共线时，则AC′即为AP+PC1的最小值.在三角形ABC中，AB=BC=√3，cos∠ABC=1，由余弦定理得：AC=√AB2+BC2−2AB·BCcosB=3√3+3−2×3×1=2,所以A1C1=2，即A1C′=23在三角形A1AB中，AA1=1，AB=√3，由勾股定理可得：A1B=√AA12+AB2=√1+3=2,且∠AA1B= 60°.同理可求：C1B=2因为A1B=BC1=A1C1=2，所以△A1BC1为等边三角形，所以∠BA1C1=60°，所以在三角形AA1C′中，∠AA1C′=∠AA1B+∠BA1C′=120°,AA1=1,A1C′=2,由余弦定理得：AC′=√1+4−2×1×2×(−1)=√7.2故选B.小提示：（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.7、设m､n是两条不同的直线，α､β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（）A．若m∥α,n∥α，则m∥nB．若m⊥α,n⊥α，则m∥nC．若m∥α,m∥β，则α∥βD．若m⊥α,α⊥β，则m∥β答案：B分析：在正方体中取直线和平面可排除ACD，由线面垂直的性质可得B正确.在正方体ABCD−EFGH中，记底面ABCD为α，EF为m，EH为n，显然A不正确；记底面ABCD为α，EF为m，平面CDHG为β，故排除C；记底面ABCD为α，BF为m，平面ABFE为β，可排除D；由线面垂直的性质可知B 正确.故选：B8、如图，已知正方体的棱长为a，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的全面积为（）A．(8+2√2)a2B．(2+4√2)a2C．(4+2√2)a2D．(6−4√2)a2答案：C分析：拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，据此变化，进行求解. 由题意，拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，由于截面为矩形，长为√2a，宽为a，所以面积为√2a2，所以拼成的几何体的表面积为4a2+2√2a2=(4+2√2)a2.故选：C.多选题9、如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=1，则下列结论中正2确的是（）A．AC⊥BEB．EF//平面ABCDC．△AEF的面积与△BEF的面积相等D．三棱锥E−ABF的体积为定值答案：ABD分析：A选项中，证明线面垂直，可得线线垂直；B选项中，由直线与平面平行的判定定理即可证明；C选项中，由点A和点B到EF的距离不相等，可得△AEF的面积与△BEF的面积不相等；D选项中，连接BD，交AC 于O，则AO为三棱锥A−BEF的高，利用等体积法可证明三棱锥E−ABF的体积为定值.对于A，由正方体的结构特征可知，DD1⊥平面ABCD，而AC⊂平面ABCD，则D1D⊥AC，连接BD，又ABCD 为正方形，∴AC⊥BD，∵D1D∩BD=D，且D1D、BD⊂平面DD1B1B，∴AC⊥平面DD1B1B，∵BE⊂平面DD1B1B，∴AC⊥BE，故A正确；对于B，∵B1D1//BD，BD⊂平面ABCD，B1D1⊄平面ABCD，∴B1D1//平面ABCD，而EF在B1D1上，∴EF//平面ABCD，故B正确；对于C，点B到EF的距离为正方体的棱长，A到EF的距离大于棱长，则△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故C错误；对于D，如图所示，连接BD，交AC于O，则AO为三棱锥A−BEF的高，S△BEF=12⋅EF⋅BB1=12×12×1=14，V A−BEF=13S△BEF⋅AO=13×14×√22=√224，则V E−ABF=V A−BEF=√224为定值，故D正确．故选:ABD．10、沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（）A．沙漏中的细沙体积为1024π81cm3B．沙漏的体积是128πcm3C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD．该沙漏的一个沙时大约是1565秒(π≈3.14)答案：AC解析：A．