最佳平方逼近多项式
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最佳平方逼近多项式
（2） f g 2 f 2 g 2 ，又称三角不等式； 2 2 2 2 （3） f g 2 f g 2 2( f 2 g 2 ) ，又称平 行四边形定律。
2.两类特殊的函数族
正交：若 f ( x), g ( x) C[a, b], ( x)为[a,b]上的权 函数且满足 b ( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx 0 a 则称 f ( x) 与 g ( x)在[a,b]上带权正交。 正交函数族：若函数族 0 ( x),1 ( x), , n ( x), 满足关系 b jk 0, ( j , k ) ( x) j ( x)k ( x)dx a
d1 ( f , x) x 1 x 3 dx 0.5883
0
Matlab 求定积分（int函数）
d 0= (2*2^(1/2))/5 - (6*ellipticF(asin(1/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)^(1/2)), -(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))*(-1/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2))/5 + (6*(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)*(2/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*((- 1/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*((1/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*ellipticF(asin((2/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)), -(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))*(-1/(2*(- 1/2 + (3^(1/2)*i)/2)*(1/2 + (3^(1/2)*i)/2)))^(1/2))/5
最佳平方逼近
( f p*, f p*) 2( f p*, p * p) ( p * p, p * p)
n
因为 f p*, p * p cj c j f p*, j 0 及
j0
( p * p, p * p) 0, 故 ( f p, f p) ( f p*, f p*).
2 则 f (x) 1 1 t g(t), 1 x 1
2 先求g(t)在区间 [-1,1] 旳一次最佳平方逼近多项式.
由
c0 *
1 2
(g,
L0 )
1 2
1 1
1 2
1 tdt 2 , 3
c1
3 2
(g,
L1 )
3 2
1 1
t 2
1 tdt 2 . 5
可知
2
2
22
q1(t) 3 L0 (x) 5 L1(x) 3 5 t,
例6 定义内积 ( f , g)
1
f (x)g(x)dx
0
试在H1=Span{1,x}中谋求对于f(x)= x 旳最佳平方逼近
元素p(x).
解 法方程为
1 12
1 2
13
c0
c1
2 2
3 5
解得
c0
4, 15
c1
4 5
所求的最佳平方逼近元素为 p(x) 4 4 x. 0 x 1 15 5
(n
,n
)
cn*
( f ,n )
因为 0x,1x, , nx 线性无关, 能够推得上系数阵是
非奇异旳. 故 (5. 82) 有唯一解 { c*j }.
四、最佳平方逼近旳误差
记 ( f p*, f p*), 称其为最佳平方逼近误差, 利用
n
因为 f p*, p * p cj c j f p*, j 0 及
j0
( p * p, p * p) 0, 故 ( f p, f p) ( f p*, f p*).
2 则 f (x) 1 1 t g(t), 1 x 1
2 先求g(t)在区间 [-1,1] 旳一次最佳平方逼近多项式.
由
c0 *
1 2
(g,
L0 )
1 2
1 1
1 2
1 tdt 2 , 3
c1
3 2
(g,
L1 )
3 2
1 1
t 2
1 tdt 2 . 5
可知
2
2
22
q1(t) 3 L0 (x) 5 L1(x) 3 5 t,
例6 定义内积 ( f , g)
1
f (x)g(x)dx
0
试在H1=Span{1,x}中谋求对于f(x)= x 旳最佳平方逼近
元素p(x).
解 法方程为
1 12
1 2
13
c0
c1
2 2
3 5
解得
c0
4, 15
c1
4 5
所求的最佳平方逼近元素为 p(x) 4 4 x. 0 x 1 15 5
(n
,n
)
cn*
( f ,n )
因为 0x,1x, , nx 线性无关, 能够推得上系数阵是
非奇异旳. 故 (5. 82) 有唯一解 { c*j }.
