第四章 最佳逼近
最佳逼近
若p S是最佳逼近元，则f p S，即
( f - g , 1 ( x)) 0, ( f - g , 2 ( x)) 0,..., ( f - g , m ( x))
称为法方程或者正规方程。
( f ( x ) - p( x )) ( x ) [ y (c ( x ) ... c
函数的最佳逼近
主讲 孟纯军
插值法是用多项式近似的表示函数,并要 求在他们的某些点处的值相拟合. 最佳逼近（或者曲线拟和）也是用简单 函数逼近复杂函数（或未知函数），但 是，逼近的原则和插值的原则不一样。
离散情形
最小二乘拟合直线 最小二乘拟合多项式 非线性拟合
Hilbert空间中的投影定理
1的基为1, x, 则g 1是f ( x)在最佳逼近元的充要条件为
(f g ,1)= ( f ( xi ) g ( xi )) 1 ( f ( xi ) (a bxi )) 1 0
i 1 i 1
n
n
(f g ,x)= ( f ( xi ) g ( xi )) xi ( f ( xi ) (a bxi )) xi 0
2 i 1
n
即如下最佳逼近问题：
1.子空间为 m，即次数不超过n的多项式， 取它的基函数为 1， x,...x ;
m
2. 在 m中找一个元素p( x)，使它与给定函数 f ( x)最靠近,即 ( p( xi） f ( xi )) 2 min 。
i 1 n
p m是f ( x)在最佳逼近元的充要条件为
b=0.9068
最小二乘拟合直线为y= 0.0147 +0.9068x
最佳平方逼近
n
因为 f p*, p * p cj c j f p*, j 0 及
j0
( p * p, p * p) 0, 故 ( f p, f p) ( f p*, f p*).
2 则 f (x) 1 1 t g(t), 1 x 1
2 先求g(t)在区间 [-1,1] 旳一次最佳平方逼近多项式.
由
c0 *
1 2
(g,
L0 )
1 2
1 1
1 2
1 tdt 2 , 3
c1
3 2
(g,
L1 )
3 2
1 1
t 2
1 tdt 2 . 5
可知
2
2
22
q1(t) 3 L0 (x) 5 L1(x) 3 5 t,
例6 定义内积 ( f , g)
1
f (x)g(x)dx
0
试在H1=Span{1,x}中谋求对于f(x)= x 旳最佳平方逼近
元素p(x).
解 法方程为
1 12
1 2
13
c0
c1
2 2
3 5
解得
c0
4, 15
c1
4 5
所求的最佳平方逼近元素为 p(x) 4 4 x. 0 x 1 15 5
(n
,n
)
cn*
( f ,n )
因为 0x,1x, , nx 线性无关, 能够推得上系数阵是
非奇异旳. 故 (5. 82) 有唯一解 { c*j }.
四、最佳平方逼近旳误差
记 ( f p*, f p*), 称其为最佳平方逼近误差, 利用
第四章 3最佳平方逼近(1)
§3 最佳平方逼近摘要：介绍内积赋范线性空间中的最佳平方逼近的特征，最佳逼近元存在唯一性及求解；2,L a b ρ⎡⎤⎣⎦中的最佳平方逼近问题的讨论。
一、赋范线性空间定义1 线性空间X 称为赋范线性空间，如果其上赋予一个满足如下3条性质的函数：（1）0,00,;x x x x X ≥=⇔=∈ （2）,,;α=∈∈ax a x x X（3）,,.x y x y x y X +≤+∈ 则称是线性空间X 的范数。
例1 欧氏空间(欧几里德空间（Euclid ）)n:12221,,=⎛⎫=∈⎪⎝⎭∑nnk k x x x范数称为欧氏范数或2-范数。
例2 1-范数赋范线性空间n：11,,==∈∑nnk k x x x称为1-范数。
定义2 赋范线性空间中的最佳逼近：若Y 是赋范线性空间X 的一个线性子空间，x X ∈，则称量(),inf y Yx Y x y∈∆=-为子空间Y 对元素x 的最佳逼近，而使上式成立的元素*y 称为最佳逼近元，且Y 称为逼近子空间。
二、内积空间定义3 假设X 是一线性空间，如果其上赋予一个满足如下4条性质的二元函数(),：()()(1)(,)(,),,;(2)(,)(,),,,;(3)(,)(,)(,),,,;(4),0,;,00,ααα=∀∈=∀∈∈+=+∀∈≥∀∈=⇔=x y y x x y X x y x y x y X x y z x z y z x y z X x x x X x x x则称X 为内积空间。
例3 欧几里得空间n： (),,,=∈Tnx y x y x y内积→范数：2x ，2x 满足范数的3条性质。
