用多项式逼近连续函数
拉格朗日插值法公式
拉格朗日插值法公式
拉格朗日插值法是一种用于在给定数据点集合中查找函数值的
方法。
它利用数据点中的已知函数值来计算未知函数值，从而得到一个连续的函数。
拉格朗日插值法的基本思想是使用一组多项式来逼近给定的数
据点，这些多项式被称为拉格朗日基函数。
对于给定的数据点
(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，拉格朗日插值多项式可以表示为： L(x) = ∑[i=1,n] yiLi(x)
其中Li(x)是拉格朗日基函数，它的表达式为：
Li(x) = ∏[j=1,n,j≠i] (x - xj)/(xi - xj)
这个公式的意思是，对于每个数据点(xi,yi)，我们构造一个基函数Li(x)，然后将所有基函数的加权平均值作为插值多项式的值。
通过使用拉格朗日插值法，我们可以在给定的数据点集合中计算任何点的函数值。
此外，如果我们知道函数的导数，我们也可以使用拉格朗日插值法来计算函数的导数。
这使得拉格朗日插值法成为一种非常有用的工具，用于数值分析和科学计算中的各种问题。
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n次泰勒多项式
n次泰勒多项式
次泰勒多项式是用来描述不同函数曲线的拟合问题，是一种高级数学概念，在实际应用中有着广泛的应用，比如计算机图像处理，机器人控制等等。
次泰勒多项式的本质是将一个函数的连续局部片段进行逼近，使每一段函数片段都符合某一种特定的数学形式，以便解决实际问题。
它的典型表达式的形式是：
f(x)=f[0]+f[1]*x+f[2]*x^2+f[3]*x^3+……+f[n]*x^n
其中f [0], f [1], f [2]等是预先设定的常数系数，这些系数不受外部条件影响。
次泰勒多项式有很多应用，首先，它能快速解决寻找最优解的问题，比如途径最短的一段路线；其次，它可以帮助我们快速计算某个区域的面积。
此外，次泰勒多项式也广泛用于机器学习，在机器学习中我们采用次泰勒多项式可以更好地拟合数据，从而使算法输出得到改进。
次泰勒多项式是一个强大的工具，可以有效地对不同函数曲线进行逼近，为我们解决实际问题，给出最优解提供帮助。
它可以用于机器学习，挖掘数据，并实现自动拟合；它也可以快速精准计算函数曲线下特定区域的面积，求解最短路径等。
由此可见，次泰勒多项式在多个领域的实用价值，帮助我们更好地解决实际问题，它的重要性不言而喻。
10.连续函数的多项式一致逼近
附录一 Bernstein 多项式：连续函数的多项式逼近连续函数可以由多项式一致逼近是分析中的重要定理，直接的证明方法就是用函数的Bernstein 多项式去逼近函数。
通常的教材中的证明比较难于理解，我们选择前苏联数学家Korovkin 在1953年给出证明方法，解决了教学中的这一难点。
Weierstrass 第一逼近定理 设是闭区间[a , b ]上的连续函数，则存在多项式序列{在[a , b ] 上一致收敛于。
也就是对任意给定的)(x f })(x P n )(x f 0>ε，存在多项式，使得)(x P ε<−)()(x f x P对一切∈x [a , b ]成立。
Weierstrass 第一逼近定理的证明证 不失一般性，设[a , b ]为[0, 1]。
设X 是[0, 1]上连续函数全体构成的集合，Y 是多项式全体构成的集合，定义映射)(t f n B : X Y→ )(t f 6k n k k n n k n x x C n k f x f B −=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∑)1(),(0，得到{}，表示),(x f B n ),(x f B n X f ∈在映射作用下的像，它是以n B x 为变量的次多项式，称为的n 次Bernstein 多项式。
n f关于映射，有下述基本性质与基本关系式：n B (1)线性性：对于任意及X g f ∈,∈βα,R ，成立),(),(),(x g B x f B x g f B n n n βαβα+=+；(2)单调性：若（)()(t g t f ≥∈t [a , b ]），则 ),(),(x g B x f B n n ≥ （∈x [a , b ]）；(3)； 1)1(),1(0=−=−=∑k n k k n n k n x x C x B x x x C n k x t B k n k k n n k n =−=−=∑)1(),(0； =−=−=∑k n k k n n k n x x C n k x t B )1(),(0222nx x x 22−+。
高等数学难点总结及课后习题解读
这三篇总结文章，来自于我五一给学生的几堂总结课，当时没有做书面材料，后来才想到把它们整理成文。
考虑到现在大多数人都还在进行第一轮，也就是基础阶段的复习，所以先把自己对高数知识点的总结奉上，希望对大家能有帮助。
可能以后也会有关于线代和概率的总结。
上册除了空间解析几何基本都涉及了，这是数一数二数三数四的共通内容。
下册（一）是关于多元微积分和级数的，其中数二数四的就不用看级数了。
下册（二）是关于线面积分的，数一专题。