四、最佳平方逼近旳误差
记 ( f p*, f p*), 称其为最佳平方逼近误差, 利用
最佳平方逼近
正规方程组一般为病态方程组，当维数 较高时，病态严重，求解困难。 可以采取选择不同的基的方式，来改变 正规方程组的性态。 我们考虑最佳平方逼近多项式，采用正 交多项式做基函数。
2
b
a
函数f ( x)和g ( x)正交 ( f , g ) w( x) f ( x) g ( x)dx 0
a b
设次数不超过n的多项式空间为 n , 显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., x n , 则，p( x) a0 a1 x ... an x n n 是f ( x)在 n的最佳逼近元的充分必要条件为
否则，就线性无关。 区间[a,b]上c11 ( x) .... cm m ( x) 0成立 就一定有c1 ... cm 0
假定1 ( x),....m ( x)是子空间S的基， 若函数g是最佳逼近元，则
( f g , 1 ( x)) 0,( f g , 2 ( x)) 0 ...., f g , m ( x)) 0 (
w( x) C[a, b]，w( x) 0，x [a, b] 称w( x)为权函数。
连续函数空间C[a, b]，给定权函数w( x) 对于f , g C[a, b]
最佳平方逼近多项式
给定函数f ( x) C[a, b], 求次数不超过n的 多项式p( x)，使得
b
a
w( x)( f ( x) p( x)) dx min
简记为Ax=b
求解这个方程，就能得到a， ，am， .....
从而得到f ( x)在子空间S中的最佳平方 逼近元g ( x) a11 ( x) ..... amm ( x)
第5章 10.最佳逼近多项式
定理： 是内积空间， 是其有限维子空间， 定理： C [a , b]是内积空间， M是其有限维子空间， f ( x ) ∈ C [a , b]，M中ϕ * ( x )是f ( x )的最佳平方逼近 函数的 ⇔ f − ϕ *与M中任一元正交
证（⇐） ∀ϕ ∈ M， ϕ − ϕ ∈ M
*
f −ϕ
2 2
⇒ P2 ( x ) = 1.013 + 0.851 x + 0.839 x
2
= ( f −ϕ, f −ϕ)
= ( f −ϕ +ϕ −ϕ, f −ϕ +ϕ −ϕ)
* * * *
= ( f − ϕ * , f − ϕ * ) + 2( f − ϕ * , ϕ * − ϕ ) + (ϕ * − ϕ , ϕ * − ϕ )
=0
= f −ϕ
* 2 2
+ ϕ −ϕ
*
2 2
≥ f −ϕ
0 1
1
{
}
1 (ϕ 0 , ϕ 1 ) = (ϕ 1 , ϕ 0 ) = ∫ xdx = 0 2 1 (ϕ 0 , f ) = ∫ e x dx = e − 1
0
(ϕ 1 , f ) = ∫ xe x dx = 1
0
1
(ϕ 2 , f ) = ∫ x 2 e x dx = e − 2
0
1
1 1 / 2 1 / 3 c1 e − 1 1 / 2 1 / 3 1 / 4 c 2 = 1 1 / 3 1 / 4 1 / 5 c e − 2 3
*
ϕ 的构造求法
*
设M的基底为 span{ϕ 0 , ϕ 1 ,Lϕ n }
第三章-2-最佳平方逼近
性质 5 设 k k 0是 [a, b] 上带权 (x) 的正交多项式
族，则n(x) (n>0) 有n个单重实根，且都位于 区间[a, b] 内。
几类重要的正交多项式 Legendre 多项式 Chebyshev 多项式
第二类 Chebyshev 多项式
Laguerre 多项式 Hermite 多项式
Chebyshev 多项式
切比雪夫多项式的性质：
(1) 递推公式： Tn1 ( x ) 2 xTn ( x ) Tn1 ( x )
cos(n+1) + cos(n-1) = 2cos cosn x = cos
mn 0, 1 T ( x )T ( x ) n m (Tn , Tm ) dx π / 2, m n 0 (2) 正交性： 2 1 1 x π, mn0 n T ( x ) ( 1) Tn ( x) (3) 奇偶性： n
性质1 性质2
n ( x)
为首一 n 次多项式。 [a, b] 上带权 (x) 的正交多
是 k k 0
项式族，且
H n span 0 ,1,...,n
性质 3 正交。
n ( x) 与所有次数不高于n-1次的多项式
正交多项式性质
性质 4
此 k k 0 满足如下三项递推公式：
数值分析及计算软件
第三章
函数逼近与计算
3.3 最 佳 平 方 逼 近 及正交多项式
最佳平方逼近问题：
若存在 Pn* ( x )H n , 使得
