计算方法 最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式ppt课件
计算方法最佳一致逼近多项式切比雪夫多项式ppt课件
0,1,2,… , n)
轮流取得最大值1和最小值 1，{xk }称为交错点组。
- 1 x4
x 3
x2 0
x 1
x0 1
证： 将xk
cos
kπ n
,
(k
1,2,… , n)
代入Tn(x)的表达式，得到
Tn(x)
cos[narccos(cos
kπ )] n
cos[kπ]
(1)k
1
T2(x) T1(x)
多项式，且 max | f(x)
-1 x 1
Ln(x)
|
1 2n(n 1)!
||
f (n 1) (x)
||
证明：
max
-1 x 1
|
f(x)
Ln(x)
|
(n
1 1)!
||
f(n1)(x)
||||
(x
x0 )(x
x1) … (x
xn)
||
(n
1 1)!
||
f (n 1) (x)
||||
1 2n
xn )
|
要使 max 1 x 1
|
(x
x0 )(x
x1) … (x
xn )
|
取极小值, 只需令：
(x x0 )(x x1) … (x xn)
1 2n
Tn1(x),
最佳一致 逼近0的 多项式
而上式成立的充分必要条件是x0, x1,…xn是切比雪夫 多项式的0点。
将Lagrange插值多项式Ln(x)的节点取为Tn1(x) 的0点 :
cos[(2k
1)π] 2
0 (k
1,2, … , n)
图为T11(x)的零点，一共有11个
计算方法最佳一致逼近多项式切比雪夫多项式
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
2020年4月11日星期六
内容
1. 函数逼近的基本概念 2. 切比雪夫多项式 3. 最佳一致逼近多项式 4. 切比雪夫多项式在函数逼近中的应用 5. 利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多
项式的例子
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
y
y=L (x)
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
一致逼近的几何意义
x Home
切比雪夫多项式
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
切比雪夫(Chebyshev)多项式
• 切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用 • 。切比雪夫多项式的0点可以用于构造具有最佳
一致逼近性质的插值多项式。
切比雪夫多项式的(简单)定义：
三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用
希望构造最高次幂xn 系数为1 的多项式：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
…
三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用
证明比较复杂，省略。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
这个定理的 结论非常重要
怎样才能使得拉格朗日插值多项式成为最佳逼近 ？
…
偏差估计
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
吾将上下而求索
（5）切比雪夫多项式的极值点 …
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
…
1
T2(x )
T1(x
)
-1
1
T3(x ) 路漫漫其修远兮,
吾将上下而求索
T4(x )
-1
T3(x)有3个0值点，4个极值点
总结： Tn(x)具有很好的性质。
y
x
Tn(x)是n阶多项式，具有n个0点，n+1个极值点；有 界[-1, 1]； T1(x), T3(x),…只含x的奇次项，是奇函数
Chebyshev最佳一致逼近
Chebyshev 最佳一致逼近 Chebyshev 定理设()[,]f x C a b ∈，则n 次多项式*()n p x 为()f x 的n 次最佳一致逼近多项式的充要条件是在区间[,]a b 上至少有n+2个点1212...n n a x x x x b++≤<<<<≤使得*()()n f x p x -在这些点上以正负相间的符号依次取得*(,)|()()|max n n a x b E f x f x p x ≤≤=-，即有*()()(1k k n k n f x p x E f δ-=-=+其中δ为-1或1 Chebyshev 多项式称cos(arccos ),11,0,1,2......,n T n x x n =-≤≤=为n 次Chebyshev 多项式，即在区间[1,1]n -+上存在个点21cos ,0,1,2......,2(1)k k x k n +==+轮流使得()+1-1n T x 取得最大值和最小值，可以证明最佳一致逼近多项式的存在性和唯一性。
function g=Chebyshev(f,n,a,b)for j=0:ntemp1=(j*2+1)*pi/(2*(n+1));temp2=(b-a)*cos(temp1)+b+a;temp3(j+1)=temp2/2;endx=temp3;y=f(x);g=Lagrange(x,y,n);function s=Lagrange(x,y,t)syms p ;n=length(x);s=0;for(k=1:n)l=y(k);for(j=1:k-1)l=l*(p-x(j))/(x(k)-x(j));end;for(j=k+1:n)l=l*(p-x(j))/(x(k)-x(j));end;s=s+l;simplify(s);end例。
求函数()xf x xe在区间[6,-6]上的3,5,12次近似最佳逼近多项式，并给出函数图象，比较各阶逼近效果。
最佳一致逼近多项式3.3
定理说明任意连续函数都可以用多项式来近似 3.3.1 基本概念及其理论
Bn ( f , x) =
f ( x) −
* pn ( x)
∞
=
max a≤ x≤b
f
n k =0* ( x ) − p n ( x ) n= kmin f n − k ( x) )− p k ( x ) = k xp n ((x1∈ Pn x )
f ( x) − pn ( x)
pn(x) 在[a,b]上的偏差。 为 f (x) 与 是点到集合的距离
p n ∈Pn pn ∈P a ≤ x ≤b
E n = inf {∆( f , pn )} = inf max f ( x ) − pn ( x )
称为f (x)在 [a, b]上与 Pn 的偏差。 定义2
f ( x 0 ) − p n ( x 0 ) = ∆ ( f , pn ) = f ( x ) − pn ( x )
称 x 0为 p n ( x )的偏差点 .
