最佳平方逼近方法
最佳平方逼近的误差
最佳平方逼近的误差
最佳平方逼近是一种数学方法，用于逼近一个函数或数据集。
这种方法通过选择一个简单的函数（如多项式）来逼近目标函数或数据集，使得逼近误差的平方和最小。
最佳平方逼近的误差是指逼近函数与目标函数之间的误差。
这个误差可以通过最小化逼近误差的平方和来获得。
具体来说，对于一个给定的数据集，我们可以选择一个多项式函数来逼近它。
然后，我们可以通过最小化逼近函数与数据集之间的平方误差来找到最佳的逼近多项式。
最佳平方逼近的误差可以通过以下步骤计算：
确定逼近函数的形式，例如多项式函数。
确定逼近函数的系数，使得逼近函数能够最佳地逼近目标函数或数据集。
计算逼近函数与目标函数或数据集之间的平方误差。
最小化平方误差，以获得最佳的逼近效果。
最佳平方逼近的误差通常是一个衡量逼近效果好坏的指标。
如果误差较小，则说明逼近效果较好；如果误差较大，则说明逼近效果较差。
在实际应用中，我们通常会选择一个合适的逼近函数和系数，以使得逼近误差最小化。
研究生数值分析(20)函数的最佳平方逼近
L1 )
3 2
1 1
t 2
1 tdt 6 15
可知
q1(t)
2 3
L0 (x)
6 15
L1 ( x)
2 3
6 15
t,
1 t 1
把 t =2x-1代人 q1(t) 得 x 在区间[0，1]上的一次最佳平方 逼近多项式
p1(t)
2 3
6 15
(2x
1)
4 15
12 15
m
m
[ * ( xi )
i 1
yi ]2
min ( x )
[ ( xi )
i 1
yi ]2
其中 (x) 为函数类Φ 中任意函数。
因此，用最小二乘法解决实际问题包含 如下2个基本环节：
（1）确定函数类Φ ，即确定 (x) 的形式。 这不是一个单纯的数学问题，还与其
12 15
所求的最佳平方逼近元素为
p(x) 4 12 x, 15 15
0 x 1
二、正交函数系在最佳平方逼近中的应用 对于一般的基底 0 (x),1(x),,n (x)
当 n 较大时，计算法方程中的 (k , j ) 以及求解法方程的计算量都是很大的。 1, x, x2 ,, xn 作基底，当ρ(x)≡1时， 虽然 (k , j ) (xk , x j ) 容易计算，但由此形成 的法方程系数矩阵G在 n稍大时是病态矩阵， 在计算机上求解法方程，其结果不太可靠。
§6 函数的最佳平方逼近 一、最佳平方逼近的概念与解法
用简单函数 p (x)去近似一个给定区间[a， b]上的连续函数 f (x)，是函数逼近要研究的 问题。度量逼近误差标准有许多种，这里 介绍一种称为平方逼近的函数逼近。
数学实验“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”实验报告(内含matlab程序)
f=c(1)+c(2)*t;
fori=3:k+1
T(i)=2*t*T(i-1)-T(i-2);
c(i)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;
实验内容
Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近
成绩
教师
实验十八实验报告
一、实验名称：Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
二、实验目的：进一步熟悉Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
三、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成程序设计。
四、实验原理：
1．Chebyshev多项式最佳一致逼近：
当一个连续函数定义在区间 上时，它可以展开成切比雪夫级数。即：
其中 为 次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递推得出：
它们之间满足如下正交关系：
在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限项数。切比雪夫级数中的系数由下式决定：
2．最佳平方逼近：
求定义在区间 上的已知函数最佳平方逼近多项式的算法如下。
f2=power(a,n+1);
C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);
end
coff=C\d;
设已知函数 的最佳平方逼近多项式为 ，由最佳平方逼近的定义有：
其中
形成多项式 系数的求解方程组
第二章最佳平方逼近
第二章 最佳平方逼近为了便于计算和分析，常常需要用一个简单的函数()x ϕ来近似代替给定的函数()f x ，这类问题称为函数逼近问题。
插值问题以及Taylor 展开问题都属于这类问题。
本章介绍另一种函数逼近问题，即最佳平方逼近。
最佳平方逼近问题的提法是：设()f x 是[],a b 上的连续函数，n H 是所有次数不超过n 的多项式的集合，在n H 中求()n P x *逼近()f x ，使()()()()()1/2222infnb n naP x H f Px f x P x dx f Pρ**∈⎡⎤-=-=-⎣⎦⎰此时称()n P x *为()f x 在[],a b 上的最佳平方逼近多项式。