上册：函数（高等数学的主要研究对象）极限：数列的极限（特殊）——函数的极限（一般）极限的本质是通过已知某一个量（自变量）的变化趋势，去研究和探索另外一个量（因变量）的变化趋势由极限可以推得的一些性质：局部有界性、局部保号性……应当注意到，由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况，所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系连续：函数在某点的极限等于函数在该点的取值连续的本质：自变量无限接近，因变量无限接近导数的概念本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限，更简单的说法是变化率微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、微分是一个线性近似，二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它，但是当误差不够小时，近似的程度就不够好，这时就不能说该函数可微分了不定积分：导数的逆运算什么样的函数有不定积分定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确什么样的函数有定积分求不定积分（定积分）的若干典型方法：换元、分部，分部积分中考虑放到积分号后面的部分，不同类型的函数有不同的优先级别，按反对幂三指的顺序来记忆定积分的几何应用和物理应用高等数学里最重要的数学思想方法：微元法微分和导数的应用：判断函数的单调性和凹凸性微分中值定理，可从几何意义去加深理解泰勒定理：本质是用多项式来逼近连续函数。
Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用
本科毕业论文题目： Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用学院：班级：姓名：指导教师：职称：完成日期：年月日Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用摘要：Weierstrass逼近定理是函数逼近论中的重要定理之一,该定理阐述了在预先给定的精度下,可以用多项式逼近任意给定的闭区间上的连续函数.本文第一部分用Bernstein多项式证明了Weierstrass逼近定理,从而很直观地说明了[]bC,中的函a数()xf可被函数多项式一致逼近.之后又引入切比雪夫多项式的一个多项式核来给出另外一种不同的证明方法.第二部分简单介绍了Weierstrass逼近定理在不同情形下的一些推广.最后一部分则是Weierstrass逼近定理的一些应用.关键词：Weierstrass逼近定理； Bernstein定理；切比雪夫多项式；测度收敛目录1 Weierstrass逼近定理及其证明 (3)1.1 Weierstrass逼近定理的第一种证明 (3)1.1.1 Weierstrass逼近定理的Bernstein证明 (3)1.1.2 闭区间[]ba,上的weierstrass逼近定理 (5)1.2 Weierstrass逼近定理的第二种证明 (6)2 Weierstrass逼近定理的推广 (8)2.1 Weierstrass第二定理 (8)2.2 Weierstrass-Stone定理 (9)2.3 复函数情形下的Weierstrass逼近定理 (9)2.4 非连续函数的情形 (10)3 Weierstrass逼近定理的应用 (11)3.1 复合函数的测度收敛定理 (11)3.2 Weierstrass逼近定理的逆定理 (11)在一致逼近的理论中,遇到的第一个问题是:在预先给定的精度下,能否用多项式逼近任意给定的连续函数?1985年,weierstrass 对这个问题给出了肯定回答: Weierstrass 逼近定理设()[]1,0C x f ∈ ,则存在多项式n n P x p ∈)(,使0)()(max lim 10=-≤≤∞→x p x f n x n .1 Weierstrass 逼近定理的证明1.1 Weierstrass 逼近定理的第一种证明1.1.1 Weierstrass 逼近定理的Bernstein 证明对于这个著名的定理,至今有多种不同的证明方法.下面将给出Bernstein 的证明,其精度虽不是最好的,但非常精彩.定义1 设()[]1,0C x f ∈,()x f 的第()1≥n n )个Bernstein 多项式由下式给出:kn k nk n n x x k n n k f x f B f B -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑)1();()(0.显见n n P f B ∈)(.引理1 下列恒等式成立:(1)()110=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑k n knk k x k n , (2)()()010=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑kn k nk x x k n nx k, (3)()()()x nx x x k n nx k k n k nk -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑112. 引理2 对任意给定的δ＞0 及10≤≤x ,有()2411δδn x x k n k n k x n k≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥-∑,其中求和号表示对固定的x 满足不等式δ≥-x nk 的k 求和.该引理的意义在于当n 很大时,在和式()kn nk kx x k n -=∑-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01中,起主要作用的只是满足条件δ<-x nk 的那些k 值所对应的项的和,而其余的项对和的值无多大影响.证 我们从(1)知()110=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑k n knk k x k n , 因此两边同时乘以()x f 有()x f =()()kn k nk x x k n x f -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑10.