最佳一致和平方逼近
最佳平方逼近
n
因为 f p*, p * p cj c j f p*, j 0 及
j0
( p * p, p * p) 0, 故 ( f p, f p) ( f p*, f p*).
2 则 f (x) 1 1 t g(t), 1 x 1
2 先求g(t)在区间 [-1,1] 旳一次最佳平方逼近多项式.
由
c0 *
1 2
(g,
L0 )
1 2
1 1
1 2
1 tdt 2 , 3
c1
3 2
(g,
L1 )
3 2
1 1
t 2
1 tdt 2 . 5
可知
2
2
22
q1(t) 3 L0 (x) 5 L1(x) 3 5 t,
例6 定义内积 ( f , g)
1
f (x)g(x)dx
0
试在H1=Span{1,x}中谋求对于f(x)= x 旳最佳平方逼近
元素p(x).
解 法方程为
1 12
1 2
13
c0
c1
2 2
3 5
解得
c0
4, 15
c1
4 5
所求的最佳平方逼近元素为 p(x) 4 4 x. 0 x 1 15 5
(n
,n
)
cn*
( f ,n )
因为 0x,1x, , nx 线性无关, 能够推得上系数阵是
非奇异旳. 故 (5. 82) 有唯一解 { c*j }.
四、最佳平方逼近旳误差
记 ( f p*, f p*), 称其为最佳平方逼近误差, 利用
数学实验“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”实验报告(内含matlab程序)
f=c(1)+c(2)*t;
fori=3:k+1
T(i)=2*t*T(i-1)-T(i-2);
c(i)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;
实验内容
Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近
成绩
教师
实验十八实验报告
一、实验名称：Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
二、实验目的：进一步熟悉Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
三、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成程序设计。
四、实验原理：
1．Chebyshev多项式最佳一致逼近：
当一个连续函数定义在区间 上时，它可以展开成切比雪夫级数。即：
其中 为 次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递推得出：
它们之间满足如下正交关系：
在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限项数。切比雪夫级数中的系数由下式决定：
2．最佳平方逼近：
求定义在区间 上的已知函数最佳平方逼近多项式的算法如下。
f2=power(a,n+1);
C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);
end
coff=C\d;
设已知函数 的最佳平方逼近多项式为 ，由最佳平方逼近的定义有：
其中
形成多项式 系数的求解方程组
3.3 连续函数的最佳逼近(1)——数值分析课件PPT
特别地，
若{0 (x),1(x), n (x)} C[a, b]是正交函数系,
即
b
a i (x) j (x)dx
ij
0,i 0, i
j j
它的Gramer行列式Gn是对角矩阵。
(0,0 )
(1,1)
(n ,n )
下面我们讨论在区间[a, b]上函数的逼近问题。
➢函数逼近:用比较简单的函数代替复杂的函数 ➢误差为最小，即距离为最小(不同的度量意义)
f
( x)k
( x)dx
，(k
0,1,
再由内积的性质得：
, n)，
n
(k , j )a*j ( f ,k ) ，(k 0,1, , n)。 (13)
j0
这是关于{aj}(j=0,1,…n)的线性方程组，称为
法方程. 简记为 Ga=d. 其展开形式为
(14)
(0,0 )
(1
,
0
)
(n ,0 )
则称 p*(x)是 f (x)在 C[a,b] 中的最佳平方逼近函数。
即给定 f (x) C[a,b]，求p*(x) ，
使 min
||
f
(x)
p(x) ||22 ||
f
(x)
p*(x)
||22
.