∞
f ( x 0 ) − pn ( x 0 ) = − E n
f ( x 0 ) − pn ( x 0 ) = E n
负偏差点 正偏差点
正负偏差点有多少？ 有什么特点？
−1≤ x ≤1
p2 ( x ) − 3ax 4+3bx3+ c 2 3 = ( x) = 2 x x= x − x
3
⇓ 3次多项式！
(1 − a ) 2 ( 2 − b ) (1 + c ) max f ( x ) − p2 ( x ) = 2 max x + x + x− −1≤ x ≤1 −1≤ x ≤1 2 2 2
是两点之间的距离
∆( f , p n ) ≥ 0
切比雪夫多项式
切比雪夫多项式概述：切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。
切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
基本性质：对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数，在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。
按切比雪夫多项式的展开式：一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下，多项式按切比雪夫多项式的展开可以用Clenshaw 递推公式计算。
第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定。
也可以用母函数表示。
第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出。
此时母函数为Clenshaw递推公式在数值分析中，Clenshaw递推公式(由Charles William Clenshaw发现)是一个求切比雪夫多项式的值的递归方法。
切比雪夫多项式N次切比雪夫多项式，是下面形式的多项式p(x)其中T n是n阶切比雪夫多项式Clenshaw递推公式Clenshaw递推公式可以用来计算切比雪夫多项式的值。
给定我们定义于是(注)上面的公式在N=0,1的情况下无意义。
此时我们可以用下面的公式：(downward, omit if N=0)这里或者其中是第二类切比雪夫多项式棣莫弗（de Moivre）原理设两个复数（用三角形式表示）Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+i sinθ2），则:Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].解析证：先讲一下复数的三角形式的概念。
在复平面C上，用向量Z(a,b）来表示Z=a+bi.于是，该向量可以分成两个在实轴，虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ，这两个分向量的模分别等于rcosθ,risinθ（r=√a^2+b^2）.所以，复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ）.这里θ称为复数Z的辐角.因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），所以Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1）（cosθ2+isinθ2）=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）]=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].其实该定理可以推广为一般形式：推广设n个复数Z1=r1(co sθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），……，Zn=rn(cosθn+isinθn），则：Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)].解析证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。
最佳一致逼近多项式
§3最佳一致逼近多项式2-1 最佳一致逼近多项式的存在性切比雪夫从另一观点研究一致逼近问题，他不让多项式次数n 趋于无穷，而是固定n ，记次数小于等于n 的多项式集合为n H ，显然],[b a C H n ⊂。
记{1,,,}n n H span x x =L , n x x ,,,1L 是],[b a 上一组线性无关的函数组，是n H 中的一组基。
n H 中的元素)(x P n 可表示为01()n n n P x a a x a x =+++L ，其中n a a a ,,,10L 为任意实数。
要在n H 中求)(*x P n 逼近],[)(b a C x f ∈，使其误差)()(max min )()(max *x P x f x P x f n bx a H P n b x a n n −=−≤≤∈≤≤ 这就是通常所谓最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题。
为了说明这一概念，先给出以下定义。
定义1 ],[)(,)(b a C x f H x P n n ∈∈，称)()(max ),(x P x f P f P f n bx a nn −=−=∆≤≤∞ 为)(x f 与)(x P n 在],[b a 上的偏差。
显然),(,0),(n n P f P f ∆≥∆的全体组成一个集合，记为)},({n P f ∆，它有下界0。
若记集合的下确界为,)()(max inf )},({inf x P x f P f E n b x a H P n H P n n n n n −=∆=≤≤∈∈ 则称之为)(x f 在],[b a 上最小偏差。
定义2 假定],[)(b a C x f ∈，若存在n n H x P ∈)(*，n n E P f =∆),(*， 则称)(*x P n 是)(x f 在],[b a 上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。
注意，定义并未说明最佳逼近多项式是否存在，但可证明下面的存在定理。
数值分析学习课件
n= 4
3π 5π 7π 9π , t 2 = cos , t 3 = cos , t 4 = cos 10 10 10 10 10 a+b b−a 1 x= t = ( t + 1) + 2 2 2 1 π 1 3π x0 = (cos + 1) ≈ 0.98 , x1 = (cos + 1) ≈ 0.79 2 10 2 10 1 5π 1 7π x2 = (cos + 1) ≈ 0.50 , x3 = (cos + 1) ≈ 0.21 2 10 2 10 1 9π x4 = (cos + 1) ≈ 0.02 为节点作L 以 x0, …, x4 为节点作 4(x) 2 10 , t1 = cos
Take it easy. It’s very Didn’t you say it’s anot so difficult if we consider difficult problem? polynomials only.
