数学实验“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”实验报告(内含matlab程序)
用谱方法解微分方程
Figure 2: N=4的等距插值
1.0
0.5
0.5
1.0
0.5
Figure 3: N=13的等距插值
定理 1 (误差估计) 设f (x) 在[a, b] 内具有n 阶连续导数，在[a, b] 内具有n + 1 阶导 数，φ(x) 是满足插值条件(8)的次数不超过n 的插值多项式，则对任意x ∈ [a, b]， 存在ξ = ξ(x) 使得
(4)
k=0
N
T2N+1 (x) = (2N + 1) T0 + (4N + 2) T2k
(5)
k=1
2 Lagrange 插值多项式
如果有一个未知函数，仅仅知道这个函数在某些点的函数值。能否用较为简单 的函数来代替未知函数。或者如果有一个较为复杂的函数，仅仅能计算出少数 点的函数值，可不可以用较为简单的函数近似代替原函数，计算出其他点的函数 值。这就是函数插值需要解决的问题。插值方法包括Lagrange 插值，Newton 插 值，Hermite 插值，样条插值等。这几种插值主要是具体应用中要求不同而灵活采 用。在此简要介绍一下Lagrange 插值。
2 ΛN (X) > π ln(N + 1) − C
这个定理表明当N → ∞时ΛN (X) → ∞。这表明，如果插值点取得不好，并不
是插值点取得越多越好，如果插值点取得不合适，Runge 现象会随着插值点的增
加而越来越严重的。这个定理与Faber 1914 年得到的一个结果有关，Faber 的定理
表明对于任何一组格点，至少存在一个连续函数f ，使得它的插值多项式不能一致
2
π
π
k=j k=j=0 k=j=0
数学实验“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”实验报告(内含matlab程序)
f=c(1)+c(2)*t;
fori=3:k+1
T(i)=2*t*T(i-1)-T(i-2);
c(i)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;
实验内容
Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近
成绩
教师
实验十八实验报告
一、实验名称：Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
二、实验目的：进一步熟悉Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
三、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成程序设计。
四、实验原理：
1．Chebyshev多项式最佳一致逼近：
当一个连续函数定义在区间 上时，它可以展开成切比雪夫级数。即：
其中 为 次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递推得出：
它们之间满足如下正交关系：
在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限项数。切比雪夫级数中的系数由下式决定：
2．最佳平方逼近：
求定义在区间 上的已知函数最佳平方逼近多项式的算法如下。
f2=power(a,n+1);
C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);
end
coff=C\d;
设已知函数 的最佳平方逼近多项式为 ，由最佳平方逼近的定义有：
其中
形成多项式 系数的求解方程组
数值逼近报告
图 2 f ( x ) x 的函数图像和勒让德逼近函数图像(取 n=2)
勒让德逼近 MATLAB 代码 function f = Legendre(y,k,x0) syms t; P(1:k+1) = t; P(1) = 1; P(2) = t; c(1:k+1) = 0.0; c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*P(1),t,-1,1)/2; c(2)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*P(2),t,-1,1)/2; f = c(1)+c(2)*t; for i=3:k+1 P(i) = ((2*i-3)*P(i-1)*t-(i-2)*P(i-2))/(i-1); c(i) = int(subs(y,findsym(sym(y)),t)*P(i),t,-1,1)/2; if(i==k+1) f = f + c(i)*P(i);
1、Euler 方法
function [ x,y ] = Euler( f,a,b,y0,h ) %解初值问题：y'=f(x,y),y(a)=y0 %欧拉方法 n=(b-a)/h; x = (a+h:h:b); y(1) = y0 + h*feval(f,a,y0); for i = 2:n y(i) = y(i-1) + h*feval(f,x(i-1),y(i-1)); end x=[a x]; y=[y0 y];
求解如上线性方程组我们即可得到所需之 Pade 逼近。 例：我们通过如下例子观察 Pade 逼近的效果。考察函数
f x 1 1 3 5 1 x x 2 x3 2 8 16 1 x
计算方法最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式
一、函数逼近与函数空间
实际应用需要使用简单函数逼近已知复杂函数。
函数逼近问题：对于函数类A中给定的函数
f(x), 要求在另一类较简单的便于计算的函
数类
BA
B
A
中找一个函数p(x), 使p(x)与f(x)的误差在某
种度量意义下达到最小.
定理 1(Weierstrass)若 f(x) C[a, b], 则ε 0, 多项式p(x), 使得
TT0n(x1()x)
1, T1(x) 2xTn(x)
x, Tn1(x).
(2.11)
Tn(x)的最高次幂x n的系数为2 n1, (n 1).