对任意0>δ,我们有()()x f f B n -≤()()kn k nk x x k n x f n k f -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑10=()∑<--⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k x f n k f ()kn k x x k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 +()∑≥--⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k x f n k f ()k n k x x k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1. 由于()x f 在x 处连续,对任给0>ε,存在0>δ,使得 当δ<-x n k 时,()ε<-⎪⎭⎫⎝⎛x f n k f ,故第一个和式()∑<--⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k x f nk f ()k n k x x k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 ε≤()kn k x n kx x k n -<--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑1δ ε≤()kn k nk x x k n -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑10ε=.又由()x f 在[]1,0上连续,所以存在M >0,使得()()M x f n k f x f n k f ≤+⎪⎭⎫⎝⎛≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛.故由引理2,第二个和()∑≥--⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k x f n k f ()kn k x x k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 ≤()∑≥---⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k kn k x x n k M124δn M ≤.因此,对任何0>ε,先取0>δ,使得当δ<-x nk 时，()ε<-⎪⎭⎫⎝⎛x f n k f然后固定δ,再取n 充分大,就有()()ε2<-x f f B n .注意到我们在定理的证明中,对第一个和只用到()x f 在x 处连续,对第二个和只用到()x f 在[]1,0上有界.因此有Bernstein 定理 ：设()x f 在[]1,0上有界,则()()x f f B n n =∞→lim 在任何()x f 的连续点[]1,0∈x 成立.如果()[]1,0C x f ∈,则极限在[]1,0上一致成立.注(1)若有界函数()x f 在点x 处存在有限的二阶导数()x f ", 则()()()()()nn x x nx f x f f B n ρ+-''+=12,其中()()∞→→n n 0ρ.(2) 若()x f 在[]1,0上有连续的导数()x f ',则()x B n '一致收敛于()x f '.(3) 设()[]1,0C x f ∈,那么()()()()x ff B p p n n =∞→lim 在[]1,0上一致地成立.(4) 若()()0≥x fp ,∈x []1,0,那么，()()0≥f B p n ,∈x []1,0.(5) 若()x f 在[]1,0上是非减的,那么()f B n 在[]1,0上也是非减的. (6) 若()x f 在[]1,0上是凸的,那么()f B n 在[]1,0上也是凸的.由以上的推论可知,一个连续函数的Bernstein 多项式逼近与被逼近函数的极值和高阶导数有关,并且单调的和凸的函数分别产生单调的和凸的逼近.总之,Bernstein 多项式模拟被逼近函数的特性达到十分惊人的程度. 1.1.2 闭区间[]b a ,上的weierstrass 逼近定理 设()[]b a C x f ,∈,则存在多项式n n P x p ∈)(,使得0)()(max lim =-≤≤∞→x p x f n bx a n .证 令()a b y a x -+=,则有()()()()y a b y a f x f ϕ=-+=. 因为ab a x y --=,所以()y ϕ是定义在[]1,0上的连续函数,于是由Weierstrass 逼近定理知存在多项式()knk kycy Q ∑==,使得对于一切[]1,0∈y ,有()()()()εϕ<--+=-∑=nk kkyca b y a f y Q y 0.也就是()[]b a x a b a x c x f nk kk ,,0∈<⎪⎭⎫⎝⎛---∑=ε.1.2 Weierstrass 逼近定理的第二种证明首先引入切比雪夫多项式(Chebyshev ’s polynomials)的一个多项式核. 引理3 恒等式cos (),2,1,cos cos 211=+=∑-=-n n kn k n knn θλθθ为真,其中()()n n n 10,,-λλ 为某些常数.推论3 当[]1,0∈x 时,恒等式()(),2,1,2arccos cos 11=+=∑-=-n x x x n kn k n knn λ成立.定义2 称多项式()()x n x T n arccos cos =为n 次切比雪夫多项式.设()()()x n x T n arccos 12cos 12+=+是12+n 次切比雪夫多项式,对任意N n ∈,在[]1,1-上令()()2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+x x T x K n n n γ,其中()dx x x T n n 21112⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=γ. 