数值分析最佳平方逼近
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第3章数值分析---最佳平方逼近
它可表示为
Tn ( x) cos( n arccos x),
x 1.
（2.10）
若令 x cos ， 则 Tn ( x) cos n , 0 .
7
3.3.1
最佳平方逼近及其计算
对 f ( x) C[a, b] 及 C[a, b] 中的一个子集
span{0 ( x), 1 ( x), , n ( x)}
0
(1 x 2 )dx 0.426d1 0.934d 0 0.0026.
0
1
最大误差 ( x)
max
0 x 1
* 1 x 2 S1 ( x) 0.066.
14
3.3.2
用正交函数族作最佳平方逼近
设 f ( x) C[a, b], span{0 ( x), 1 ( x), , n ( x)},
就是在区间 [ , ] 上的正交函数族.
5
勒让德多项式 P59-61
P ,P 利用上述递推公式就可推出 0 ( x) 1 1 ( x) x,
2 P ( x ) ( 3 x 1) / 2, 2
3 P ( x ) ( 5 x 3 x) / 2, 3
4 P 30 x 2 3) / 8, 4 ( x) (35 x
det G(0 , 1 ,, n ) 0 ( P56)
* 于是方程组（3.3）有唯一解 ak ak
(k 0,1, , n),
* * S * ( x) a0 0 ( x ) an n ( x).
10
若取 k ( x) x k , ( x) 1, f ( x) C[0, 1], 则要在 H n
数值分析06-平方逼近
x dx cos xdx 0
0 1 1 1 0 0 0 1 2 0 2 2
从上节知道 利用正交函数系可以简化最小二乘法的求 解，并提高解的精度，而正交多项式系，由于其计算简便 ，是函数逼近的重要工具，后面一致逼近，积分也要用到 正交多项式。 定义6.3 如果函数系{0(x), 1(x),…, m(x),…}满足:
0 k 1
( x ) 因而任一至多 0 k ( k1次多项式 Q ( x ) 均能表成它们的线性组 0且 ( x ) 0 ,1, 2 ,...) k 1
2 k 2 k
合。
根据定积分性质有： ( k , k ) ( x ) k ( x ) d x 0 设： Q k 1 ( x ) b aj j ( x ) 所以， k ( x )}为正交多项式系。0 { j
2
阜师院数科院第六章 函数逼近
b a
( k 2 ,3 , L , n )
6-11
( x ) k 2 ( x ) d x
2
下面介绍几种常用的正交多项式: （一）勒让德（Legendre）多项式 Legendre多项式的一般表示式为: n 1 d 具体表达 2 n Pn ( x ) n [( x 1) ] n 式为: 2 n! dx
W Y
设 0， 1， ， n 是线性相关的
, 即存在不全为
c 0 ( 0 , i ) c 1 ( 1 , i ) c n ( n , i ) c i ( i , i ) 0
0， 1， ， n 在 [ a , b ]上线性无关。
0 ( j , k ) ( x ) j ( x ) k ( x ) dx a Ak 0
0 1 1 1 0 0 0 1 2 0 2 2
从上节知道 利用正交函数系可以简化最小二乘法的求 解，并提高解的精度，而正交多项式系，由于其计算简便 ，是函数逼近的重要工具，后面一致逼近，积分也要用到 正交多项式。 定义6.3 如果函数系{0(x), 1(x),…, m(x),…}满足:
0 k 1
( x ) 因而任一至多 0 k ( k1次多项式 Q ( x ) 均能表成它们的线性组 0且 ( x ) 0 ,1, 2 ,...) k 1
2 k 2 k
合。
根据定积分性质有： ( k , k ) ( x ) k ( x ) d x 0 设： Q k 1 ( x ) b aj j ( x ) 所以， k ( x )}为正交多项式系。0 { j
2
阜师院数科院第六章 函数逼近
b a
( k 2 ,3 , L , n )
6-11
( x ) k 2 ( x ) d x
2
下面介绍几种常用的正交多项式: （一）勒让德（Legendre）多项式 Legendre多项式的一般表示式为: n 1 d 具体表达 2 n Pn ( x ) n [( x 1) ] n 式为: 2 n! dx
W Y
设 0， 1， ， n 是线性相关的
, 即存在不全为
c 0 ( 0 , i ) c 1 ( 1 , i ) c n ( n , i ) c i ( i , i ) 0
0， 1， ， n 在 [ a , b ]上线性无关。
0 ( j , k ) ( x ) j ( x ) k ( x ) dx a Ak 0
最佳平方逼近
( f p*, f p*) 2( f p*, p * p) ( p * p, p * p)
n
因为 f p*, p * p cj c j f p*, j 0 及
j0
( p * p, p * p) 0, 故 ( f p, f p) ( f p*, f p*).