根据圆锥的体积公式直接计算出细沙的体积；B．根据圆锥的体积公式直接计算出沙漏的体积；C．根据等体积法计算出沙堆的高度；D．根据细沙体积以及沙时定义计算出沙时.A.根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径r=23×4=83cm，所以体积V=13⋅πr2⋅2ℎ3=13⋅64π9⋅163=1024π81cm3B.沙漏的体积V=2×13×π×(ℎ2)2×ℎ=2×13×π×42×8=2563πcm3；C.设细沙流入下部后的高度为ℎ1，根据细沙体积不变可知：1024π81=13×(π(ℎ2)2)×ℎ1，所以1024π81=16π3ℎ1,所以ℎ1≈2.4cm；D.因为细沙的体积为1024π81cm3，沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，所以一个沙时为：1024π810.02=1024×3.1481×50≈1985秒.故选：AC.小提示：该题考查圆锥体积有关的计算，涉及到新定义的问题，难度一般.解题的关键是对于圆锥这个几何体要有清晰的认识，同时要熟练掌握圆锥体积有关的计算公式.11、已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（）A．PB⊥BCB．PD⊥CDC．PD⊥BDD．PA⊥BD答案：ABD分析：由PA⊥矩形ABCD，得PA⊥BD，若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，则过平面外一面有两条直线与平面垂直，不成立，故PD⊥BD不正确．解：∵PA⊥矩形ABCD，BD⊂矩形ABCD，∴PA⊥BD，故D正确．若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，则过平面外一面有两条直线与平面垂直，故PD⊥BD不正确，故C不正确；∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥CD，AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，∴PD⊥CD，故B正确；∵PA⊥矩形ABCD，∴由三垂线定理得PB⊥BC，故A正确；故选：ABD．填空题12、如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′=3，则△ABC的边AB上的高为________.答案：6√2分析：作线段C′D//y′，交x′轴于点D，则所求的高为2C′D，根据三角知识即可求解．作线段C′D//y′，交x′轴于点D，则C′D=B′C′sin45°=√22=3√2，所以边AB上的高为2C′D=6√2所以答案是：6√2．。
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3.柱、锥、台、球是简单的几何体。试用 列表方法对它们的定义及性质进行归纳 整理，再作比较研究。
4. 对于有关正棱台，当上底面扩展为下底 面的全等图形时，它变成有关直棱柱；当 上底面缩为中心点时，它变成有关正棱锥。 分析它们的侧面积公式与体积公式之间的 联系。
5. 几何中的平面是没有厚度且可以无限延 展的，常用平行四边形表示。确定有关平 面有哪些依据？
208 3 cm (B) 3 (D) 416 3 cm3 3
10. 若四面体的各棱长是1或2，且该四面 体不是正四面体，则其体积不可能是 （ A ）
（A） （C）
3 3 14 12
11 （B） 12
（ D）
11 6
11．三个球的半径之比为1：2：3 ,则最大 球的体积是其它两球体积之和的 3 倍。 12． α，β是两个不同的平面，m，n是平
27 6 =6，AB=4，则球的体积等于_________ 。
3
15.长方体全面积为16 cm2，长，宽，高之
和为5 cm. 求它的外接球的体积。 9
2
cm3
16．一个倒置圆锥形容器，轴截面为正三 角形，在这个容器内放入半径为r的一个铅 球，然后注入水，使水面与球相切。求将 球取出后水面的高度。 3 15r
面α，β之外的两条不同直线，给出四个论