证明：记θ arccosx, 则 Tn1 (x) cos[(n 1)θ ] cos[(nθ θ )]
cos(nθ )cosθ sin(nθ )sinθ
切比雪夫多项式的前几项：
T0(x) cos(0) 1 T1(x) cos(arccosx) x T2(x) cos(2arccosx) 2x2 1 T3(x) cos(3arccosx) 4x3 3x
课堂练习：推出T4(x)
切比雪夫多项式的性质
（1）基本递推关系
cos(n 1)θ cos(nθ )cos θ sin(nθ )sin θ
Tn1 (x) 2cos(nθ )co sθ cos(n 1)θ 2xTn (x) - Tn1 (x)
（2）正交性
0, m n,
1
1
1
1
x2
Tm(x)Tn(x)dx
π/2, m n 0,
cos[(2k
1)π] 2
函数逼近试验
函数逼近实验学号：P0725005 姓名：乔海亮1. 问题描述 (2)2. 解决方法 (2)2.1. 最佳平方逼近二次多项式 (2)2.2. Chebyshev截断级数 (3)2.3. 插值余项极小化 (4)3. 数值结果 (4)4. 结果分析对比 (6)5. 代码和程序说明 (6)5.1. 开发环境 (6)5.2. 主要变量和函数说明 (6)5.3. 程序说明 (7)1. 问题描述设()[]ln ,1,3f x x x x =∈，试求出权函数()1x ρ=的最佳平方逼近二次多项式。
另外请用Chebyshev 截断级数的办法和插值余项极小化方法分别给出近似最佳一致逼近二次多项式。
并画出所有曲线图。
2. 解决方法2.1. 最佳平方逼近二次多项式设所求多项式为()()220i i i S x a x ϕ==∑其中()()()20121,,x x x x x ϕϕϕ===则()31131131,11j k j k j kjkx x dx j k j k ϕϕ+++++-===++++⎰()30019,ln ln 322d f x xdx ϕ===-⎰()3211126,ln 9ln 39d f x xdx ϕ===-⎰()3322181,ln ln 354d f x xdx ϕ===-⎰即有法方程01226924ln 323226264209ln 339262428120ln 35354a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解得到0120.9089635102,0.6275842954,0.2597705928a a a =-==所求最佳平方逼近二次多项式为()220.90896351020.62758429540.2597705928S x x x =-++最大误差()213ln 0.02161max x x x S x ≤≤-=2.2. Chebyshev 截断级数利用Chebyshev 多项式进行函数值的计算，主要是利用Chebyshev 的系数k a 趋于零的速度比较快，从而级数收敛速度快。
数学“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”分析研究方案(内含matlab程序)
西京学院数学软件实验任务书实验十八实验报告一、实验名称：Chebyshev 多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近. 二、实验目地：进一步熟悉Chebyshev 多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近.实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica 等其中一种语言完成程序设计.四、实验原理：1．Chebyshev 多项式最佳一致逼近：当一个连续函数定义在区间[1,1]-上时，它可以展开成切比雪夫级数.即：0()()n n n f x f T x ∞==∑其中()n T x 为n 次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递推得出：0111()1,(),()2()()n n n T x T x x T x xT x T x +-===-它们之间满足如下正交关系：10 n mn=m 02n=m=0ππ-≠⎧⎪⎪=≠⎨⎪⎪⎩⎰ 在实际应用中，可根据所需地精度来截取有限项数.切比雪夫级数中地系数由下式决定：10112n f f ππ--==⎰⎰2．最佳平方逼近：求定义在区间01[,]t t 上地已知函数最佳平方逼近多项式地算法如下.设已知函数()f x 地最佳平方逼近多项式为01()n n p x a a x a x =+++，由最佳平方逼近地定义有：01(,,,)0(0,1,2,,)n iF a a a i n a ∂==∂其中120101(,,,)(())t n n n t F a a a f x a a x a x dx =----⎰形成多项式()p x 系数地求解方程组Ca D =其中121122211212bbb bn na a a a bb b b n n aaa ab b b b n n n n a a a abbb bn n n naaa a dx xdxx dxx dx xdx x dx x dx x dx C x dx x dx x dx x dx x dx x dx x dx x dx -+---+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1()()()()b a b a b n a b n a f x dx f x xdx D f x x dx f x x dx -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰五、实验内容：%Chebyshev 多项式最佳一致逼近function f=Chebyshev(y,k,x0)syms t ;T(1:k+1)=t; T(1)=1; T(2)=t;c(1:k+1)=0.0;c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(1)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;c(2)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(2)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;f=c(1)+c(2)*t; for i=3:k+1T(i)=2*t*T(i-1)-T(i-2);c(i)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi; f=f+c(i)*T(i); f=vpa(f,6); if (i==k+1) if (nargin==3)f=subs(f,'t',x0);elsef=vpa(f,6);endendEnd%最佳平方逼近function coff=ZJPF(func,n,a,b)C=zeros(n+1,n+1);var=findsym(sym(func));func=func/var;for i=1:n+1C(1:i)=(power(b,i)-power(a,i))/i;func=func*var;d(i,1)=int(sym(func),var,a,b);endfor i=2:n+1C(i,1:n)=C(i-1,2:n+1);f1=power(b,n+1);f2=power(a,n+1);C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);endcoff=C\d;版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.5PCzV。