§1.最佳一致逼近 1.最佳一致逼近
最佳一致逼近多项式 /* optimal uniform approximating polynomial */ 的构造：求 n 阶多项式 Pn(x) 使得 || Pn − y ||∞ 最 的构造： 小。
第二讲
§1.最佳一致逼近 1.最佳一致逼近
§1.最佳一致逼近 1.最佳一致逼近
偏差
最佳一致逼近 最佳一致逼近 /* uniform approximation*/
意义下， 最小。 在 || f ||∞ = max | f ( x ) | 意义下，使得 || P − y ||∞ 最小。也称 为minimax problem。 。 偏差点。 若 P ( x0 ) − y( x0 ) = ± || P − y ||∞ ，则称 x0 为± 偏差点。
数值分析最佳一致逼近多项式
1 f xk
max f x f x
k 1, 2,..., n;
2 f xk f xk 1 , k 1, 2,..., n 1;
则称点集 xk , k 1, 2,..., n, 为函数 f x 在区间 点 xk a, b 上的一个交错点组， 称为交错点。
找 Pn * ( x ) H n ,
pn H n
|| f ( x ) Pn * ( x ) || min || f ( x ) Pn ( x ) || max | f ( x ) Pn * ( x ) | min max | f ( x ) Pn ( x ) |
a xb pn H n a x b
P( xk ) f ( xk ) (1)k P( x) f ( x)
1, k 1,2,, n 2,
这样的点组称为 Chebyshev 交错点组。
© 2009, Henan Polytechnic University §2 最佳一致逼近多项式
9 9
第三章 函数逼近与计算
1313
第三章 函数逼近与计算
几何意义
y
N
yP 1 x
M
D
Q
O
a
x2
b
x
© 2009, Henan Polytechnic University §2 最佳一致逼近多项式
1414
第三章 函数逼近与计算
例3.1
求函数 f ( x ) 1 x 2 在区间[0,1]上的最佳一致逼近多项式。 f (b) f (a ) 解 a1 2 1 0.414 ba x2 由 f ' ( x2 ) 2 1 0.2 x ( 2 1) 2 即 得 2 2 1 x2
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Tn(x) cos(narccosx), n 0,1,2,… 称为切比雪夫多项式。 由三角表达式定 (2.10)
义的多项式 8
切比雪夫多项式的表达式
若令x cosθ，则 Tn(x) cos(nθ), 0 θ π.
切比雪夫多项式的前几项：
Tn1 (x) 2cos(nθ)co sθ cos(n 1)θ
2xTn (x) - Tn1 (x)
10
（2）正交性
0, m n,
1
1
1
1
x2
Tm(x)Tn(x)dx
π/2, m n 0,
π,
m n 0.
