第十三章厄米多项式

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厄米多项式的递推关系推导

厄米多项式的递推关系推导厄米多项式是数学中的一类特殊多项式，它具有递推关系式，可以逐次求出一系列的厄米多项式。

下面我们来详细介绍厄米多项式的递推关系的推导过程。

首先，我们需要知道厄米多项式的定义式：$H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})$其中$n$表示多项式的次数，$d^n/dx^n$表示$n$次导数。

我们可以将这个定义式进行初步的化简，得到：$H_n(x)=(-1)^n2^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})$接下来，我们可以尝试找到厄米多项式之间的递推关系。

我们可以考虑将$H_n(x)$和$H_{n-1}(x)$作为一列列出来，然后观察它们之间的关系。

由于$n$次导数的定义是$\frac{d^n}{dx^n}(f(x))=\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(f'(x))$，因此我们可以得到：$H_n(x)=(-1)^n2^ne^{x^2}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(2xe^{-x^2})$我们将这个式子代入$H_{n-1}(x)$的定义式中，可以得到：$H_{n-1}(x)=(-1)^{n-1}2^{n-1}e^{x^2}\frac{d^{n-2}}{dx^{n-2}}(2xe^{-x^2})$然后，我们可以尝试用数学公式将两个式子进行简单的变形，使它们能够被组合在一起。

我们可以利用下面这个等式：$\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$利用这个等式，我们可以把$H_n(x)$和$H_{n-1}(x)$中的公共部分$e^{x^2}$变成两个单项式的乘积，如下所示：$H_n(x)e^{x^2}=(-1)^n2^n\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(2xe^{-x^2}e^{x^2})$$H_{n-1}(x)e^{x^2}=(-1)^{n-1}2^{n-1}\frac{d^{n-2}}{dx^{n-2}}(2xe^{-x^2}e^{x^2})$这两个式子之间相差的只是一个常数系数和一个$n-1$次导数，因此我们可以用递推关系将它们联系起来。

厄米多项式

厄米多项式厄米多项式是一种数学概念，它由19世纪拉丁美洲数学家Juan de Euler发明。

厄米多项式含有两个系数，分别为索尼阿系数和拉格朗日系数，它用来描述二次函数的变化。

厄米多项式可以用来解释复杂的数学结构，以求解给定的问题，例如求解最优解。

（一）厄米多项式的定义厄米多项式（Euler Polynomial）指的是拉丁美洲数学家Juan de Euler在19世纪发明的一种函数，它具有两个系数，分别为索尼阿系数和拉格朗日系数。

厄米多项式可以定义为：P（x）= a_0 +a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n其中，a_0、a_1… a_n 为常数。

（二）厄米多项式的基本使用性质1、根植厄米多项式有一种特殊的基本性质，即根植，它是指一个厄米多项式可以用一个有限的集合的根的线性组合得到，即厄米多项式的根为有限，一般为N个。