2 则 f (x) 1 1 t g(t), 1 x 1
2 先求g(t)在区间 [-1,1] 旳一次最佳平方逼近多项式.
由
c0 *
1 2
(g,
L0 )
1 2
1 1
1 2
1 tdt 2 , 3
c1
3 2
(g,
L1 )
3 2
1 1
t 2
1 tdt 2 . 5
可知
2
2
22
q1(t) 3 L0 (x) 5 L1(x) 3 5 t,
例6 定义内积 ( f , g)
1
f (x)g(x)dx
0
试在H1=Span{1,x}中谋求对于f(x)= x 旳最佳平方逼近
元素p(x).
解 法方程为
1 12
1 2
13
c0
c1
2 2
3 5
解得
c0
4, 15
c1
4 5
所求的最佳平方逼近元素为 p(x) 4 4 x. 0 x 1 15 5
(n
,n
)
cn*
( f ,n )
因为 0x,1x, , nx 线性无关, 能够推得上系数阵是
非奇异旳. 故 (5. 82) 有唯一解 { c*j }.
四、最佳平方逼近旳误差
记 ( f p*, f p*), 称其为最佳平方逼近误差, 利用
n
因为 f p*, p * p cj c j f p*, j 0 及
j0
( p * p, p * p) 0, 故 ( f p, f p) ( f p*, f p*).
2 则 f (x) 1 1 t g(t), 1 x 1
2 先求g(t)在区间 [-1,1] 旳一次最佳平方逼近多项式.
由
c0 *
1 2
(g,
L0 )
1 2
1 1
1 2
1 tdt 2 , 3
c1
3 2
(g,
L1 )
3 2
1 1
t 2
1 tdt 2 . 5
可知
2
2
22
q1(t) 3 L0 (x) 5 L1(x) 3 5 t,
例6 定义内积 ( f , g)
1
f (x)g(x)dx
0
试在H1=Span{1,x}中谋求对于f(x)= x 旳最佳平方逼近
元素p(x).
解 法方程为
1 12
1 2
13
c0
c1
2 2
3 5
解得
c0
4, 15
c1
4 5
所求的最佳平方逼近元素为 p(x) 4 4 x. 0 x 1 15 5
(n
,n
)
cn*
( f ,n )
因为 0x,1x, , nx 线性无关, 能够推得上系数阵是
非奇异旳. 故 (5. 82) 有唯一解 { c*j }.
四、最佳平方逼近旳误差
记 ( f p*, f p*), 称其为最佳平方逼近误差, 利用
第二章最佳平方逼近
第二章 最佳平方逼近为了便于计算和分析，常常需要用一个简单的函数()x ϕ来近似代替给定的函数()f x ，这类问题称为函数逼近问题。
插值问题以及Taylor 展开问题都属于这类问题。
本章介绍另一种函数逼近问题，即最佳平方逼近。
最佳平方逼近问题的提法是：设()f x 是[],a b 上的连续函数，n H 是所有次数不超过n 的多项式的集合，在n H 中求()n P x *逼近()f x ，使()()()()()1/2222infnb n naP x H f Px f x P x dx f Pρ**∈⎡⎤-=-=-⎣⎦⎰此时称()n P x *为()f x 在[],a b 上的最佳平方逼近多项式。
我们将要研究()n P x *是否存在？是否唯一？如何求得()n P x *？首先介绍正交多项式及其性质。
§1、正交多项式正交多项式是函数逼近的重要工具，在数值积分中也有广泛的应用。
1.1正交函数系的概念定义1 设()x ρ定义在[],a b 上（有限或无限），如果满足条件：（1）()[]0,,x x a b ρ≥∈； （2）()()0,1,bnax x dx n ρ=⎰存在；（3）对非负连续函数()f x ，若()()0ba f x x dx ρ=⎰，则在[],a b 上一定有()0f x ≡那么称()x ρ是区间[],a b 上的权函数。
简称为权函数。
权函数()x ρ的一种解释是物理上的密度函数，相应的()bax dx ρ⎰表示总质量。
当()x ρ=常数时，表示质量分布是均匀的。
下面引进内积定义。
定义2 给定()[]()(),,,,f x g x C a b x ρ∈是[],a b 上的权函数，称 ()()(),()ba f g x f x g x dx ρ=⎰ ()1.1为函数()f x 与()g x 在[],a b 上的内积。
内积具有下列简单性质： ()f g g f （1）、（，）=，；()()()1212,)(,00.f g f g R f f g f g f g f f f ααα∈++≠>（2）、（，）=，；（3）、 （，）=（4）、 当时，， 此外，还有如下Cauchy-Schwarz 不等式()()()2,,,.f g f f g g ≤⋅ ()1.2我们知道，一个向量的长度的几何概念，对于函数空间及逼近有许多自然的应用。