内积空间→赋范线性空间定义4 内积空间中的最佳逼近：假设(1,2,,)ϕ=i i n 是内积空间X 中的n 个线性无关的元素，f X ∈，则子集{}12,,,ϕϕϕΦ=n n span对f 的最佳平方逼近定义为()2,min ϕϕ∈Φ∆Φ=-nn f f . （1） 使（1）成立的那个元素称为最佳逼近元素。
高代课程论文——最佳逼近
高等代数课程论文——最佳逼近：学号：班级：一．摘要欧几里德空间(Euclidean Space) 简称为欧氏空间，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。
这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。
这是有限维、实和积空间的“标准”例子。
欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。
积空间是对欧氏空间的一般化。
积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。
欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。
这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。
微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性质。
当一个线性空间定义了积运算之后它就成为了欧几里德空间。
二.关键字欧式空间最佳逼近函数构造三、问题的阐述1、欧式空间的定义设V是实数域R上的线性空间或称为向量空间，若V上定义着正定对称双线性型g（g称为积），则V称为（对于g的）积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。
具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：（1）g(x,y)=g(y,x)；（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；（3）g(kx,y)=kg(x,y)；（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。
这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数（1）<ξ,η>=<η,ξ>（2）<ξ+η,ζ>= <ξ,ζ>+<η, ζ>（3）<aξ,η>= a<ξ,η>（4）当ξ≠0 时<ξ,ξ>0这里ξ,ζ,η是V的任意向量a是任意实数,那么V叫作对这个积来说的一个欧几里的空间,简称欧式空间。
2、举例说明例1：在Rn里对于任意两个向量ξ=（x1，x2，…，Xn）η=（y1，y2，…，Yn）规定<ξ，η>=x1y1+x2y2+…+xnyn容易验证关于积的公理被满足，因而Rn对于这样定义的积来说作成一个欧式空间。
4章§3 最佳平方逼近
定理6
ϕ0 (x),ϕ1(x),Lϕn−1(x), 在[a，b]上线性无关的充分必要条
件是它的克来姆(Gramer)行列式 G ≠ 0, ，其中 n−1
(ϕ0 ,ϕ0 ) Gn−1 = G(ϕ0,ϕ1, Lϕn−1 = (ϕ1,ϕ0 ) L
(ϕ0 ,ϕ1) L (ϕ0 ,ϕn−1) (ϕ1,ϕ1) L (ϕ1,ϕn−1) L L L
用{1，x，…，xn)做基，求最佳平方逼近多项式，当n较大时，系数 矩阵(3.16)式是高度病态的(病态矩阵概念见第七章)，求法方程 (3.13)的解，舍人误差很大，这时要用正交多项式做基，才能求得 最小平方逼近多项式(见§5).
(ϕn−1,ϕ0 ) (ϕn−1,ϕ1) L (ϕn−1,ϕn−1)
(3.10) 定理的证明由读者完成.
一、函数的最佳平方逼近
现在我们研究在区间[a，b]上一般的最佳平方逼近问题. 对 f (x) ∈C[a，b]及C[a，b]中的一个子集ϕ = span{ 0 ,ϕ1 ,L,ϕn ) ， ϕ 若存在S*(x) ∈ϕ ，使
(3.2)
则在(a，b)上g(x)≡0，就称 ρ(x) 为区间(a，b)上的权函数. 定义5 设f(x)，g(x)∈[a，b]，是[a，b]上的权函数，积分
( f , g) = ∫ ρ(x) f (x)g( x)dx
a
b
称为函数f(x)与g(x)在[a，b]上的内积.