我们将要研究()n P x *是否存在？是否唯一？如何求得()n P x *？首先介绍正交多项式及其性质。
§1、正交多项式正交多项式是函数逼近的重要工具，在数值积分中也有广泛的应用。
1.1正交函数系的概念定义1 设()x ρ定义在[],a b 上（有限或无限），如果满足条件：（1）()[]0,,x x a b ρ≥∈； （2）()()0,1,bnax x dx n ρ=⎰存在；（3）对非负连续函数()f x ，若()()0ba f x x dx ρ=⎰，则在[],a b 上一定有()0f x ≡那么称()x ρ是区间[],a b 上的权函数。
简称为权函数。
权函数()x ρ的一种解释是物理上的密度函数，相应的()bax dx ρ⎰表示总质量。
当()x ρ=常数时，表示质量分布是均匀的。
下面引进内积定义。
定义2 给定()[]()(),,,,f x g x C a b x ρ∈是[],a b 上的权函数，称 ()()(),()ba f g x f x g x dx ρ=⎰ ()1.1为函数()f x 与()g x 在[],a b 上的内积。
内积具有下列简单性质： ()f g g f （1）、（，）=，；()()()1212,)(,00.f g f g R f f g f g f g f f f ααα∈++≠>（2）、（，）=，；（3）、 （，）=（4）、 当时，， 此外，还有如下Cauchy-Schwarz 不等式()()()2,,,.f g f f g g ≤⋅ ()1.2我们知道，一个向量的长度的几何概念，对于函数空间及逼近有许多自然的应用。
计算方法 最佳平方逼近-最小二乘法
只需证明 (s(x), s(x)) (s(x), f(x)) 即：
n
n
n
( akk (x), ajj(x)) ( akk (x), f(x))
k0
j0
k0
整理上式，得
n
n
n
ak[ aj(k(x), j(x))]
ak (k (x), f(x))
k0
j0
k0
根据之前S*(x)存在性证明过程中得到的(3.3)式，即：
10 27
88 x 135
平方误差 :|| δ(x) ||22
1xdx
1
( 10 27
7 12
31 80
) 88
135
4
1.02
p1* (x)
10 27
88 x. 135
1
f(x) x
平方误差 : || δ(x) ||22 0.0001082.
0.37
1/4
1
观察：在[1 , 1]上，f(x) 4
n
|| f(x) ||22 ak* (f, k ) (4.5) k0
逼近误差公式证明
|| δ(x) ||22 || f(x) - s(x) || (f(x) - s(x), f(x) - s(x)) (f(x), f(x)) (f(x), s(x)) - (s(x), f(x)) (s(x), s(x))
(x)dx
n
(k , j )aj (f, k ), k 0,1,...,n (3.3)
j0
展开成方程组形式：
(0 , 0 )a0 (0 , 1 )a1 (0 , n )an (f, 0 ) (1 , 0 )a0 (1 , 1 )a1 (1 , n )an (f, 1 )
最佳平方逼近
(1,1) (2,1) L
A
(1,2
)
(2,2 )
L
L
LL
(1,m ) (2,m ) L
(m,1)
(m
,2
)
L
(m
,
m
)
称为函数1(x)，.....，m (x)的Gram矩阵，
A显然是对称矩阵。
若1(x)，.....，m (x)线性无关，则它们
0
3
(ex ,1) 2 ex 1dx e2 1 0
(ex , x) 2 ex xdx e2 1 0
法方程组为
2a0
2a0
2a1 8 3 a1
e2 1 e2 1
a0=0.1945 , a1=3.0000
最佳平方逼近一次多项式为 0.1945+3.0000x
8 7 6 5 4 3 2 1 0
b w(x) f (x) g(x)2 dx a
函数f (x)和g(x)正交
b
( f , g) a w(x) f (x)g(x)dx 0
设次数不超过n的多项式空间为n ,显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., xn ,则，p(x) a0 a1x ... anxn n 是f (x)在n的最佳逼近元的充分必要条件为
a0 (1,1) a1(x,1) ... an (xn ,1) ( f ,1)
a0 (1, x) a1(x, x) ... an (xn , x) ( f , x)
a0 (1, xn ) a1(x, xn ) ... an (xn , xn ) ( f , xn )
求解法方程组，得到a0，a1，...，an
函数的一次最佳平方逼近
2013-2014（1）专业课程实践论文题目：函数的最佳平方逼近一、算法理论下面研究在区间[],a b 上一般的最佳平方逼近问题。