讨论最佳平方逼近函数 p*(x) 的存在性，唯一性及计算方法。
(1)存在性，唯一性 对p(x) p ，
原问题转化为求
(a0*
,
a1*
,
a
* n
)，使
min
ai实 数
I (a0
,
a1 ,,
an
)
I (a0
,
a1 ,an
数学“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”分析研究方案(内含matlab程序)
西京学院数学软件实验任务书实验十八实验报告一、实验名称：Chebyshev 多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近. 二、实验目地：进一步熟悉Chebyshev 多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近.实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica 等其中一种语言完成程序设计.四、实验原理：1．Chebyshev 多项式最佳一致逼近：当一个连续函数定义在区间[1,1]-上时，它可以展开成切比雪夫级数.即：0()()n n n f x f T x ∞==∑其中()n T x 为n 次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递推得出：0111()1,(),()2()()n n n T x T x x T x xT x T x +-===-它们之间满足如下正交关系：10 n mn=m 02n=m=0ππ-≠⎧⎪⎪=≠⎨⎪⎪⎩⎰ 在实际应用中，可根据所需地精度来截取有限项数.切比雪夫级数中地系数由下式决定：10112n f f ππ--==⎰⎰2．最佳平方逼近：求定义在区间01[,]t t 上地已知函数最佳平方逼近多项式地算法如下.设已知函数()f x 地最佳平方逼近多项式为01()n n p x a a x a x =+++，由最佳平方逼近地定义有：01(,,,)0(0,1,2,,)n iF a a a i n a ∂==∂其中120101(,,,)(())t n n n t F a a a f x a a x a x dx =----⎰形成多项式()p x 系数地求解方程组Ca D =其中121122211212bbb bn na a a a bb b b n n aaa ab b b b n n n n a a a abbb bn n n naaa a dx xdxx dxx dx xdx x dx x dx x dx C x dx x dx x dx x dx x dx x dx x dx x dx -+---+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1()()()()b a b a b n a b n a f x dx f x xdx D f x x dx f x x dx -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰五、实验内容：%Chebyshev 多项式最佳一致逼近function f=Chebyshev(y,k,x0)syms t ;T(1:k+1)=t; T(1)=1; T(2)=t;c(1:k+1)=0.0;c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(1)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;c(2)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(2)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;f=c(1)+c(2)*t; for i=3:k+1T(i)=2*t*T(i-1)-T(i-2);c(i)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi; f=f+c(i)*T(i); f=vpa(f,6); if (i==k+1) if (nargin==3)f=subs(f,'t',x0);elsef=vpa(f,6);endendEnd%最佳平方逼近function coff=ZJPF(func,n,a,b)C=zeros(n+1,n+1);var=findsym(sym(func));func=func/var;for i=1:n+1C(1:i)=(power(b,i)-power(a,i))/i;func=func*var;d(i,1)=int(sym(func),var,a,b);endfor i=2:n+1C(i,1:n)=C(i-1,2:n+1);f1=power(b,n+1);f2=power(a,n+1);C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);endcoff=C\d;版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.5PCzV。
第四章 3最佳平方逼近(1)