|| f ( x) Pn ( x) ||2 inf || f ( x) Pn ( x) ||2 ,
Chebyshev多项式最佳一致逼近-最佳平方逼近
数学软件实验任务书实验1 Chebyshev 多项式最佳一致逼近1 实验原理设()f x 是定义在区间[,]a b 上的函数，寻求另一个构造简单，计算量小的函数()x ϕ来近似的代替()f x 的问题就是函数逼近问题。
通常我们会取一些线性无关的函数系来达到函数逼近的目的：对于给定的函数{()}j x ϕ，寻求函数0()()nj j j x c x ϕϕ==∑ 使()()0max lim n a x bf x x ϕ→∞<<-=的函数称为一致逼近。
使()()()0lim b pa n f x x W x dx ϕ→∞-=⎰ 的函数称为关于权()W x 的p L 逼近。
比较常用的p=2，称为平方逼近。
设()f x 是定义在区间[,]a b 上的函数，则任给定ε，存在一多项式P ε使不等式()f x P εε-<对所有[,]x a b ∈一致成立()()max n a x b f x P x ≤≤-则()n P x 称为()f x 的n 次最佳一致逼近多项式。
求最佳一次逼近多项式的一种方法是可以采用Chebyshev 节点插值，Chebyshev 节点为 1(21)[()cos _],0,1,2,,22(1)j j x b a b a j n n +=-++=+L 2 实验数据求函数()x f x xe =在区间[6,6]上的3，5和12次近似最佳逼近多项式（Chebyshev 插值多项式）3 实验程序function g=cheby(f,n,a,b)for j=0:ntemp1=(j*2+1)*pi/2/(n+1);temp2=(b-a)*cos(temp1)+b+a;temp3(j+1)=temp2/2;endx=temp3;y=f(x);g=lag(x,y);function s=lag(x,y,t)syms p;n=length(x);s=0;for(k=1:n)la=y(k);%构造基函数for(j=1:k-1)la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j)); end;for(j=k+1:n)la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j)); end;s=s+la;simplify(s);endif(nargin==2)s=subs(s,'p','x');s=collect(s);s=vpa(s,4);elsem=length(t);for i=1:mtemp(i)=subs(s,'p',t(i));ends=temp;endf=inline('x.*exp(x)','x');z1=cheby(f,3,-6,6)z2=cheby(f,5,-6,6)z3=cheby(f,12,-6,6)%作出逼近函数图形subplot(2,2,1),ezplot('x*exp(x)'),grid subplot(2,2,2),ezplot(z1),grid subplot(2,2,3),ezplot(z2),grid subplot(2,2,4),ezplot(z3),grid%改变背景为白色set(gcf,'color','white')4 实验结果z1 =-133.0+4.822*x^3+27.38*x^2-20.40*xz2 =.2001*x^5+1.359*x^4-2.020*x^3-18.56*x^2+6.126*x+40.2 5z3 =-.2405e-16+.5187e-7*x^12+.6439e-6*x^11+.1420e-5*x^1 0+.6201e-5*x^9+.2287e-3*x^8+.1813e-2*x^7+.8007e-2*x^6+.3709e-1*x^5+.1682*x^4+.520 9*x^3+.9981*x^2+.9729*x实验2 Chebyshev最佳平方逼近1 实验数据的5 次最佳求函数()arccos,(11)=-≤≤关于权函数f x x x平方逼近。
第二章最佳平方逼近课件
在区间[-1,1]上关于权函数
正交,且
10
事实上,若 于是有
则有
11
例 4、 Laguerre 多项式 即多项式
是在
上带权 的n次正交多项式,且
例 5 、Hermite 多项式
12
即多项式
是在区间
上带权 的n次正交多项式,且有正交关系式:
13
(二)、 正交多项式的性质
设
是在 上带权正交的多项式序列，其中
的方程组为
解之得
故
29
三、一般最小二乘逼近问题的提法 1、广义多项式与权系数 2、一般最小二乘逼近问题的提法 3、正规方程组 4、小结
30
(一)、广义多项式与权系数
(1) 、广义多项式 设函数系
线性无关，则其有限项线性组合