数值计算与最优化(lecture 12)最佳平方逼近
称上式为函数序列0 ( x), 1 ( x),..., n ( x)在点 x1, x2 ,..., xm 上 简单记为 Gn a b 的法方程组。
显然，系数矩阵Gn是对称的。由于0 ( x), 1 ( x),, n ( x) 是线性无关的，因而Gn也是非奇异的，即
det(Gn ) det[((i , j ))( n1)( n1) ] 0
三、一般最小二乘拟合问题
定义5.1.1 设函数组0 ( x), 1 ( x),..., n ( x)定义在实数集X上。
如果存在不全为零的实数c0 , c1 ,..., cn，使得
c0 0 ( x) c11 ( x) cnn ( x) 0, x X
成立，则称函数组0 ( x), 1 ( x),..., n ( x)在X上线性相关； 否则，称函数组0 ( x), 1 ( x),..., n ( x)在X上线性无关。
重度:
i 1, 2,..., m
即权重或者密度，统称为权系数
定义加权残差的平方和为
2 2
i i2 i ( y( xi ) yi ) 2
i 1 i 1
m m 2 i
m
m
即，在最小二乘中， 用更一般的加权平均 i i2代替。
i 1 i 1
最小二乘问题可推广如下：
根据Cramer法则，法方程组有唯一解：
a0 a0 *, a1 a1 *,, an an *
因此
S *( x) a* j ( x)为最小二乘解。 j
j 0 n
作为一种简单的情况：
常使用多项式S ( x) P ( x)作为( xi , yi )(i 1, 2,..., m)的拟合函数 n
显然，系数矩阵Gn是对称的。由于0 ( x), 1 ( x),, n ( x) 是线性无关的，因而Gn也是非奇异的，即
det(Gn ) det[((i , j ))( n1)( n1) ] 0
三、一般最小二乘拟合问题
定义5.1.1 设函数组0 ( x), 1 ( x),..., n ( x)定义在实数集X上。
如果存在不全为零的实数c0 , c1 ,..., cn，使得
c0 0 ( x) c11 ( x) cnn ( x) 0, x X
成立，则称函数组0 ( x), 1 ( x),..., n ( x)在X上线性相关； 否则，称函数组0 ( x), 1 ( x),..., n ( x)在X上线性无关。
重度:
i 1, 2,..., m
即权重或者密度，统称为权系数
定义加权残差的平方和为
2 2
i i2 i ( y( xi ) yi ) 2
i 1 i 1
m m 2 i
m
m
即，在最小二乘中， 用更一般的加权平均 i i2代替。
i 1 i 1
最小二乘问题可推广如下：
根据Cramer法则，法方程组有唯一解：
a0 a0 *, a1 a1 *,, an an *
因此
S *( x) a* j ( x)为最小二乘解。 j
j 0 n
作为一种简单的情况：
常使用多项式S ( x) P ( x)作为( xi , yi )(i 1, 2,..., m)的拟合函数 n
第三章-2-最佳平方逼近
性质 5 设 k k 0是 [a, b] 上带权 (x) 的正交多项式
族，则n(x) (n>0) 有n个单重实根，且都位于 区间[a, b] 内。
几类重要的正交多项式 Legendre 多项式 Chebyshev 多项式
第二类 Chebyshev 多项式
Laguerre 多项式 Hermite 多项式
Chebyshev 多项式
切比雪夫多项式的性质：
(1) 递推公式： Tn1 ( x ) 2 xTn ( x ) Tn1 ( x )
cos(n+1) + cos(n-1) = 2cos cosn x = cos
mn 0, 1 T ( x )T ( x ) n m (Tn , Tm ) dx π / 2, m n 0 (2) 正交性： 2 1 1 x π, mn0 n T ( x ) ( 1) Tn ( x) (3) 奇偶性： n
性质1 性质2
n ( x)
为首一 n 次多项式。 [a, b] 上带权 (x) 的正交多
是 k k 0
项式族，且
H n span 0 ,1,...,n
性质 3 正交。
n ( x) 与所有次数不高于n-1次的多项式
正交多项式性质
性质 4
此 k k 0 满足如下三项递推公式：
数值分析及计算软件
第三章
函数逼近与计算
3.3 最 佳 平 方 逼 近 及正交多项式
最佳平方逼近问题：
若存在 Pn* ( x )H n , 使得
|| f ( x) Pn ( x) ||2 inf || f ( x) Pn ( x) ||2 ,
计算方法 第五章第二节最佳平方逼近
b n
n
2
i 0
a
i 0
上述方程组称为正规方程组。也可以写为
( p, j ) ( f , j )，j 0,1,..., n.