2、求解最优解厄米多项式也可以用来求解最优解，例如求解复杂函数的极值点。

这是因为多元方程组被认为是一个系统的厄米多项式，因此厄米多项式在求解多元方程组最优解时是非常有用的工具。

3、应用厄米多项式还可以用在微分方程中，用来说明特定的概念。

例如，假设一个物体的状态用一个厄米多项式来表示，并且假设通过某种运动所造成的物体状态可以用另一个厄米多项式来表示，那么可以使用厄米多项式来求解这个运动的解。

（三）总结厄米多项式是19世纪拉丁美洲数学家Juan de Euler发明的，它是一种二次函数的变化描述，具有两个系数，索尼阿系数和拉格朗日系数。

厄米多项式有很多基本性质，其中最重要的是根植和求解最优解，它可以用在微分方程中，非常有用。

厄米算符平均值为实数

厄米算符平均值为实数一、什么是厄米算符厄米算符是量子力学中的一个重要概念。

它是由物理学家玻尔和海森堡在20世纪初提出的。

厄米算符在量子力学中有着重要的应用，特别是在描述物理量的平均值时，厄米算符可以保证结果为实数。

二、厄米算符的定义厄米算符可以简单地理解为自己的共轭转置等于自己的算符。

设算符A的厄米共轭算符为A†，则A是厄米算符的条件是A=A†。

三、厄米算符的性质1.厄米算符的本征值是实数厄米算符的一个重要性质是它的本征值是实数。

设厄米算符A的本征值为α，本征态为|φ⟩，则有A|φ⟩=α|φ⟩。

假设α是复数，则有A|φ⟩=α|φ⟩=α*|φ⟩，这与A=A^†的定义相违背，因此α必须为实数。

2.厄米算符的本征态之间正交设A的两个本征态分别为|φ1⟩和|φ2⟩，对应的本征值分别为α1和α2。

根据厄米算符的定义，有：A|φ1⟩=α1|φ1⟩A|φ2⟩=α2|φ2⟩将第一个式子左乘|φ2⟩的厄米共轭，第二个式子左乘|φ1⟩的厄米共轭，有：⟩φ2|A|φ1⟩=α1⟩φ2|φ1⟩⟩φ1|A|φ2⟩=α2⟩φ1|φ2⟩将上述两式相减，得到：⟩φ2|A|φ1⟩-⟩φ1|A|φ2⟩=(α1-α2)⟩φ2|φ1⟩由于α1和α2是实数，所以α1-α2也是实数，因此上述等式左边为实数，而右边的内积的模长为实数，所以左边必须也为实数。

因此，上述等式左边为复数减去复数，只有等于零才能保证是实数，因此得到结论⟩φ2|φ1⟩=0。

综上所述，厄米算符的本征态之间正交。

四、厄米算符的平均值计算在量子力学中，我们可以使用厄米算符来描述物理量。

假设|ψ⟩可以分解为A的本征态的线性组合，即|ψ⟩=∑c_i|φ_i⟩将上式代入平均值公式，得到：⟩A⟩=⟩ψ|A|ψ⟩=⟩ψ|A∑c_i|φ_i⟩=∑c_i⟩ψ|A|φ_i⟩由于厄米算符的本征态之间正交，上式中除了当i=j时，⟩ψ|A|φ_i⟩的值才不为零。

厄米算符

箱内总能量
E = T +V = P2 + 0 = P2 2m 2m
a
(2) 总能量算符和方程：
总能量算符
Hˆ
=
−
h2 2m
d2 dx 2
方程
Hˆ ψ
=
Eψ
⇒
−
h2 2m
d2 dx 2
ψ
(
x
)
=
Eψ (x)
(3) 解方程：
d2 dx 2
ψ
(x)
=
−
2Em ψ
h2
(x)
=
−[
2mE ]2ψ (x)
h
ψ (x) = c1 cos
[ ] 厄米算符 ∫ Fˆu(x) * v(x)dx = ∫ u * (x)Fˆv(x)dx
Hermite
(
u
Aˆ
v
)*
= ( Aˆ
v
)*
u
=
v Aˆ H
u
≡
v Aˆ u
实数
复数 a=a*
厄米矩阵 A=AH
本征值为实数
厄米算符
ψ Aˆ ψ * ≡ ψ Aˆ ψ
Ψ Ψ∗ 共轭
|Ψ〉 ψ H = ψ
转置共轭
n x , n y , n z = 1,2 L
若是立方势箱 a = b = c , 能量会出现简并
态
111 → 121,211,112 → 221,212,122 → 311,131,113 → L
na2+nb2+nc2= 3, 6, 9, 11→…
隧道效应
(二) 线性谐振子
(1)
势能函数形式
F = −kx = − dV dx

双变量厄米多项式递推关系与积分公式的简捷推导

规乘积形式，然后去掉记号：：．同样地，上述过程也
明确的物理意义 ¨ ’ ．例如量子谐振子对应的波函
数、坐标本征态与粒子数态的内积都与厄米多项式
有关．此外，双变量厄米多项式的递推关系与积分
导方法，系统而全面地导出双变量厄米多项式的递
推关系与积分公式，加深学生对双变量厄米多项式
的理解，开阔学生探究思维．
２双变量厄米多项式算符恒等式的推导
双变量厄米多项式Ｈ … （叼，）的数学上的
公式应用广泛，但其推导往往不仅需要很强的数
学基础且容易出错，对于刚刚学习量子力学的学生
可以在反正规记号：中进行，我们称这些积分技术为有序算符内的积分技术，简称ＩＷＯＰ技术．
而言有较大难度．这里我们提供一种简捷明了的推
定义式为
＝
１算符正规乘积与反正规乘积简介
任意一个玻色湮没算符ａ和产生算符ａ组成
的多项式算符可分解为
口，口）＝ … 口口口 …口
．了＿
（２）
ｆ＝０ ‘：，， ‘ 一／：ｆ／：
一
０
ｍ！ｎ！
，
：
（４）
这里运用了Ｂａｋｅｒ — Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ算符等式，即ｅＡｅ：