§3 最佳平方逼近摘要：介绍内积赋范线性空间中的最佳平方逼近的特征，最佳逼近元存在唯一性及求解；2,L a b ρ⎡⎤⎣⎦中的最佳平方逼近问题的讨论。
一、赋范线性空间定义1 线性空间X 称为赋范线性空间，如果其上赋予一个满足如下3条性质的函数：（1）0,00,;x x x x X ≥=⇔=∈ （2）,,;α=∈∈ax a x x X（3）,,.x y x y x y X +≤+∈ 则称是线性空间X 的范数。
例1 欧氏空间(欧几里德空间（Euclid ）)n:12221,,=⎛⎫=∈⎪⎝⎭∑nnk k x x x范数称为欧氏范数或2-范数。
例2 1-范数赋范线性空间n：11,,==∈∑nnk k x x x称为1-范数。
定义2 赋范线性空间中的最佳逼近：若Y 是赋范线性空间X 的一个线性子空间，x X ∈，则称量(),inf y Yx Y x y∈∆=-为子空间Y 对元素x 的最佳逼近，而使上式成立的元素*y 称为最佳逼近元，且Y 称为逼近子空间。
二、内积空间定义3 假设X 是一线性空间，如果其上赋予一个满足如下4条性质的二元函数(),：()()(1)(,)(,),,;(2)(,)(,),,,;(3)(,)(,)(,),,,;(4),0,;,00,ααα=∀∈=∀∈∈+=+∀∈≥∀∈=⇔=x y y x x y X x y x y x y X x y z x z y z x y z X x x x X x x x则称X 为内积空间。
例3 欧几里得空间n： (),,,=∈Tnx y x y x y内积→范数：2x ，2x 满足范数的3条性质。
内积空间→赋范线性空间定义4 内积空间中的最佳逼近：假设(1,2,,)ϕ=i i n 是内积空间X 中的n 个线性无关的元素，f X ∈，则子集{}12,,,ϕϕϕΦ=n n span对f 的最佳平方逼近定义为()2,min ϕϕ∈Φ∆Φ=-nn f f . （1） 使（1）成立的那个元素称为最佳逼近元素。
平方逼近——精选推荐
第四章 平方逼近教学目的及要求：掌握最小二乘法、初步掌握平方逼近及直交多项式、平方度量意义下函数的逼近问题。
本书第二章是用数量)()(m ax x f x p f p bx a -=-≤≤来度量逼近多项式)(x p 与已知函数)(x f 的近似程度。
若,,0)()(∞→→-n x f x p n 则意味着序列{})(x p n 在区间],[b a 上一致收敛到)(x f 。
一致逼近度量，亦称Tchebyshev 度量是很重要的一类度量标准。
然而由于它的非线性特性，使得最佳一致逼近多项式的构造问题十分困难。
对于许多问题来讲，人们需要求出的是在确定意义下的“整体”近似。
本章讨论一类新的度量----平方度量意义下函数的逼近问题。
先从最小二乘法谈起。
§1. 最小二乘法最小二乘法起源于以测量和观测为基础的天文学。
Gauss 在1794年利用最小二乘法解决了多余观测问题，当时他只有十七岁。
可以用下面的简单例子描述这类问题。
假定通过观测或实验得到如下一组数据（即列表函数）：我们的目的是一简单的式子表出这些数据间的关系。
从分析数据看出，这些点差不多分布在一条直线上，因此我们自然想到用线性式b ax y +=表示它们之间的关系。
这就须定出参数a 和b 的值来。
这实际上是多余观测问题，用插值法不能确定出a 和b 的值。
代定参数的确定归结为矛盾方程组的求解问题。
假定有某方法可以定出a 和b ，则按bx a y +=，给出一个x 便可以算出一个y 。
我们记).8,,1( =+=k bxa y kk y 称为k y 的估计值，显然它们不会是完全相同的，它们之间的差（通常称为残差）)8,,1( =-=k y y kk k ε无疑是衡量被确定的参数a 和b （也就是近似多项式b ax y +=）好坏的重要标志。
可以规定许多原则来确定参数b a ,。
例如（1） 参数的确定，将使残差绝对值中最大的一个达到最小，即kkT εmax =为最小；（2） 参数的确定，将使残差绝对值之和达到最小，即∑kk ε为最小；（3） 参数的确定，将使残差的平方和达到最小，即∑2k ε为最小。
计算方法第四章(逼近法)
2n {
m j0
aj
m i 1
x jk i
m i 1
xik
yi }
m
m
记： sl xil , tl xil yi
i 1
i 1
n
得正规方程组(法方程)： s jkaj tk , k 0,1,L , n
j0
2. 内积
定义：设 X 为 R 上的线性空间，对于 X 中的任意两
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.58 0.81 1.01 1.32 1.49 1.67 1.93 2.18 2.395
得正规方程组：
94a50a0452a815a15.83141.962 a0 0.15342, a1 0.09845 a 1.424, b 0.2267 y 1.424e0.2267x
1 8
(35x4
30x2
3),
P5
(
x)
x3
15
x)
LL
证明:
由分部积分法得(Pk , Pj )
1 [(x2 1) j ]( j)[(x2 1)k ](k) dx
1
1 [(x2 1) j ]( j) d[(x2 1)k ](k1) 0 1 [(x2 1)k ](k1)[(x2 1) j ]( j1) dx
多项式，或称为变量x 和 y 之间的经验公式.