由于0 ( x), 1 ( x),..., n ( x) 线性无关，由性质5.2.3，该方程组 的系数矩阵非奇异，因而方程组存在惟一解。
可以证明，最佳平方问题的解存在惟一且就是正规方程组的解。
b
j i,
j i,
则称多项式族 {g n ( x)} 在[a, b] 上带权 ( x) 正交，并称 g n ( x)是[a, b] 上带权 ( x)的 n 次正交多项式。
一般情况下，当权函数 ( x)及区间[a, b] 给定后，人们 可通过Gram－Schmidt正交化过程，由{1, x,..., x n }构造 出相应的正交多项式。
2
的最小值。
由多元函数取极值的必要条件 S 0,
a j
j 0,1,..., n,
得
n aii ( x) f ( x) j ( x)dx 0， j 0,1,..., n. a ( x) i 0
b
于是有
)，j 0,1,..., n. ( , ) a ( f , S (a0 , ai1 ,...,jan ) :i ( x) j aii ( x) f ( x) dx
2
2
2
2
f g f g 2 f g
2
2
2
2
,
f , g Y.
二、 函数的最佳平方逼近
已知函数 f ( x) C[a,b] 及C[a,b]中的一个子集 span{0 , 1 ,..., n }，如果 p( x) span{0 , 1,..., n}，使得
n
2
i 0
a
i 0
上述方程组称为正规方程组。也可以写为
( p, j ) ( f , j )，j 0,1,..., n.
由于0 ( x), 1 ( x),..., n ( x) 线性无关，由性质5.2.3，该方程组 的系数矩阵非奇异，因而方程组存在惟一解。
可以证明，最佳平方问题的解存在惟一且就是正规方程组的解。
b
j i,
j i,
则称多项式族 {g n ( x)} 在[a, b] 上带权 ( x) 正交，并称 g n ( x)是[a, b] 上带权 ( x)的 n 次正交多项式。
一般情况下，当权函数 ( x)及区间[a, b] 给定后，人们 可通过Gram－Schmidt正交化过程，由{1, x,..., x n }构造 出相应的正交多项式。
2
的最小值。
由多元函数取极值的必要条件 S 0,
a j
j 0,1,..., n,
得
n aii ( x) f ( x) j ( x)dx 0， j 0,1,..., n. a ( x) i 0
b
于是有
)，j 0,1,..., n. ( , ) a ( f , S (a0 , ai1 ,...,jan ) :i ( x) j aii ( x) f ( x) dx
2
2
2
2
f g f g 2 f g
2
2
2
2
,
f , g Y.
二、 函数的最佳平方逼近
已知函数 f ( x) C[a,b] 及C[a,b]中的一个子集 span{0 , 1 ,..., n }，如果 p( x) span{0 , 1,..., n}，使得
最佳平方逼近
(f q ,q p ) (f p ,q p ) 0 , 故 ( p q ,p q ) ( p f f q ,p q )
( p f,p q ) ( f q ,p q ) 0
这说明, p(x) q(x) 于 [a, b].
9
三、最佳平方逼近函数的求解
利用 ( f p*, j )=0, 可求出最佳平方逼近函数 p*. 设
(x) 最佳平方逼近的函数 ( f p*, j )=0, j=0,1,…,n. 其中, {0x,1x, , nx}为子空间 Hn 的一组基.
证: () 反证法, 设有函数 kx, 使得 ( f p*, k) k 0 , 令 q(x) p*(x) kx k /(k, k), 显然, q(x)Hn . 利用内
积的性质, 可得
(f q ,f q ) (f p * ,f p * ) (2 k ,k k )(f p * ,k ) ( k 2 ( k ,k ,k ) k 2 )
(fp * ,fp * )( k,k 2k)(fp * ,fp * )
k
这说明, p*(x) 不是对 f (x) 最佳平方逼近的函数, 矛盾.