如上定义的()x K n 在定理证明中将起到多项式核的作用.它具有下列性质: 性质1 ()x K n 是n 4次多项式,且是偶数.性质2 由定义显然有下面的恒等式()111=⎰-dx x K n .性质3 对于 何()1,0∈δ,及N n ∈都有()δδn dx x K n 11<⎰.证 由第一种证明可知,我们只需证明[][]1,1,-=b a 的情况即可.首先将()x f 连续开拓到[]2,2-上.例如,我们令()x f =()()()[)[](].,,2,11,11,2,,,11∈-∈--∈⎪⎩⎪⎨⎧-x x x f x f f 显然,()x f 在[]2,2-上一致连续.对任意N n ∈,当∈x []1,1-时,以n K 为核构造函数 ()()dtx t K t f x P n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰-33122. (1)由于n K是n 4次多项式,故()()knk n kn x t x t K ∑==⎪⎭⎫⎝⎛-403λ.所以()()()()kn k k n kx dtx t t f μλ=⎰-22,其中()n k μ是常数,故而()x P n 是一个n 4次的多项式.令3x t -=η，(1)就变为()()()ηηηd K x f x P n xx n ⎰---+=32323 (2)由性质2,可得()()=-x P x f n ()()()()⎰⎰----+-3232113xx n n d K x f d K x f ηηηηη=()()[]()ηηηδδd K x f x f n⎰-+-333+()()ηηδδd K x f n ⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰--1331()()ηηηδδd K x f n xx 3323332+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎰⎰----≤()()⎰-+-333δδηx f x f ()ηηd K n +()()ηηδδd K x f n ⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰--1331+()()ηηηδδd K x f n xx 3323332+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰----. 将上式中最后所得三个积分依次记为32,1,I I I .由于()x f 在[]2,2-上一致连续,故对任意0>ε,存在0>δ.当[]2,2,,2121-∈<-x x x x δ时必有()()ε<-21x f x f , (3)所以()εηηεδδ<≤⎰-d K I n 331.设[]()x f M x 2,2max -∈=,那么()δηηδn M d K MI n 62132<≤⎰.()ηηδδd K M I n xx⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎰⎰----3233323()δηηδδn M d K M n61331<⎪⎭⎫⎝⎛+≤⎰⎰--.所以()()δεn M x P x f n 12+<-.因此,对任意0>ε,先取定δ,使(3)成立,然后固定δ,再取n 充分大就有()()ε2<-x P x f n .2 Weierstrass 逼近定理的推广 2.1 Weierstrass 第二定理Weierstrass 逼近定理说明了可以用多项式来逼近[]b a ,上的连续函数,Weierstrass 第二定理将给出关于三角多项式和周期连续函数的一个相应的结论.设()π2C x f ∈,对任意0>ε,存在三角多项式()x T ,使得对于一切实数x ,都有()()ε<-x f x T .其中π2C 表示()∞∞-,上以π2为周期的连续函数集合.也就是说,任何具有周期π2的连续函数都能用三角多项式一致地逼近. 注:通常把这个定理和Weierstrass 逼近定理分别称作Weierstrass 第二定理和Weierstrass 第一定理.我们可以通过以下几个引理证得这个定理,这里不做详细证明.见参考文献[1].引理1 若()πϕ2C x ∈,则对于任何a ,等式()()dx x dx x a a⎰⎰=+ππϕϕ202都成立.引理2 对任何N n ∈有下面的恒等式()2!!2!!12cos 202ππn n tdt n -=⎰.引理3 对于一切实数,一致地有 ()()x f x V n n =∞→lim .其中()π2C x f ∈,()()()dt x t t f n n x V nn 2cos21!!12!!22--=⎰-πππ.要想由此推得Weierstrass 第二定理,只须证明()x V n 是一个三角多项式即可.为此,我们需要下列引理.定义1 若0>+n n b a ,则称三角多项式()()∑=++=nk k kn kx b kx aA x T 1sin cos 的阶为n.引理 4 两个三角多项式的乘积仍为一个三角多项式,且其阶等于两因子阶之和.引理5若三角多项式()x T 为一偶函数,即()()x T x T =-,则 它可以表示成()∑=+=nk k kx a A x T 1cos 的形式,即式中不含倍角的正弦.2.2 Weierstrass-Stone 定理设E 是某个度量空间中的任意子集,它至少包含两个不同的元素,并且在E 上成立有限覆盖定理.设定义在E 上的实函数系(){}x p 组成一个线性空间,且构成一个环Y ,这个环包含常数,且对于E 中任意两个不同的元素1x ,2x ,在环Y 中存在函数()x p ,使()()21x p x p ≠,于是对于E 上定义的任意一个实连续函数()x f ,对于任给0>ε,在Y 上存在元素()x p ,使得有()()E x x p x f ∈<-,ε.