实验三 最佳平方逼近多项式的收敛性word资料8页
实验三 最佳平方逼近多项式的收敛性一、 实验目的若已知给定区间[a,b]上的连续函数f (x ),寻找一个简单、易于计算的函数P (x )来代替f (x )使用，即用P (x )去近似f (x )，这就是函数逼近所要研究的问题。
而逼近的方法很多，收敛速度也各有差异，本实验主要讨论最佳平方逼近，分别对Legendre 以及Chebychev 方法讨论其n 次截断多项式的问题，观察其收敛性，学习并掌握最佳平方逼近多项式的MATLAB 实验及精度比较。
二、 实验原理由教材定义有：对于给定的函数],[)(b a C x f ∈，如果存在使得则称S *(x )是f (x )在集合01{(),(),,()}n Span x x x ϕϕϕL 中的最佳平方逼近函数。
显然，求最佳平方逼近函数)()(0**x a x S j nj j ϕ⋅=∑=的问题可归结为求它的系数**1*0,,,n a a a Λ，使多元函数取得极小值，也即点(**1*0,,,n a a a Λ)是I (a 0, …，a n )的极点。
由于I (a 0, a 1, …，a n )是关于a 0, a 1, …，a n 的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件，0=∂∂ka I (k = 0, 1, 2, …, n )即得方程组 如采用函数内积记号那么，方程组可以简写为0(,)(,)(0,1,2,,)n k jj k j a f k n ϕϕϕ===∑L (1)这是一个包含n + 1个未知元a 0, a 1, …, a n 的n + 1阶线性代数方程组，写成矩阵形式为0001000101111101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n n n a f a f a f ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L LM M L L L L L ………（2） 此方程组叫做求a j (j = 0, 1, 2, …, n )的法方程组。
多项式逼近方法比较与分析实验报告
Rn (x) f ( x) Pn ( x) f [x, x0,..., xn ]n1( x)
我们将满足 Pn (x) 的多项式称为 Newton 插值多项式。 Newton 插值相比于拉格朗日插值多项式更为简便。在我们利用插值基函数
时很容易得到拉格朗日插值多项式，但是如果当插值节点增减时，计算要全部全
称为
f (x) 的二阶均差.一般地，称
f [x0, x1,..., xk ]
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．Chebyshev多项式最佳一致逼近：
当一个连续函数定义在区间 上时，它可以展开成切比雪夫级数。即：
其中 为 次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递推得出：
它们之间满足如下正交关系：
在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限项数。切比雪夫级数中的系数由下式决定：
2．最佳平方逼近：
求定义在区间 上的已知函数最佳平方逼近多项式的算法如下。
实验内容
Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近
成绩
教师
实验十八验报告
一、实验名称：Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
二、实验目的：进一步熟悉Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
三、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成程序设计。
西京学院数学软件实验任务书
课程名称
数学软件实验
班级
数0901
学号
0912020107
姓名
李亚强
实验课题
Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近
实验目的
熟悉Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近
实验要求
运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成
func=func/var;
fori=1:n+1
C(1:i)=(power(b,i)-power(a,i))/i;
func=func*var;
d(i,1)=int(sym(func),var,a,b);
end
fori=2:n+1
C(i,1:n)=C(i-1,2:n+1);
f1=power(b,n+1);
f=f+c(i)*T(i);
f=vpa(f,6);
if(i==k+1)
if(nargin==3)
f=subs(f,'t',x0);
else
f=vpa(f,6);
end
end
End
%最佳平方逼近
functioncoff=ZJPF(func,n,a,b)
C=zeros(n+1,n+1);
var=findsym(sym(func));
c(2)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(2)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;
f=c(1)+c(2)*t;
fori=3:k+1
T(i)=2*t*T(i-1)-T(i-2);
c(i)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;
设已知函数 的最佳平方逼近多项式为 ，由最佳平方逼近的定义有：
其中
形成多项式 系数的求解方程组
其中
五、实验内容：
%Chebyshev多项式最佳一致逼近
functionf=Chebyshev(y,k,x0)
symst;
T(1:k+1)=t;
T(1)=1;
T(2)=t;
c(1:k+1)=0.0;
c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(1)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;
f2=power(a,n+1);
C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);
end
coff=C\d;