显然，S 达到最小值，则
S 0 , k 0,1,L , n ak
S
ak
2 m
m i 1
[ P( xi
)
yi
最佳一致和平方逼近ppt课件
7
三、 Ca,b 上的最佳一致逼近的特征
引理4.1
设 f x 是区间a,b 上的连续函数，Pn* x 是 f x 的n次最佳一致逼近多项式，则 f x Pn* x 必同时
min f
x Pn* x
Pn xHn
f x Pn x
其中，H n代表由全体代数多项式构成的集合。
4
§2 最佳一致逼近多项式
一、最佳一致逼近多项式的存在性
定理4.9
对任意的 f xCa,b, 在 H n 中都存在对 f x 的最佳一致逼近多项式,记为 pn* x ,使得
f (x)
存在正负偏差点。
8
y
Oa
y f x En
y f x
y f x En
bx
9
定理 4.10（ Chebyshev定理）
设 f x 是区间 a,b 上的连续函数，则 Pn* x 是 f x 的n次最佳一致逼近多项式的充要条件是: f x Pn* x 在区间a,b 上存在一个至少有 n 2 个交错偏差点组成，
注： 显然， f , Pn 0 ， f , Pn 的全体组成一个
集合，记作 f , Pn ，它有下界0。
6
2、偏差点
定义
设 f xCa,b, PxHn, 若在 x x0 上有
P x0 f x0 max P x f x , a xb
则称 x0 是 P x f (x) 的偏差点。
由推论1，f x P1 x 在 a,b 上恰好有3个点构成的交错
组，且区间端点 a, b 属于这个交错点组，设另一个交错点为 x2 ,
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§2 最佳一致逼近多项式
一、最佳一致逼近多项式的存在性
定理4.9
对任意的 f x C a, b , 在
Hn
中都存在对
* pn x ,使得 f x 的最佳一致逼近多项式,记为
f ( x ) p n* ( x )
m in
p n ( x ) H n
f ( x) pn ( x)
由插值余项定理， n 次插值多项式 Ln x 的余项为
Rn x f x Ln x
n
f
x n 1 n 1!
n 1
其中， n 1 x x xi , 1,1
i 0
其估计式为：
对 X 中每一对元素 x , y , 都有一实数，记为 x, y 与之对应， 且这个对应满足: （1） （2） （3） （4）
x, x 0, x 0 x, x 0; x, y y, x , x, y X ; x, y x, y , x, y X ; R; x y, z x, z y, z , x, y, z X ;
* i * f 使得： ( xi ) pn ( xi ) () f pn
（i=0,1,…,n+1）
其中σ=1或σ=-1
推论4.1
设 f x 是区间 a, b 上的连续函数， * x 是 f x Pn
f 的n次最佳一致逼近多项式， 若
内存在且保号， 则
即
1 xi cos(i ) , i 0,1, 2,..., n 2 n 1
如果插值区间为[a,b],做变换式（4.63）
a b b a (i 0,1,..., n) xi ti 2 2
因而插值节点取为
ab ba 1 xi cos(i ) , (i 0,1,..., n) 2 2 2 n 1
故 Tn 为关于 x 的 n 次代数多项式。
(2)性质
正交性：
由{ Tn (x)}所组成的序列{ Tn (x)}是在区间[-1, 1]上带权
( x)
1 1 x2
的正交多项式序列。 且
1
1
0, 1 Tm ( x)Tn ( x)dx , 1 x2 2 ,
g (t ) f (
ab ba t) 2 2
近似最佳一致逼近多项式 设 f x C 1,1 , 且存在 n 1 阶连确定互异的插值节点 x0 , x1 ,.., xn , 使得 f x 的
n 次插值多项式的余项最小？
mn mn0 mn0
递推关系
相邻的三个切比雪夫多项式具有如下递推关系式：
T0 x 1, T1 x x n 1, 2,... Tn 1 x 2 x Tn x Tn 1 x
奇偶性： 切比雪夫多项式 Tn ，当 n为奇数时为奇函数；
P x0 f
则称
x0
max P x f x
a xb
,
x0 是 P x f ( x) 的偏差点。
若 P x0 f
若 P x0 f
x0 ,
则称
x0 为“正”偏差点。
x0 , 则称 x0 为“负”偏差点。
注：
以 n 1 次Chebyshev多项式的零点作为插值节点的n 次 拉格朗日插值多项式 Ln x 虽不能作为 f
x 的 n次最佳一
致逼近多项式，但由于误差分布比较均匀，因此可以作为
f x 的 n 次近似最佳一致逼近多项式。
§3 最佳平方逼近
一、内积空间
1、定义
设 X 为(实)线性空间, 在 X 上定义了内积是指
2k 1 , cos
2n
k 1, 2,..., n
Tn (x) 在[-1, 1]上有n + 1个不同的极值点
cos k , k 0,1, 2,..., n xk n
使Tn (x)轮流取得最大值 1 和最小值 -1。
切比雪夫多项式的极值性质 Tn (x) 的最高次项系数为 2n-1 (n = 1, 2, …)。
即
a0 a1a f a a0 a1b f b a0 a1a f a f x2 a0 a1 x2 f x2 a1
f b f a a1 f x2 , ba
y f x En
O
a
b
x
定理 4.10（ Chebyshev定理）
Pn* x 是 f x 设 f x 是区间 a, b 上的连续函数，则 f x P* x 的n次最佳一致逼近多项式的充要条件是: n
在区间 a, b 上存在一个至少有 n 2 个交错偏差点组成， 即有 n 2 个点 a xo x1 x2 xn xn1 b
f x Ln x 1 f n1 x max n1 x n 1! max 1 x 1 1 x 1
1 f n1 x n1 x n 1!