利用Stone 定理可以得到很多有用的逼近定理,例如下面的有理函数逼近定理设()()∞∞-∈,C x f ,则任给0>ε,存在有理函数()Ω∈x R , 使()()ε<-x R x f ,∞<<∞-x .其中Ω表示分子的次数不大于分母次数的全体实系数有理函数()x R 空间. 2.3复函数情形下的Weierstrass 逼近定理定理1 ()[]b a C x f ,∈∀，存在有理（或复有理）系数多项式序列(){}P x p n ⊂， 使得()()x f x p n n =∞→lim .引理1 度量空间[]()d b a C X ,,=中点列(){}x f n 收敛于()x f 当且仅当函数列(){}x f n 在[]b a ,上一致收敛于函数()x f .证 []()d b a C X ,,=中点列{}n f 收敛于()x f .当且仅当()[]()()0max lim ,lim ,=-=∈∞→∞→x f x f f f d n b a x n n n等价于(){}x f n 在[]b a ,上一致收敛于函数()x f . 由定理1和引理1即可证得如下定理:定理2 ()[]b a C x f ,∈∀，存在有理（或复有理）系数多项式序列(){}P x p n ⊂，使得(){}x p n 在[]b a ,上一致收敛于()x f . 2.4 非连续函数的情形定理1 如果一个函数()x f 与一个连续函数()x g 在闭区间[]b a ,上几乎处处相等（即除了一个零测集A 外都相等）,那么0>∀ε,都存在多项式()x p ,使不等式[]()()ε<-∈x f x p Ab a x \,max成立.证 函数()x f 与连续函数()x g 在[]b a ,上几乎处处相等,因此对0>∀ε,有[]()()[]()()[]()()εεε<-≤-=-∈x g x p x g x p x f x p b a x Ab a x Ab a x ,\,\,max maxmax.由此可以看出,是否存在多项式()x p 逼近定义在闭区间上的函数()x f ,只要衡量函数()x f 是否能与一个连续函数()x g 几乎处处相等,即使函数()x f 是处处不连续的,也有上面定理的结论.利用这个定理可以解释下面两个例子.例1:().20,02,1,1≤<≤≤-⎩⎨⎧-=x x x f显然,函数()x f 是除了零点以外其它各点都连续的分段函数,几乎处处连续但不连续,我们不能找到一个多项式使不等式[]()()ε<-∈x f x p Ab a x \,max 成立,只能找到一个分段多项式满足不等式,这个多项式恰恰是这个函数本身.例2:()[].\2,1,,0,1Q x Q x x f ∈∈⎩⎨⎧=其中Q 是定义[]2,1在上的有理数集.显然函数()x f 是处处不连续的,但取()0p =x ,不等式[]()()ε<-∈x f x p Ab a x \,max 成立.3 Weierstrass 逼近定理的应用 3.1 复合函数的测度收敛定理设()x g 在R 上连续函数,若在可测集E 上几乎处处一致有界可测函数列(){}x f n 测度收敛于()x f ,则在E 上可测函数列()(){}x f g n 测度收敛于()()x f g . 3.2 Weierstrass 逼近定理的逆定理Weierstrass 逼近定理从正面阐述了连续函数可以用多项式来逼近的重要性质,反之,如果一个定义在闭区间上的函数能用多项式逼近,则该函数必然是连续函数.定理 在实数范围内,对定义在闭区间[]b a ,上的函数()x f ,如果满足对0>∀ε,都存在这样的多项式()x p ,使不等式[]()()ε<-∈x f x p b a x ,max 成立,那么函数()x f 必然是连续函数.由此,我们得到如下结论,这可以作为Weierstrass 逼近定理的补充或充要条件.结论1 ()[]b a C x f ,∈的充分必要条件是:对0>∀ε,都存在一个多项式()x p 使不等式[]()()ε<-∈x f x p b a x ,max 成立.结论2 函数()x f 是连续函数或是与一个连续函数几乎处处相等的函数的充分必 要条件是:对0>∀ε,都存在一个多项式()x p 使不等式[]()()ε<-∈x f x p Ab a x \,max成立.这里A 为零测度集.例1: 设函数()x f 定义在闭区间[]b a ,上，且在该区间上与一个连续函数()x f 几乎处处相等,则()0=⎰dx x f x ban, 2,1,0=n成立的充分必要条件是()0=x f 在[]b a ,上几乎处处成立.证 充分性显然,只需证明必要性.由条件有()()x g x f =,([])A b a x \,∈,其中A 是[]b a ,上的零测度集.所以0=()()[]()dx x f x dx x f x dx x f x AnAb a n ban ⎰⎰⎰+=\,=()[]()dxx g x dx x g x AnAb a n⎰⎰+\,=()dx x g x ban ⎰因此由注释①可得()0=x g ,[]b a x ,∈注意当[]A b a x \,∈时, ()()x g x f =,所以()0=x f ,[]A b a x \,∈.证毕. 注释：①设函数()[]b a C x f ,∈.则()0=⎰dx x f x ban, 2,1,0=n成立的充分必要条件是: ()0=x f ,[]b a x ,∈. ②设E 为有界集,当E m E m **=时,称E 为可测的.其中外测度mG E m EG ⊃*=inf ,内测度mF E m EF ⊂*=sup .③设()x f n 是可测集E 上的可测函数列,()x f 是E 上的可测函数.如果对每个0>ε, 有()0lim =≥-∞→εf fmEnn ,则称序列()x f n 测度收敛于()x f .参考文献：[1]莫国端，刘开第．函数逼近论方法[M]．北京：科学出版社，2004：11-44．[2]艾斯卡尔·阿布力米提．Weierstrass 逼近定理的一个应用 [J]．新疆教育学院学报，1999，15 (45)：53-54．