容易验证这样定义的内积满足下列四条公理； 1) ( f , g)=(g, f ) ； 2) (cf , g)=c(f , g) ，c为常数； 3)
于是有
∑(ϕ ,ϕ )a
j=0 k, j
n
j
= ( f ,ϕk )
(k = 0,1,L, n)
最佳平方逼近
所求的
应该使下式达极小：
由
整理得到
计算积分后，得法方程组
解之得 从而得到最佳平方逼近一次多项式
三、正交基函数的选择 如果我们选择子空间
正交，即 则法方程
简化为
即 容易求得 并得到最佳平方逼近
例3.2. 已知
在区间 [-1，1]上两两正交，试求
在这个
区间上的最佳平方逼近二次多项式，并给出误差估计。
应该使
整体达最小。 通过这种度量标准求得拟合曲线y=f(x)的方法，
就称作曲线拟合的最小二乘法。 按照以上思想来求出f(x)的拟合曲线，首先需
要确定出f(x)所属的函数类，然后进一步求出具体 函数，具体按照以下步骤进行。
二、最小二乘法拟合曲线的步骤
第一步：根据如下已知点的坐标，在坐标系里描点
第二步：根据图示，确定曲线所属的函数类型，例 如多项式函数类、三角函数类、指数函数 类、对数函数类等。假设所确定的函数类 的基函数为
而n+1元函数
在区间
上具有一阶连续导函数，因此根据
极值原理，在最小值点
处：
而 于是 即
利用内积 可以得到 这是一个含有n+1个变量的方程组，具体形式为：
再写成 矩阵形式为
这是关于n+1个变量
的线性方程组，并称
其为法方程组，或者正规方程组。
解此方程组，就可以得到 了f(x) 的最佳平方逼近：
，也就得到
同时，还需要给出连续函数
空间上的一个度量标准，下面通过内积给出平方范数。
二、连续函数的平方范数
已知所有连续函数构成的集合C[a,b]是一个线性
空间，对于C[a,b]中的任意函数
、 ，定义
实数
最佳逼近PPT课件.ppt
称线性空间Y为内积空间，(f,g)为内积。
有可能给的条件个数n大于多项式
P(x)的待定系数个数，如，10个插值条件求
5次多项式，该问题是无解的。
有时我们所需的近似函数不一定是多项式。
在实际问题中,往往并不要求近似函
数φ(x)所表示的曲线通过这些观测点,而只
要求由已知数据(xi,yi)(i=0,1,…,n)找出x,y之 间的依赖关系,使得近似函数φ(x)能充分地
a0(n 1) a1 n xi
i0
a0
n i0
n
xi a1
i0
xi2
n
n
am xim
yi
i0
i0
n
n
am
x m 1 i
xi yi
i0
i0
a0
n i0
n
xim a2
i0
x m 1 i
n
n
m
xi2m
xim yi
i0
i0
(4―73)
写成矩阵形式
(4-74)
例8 设有一组数据表
故在基点x0,x1,x2,…,xn上φ(x)与f(x)有
误差
ri=φ(xi)-yi, i=0,1,2,…,n
(4―69)
称ri为用φ(x)拟合f(x)的偏差。
设 函 数 关 系 y=f(x) 的 一 组 观 测 数 据 为
(xi,yi)(i=0,1,2,…,n),欲求一个m(m＜n)次多项 式
Pm(x)=α0+α1x+…+αmxm
最佳逼近与最优求积问题
最佳靠近与最优求积问题是数值分析中的经典问题，这些问题在工程学、科学和数学中都有广泛的应用。
本文将介绍最佳靠近和最优求积两个问题的基本观点与相关算法，包括泰勒展开、拉格朗日插值法、牛顿插值法、切比雪夫靠近、勒让德积分等。
本文还将探讨最佳靠近和最优求积的应用，比如在数据拟合、信号处理、图像压缩、插值、微积分求解等方面的应用。
最后，我们还将介绍最佳靠近和最优求积的优缺点及其将来的进步方向。
关键词：最佳靠近、最优求积、泰勒展开、拉格朗日插值法、牛顿插值法、切比雪夫靠近、勒让德积分、数据拟合、信号处理、图像压缩、插值、微积分求解一、引言是数值分析中的经典问题之一。
最佳靠近是指在数学上寻找一个函数或曲线，使其在某种范数下与实际数据或函数的距离最小。
最优求积则是指在一个区间内，寻找一个带权重的多项式函数，使其与实际函数的误差最小。
这两个问题屡屡在工程学、科学和数学中出现，并且有着广泛的应用。
本文将介绍最佳靠近和最优求积问题的基本观点与相关算法，以及它们在实际应用中的作用和不足之处。
二、最佳靠近最佳靠近的主要目标是在给定点集中找到一个函数，使得该函数与实际数据的差距最小。
在数学上，我们可以利用不同的靠近算法，比如泰勒展开、拉格朗日插值法、牛顿插值法、切比雪夫靠近等等。