称为广义多项式。
例如
(2) 、“权系数”的概念 在例6中，如果要研究低温时电阻与温度的关系，显然低温 下测得的电阻值更重要一些，而另外一些电阻值的作用小 些。这在数学上表现为用和
求电阻 和温度 间的关系。
22
解决这类问题通常的步骤如下 :
y (1)用一坐标将 ， 值描于图上
(1) (2)凭视觉知，
在一条直线
上的两测附近，于是可设
近
x
，
似的成直线关系。 上面的直线关系称为数学模型。在第 次观测数据中， 与
实测值 有误差
通常称为残差。 23
它是衡量被确定的参数 和 (也就是近似多项式 )好坏的重要标志。
使得 最小。这时
称为函数
在区间 上关于
权函数 的最小二乘逼近多项式。
注意， 可看成 中
且
的极限。通常， “最小”也可说成“最优”或“最佳”；“二乘 可
最佳平方逼近
逼近元g(x) a11(x) ..... amm(x)
(1,1) (2,1) L
A
(1,2
)
(2,2 )
L
L
LL
(1,m ) (2,m ) L
(m,1)
(m
,2
)
L
(m
,
m
)
称为函数1(x)，.....，m (x)的Gram矩阵，
A显然是对称矩阵。
若1(x)，.....，m (x)线性无关，则它们
0
3
(ex ,1) 2 ex 1dx e2 1 0
(ex , x) 2 ex xdx e2 1 0
法方程组为
2a0
2a0
2a1 8 3 a1
e2 1 e2 1
a0=0.1945 , a1=3.0000
最佳平方逼近一次多项式为 0.1945+3.0000x
8 7 6 5 4 3 2 1 0
b w(x) f (x) g(x)2 dx a
函数f (x)和g(x)正交
b
( f , g) a w(x) f (x)g(x)dx 0
设次数不超过n的多项式空间为n ,显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., xn ,则，p(x) a0 a1x ... anxn n 是f (x)在n的最佳逼近元的充分必要条件为
a0 (1,1) a1(x,1) ... an (xn ,1) ( f ,1)
a0 (1, x) a1(x, x) ... an (xn , x) ( f , x)
a0 (1, xn ) a1(x, xn ) ... an (xn , xn ) ( f , xn )
求解法方程组，得到a0，a1，...，an
(1,1) (2,1) L
A
(1,2
)
(2,2 )
L
L
LL
(1,m ) (2,m ) L
(m,1)
(m
,2
)
L
(m
,
m
)
称为函数1(x)，.....，m (x)的Gram矩阵，
A显然是对称矩阵。
若1(x)，.....，m (x)线性无关，则它们
0
3
(ex ,1) 2 ex 1dx e2 1 0
(ex , x) 2 ex xdx e2 1 0
法方程组为
2a0
2a0
2a1 8 3 a1
e2 1 e2 1
a0=0.1945 , a1=3.0000
最佳平方逼近一次多项式为 0.1945+3.0000x
8 7 6 5 4 3 2 1 0
b w(x) f (x) g(x)2 dx a
函数f (x)和g(x)正交
b
( f , g) a w(x) f (x)g(x)dx 0
设次数不超过n的多项式空间为n ,显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., xn ,则，p(x) a0 a1x ... anxn n 是f (x)在n的最佳逼近元的充分必要条件为
a0 (1,1) a1(x,1) ... an (xn ,1) ( f ,1)
a0 (1, x) a1(x, x) ... an (xn , x) ( f , x)
a0 (1, xn ) a1(x, xn ) ... an (xn , xn ) ( f , xn )
求解法方程组，得到a0，a1，...，an
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an)是关于 a0, a1, …，an 的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件，
I 0 a k
(k = 0, 1, 2, …, n)
即
n b I 2 ( x) f ( x) a j j ( x) k ( x)dx 0 a a k j 0
果存在最佳平方逼近函数，则必是
S * ( x) a* j ( x) j
j 0
n
（3）
