第四章 最佳逼近

i
第四章 最佳逼 近
学习目标：掌握最佳一致逼近和 最佳平方逼近的基本理论和 方法、以及最小二乘法常用 的正交多项式以及正交多项 式的性质。重点为最佳一致 逼近和最佳平方逼近的特征 性质（如契比雪夫定理等） 以及最佳一致逼近和最佳平 方逼近多项式的计算方法 。
§1
C[a,b]上的最佳一致逼近
不难验证，[a,b]上所有连续函数的全体构成一无限维线性空间， 简记为C[a,b]。为描述方便，引进符号函数 ，称为 C[a,b] 上的一致范数或契比雪夫（Chebyshev）范数，其定义为
§4.3 最佳平方逼近
假设X是一线性空间，如果其上赋予一个满足如下4条性质的二 元函数（·，· ）： （1）（x, y）=（y, x），x, y∈X； （2）（αx, y）=α（x, y），x, y∈X；α∈R； （3）（x+y, z）=（x, z）+（y, z），x, y, z∈X； （4）（x, y）≥0，x, y∈X, （x, y）=0↔x=0 则称X为内积空间。 最简单的内积空间是欧几里德空间，它是线性空间Rn，按内 积 (20) （x, y）=xTy, x, y∈Rn 所构成，其中T表示向量的转置。容易验收证，由（20）式 定义的内积满足内积的上述4条性质。
利用内积可以引进范数，若X是一内积空间，则容易 验证函数 x 2 ( x, x) 满足范数的3条性质。于是内 积空间按上述范数构成赋范线性空间，由此可以引 出内积空间中的最佳逼近问题：假设φi(i=1,2,…,n) 是内积空间X中n个线性无关的元素，f ∈X，则子集 Φn=span{φ1,φ2,…,φn}
对f 的最佳平方逼近定义为：
( f , n ) min f
n
2Biblioteka Baidu
(21)
特别使（21）式成立的那个元素称为最佳逼近元。
类似地，可以提出如下问题：最佳平方逼近元是否 存在？如果存在，是否唯一？其特征又如何？对此我 们首先建立如下的结论：
定理12 假设X是内积空间，f ∈X，则φ*∈Φn为f 的最佳逼近元的充分必要条件是 （22） ( f * , ) 0, i 1,2,, n
f

max f ( x) , f C[ a,b]
x[ a ,b ]
考虑所有n次代数多项式的全体形成的集合 1, x,, x n . Pn span 不难验证，Pn是C[a,b]上的n+1维线性子空间。
对给定的函数f(x)∈C[a,b]称量：
( f , Pn ) min f ( x) p( x)
定理（契比雪夫定理） 对任意 f C[ a,b] , p pn 是f 的最 佳一致逼近多项式的充要条件是f- p在[a,b]上存在的
至少有n+2个点组成的交错点组。 推论1 如果 f C[a,b] ，那么在 pn中存在唯一的 元素为f 的最佳一致逼近多项式 推论 2 如果f 在[a,b]上有n+1阶导数，且 f ( n 1) 在 （a,b）上保号（恒正或恒负），那么契比雪夫交 错组唯一，且区间[a,b]的端点属于契比雪夫交错组。
pPn
为f(x)关于Pn的最佳一致逼近，简称最佳逼近， 也称为契比雪夫逼近。满足上式的多项式p*(x)称 为f(x)在[a,b]上的最佳逼近多项式，而线性空间 Pn 也称为逼近子空间。
围绕这一问题，人们马上会问：最佳逼近多项式是否存在？ 是否唯一？如果存在，如何寻找或构造它？对这些问题的 回答构成了最佳一致逼近研究的中心内容。