其中，泰勒展开用于对光滑函数进行靠近，拉格朗日插值法和牛顿插值法则常用于数据拟合，而切比雪夫靠近则可用于对非光滑函数进行靠近。
三、最优求积最优求积的主要目标是在给定区间内，寻找一个带权重的多项式函数，使得其与实际函数的误差最小。
最优求积的解决方法浩繁，比较常见的方法包括勒让德积分、拉盖尔积分、傅里叶变换等等。
这些方法可用于求解微积分问题、信号处理、图像压缩等问题。
四、最佳靠近和最优求积的应用最佳靠近和最优求积在实际应用中被广泛使用。
它们可用于数据拟合、信号处理、图像压缩、插值、微积分求解等方面。
比如在数据拟合中，我们可以利用最小二乘法对数据进行拟合，得到一条最佳靠近的直线或曲线。
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第四章最佳逼
近
学习目标：掌握最佳一致逼近和最佳平方逼近的基本理论和
方法、以及最小二乘法常用
的正交多项式以及正交多项
式的性质。
重点为最佳一致
逼近和最佳平方逼近的特征
性质（如契比雪夫定理等）
以及最佳一致逼近和最佳平
方逼近多项式的计算方法。
§1 C[a ,b ]上的最佳一致逼近
不难验证，[a ,b ]上所有连续函数的全体构成一无限维线性空间，
简记为C[a,b]。
为描述方便，引进符号函数 ，称为C[a,b]
上的一致范数或契比雪夫（Chebyshev ）范数，其定义为
∞⋅],[]
,[,)(max b a b a x C f x f f ∈∀=∈∞考虑所有n 次代数多项式的全体形成的集合
. 不难验证，P n 是C [a ,b ]上的n+1维线性子空间。
{
}n n x x span P ,,,1 =
对给定的函数f (x )∈C [a ,b ]称量：
)
()(min ),(x p x f P f n P p n -=∆∈为f (x )关于P n 的最佳一致逼近，简称最佳逼近，也称为契比雪夫逼近。
满足上式的多项式p *(x )称为f (x )在[a ,b ]上的最佳逼近多项式，而线性空间 P n 也称为逼近子空间。
围绕这一问题，人们马上会问：最佳逼近多项式是否存在？是否唯一？如果存在，如何寻找或构造它？对这些问题的回答构成了最佳一致逼近研究的中心内容。
定理（契比雪夫定理） 对任意
是f 的最佳一致逼近多项式的充要条件是f - p 在[a ,b ]上存在的至少有n +2个点组成的交错点组。
n b a p p C f ∈∈,],[推论1 如果 ，那么在
中存在唯一的元素为f 的最佳一致逼近多项式
],[b a C f ∈n p 推论 2 如果f 在[a ,b ]上有n +1阶导数，且 在
（a ,b ）上保号（恒正或恒负），那么契比雪夫交
错组唯一，且区间[a ,b ]的端点属于契比雪夫交错组。
)1(+n f
§4.3 最佳平方逼近
假设X是一线性空间，如果其上赋予一个满足如下4条性质的二元函数（·，·）：
（1）（x, y）=（y, x），x, y∈X；
（2）（αx, y）=α（x, y），x, y∈X；α∈R；
（3）（x+y, z）=（x, z）+（y, z），x, y, z∈X；
（4）（x, y）≥0，x, y∈X, （x, y）=0↔x=0
则称X为内积空间。
最简单的内积空间是欧几里德空间，它是线性空间R n，按内积
（x, y）=x T y, x, y∈R n (20)
所构成，其中T表示向量的转置。
容易验收证，由（20）式定义的内积满足内积的上述4条性质。
利用内积可以引进范数，若X 是一内积空间，则容易
验证函数 满足范数的3条性质。
于是内
积空间按上述范数构成赋范线性空间，由此可以引出内积空间中的最佳逼近问题：假设φi (i =1,2,…,n )是内积空间X 中n 个线性无关的元素，f ∈X ，则子集 Φn=span{φ1,φ2,…,φn}
对f 的最佳平方逼近定义为：
2min ),(ϕϕ-=Φ∆Φ∈f f n n (21)
特别使（21）式成立的那个元素称为最佳逼近元。
),(2x x x =
类似地，可以提出如下问题：最佳平方逼近元是否存在？如果存在，是否唯一？其特征又如何？对此我们首先建立如下的结论：
定理12 假设X 是内积空间，f ∈X ，则φ*∈Φn 为f 的最佳逼近元的充分必要条件是
（22） n i f i ,,2,1,0),(* ==-ϕϕ。