7
() 若 ( f p*, j )=0, j=0,1,…,n 成立, 对任意的 p(x)Hn ,有
( f p , f p ) ( f p * p * p , f p * p * p )
( f p * , f p * ) 2 ( f p * , p * p ) ( p * p , p * p )
(0,1) (1,1)
((10,,nn))cc10**((ff,,10))
(n,0) (n,1) (n,n)cn* (f,n)
由于 0x,1x, , nx 线性无关, 可以推得上系数阵是
( p f,p q ) ( f q ,p q ) 0
这说明, p(x) q(x) 于 [a, b].
9
三、最佳平方逼近函数的求解
利用 ( f p*, j )=0, 可求出最佳平方逼近函数 p*. 设
(x) 最佳平方逼近的函数 ( f p*, j )=0, j=0,1,…,n. 其中, {0x,1x, , nx}为子空间 Hn 的一组基.
证: () 反证法, 设有函数 kx, 使得 ( f p*, k) k 0 , 令 q(x) p*(x) kx k /(k, k), 显然, q(x)Hn . 利用内
积的性质, 可得
(f q ,f q ) (f p * ,f p * ) (2 k ,k k )(f p * ,k ) ( k 2 ( k ,k ,k ) k 2 )
(fp * ,fp * )( k,k 2k)(fp * ,fp * )
k
这说明, p*(x) 不是对 f (x) 最佳平方逼近的函数, 矛盾.
7
() 若 ( f p*, j )=0, j=0,1,…,n 成立, 对任意的 p(x)Hn ,有
( f p , f p ) ( f p * p * p , f p * p * p )
( f p * , f p * ) 2 ( f p * , p * p ) ( p * p , p * p )
(0,1) (1,1)
((10,,nn))cc10**((ff,,10))
(n,0) (n,1) (n,n)cn* (f,n)
由于 0x,1x, , nx 线性无关, 可以推得上系数阵是
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9 9
第三章 函数逼近与计算
定义3.8 设 0(x), 1(x), … , n-1(x)在[a,b]上连续如果 a00(x)+a11(x)+… +ann(x)=0 对任意 x[a, b]成立
当且仅当 a0= a1=… =an=0，则称 0(x), 1(x), … , n-1(x) 在[a,b]上是线性无关的。
I 0 a k
(k 0,1,, n),
(k 0,1,, n),
(k 0,1,, n).
( ( x), ( x))a
j 0 k j
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n
j
( f ( x ), k ( x ))
b
则称{ k ( x)} 是 [a, b] 上带权 ( x )的正交函数族. 若 Ak 1，则称之为标准正交函数族. 三角函数族 1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , 区间 [ , ]上的正交函数族.
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© 2009, Henan Polytechnic University §3 最佳平方逼近
1111
第三章 函数逼近与计算
3.3.2 函数的最佳平方逼近 对f ( x ) C[a, b]及C[a, b]中的一个子集 span{ 0 ( x ),1 ( x ),, n ( x )}
b b
b
b
I 2a0 0 ( x ), k ( x ) 2a1 1 ( x ), k ( x ) 即 ak 2an n ( x),k ( x) 2 f ( x),k ( x)
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则称 X 为内积空间。
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4 4
第三章 函数逼近与计算
3、内积的性质
设 X 是一内积空间，则对任意的 x, y X，有
（1）柯西—许瓦兹不等式：
( x, y) ( x, x)( y, y)
2
（2）三角不等式：
x ( x)dx 存在，(n = 0, 1, 2, …)；
n
(3) 对非负的连续函数g (x) 若
则在(a, b)上g (x) 0。
b
a
g ( x) ( x)dx 0
称满足上述条件的 (x)为[a, b]上的权函数。
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3 3
第三章 函数逼近与计算
2、内积空间定义
设 X 为(实)线性空间, 在 X 上定义了内积是指 对 X 中每一对元素 x, y , 都有一实数，记为 x, y 与之对应， 且这个对应满足:
（1）
（2） （3） （4）
x, x 0, x 0 x, x 0; x, y y, x , x, y X ; x, y x, y , x, y X ; R; x y, z x, z y, z , x, y, z X ;
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2 2
第三章 函数逼近与计算
3.3.1 内积空间
1、权函数的定义
设 (x)定义在有限或无限区间[a, b]上，如果具有下列性质： (1) 对任意x [a, b]， (x) ≥0； (2) 积分
b
a
x y 2 x 2 y
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2
5 5
第三章 函数逼近与计算
4、两种重要的内积空间
n R n维欧氏空间 ，内积就是两向量的数量积，即
x, y x
T
y xi yi .