因此，要使余项达到最小，只需使
n 1 x 尽可
x 在 a, b f x Pn* x 在区间 a, b
n 1
上恰好存在一个有 n 2 个交错偏差点， 且两 端点
a , b 都是偏差点。
四、一次最佳逼近多项式 n 1
1、推导过程
设
f x C a, b ，且 f x 在 a, b 内不变号， 要求
解得
f a f x2 f b f a a x2 a0 . 2 ba 2
即
f x2 f a f b f a a x2 P x 1 x 2 ba 2
2、几何意义
y
D
n 为偶数时为偶函数。
Tn x cos n arccos x cos n n arccos x
1 cos n arccos x 1 Tn x
n n
Tn 在区间[-1, 1]上有 n 个不同的零点
xk
三、 C a, b 上的最佳一致逼近的特征
引理4.1
设 f x 是区间 a, b 上的连续函数，P* x 是 f x n
的n次最佳一致逼近多项式， 则 f x P* x 必同时 n 存在正负偏差点。
y
y f x En
y f x
* pn x 为 f x 的n次最佳一致逼近多项式。 成立. 称
简称最佳逼近多项式。
二、相关概念
1、偏差
定义 若
P x Hn , f x C a, b, 则称 n
f , Pn f Pn
max
a x b
f
x Pn x
在-1≤x ≤1上，在首项系数为1的一切n次多项式
P x n
1 ~ 中, Tn ( x ) T ( x)与零的偏差最小，且其偏差为 n 1 n 2
1 2
n1
； 即，对于任何 P x P x ， 有 n
1 ~ max Tn ( x) 0 max p( x) 0 n 1 1 x 1 1 x 1 2
一、最佳一致逼近的概念
定义 对于任意 设函数 f x 是区间 a, b 上的连续函数， 给定的 ，如果存在多项式 P x ，使不等式
max f x P x
a x b
成立， 则称多项式 P x 在区间 a, b 上一致逼近 (或均匀逼近)于函数 f x 。
能小。 注意到 n1 x 是一个首项系数为1的 n 1 次多项式，
故由Chebyshev多项式的性质，
只要取
n1 x Tn1 x
~
即可。
而
n 1 x x xi ,
i 0
n 1
故只需取xi i 0,1, 2,..., n 为 n 1 次Chebyshev多项式的零点，
N
y P x 1
M
Q
O
a
x2 b
x
设在区间[-1,1]上，函数 f ( x) x n 的（n-1）次最佳
一致逼近多项式 误差函数f(x)-
pn1 ( x)
pn1 ( x)
n
pn ( x) x pn1 ( x)
五、 Chebyshev多项式 It is very important
最佳一致逼近
王坤
x 1 xi
i 1
n
f
1
f ( x) dx
a
b
x2
x
i 1
n
2
i
f
2
b
a
f 2 ( x)dx
x
max xi
1 i n
f
max f ( x)
a x b
f g
max f ( x) g ( x)
a x b
§1 最佳一致逼近
无穷范数最小， 故有
f x Pn x ~ Tn1 ( x) a0
~ 于是 P x f x a0 Tn1 ( x) n
如果f(x)的定义区间为一般区间[a,b]，只需做变量代换
ab ba x t 2 2