对于给定的函数()[,]f x C a b ∈，如果存在*01(){(),(),,()}n S x Span x x x ϕϕϕ∈使得[]22*()()()min ()()()bb a a a x b x f x S x dx x f x s x dx ρρ≤≤⎡⎤-=-⎣⎦⎰⎰则称*()s x 是()f x 在集合01{(),(),,()}n Span x x x ϕϕϕ 中的最佳平方逼近函数。
为了求*()s x ，由式可知，该为题等价于求多元函数。
若用H 表示行列式2(1,,,....,)n Gn G x x x =对应的矩阵，则*()s x ， H 称为Hilbert 矩阵。
记01(,,....,)T n a a a a =，01(,,....,)T n d d d d =其中 (,)(0,1,.....,)k k d f x k n ==则方程 Ha d =的解*(0,1,.....)k k a a k n ==即为所求。
二、算法框图三、算法程序#include<stdio.h>#include<math.h>double function1(double x){ double s1;s1=1/sqrt(4+x*x);//替换函数return s1;}double function2(double x){ double s2;s2=x/sqrt(4+x*x);//替换函数return s2;}double ReiterationOfSimpson(double a,double b,double n,double f(double x)){ double h,fa,fb,xk,xj;h=(b-a)/n;fa=f(a);fb=f(b);double s1=0.0;double s2=0.0;for(int k=1;k<n;k++){ xk=a+k*h;s1=s1+f(xk);}for(int j=0;j<n;j++){ xj=a+(j+0.5)*h;s2=s2+f(xj);}double sn;sn=h/6*(fa+fb+2*s1+4*s2);return sn;}int main(){ double a=0.0,b=1.0,Result[2];int n=5;Result[0]=ReiterationOfSimpson(a,b,n,function1);Result[1]=ReiterationOfSimpson(a,b,n,function2);printf("d0=%f,d1=%f\n\n",Result[0],Result[1]);double x[2]={Result[0],Result[1]};double a0,a1;a0=4*Result[0]-6*Result[1];a1=12*Result[1]-4*Result[0];printf("a0=%5.7f,a1=%5.7f\n\n",a0,a1);}四、算法实现例1. 求()f x x =在[1,1]-上的一次最佳平方逼近解：运行程序，把替换函数分别改成s1=abs(x)，s2=x*abs(x)， 上机运行截图例2. 设()1/0,1上的一次最佳平方逼近多项式。
第四章 3最佳平方逼近(1)
§3 最佳平方逼近摘要：介绍内积赋范线性空间中的最佳平方逼近的特征，最佳逼近元存在唯一性及求解；2,L a b ρ⎡⎤⎣⎦中的最佳平方逼近问题的讨论。
一、赋范线性空间定义1 线性空间X 称为赋范线性空间，如果其上赋予一个满足如下3条性质的函数：（1）0,00,;x x x x X ≥=⇔=∈ （2）,,;α=∈∈ax a x x X（3）,,.x y x y x y X +≤+∈ 则称是线性空间X 的范数。
例1 欧氏空间(欧几里德空间（Euclid ）)n:12221,,=⎛⎫=∈⎪⎝⎭∑nnk k x x x范数称为欧氏范数或2-范数。
例2 1-范数赋范线性空间n：11,,==∈∑nnk k x x x称为1-范数。
定义2 赋范线性空间中的最佳逼近：若Y 是赋范线性空间X 的一个线性子空间，x X ∈，则称量(),inf y Yx Y x y∈∆=-为子空间Y 对元素x 的最佳逼近，而使上式成立的元素*y 称为最佳逼近元，且Y 称为逼近子空间。
二、内积空间定义3 假设X 是一线性空间，如果其上赋予一个满足如下4条性质的二元函数(),：()()(1)(,)(,),,;(2)(,)(,),,,;(3)(,)(,)(,),,,;(4),0,;,00,ααα=∀∈=∀∈∈+=+∀∈≥∀∈=⇔=x y y x x y X x y x y x y X x y z x z y z x y z X x x x X x x x则称X 为内积空间。
例3 欧几里得空间n： (),,,=∈Tnx y x y x y内积→范数：2x ，2x 满足范数的3条性质。
内积空间→赋范线性空间定义4 内积空间中的最佳逼近：假设(1,2,,)ϕ=i i n 是内积空间X 中的n 个线性无关的元素，f X ∈，则子集{}12,,,ϕϕϕΦ=n n span对f 的最佳平方逼近定义为()2,min ϕϕ∈Φ∆Φ=-nn f f . （1） 使（1）成立的那个元素称为最佳逼近元素。
