第五章一元一次方程 单元知识点总结

第五章:一元一次方程
一、方程（含有未知数的等式叫做方程）
1.方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.
检验一个数是不是方程的解:
将数值带入方程左右两边的代数式，比较方程左、右两边的值.若左边=右边，则此数值是方程的解；若左边≠右边，则此数值不是方程的解.
2.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程.
一元一次方程化简后必须满足的条件：（1）只含有一个未知数（元）；（2）方程中的代数式都是整式；（3）未知数的次数都是1.三者缺一不可.其中，“元”是指未知数，“次”是指未知数的指数.
注意：一元一次方程中分母不含有未知数，如果分母中含有未知数，那么这个方程一定不是一元一次方程.
3.等式的基本性质
①等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式。

②等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。

拓展：（1）若a=b,则b=a.此性质叫做等式的对称性.
（2）若a=b,b=c,则a=c.此性质叫做等式的传递性.
4.移项
①把方程的一项从一边移动到另一边，叫做移项。

②移项的过程要更改符号.
注意：（1）移项与加法交换律中交换加数的位置不同.移项是将方程中的某一项从方程的一边移到另一边，移项要変号；而加法交换律中交换加数的位置只改变排列的顺序，不改变加数的符号.
（2）移项时，习惯上把含有未知数的项移到等号的左边，把不含未知数的项移到等号的右边.
5.解一元一次方程的一般步骤
①去分母②去括号③移项④合并同类项
⑤将未知数的系数化为1
6.解一元一次方程的具体做法
注意：（1）上述步骤都是一元一次方程的变形解法，经过这些变形，方程变得简单易解，而方程的解并未改变.
（2）当一元一次方程中的分母是小数时，先要利用分数的基本性质将分母变为整数，再去分母.
（3）在解一元一次方程时，为了保证求出的解正确，可将方程的解代入原方程进行检验.
6.用一元一次方程解决实际问题
①审题，即弄清题意和题目中的数量关系并找出能够表示应用题的全部含义的一个等量关系.
②设未知数，即用字母表示题目中的一个未知数.
（直接设、间接设、辅助设（为理解题的需要，将某些量之间的关系说得更清晰，我们引入一些辅助未知数，但这些未知数在解题的过程中往往约掉了或者抵消了，最后求出的解与这些未知数无关））.
③列方程，即根据所找出的等量关系列出需要的式子，进而列出方程.
④解方程，即解所列出的方程，求出未知数的值.
⑤检验，即检验所得未知数的值是不是所列方程的解，是否符合问题的实际意义.
⑥作答，即写出答案.
注意：（1）列方程时，要注意方程两边应是同一类量，且单位要统一. （2）解出所列方程后，一定要检验是否符合题意.
7.找等量的方法：
（1）读题分析法:：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列等量关系式. （2）画图分析法：多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找等量关系是解决问题的关键。

（3）常用公式也可作为等量关系
8、列方程解应用题的常用公式：
等量关系的确定
一般可从以下几个方面确定等量关系：
（1）抓住问题中的关键词，确定等量关系.如：问题中的“和”“差”“倍”“多”“少”“快”“慢”等都是确定等量关系的关键词.
（2）利用公式或基本数量关系找等量关系.如：①调配问题：一般从调配后的数量关系中找出等量关系.②比例分配问题：一般把一份设为x，等量关系是全部数量=各部分的数量之和.
（3）从变化的关系中寻找不变的量，确定等量关系.
（一）等积变形问题
注意：（1）等积变形中，类似的问题还有相同体积的水注入不同形状的容器中，容器的形状不同，但水的体积没有改变.
（2）等积变形中，遇到不要急于求近似值，有时遇到两边都有可直接约去.
（二）等长变形问题
∏∏
（三）商品销售中与打折有关的概念及公式
①与打折销售有关的概念
成本价：也叫进价，是指商店进货时的价格.
标价：也称原价，是指在销售商品时标出的价格.
售价：商家卖出商品的价格，也叫成交价.
利润：商家通过买卖商品所得的盈利，即售价高出成本价的钱数，一般以“获利”“盈利”“赚”等词语表示所得的利润.
利润率：利润占成本价的百分比.
打折：出售商品时，将标价乘十分之几或百分之几十卖出即为打折.打几折，就是以原价的百分之几十或十分之几卖出.如打8折就是以
原价的80％卖出.
②利润问题中的关系式
售价=定价×折扣=标价×十分之折扣率，
售价=成本价（进价）+利润=成本价（进价）×（1+利润率），
利润=售价-成本价=利润率×成本价；
利润率=利润/成本×100％
本息和=本金+利息；利息=本金×利率×期数
现量；
原量×（1+增长率）
=
原量×（1-下降率）=现量（只有1次增减）
注意：（1）售价大于进价时盈利，反之，售价小于进价时亏损，此时商品利润用负数表示.
（2）利润率的结果要写成百分数的形式.
（3）在以上公式中，只要知道其中的两个量，便能求出第三个量.
（四）相遇问题
行程问题：距离=速度×时间；
工程问题：工作量=工效×工时；
比率问题：部分=全体×比率；
顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度-水流速度；
（1）相遇问题：特点：二者相向而行
等量关系：双方所走的路程之和=全部路程
找等量关系的方法：（1）从时间考虑，两人同时出发，相遇时两人所用的时间相等.
（2）从路程考虑：①沿直线运动，两人相向而行，相遇时两人所走路程之和等于全部路程；②沿圆周运动，两人由同一地点相背而行，相遇一次所走的路程的和为圆的周长.
（3）从速度考虑：两人相向而行，它们的相对速度等于他们的速度之和.
（2）追及问题：特点：同向而行
等量关系：甲乙两人同时不同地：前者走的路程+两者间的路程=追者走的路程
甲乙两人同地不同时：前者所用的时间-多用的时间=追者所用的时间
找等量关系的方法：（1）从时间考虑：若同时出发，追击时两人所用的时间相等.
（2）从路程考虑：①沿直线运动，两人所走距离之差等于需要
赶上的距离；②沿圆周运动，两人所行的距离之差等于一个圆周长（从同一点出发）.
（3）从速度考虑：两人相对速度等于他们的速度之差.
（3）航行飞行问题：
常见的等量关系：（1）顺水航行速度=船在静水中的速度+水流速度
逆水航行速度=船在静水中的速度-水流速度
（2）顺风速度=无风速度+风速逆风速度=无风速度-风速。