[3]Parlett B N.The QR algorithm[J]．Computing in Science & Engineering ，2000，2(1):38-42． [4]Powell M J D ．Approximation theory and methods[M].New York:Cambridge University Press ，1981．[5]刘洋，李宏．关于Weierstrass 逼近定理的几点注记[J]．数学实践与认识，2009，39(2)：208-210．[6]郝玉斌．关于Weierstrass 一致逼近定理的证明[J]．黑龙江大学自然科学学报，1985，3． [7]沈燮昌．Weierstrass 逼近定理及其应用[J]．曲阜师范大学学报，1989，15(2)．Proof and Extension on Weierstrass Approximation TheoremAbstract :The weierstrass approximation theorem is one of the important theorems in functional approximation theories. This theorem expounds that, the precision can be given in advance ,continuous function defined any given on the closed interval can be approximated by a polynomial. At the first part, the article uses the bernstein polynomials to prove the weierstrass approximation theorem. Thus it directly expresses the fanction f(x) in C[a,b]could be approximated uniformly by polynomials.In addition, the article can offer another different proof by chebyshev’s polynomials. At the second part, there are some generalized theorems in different places. And some applications of the weierstrass approximation theorem is given finally.Key words : W eierstrass approximation theorem; Bernstein theorem; Chebyshev’s polynomials; convergence in measure.。
高等数学难点总结及课后习题解读
高等数学难点总结及课后习题解读这三篇总结文章，来自于我五一给学生的几堂总结课，当时没有做书面材料，后来才想到把它们整理成文。
考虑到大多数人仍处于第一轮复习阶段，即基础阶段，所以首先介绍他们对高等数学知识点的总结，希望对您有所帮助。
未来可能还会有一份线路生成和概率的总结。
上册除了空间解析几何基本都涉及了，这是数一数二数三数四的共通内容。
下册（一）是关于多元微积分和级数的，其中数二数四的就不用看级数了。
下册（二）是关于线面积分的，数一专题。
上册：函数（高等数学的主要研究对象）极限：数列的极限（特殊）――函数的极限（一般）极限的本质是通过已知某一个量（自变量）的变化趋势，去研究和探索另外一个量（因变量）的变化趋势可以从极限推导出的一些性质：局部有界性、局部符号保持性？？应该注意的是，从极限中获得的特性通常仅在局部范围内有效在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况，所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系连续性：函数在某一点上的极限等于该点上函数的值。
连续性的本质：自变量是无限接近的，因变量是无限接近的导数的概念本质上，当自变量增量接近零时，它是函数增量与自变量增量之比的极限。
更简单地说，这是变化的速度微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、微分是一个线性近似，二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它，但是当误差不够小时，近似的程度就不够好，这时就不能说该函数可微分了不定积分：导数的逆运算。
什么函数有不定积分定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确什么样的函数有定积分解不定积分（定积分）的几种典型方法：代换法和除法。
整数后面的部分在除法积分中考虑。
不同类型的功能有不同的优先级，并按相反的三次幂顺序存储定积分的几何应用和物理应用高等数学中最重要的数学思想方法：微积分微分和导数的应用：判断函数的单调性和凹凸性微分中值定理可以从几何意义上进一步理解泰勒定理：本质是用多项式来逼近连续函数。
微积分十大经典问题
这里入选原则是必须配得起“经典”二字。
知识范围要求不超过大二数学系水平，尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。
排名不分先后。
1）开普勒定律与万有引力定律互推。
绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。
大家不妨试试，用不着太多的专业知识，不过很有挑战性。
重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！2）最速降线问题。