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2016-2017（1）专业课程实践论文用最佳平方逼近法求逼近函数
肖夏， 29，R数学12-1班
一、算法理论
设函数组φ0,φ1,…，φm 都是[a,b]上的连续函数，并且在[a,b]上线性无关。
以此函数组为基，生成空间C[a,b]上的一个子空间
H =Span{φ0,φ1,…，φm }
则H 中的任意一个元素为
p (x )=∑c j φj (x )m
j=0
对空间C[a,b]的任意两个函数f ，g ，定义内积
(f,g )=∫ω(x )f (x )g (x )dx b
a
对于给定的函数f(x)∈C[a,b]，若p ∗(x )∈H ，满足
(f −p ∗,f −p ∗)=min p∈H (f −p,f −p )
则称p ∗(x )为子空间H 中对于f(x)的最佳逼近平方元素。
特别地，若φj (x )=x j ，j =0,1,…m 则称满足条件的p ∗(x )∈H ，为函数f (x )在区间[a,b]上带权ω(x )的m 次最佳平方逼近多项式。
设f(x)∈C[a,b]，p ∗(x )∈H 是子空间H 中对于f(x)的最佳平方逼近元素的充分必要条件是(f −p ∗,φj )=0，(j =0,1,…,m)或对于任意一个p (x )，总有(f −p ∗,p )=0。
求最佳平方逼近元素p ∗(x )=∑c k ∗φk (x )m k=0，只要求出c k ∗。
因
(f −p ∗,φj )=(f,φj )−∑c k ∗
(φi ,φj )=0m
k=0
得
∑c k ∗
(φi ,φj )=(f,φj )m
k=0
得
((φ0,φ0)⋯(φ0,φm )⋮⋱⋮(φm ,φ0)⋯(φm ,φm ))(c 0∗
⋮c m ∗)=((f,φ0)
⋮(f,φm )
) 求出c k ∗，带入p ∗(x )=∑c k ∗
φk (x )m k=0即可。
二、算法框图
三、算法程序
function S=abc(n,a,b) //创建一个函数，里面填入次数，和区间范围base=inline('x^(j-1)','x','j');///定义
quan=inline('1','x');
for k=1:(n+1)
for j=1:(n+1)
syms x
l(k,j)=int(base(x,k)*base(x,j)*quan(x),x,a,b); end
y(k)=int(base(x,k)*(sqrt(x^2+1)),x,a,b);//红色字体是f(x) end
l;
y';
c=vpa(inv(l)*y',3)
p=0;
for i=1:(n+1)
p=p+c(i)*base(x,i);
end
p
四、算法实现
例1.求f (x )=√x 2+1在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。
解：
(f,φ0)=∫√x 2+1dx =121
ln(1+√2)+√2
2
≈1.147
(f,φ1)=∫x √x 2+1dx 10
=
2√2−1
3
≈0.609 由方程组
(
1
121213
)(c 0c 1)=(1.1470.609) c 0=0.934，c 1=0.427，p 1∗(x )=0.427x +0.934
第一题的解：
例2. 求f (x )=sinx 在[0,π
3]上的一次最佳平方逼近多项式。
解：
(f,φ0)=∫sinxdx =
1
2
π
3
0−1=−0.500 (f,φ1)=∫xsinxdx =
π3
√32−π
6
≈0.342 由方程组
(
1
1
21213
)(c 0c 1)=(−0.5000.342) c 0=0.036，c 1=0.843，p 1∗(x )=0.843x +0.036
第二题的解：
例3. 求f (x )=arctan x 在[0,1]上的2次最佳平方逼近多项式。
解：
(f,φ0)=∫arctanxdx =π41
−log (2)
2
=0.439
(f,φ1)=∫xarctanxdx =
10π4−1
2
≈0.285 (f,φ2)=∫x 2arctanxdx =
1
π12+log (2)6−16
≈0.211
由方程组
( 1
121312131413141
5)
(c 0c 1c
2)=(0.4390.2850.211) c 0=−0.005，c 1=1.080，c 2=−0.289，p 1∗(x )=−0.289x 2+1.080x −0.289
第三题的解：
例4.求f (x )=e 2x
在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。
解：
(f,φ0)=∫e 2x dx =121
e 2x −1
2
≈3.195
(f,φ1)=∫xe 2x dx 10
=
14e 2+1
4
≈2.097 由方程组
(11
21213
)(c 0c 1)=(3.1952.097) c 0=0.195，c 1=6.000，p 1∗(x )=6.000x +0.195
第三题的解：。