连续函数空间 C a, b ，内积可以定义为积分的运算 或带权函数的积分运算，即
如果存在
S * ( x) a0 *0 ( x) a1 *1( x) an *n ( x)
使得
2 || f ( x ) S * ( x ) ||2 inf || f ( x ) S ( x ) || 2 2 S ( x )
inf
S ( x ) a
举例 选取常数a,b使
π 2 0
π 2 0
[ax b sin x ]2 dx 达到最小
解答 设 I (a , b) [ax b sin x ]2 dx
即
I I 0, 0. 确定a,b使 I (a , b) 最小，必须满足 a b π π π π 2 2 2 2 2 a x dx b xdx x sin xdx 20 x[ax b sin x ]dx 0 0 0 0 π π π π 2 2 [ax b sin x ]dx 0 a 2 xdx b 2 dx 2 sin xdx 0 0 0 0 π3 π2 a b1 24 16 2 π a π b 1 a 0.6644389，b 0.1147707. 2 16
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7 7
第三章 函数逼近与计算
定理3.5
对于任何 f , g C a, b , 下列结论成立： 1、
f , g
f
2
g
2
（Cauchy-Schwarz不等式）
2、 3、
f g 2 f
2
2
j 0 的最小值 . 的二次函数， (a ,0 a a ) 1是关于 a(0 ,na ,a ( )1 a,0 (, , )a1 ,1 ,n )an n( 0 n, nn n, f ) I
利用多元函数求极值的必要条件
n
即
b ( x)) ( n ( aIj j ( x), f ( x), k ( x)) ( f ( x) S ( x), k ( x)) 0 k 2 ( x )[ a j j ( x) f ( x)] k ( x)dx j 0 a ak j 0 (k 0,1,, n).
Gn 1 G ( 0 , 1 , , n 1 ) ( 0 , 0 ) ( , ) 1 0 ( n 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 1 , 1 ) ( n 1 , 1 ) ( 0 , n 1 ) ( 1 , n 1 ) 0 ( n 1 , n 1 )
第三节 最佳平方逼近
1Байду номын сангаас
第三章 函数逼近与计算
* P 如果存在 n ( x) H n 使得
|| f ( x ) P ( x ) ||2
* n PH n
b
a
[ f ( x ) Pn* ( x )]2 dx
inf || f ( x ) P ( x ) ||2
则称 Pn* ( x) 是 f ( x ) 在 H n 中的最佳平方逼近多项式。
g
2
2
(三角不等式)
f g 2 f g 2 2 f
2 2
g
2 2
8 8
(平行四边形定律)
© 2009, Henan Polytechnic University §3 最佳平方逼近
第三章 函数逼近与计算
6、正交
定义3.7若 f ( x ), g( x ) C[a , b], ( x ) 为 [a , b] 上的权函数且满足
这个关于 a0 , a1 ,, an 的线性方程组，称为法方程.
1414
第三章 函数逼近与计算
n b I 2 ( x )[ a j j ( x ) f ( x )] k ( x )dx a ak j 0
2a ( x )[a00 ( x ) an n ( x ) f ( x )] k ( x )dx 2a a0 ( x ) 0 ( x ) k ( x )dx 2a an ( x ) n ( x ) k ( x )dx 2a ( x ) f ( x ) k ( x )dx
( f ( x ), g( x )) f ( x ) g( x )dx,
a
b
f ( x ), g( x ) C[a, b]
或
( f ( x ), g( x )) ( x ) f ( x ) g( x )dx,
a
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( f ( x ), g( x )) ( x ) f ( x ) g( x )dx 0
a b
则称 f ( x ) 与 g ( x )在 [a , b] 上带权 ( x )正交. 若函数族 0 ( x ), 1 ( x ), , n ( x ), 满足关系
j k. 0, ( j , k ) ( x ) j ( x ) k ( x )dx a j k. Ak 0,
1515
第三章 函数逼近与计算
n I 2 a j j ( x ), k ( x ) 2 f ( x ), k ( x ) 即 ak j 0 I 0 令 ak
得
a ( x ),
n j 0 j j
k
( x ) f ( x ), k ( x ), k 0,1,, n