该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。
答案是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。
其解答一般变分书上均有。
本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。
这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。
最速降线问题通过引入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。
不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。
3）曲线长度和曲面面积问题。
一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。
如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。
但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。
德国数学家H.A.Schwarz 举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。
4）处处连续处处不可导的函数。
长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。
但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。
这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。
现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。
至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。
函数逼近论
函数逼近论函数逼近论是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。
在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下类问题：在选定的一类函数中寻找某个函数g，使它是已知函数ƒ在一定意义下的近似表示，并求出用g近似表示ƒ而产生的误差。
这就是函数逼近问题。
在函数逼近问题中，用来逼近已知函数ƒ的函数类可以有不同的选择；即使函数类选定了，在该类函数中用作ƒ的近似表示的函数g的确定方式仍然是各式各样的；g对ƒ的近似程度（误差）也可以有各种不同的含义。
所以函数逼近问题的提法具有多样的形式，其内容十分丰富。
从18世纪到19世纪初期，在L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶、J.-V.彭赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题。
这些问题是从诸如绘图学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的。
在当时没有可能形成深刻的概念和统一的方法。
切比雪夫提出了最佳逼近概念,研究了逼近函数类是n次多项式时最佳逼近元的性质，建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元的特征定理。
他和他的学生们研究了与零的偏差最小的多项式的问题，得到了许多重要结果。
已知[α,b]区间上的连续函数ƒ(x)，(n≥0)，叫做ƒ(x)的n阶最佳一致逼近值，简称为最佳逼近值，简记为En(ƒ)。
能使极小值实现的多项叫做ƒ(x)的n阶最佳逼近多项式。
切比雪夫证明了，在区间[-1,1]上函数xn+1的n阶最佳逼近多项式必满足关系式。
多项式就是著名的切比雪夫多项式。
切比雪夫还证明了ƒ(x)在[α,b]上的n 阶最佳逼近多项式的充分必要条件是：在[α，b]上存在着n+2个点：α≤x1<x2<…xn+2≤b，在这些点上依照i=1,2,…,n+2的次序交错变号，像这样的点组{x1,x2,…,xn+2} 便是著名的切比雪夫交错组。
1885年德国数学家K.（T.W.）外尔斯特拉斯在研究用多项式来一致逼近连续函数的问题时证明了一条定理，这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何预先指定的精确度在函数的定义区间上一致地近似表示，但是没有指出应该如何选择多项式才能逼近得最好。
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教案
用多项式逼近连续函数
教学内容
介绍前苏联数学家Korovkin关于用多项式逼近连续函数的定理（Weierstrass第一逼近定理）的一种证明。
指导思想
用多项式逼近连续函数，是经典分析学中重要的结果，以往教材中介绍的证明都比较艰深，学生难以理解。
我们发现了前苏联数学家Korovkin的一种证明，思想新颖，方法简单，且通过对多项式逼近连续函数的学习，可以使学生进一步理解一致收敛的概念。
教学安排
先给出多项式一致逼近连续函数的定义：
定义10.5.1设函数f (x)在闭区间[a, b] 上有定义，如果存在多项式序列｛P n (x)｝在[a, b] 上一致收敛于f (x)，则称f (x)在这闭区间上可以用多项式一致逼近。
应用分析语言，“f (x)在[a, b] 上可以用多项式一致逼近”可等价表述为：对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使得
｜P(x) - f (x)｜＜ε
对一切x∈[a, b] 成立。
这一定理的证法很多，我们则介绍前苏联数学家Korovkin在1953年给出的证明。