断：① m⊥n， ② α⊥β ③ n⊥β，④ m⊥α. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断 作为结论，写出你认为正确的一个命 ②③④ ①或①③④ 题. . ②
13．已知正六梭柱各侧面都是正方形，底
面外接圆直径为8cm，它的体积为96 3cm. 14．已知过球面上三点A、B、C的截面到 球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC
6. 有些平面几何的概念和性质，扩展到空 间还是正确的。如课本中讲述的空间平行 线的传递性以及关于两角相等的定理。本 章中还有哪些知识可以说是平面几何的有 关知识推广到空间？
练习题： 1．平面α与平面β，γ都相交，则这三个平 面可能有（ ） D （A）1条或2条交线
（B）2条或3条交线
（C）仅2条交线
直线与平面平行的 判定及性质
平面与平面平行 的判定及性质
直线与平面垂直 的判定及性质 平面与平面垂直 的判定及性质
空间中的垂直关系
基本要求： 1.了解柱，锥，台，球及简单组合体的结 构特征； 2.能画出简单空间图形的三视图，能识别 三视图所表示的立体模型，并会用斜二 测法画出它们的直观图； 3.通过观察用平行投影与中心投影这两种 方法画出的视图与直观图，了解空间图 形的不同表示形式；
（D）1条或2条或3条交线
2．b是平面α外的一条直线，下列条件中
可得出b//α的是（ D ） （A）b与α内的一条直线不相交
（B）b与α内的两条直线不相交
（C）b与α内的无数条直线不相交 （D）b与α内的所有直线不相交
3．在“斜二测”直观图的画法中，下列说 法正确的是（ C ）
（A）等腰三角形的直观图仍为等腰三角形
（B）梯形图为平行四边形
（D）正三角形的直观图一定为等腰三角形
4．已知a，b，c是三条不重合的直线，α， β，γ是三个不重合的平面。下面六个命题 中正确的命题是（ ） A ① a//c，b//c a//b ② a//γ，b//γ a//b ③ α//c，β//c α//β ④ α//γ，β//γ α//β ⑤ a//c ，α//c a//α ⑥ a//γ， α//γ a//α. （A）①④ （B）①④⑤ （C）①②③ （D）①⑤⑥
5．若长方体的三个面的面积分别是
2, 3, 6 ,则长方体的对角线长为（ A ）
（A） 6
（C）3 2
（B） 3
（D）2 2
6．已知正六棱台的上，下底面边长分别
为2和4，高为2，则其体积为（ B ）
（A）32 3 （C）24 3 （B）28 3 （ D） 20 3
7．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为
直角三角形，则此三棱锥的体积为 （ C ）
2 2 (A ) 3 ( C) 2 3
( B)
2
3
( D) 4 2
8. 已知正四面体ABCD的表面积为S，其 四个面的中心分别为E、F、G、H.设四
T 面体EFGH的表面积为T，则 S 1 4 A． B． 9 9 1 1 C． D． 3 4
等于( A )
9. 一平面截一球得到直径是6cm的圆面， 球心到这个平面的距离是4cm，则该球的 体积是 ( C ) 100 3 cm (A) 3 500 3 (C) cm 3
17．已知球面面积为52πcm2，在球面内作
一内接圆柱，使圆柱的底面半径和高的比
为1：3. 求圆柱的体积。
24 cm
3
4. 理解柱，锥，台，球的表面积及体积 公式； 5. 理解平面的基本性质及确定平面的条 件； 6. 掌握空间直线与直线，直线与平面， 平面与平面平行的判定及性质； 7. 掌握空间直线与平面，平面与平面垂 直的判定及性质。
思考与交流： 1. 空间几何体是现实世界中物体的抽象， 空间图形直观描述了空间形体的特征。通 常画空间图形的基本要求是什么？用“斜 二侧画法”画直观图的一般规则是什么？ 2. 柱、锥、台、球可以看作是点的集合， 用符号语言表述点、线、面的位置关系时， 经常用到集合的有关符号，试举例说明文 字语言、符号语言、图形语言的不同功能 及其相互转化.
《立体几何初步》单元小结
中国人民大学附属中学
空 间 几 何 体
构成几何体的 基本元素
平行投影与 中心投影
柱 ,锥 ,台 , 球的结 构特征
柱,锥, 台 , 球的 表面积 和体积
直观图和三 视图的画法
平面的基本性质
确定平面的条件 空间平行直线及其 传递性
点 线 面 之 间 的 位 置 关 系
空间中的平行关系