厄米多项式正交归一证明

厄米多项式正交归一证明在数学中，厄米多项式指的是一种正交多项式，其定义为：H_n(x) = (-1)^n e^(x^2) (d^n/dx^n) e^(-x^2)其中，d^n/dx^n表示对x求n阶导数。

厄米多项式的正交归一条件可以表示为：∫_{-∞}^{∞} H_n(x) H_m(x) e^(-x^2) dx = √π 2^n n! δ_{nm}其中，∫表示积分，δ_{nm}表示Kronecker delta符号，即当n=m时，δ_{nm}=1，否则δ_{nm}=0。

该条件表明厄米多项式是在权函数为e^(-x^2)的情况下正交归一的。

厄米多项式的正交归一条件可以通过数学归纳法进行证明。

首先，当n=m时，有：∫_{-∞}^{∞} H_n(x) H_m(x) e^(-x^2) dx = ∫_{-∞}^{∞} H_n(x)^2 e^(-x^2) dx由于H_n(x)的定义中包含了e^(-x^2)，因此可以使用Leibniz公式对其进行求导，得到：d/dx (e^(x^2) H_n(x)) = 2x e^(x^2) H_n(x) - e^(x^2)H_n-1(x)因此，有：x H_n(x) = 1/2 (H_n+1(x) - H_n-1(x))将其代入上式中，可得：∫_{-∞}^{∞} H_n(x)^2 e^(-x^2) dx = √π 2^n n!接下来，假设当n=m-1时，上述条件成立。

则有：∫_{-∞}^{∞} H_n(x) H_m(x) e^(-x^2) dx = 0因此，有：∫_{-∞}^{∞} H_n(x) H_m(x+2x) e^(-x^2) dx = 0使用Leibniz公式，可得：H_m(x+2x) = 2m H_m-1(x) - 2x H_m-1(x)因此，有：∫_{-∞}^{∞} H_n(x) H_m(x+2x) e^(-x^2) dx = 2m ∫_{-∞}^{∞} H_n(x) H_m-1(x) e^(-x^2) dx根据归纳假设，可知∫_{-∞}^{∞} H_n(x) H_m-1(x) e^(-x^2) dx = 0 (当n<m-1时)，∫_{-∞}^{∞} H_n(x) H_m-1(x) e^(-x^2) dx = √π 2^(m-1) (m-1)! (当n=m-1时)。

也谈厄米多项式的递推关系

也谈厄米多项式的递推关系
胡先权;王帮美
【期刊名称】《大学物理》
【年(卷),期】2009(028)006
【摘要】由厄米多项式的母函数出发,推导出厄米多项式的递推关系以及厄米多项式中系数的递推关系.
【总页数】2页(P17,23)
【作者】胡先权;王帮美
【作者单位】重庆师范大学,物理学与信息技术学院,重庆,40047;重庆师范大学,物理学与信息技术学院,重庆,40047
【正文语种】中文
【中图分类】O413.1
【相关文献】
1.一种推导厄米多项式的递推关系的方法 [J], 李群;袁广宇;袁洪春
2.双变量厄米多项式递推关系与积分公式的简捷推导 [J], 李恒梅;万志龙;王震;黄红云;袁洪春
3.厄米多项式递推关系的另一种推导方法 [J], 吴英
4.关于厄米特多项式的新微分公式及其在量子光学中的应用 [J], 孙云;吴建光;王东;唐绪兵
5.基于算符正规乘积的拉盖尔多项式与厄米多项式关系推导 [J], 万志龙; 王刚; 李恒梅; 黄红云; 王震
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厄米特多项式