将上述算法编写成 MATLAB 程序共需三个程序： 第一个程序（函数名 Sapproach.m） 计算最佳逼近函数的系数： function S=Sapproach(a,b,n) %定义逼近函数 global i;global j; if nargin<3 n=1; end %判断 X=zeros(n+1,n+1); for i=0:n for j=0:n; X(i+1,j+1)=quad(@fan,a,b); %求fan积分 end end Y=zeros(n+1,1); for i=0:n Y(i+1)=quad(@yb,a,b); %求yb积分 end s=X\Y 第二个程序（函数名：fan.m） ： function y=fan(x) global i;global j; y=(poly(x,i)).*poly(x,j); 第三个程序（函数名：yb.m） ： function y=yb(x) global i; y=(poly(x,i)).*exp(x); 编写多项式函数 ： function y=poly(x,k) %多项式函数 if k==0 y=ones(size(x)); else y=x.^k; end 五、实验结果与数据处理 清单： 当求的是二次逼近时得到如下结果：
S * ( x) Span{0 ( x), 1 ( x), , n ( x)}
使得
b
a
( x) f ( x) S * ( x) dx min ( x) f ( x) s( x) dx
2 b 2 a x b a
则称 S*(x)是 f (x)在集合 Span{0 ( x), 1 ( x), , n ( x)} 中的最佳平方逼近函数。 显然，求最佳平方逼近函数 S * ( x) a * j ( x) 的问题可归结为求它的系数 j
此方程组叫做求 aj (j = 0, 1, 2, …, n)的法方程组。 显然，其系数行列式就是克莱姆行列式 Gn = Gn (0, 1, …, n)。由于0,
1, … , n 线 性 无 关 ， 故 Gn 0 ， 于 是 上 述 方 程 组 存 在 唯 一 解
* a k a k (k 0, 1, , n) 。从而肯定了函数 f (x)在 Span{0 ( x), 1 ( x), , n ( x)} 中如
宁夏师范学院数学与计算机科学学院 《数值分析》实验报告
实验序号： 学 号 3 姓 名 实验项目名称：最佳平方逼近多项式 专业、班级 时 间 2013 年 10 月 9 日
实验地点 一、实验目的及要求
指导教师
1、掌握最佳平方逼近的算法，能够根据给定的函数值表达求出二、三次最佳平 方逼近多项式。 2、 、2 2
j 0* * * a 0 , a来自 , , a n ，使多元函数
n
I (a 0 , a1 , , a n )
b
a
n ( x) f ( x) a j j ( x) dx j 0
2
* * * 取得极小值， 也即点( a 0 , a1 , , a n )是 I (a0, …， n)的极点。 a 由于 I (a0, a1, …，
>> Sapproach(-1,1,2) s = 0.9963 1.1036 0.5367 当求的是三次逼近时得到如下结果 >> Sapproach(-1,1,3) s = 0.9963 0.9980 0.5367 0.1761 六、分析与讨论 在该次实验中较顺利的达到了预期的结果。 从试验结果看出三次逼近没有二 次逼近效果理想，验证了最佳平方逼近理论。
得方程组
a
j 0 j b a
n
b
a
( x) k ( x) j ( x)dx
(k 0, 1, 2, , n)
( x) f ( x) k ( x)dx,
如采用函数内积记号
( k , j ) ( x) k ( x) j ( x) dx,
a b
( f , k ) ( x) f ( x) k ( x )dx,
七、教师评语 成绩
签名： 日期：
年
月
日
a
q
那么，方程组可以简写为
( , )a
j 0 k j
n
j
( f , k )
(k 0, 1, 2, , n)
（1） 这是一个包含 n + 1 个未知元 a0, a1, 成矩阵形式为 …, an 的 n + 1 阶线性代数方程组，写
(0 , 0 ) (0 , 1 ) (0 , n ) a0 ( f , 0 ) (1 , 0 ) (1 , 1 ) (1 , n ) a1 ( f , 1 ) (n , 0 ) (n , 1 ) (n , n ) an ( f , n ) （2）
S * ( x) a *j j ( x)
j 0
n
、
二、实验设备（环境）及要求 1、环境要求： 硬件：一般要求 486 以上的处理器、16MB 以上内存、足够的的硬盘可用空 间 (随安装组件的多少而定)； 软件：MATLAB 编程软件。 三、实验内容及要求 求函数 f(x)=exp(x)在[-1，1]上的二、三次最佳平方逼近多项式。 四、实验过程 对于给定的函数 f ( x) C[a, b] ，如果存在