定理10.5.1(Weierstrass第一逼近定理) 设f (x)是闭区间[a, b] 上的连续函数，则对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使
｜P(x) - f (x)｜＜ε
对一切x∈[a, b] 成立。
证不失一般性，我们设[a, b] 为[0, 1] 。
设X是[0, 1] 上连续函数全体构成的集合，Y是多项式全体构成的集合，现定义映射
B n : X →Y
f (t) B n (f , x) = ∑
=
--
n k
k
n
k
k
n
x
x
n
k
f
)
1(
C
)
(，
这里B n (f , x) 表示f ∈X在映射B n 作用下的像，它是以x为变量的n次多项式，称为Bernstein多项式。
关于映射B n，直接从定义出发，可证明它具有下述基本性质与基本关系式：
(1) B n是线性映射，即对于任意f , g ∈X及α,β∈R，成立
B n (αf +βg, x) = αB n (f , x) +βB n (g, x)；
(2) B n 具有单调性，即对于任意f , g ∈X，若f (t)≥g(t) （t∈[a, b]）成立，
则
B n (f , x ) ≥ B n (g , x )
对一切x ∈[a , b ]成立；
(3) B n (1, x ) = ∑=--n k k n k k n
x x 0
)1(C = [x + (1- x )] n = 1； B n (t , x ) = ∑=--n k k n k k n x x n k 0)1(C = x ∑=-----n k k n k k n x x
1
111)1(C = x [x + (1- x )] n -1 = x ；
B n (t 2, x ) = ∑=--n k k n k k n x x n
k 022
)1(C = ∑=----n k k n k k n x x n k 111)
1(C = ∑=-----n k k n k k n x x n k 211)1(C 1 + ∑=----n k k n k k
n x x n 1
11)1(C 1 = ∑=------n k k n k k n x x x n n 2
2222)1(C 1 + ∑=-----n k k n k k n x x n x 1111)1(C = 21x n n - +n x = 2x +n
x x 2-。
综合上述三式，考虑函数 (t - s )2在B n 映射下的像，注意s 在这里被视为常数，我们得到
B n ((t - s )2, x ) = B n (t 2, x ) - 2sB n (t , x ) + s 2B n (1, x )
= x 2 +n x x 2- - 2 sx + s 2 = n
x x 2- + (x - s )2。
现在我们来证明定理。
由于函数f 在[0, 1]连续，所以必定有界，即存在M ＞0，对于一切t ∈[0, 1] ，成立
｜f (t )｜≤M ；
而根据Cantor 定理，f 在[0, 1]一致连续，于是对任意给定的ε＞0，存在δ＞0，对一切t , s ∈[0, 1]，
当｜t - s ｜＜δ时，成立
｜f (t ) - f (s )｜＜2
ε; 当｜t - s ｜≥δ时，成立
｜f (t ) - f (s )｜≤2M ≤22δ
M (t - s )2。
也就是说，对一切t , s ∈[0, 1], 成立 -2ε-22δM (t - s )2 ≤ f (t ) - f (s ) ≤ 2ε+22δ
M (t - s )2。
考虑上式的左端，中间，右端三式(关于t 的连续函数)在映射B n 作用下的像(关于x 的多项式)，注意f (s )在这里被视为常数，即B n (f (s ), x ) = f (s )，并根据上面性质(1)，(2)与(3)，得到对一切x , s ∈[0, 1]，成立 -2ε-22δM [n x x 2- + (x - s )2] ≤B n (f , x ) - f (s ) ≤2ε+22δM [n
x x 2- + (x - s )2]， 令s = x ，且注意x (1 - x )≤4
1, 即得
∑=---⎪⎭⎫ ⎝⎛n
k k n k k n x f x x n k f 0)()1(C ≤2ε+22δn M 。
取N = [ε
δ2M ]，当n ＞N 时, ∑=---⎪⎭
⎫ ⎝⎛n k k n k k n
x f x x n k f 0)()1(C ＜ε 对一切x ∈[0, 1]成立。
证毕
定理10.5.1还可以表述为： 设f 在 [a , b ] 连续，则它的Bernstein 多项式序列｛B n (f , x )｝在 [a , b ] 上一致收敛于f 。
注意点
（1）学生容易误认为：只要将f (x )在 [a , b ] 上展开成幂级数
f (x ) = ∑∞=-00)(n n n x x a
, x ∈[a , b ] ，
然后令其部分和函数（多项式）
S n (x ) = ∑=-n k k k x x a
00)(，
(x )在 [a , b ] 上就可以由多项式序列｛S n (x )｝一致逼近了。
事实上，对任意正整数n ，n 次多项式S n (x )只能是在n -1次多项式S n -1(x )的基础上增加一项a n (x - x 0)n ，而不能更改S n -1(x )的任何一项。
但是这么做需要函数具有很好的分析性质，因为一个函数能展开成幂级数的必要条件之一是它任意次可导，而对仅要求“一个函数可以用多项式一致逼近”来说，这个条件实在是过分强了。
究其原因，幂级数的部分和函数序列只是多项式序列的一种特殊情况。
如果不是用幂级数，而是用一般的多项式序列来逼近，则对函数的要求就可以弱得多。
事实上，Weierstrass 首先证明了：闭区间 [a , b ]上任意连续函数f (x )都可以用多项式一致逼近。
（2）定理证明有许多方法，例如还有Bernstein 给出的证明等。
可以介绍同学自己去阅读相关的资料，对多项式逼近连续函数的不同证明进行比较，扩大知识面，提高学习能力。