厄米特多项式
厄米特多项式（Hermite Polynomial）是一种特殊的多项式，它在数学、物理学和工程学中都有广泛的应用。

这些多项式由法国数学家Charles Hermite于1864年首次提出，它们是一组正交的多项式，可以用来描述很多不同的现象。

厄米特多项式的定义是由法国数学家Charles Hermite在1864年提出的，它是一种特殊的函数，可以表示为：
P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn
其中，a0、a1、a2、...、an为常数。

厄米特多项式具有许多重要的性质和特点，其中最基本的是它们是正交的，这意味着它们在某些函数空间中相互垂直。

此外，厄米特多项式还具有一些特殊的性质，如：
厄米特多项式的根是实数。

厄米特多项式的次数是偶数。

厄米特多项式的系数是实数。

厄米特多项式在数学、物理学和工程学中都有广泛的应用。

例如，在数学中，厄米特多项式可以用来解决一些函数方程和微分方程。

在物理学中，厄米特多项式可以用来描述量子力学的态和波函数。

厄米特多项式是一种非常重要的数学函数，它们在数学、物理学
和工程学中都有广泛的应用。

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n= 0
∞
1 cn = n 2 n! π
−∞
∫e
∞
−ξ 2
f (ξ ) H n (ξ )dξ
2
ξ=
mω 2E x = α x, λ = ℏ ℏω
dψ 2 + (λ − ξ )ψ = 0 2 dξ
令:
ψ (ξ ) = e
−
ξ2
2
H (ξ )
d 2H dH − 2ξ + ( λ − 1) H = 0 2 dξ dξ
可以证明,只当 λ = 2n + 1,( n = 0,1,2,⋯) 可以证明只当有 ( −∞ , ∞ ) 上的有限解这时时方程才
第三节厄米多项式的正交性与按厄米多项式的展开正交性与模
−∞
∫e
∞
−ξ 2
0, m ≠ n H m H ndξ = n 2 n! π , m = n
ξ2
2
正交规一化波函数
ψ n (ξ ) =
1 2n n ! π
e
−
H n (ξ )
按顾米多项式的展开
f (ξ ) = ∑ cn H n (ξ )
d H dH − 2ξ + 2nH = 0 2 dξ dξ
第二节级数解和厄米多项式
2
称为n阶厄米方程称为阶厄米方程
设
H (ξ ) = ∑ ckξ k
k =0
∞
ck + 2
2k − 2n ck , k = 0,1,2,⋯ = ( k + 2)( k + 1)
2
2n 2 2 n( n − 2) 4 H (ξ ) = c0 (1 − ξ + ξ − ⋯] 2! 4! 2( n − 1) 3 ξ + ⋯] + c1[ξ − 3!
第十三章厄米多项式
第一节厄米方程薛定谔方程
∂ψ ℏ 2 iℏ =− ∇ ψ + V ( x , y , z )ψ 2m ∂t
2
一维谐振子
1 2 1 ∂ψ ℏ2 ∂ 2 ℏ2 ∂2 iℏ ψ + kx ψ = − ψ + mω 2 x 2ψ =− 2 m ∂x 2 2 2 m ∂x 2 2 ∂t
为偶数时，当n为偶数时，我们取为偶数时
n! c1 = 0 , c0 = ( −1) n 2 !
n 2
为奇数时，当n为奇数时，我们取为奇数时
c0 = 0 , c1 = ( −1)
得多项式解
n
n −1 2
2n ! n−1 2 !
n( n − 1) H n (ξ ) = (2ξ ) − (2ξ )n− 2 1! n( n − 1)( n − 2)( n − 3) n− 4 (2ξ ) − ⋯ + 2! ξ2 − 1 2 这时 ψ n (ξ ) = cn e H n (ξ ) , E n = ( n + )ℏω 2
设:
ψ ( x, t ) = ψ ( x ) f 2 = [− + hx ψ ] = E 2 f dt ψ 2m dx 2
2 2
f ( t ) = ce
E i t ℏ
mω 2 2 ℏ 2 d 2ψ x )ψ = 0 + (E − 2 2m dx 2
引入: 引入