(2.12)
证：令x cosθ，则
1
1
1
1
x2
Tm(x)Tn(x)dx
计算方法 (Numerical Analysis)
第4次 最佳一致逼近多项式
1
内容
1. 函数逼近的基本概念 2. 切比雪夫多项式 3. 最佳一致逼近多项式 4. 切比雪夫多项式在函数逼近中的应用 5. 利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多
项式的例子
2
函数逼近的基本概念
3
第3章 函数逼近与曲线拟合
f(x)
收敛到f(x)较慢， 不常用。
在[0,1]上一致成立。该证明于1912年给出。 5
ε的数值
y
y=L (x)
一致逼近的几何意义
x
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6
切比雪夫多项式
7
切比雪夫(Chebyshev)多项式
• 切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。 • 切比雪夫多项式的0点可以用于构造具有最佳
一致逼近性质的插值多项式。
2）假设当n 2为奇(偶)数时，T n(x)只含x的奇(偶 )次方，
13
3）则对n 1的情况，由递推公式 Tn1(x) 2xTn(x) Tn1(x)
得知：情况a）如果n为奇数，则2xTn(x)只含n的偶次方， Tn1(x)只含x的偶数次方，从而左端Tn1(x)只含x的偶次方； 情况b）如果n为偶数，则2xTn(x)只含x的奇次方，Tn1(x) 只含x的奇次方，从而左端Tn1(x)只含x的奇次方
x, Tn1(x).
(2.11)
Tn(x)的最高次幂x n的系数为2 n1, (n 1).
证明：记θ arccosx, 则 Tn1 (x) cos[(n 1)θ] cos[(nθ θ)]
cos(nθ)cosθ sin(nθ)sinθ
cos(n 1)θ cos(nθ)cos θ sin(nθ)sin θ
§1 函数逼近的基本概念
一、函数逼近与函数空间
实际应用需要使用简单函数逼近已知复杂函数。
函数逼近问题：对于函数类A中给定的函数
f(x), 要求在另一类较简单的便于计算的函
数类
BA
B
A
中找一个函数p(x), 使p(x)与f(x)的误差在某
种度量意义下达到最小. 4
定理 1(Weierstrass)若 f(x) C[a, b], 则ε 0, 多项式p(x), 使得
0,1,2,… , n)
轮流取得最大值1和最小值 1，{xk }称为交错点组。
- 1 x4
x 3
x2 0
x 1
x0 1
证： 将xk
cos
kπ n
,
(k
1,2,… , n)
代入Tn(x)的表达式，得到
Tn(x)
cos[narccos(cos
kπ n
)]
cos[kπ]
(1)k
17
1
T2(x) T1(x)
-1
1
T3(x) T4(x)
-1
T3(x)有3个0值点，4个极值点18
总结： Tn(x)具有很好的性质。
0 cos(mθ)cos(nθ)dcosθ
π
1 cos2θ
π cos(mθ)cos(nθ)dθ 0
11
根据积化和差公式：
cos(mθ)cos(nθ)
1 [cos(m 2
n)θ
cos(m
n)θ]
当m≠n:
π cos(mθ)cos (nθ)dθ 0
1 π [cos(m n)θ cos(m n)θ]dθ 0
14
（4）切比雪夫多项式的零点
Tn(x)在[1,1]上有n个不同的零点
xk
cos (2k 1)π , 2n
(k
1,2,… , n)
证：将xk
cos (2k 1)π , (k 2n
1,2,… , n)
代入Tn(x)的表达式，得到
Tn(x)
cos[narccos(cos (2k 1)π)] 2n
| f(x) p(x) | ε, 对于一切a x b成立
证明：伯恩斯坦的构造性证明：Bernstein多项式
Bn(f, x)
k
n 0
f
k n
Pk
(x)
(1.(1
a. 定理1具有重要
x)nk , 使得 的理论意义；
b. Bernstan多项式
lim
n
Bn(f,
x)
cos[(2k 1)π] 2
0 (k
1,2,… , n)
15
图为T11(x)的零点，一共有11个
x11 x10 x 9 x 8
cosπ
cos 15π 22
x7
cos 13π 22
x6
cos π 2
x5
cos 9π 22
x4 x3 x2 x1
co s 7 π co s 5 π cos 3π cos π
T0(x) cos(0) 1 T1(x) cos(arccosx) x T2(x) cos(2arccosx) 2x2 1 T3(x) cos(3arccosx) 4x3 3x
课堂练习：推出T4(x)
9
切比雪夫多项式的性质
（1）基本递推关系
TT0n(x1()x)
1, T1(x) 2xTn(x)
22
22
22
22
xk
cos (2k 1)π , (k 22
1,2,… ,11)
接近-1和1的地方越密。过这些0点作平行于y轴的直
线，这些直线与上半单位元的交点形成了一个关于圆
弧的等距的点的集合。
16
（5）切比雪夫多项式的极值点
Tn(x)在[1,1]上有n 1个不同的极值点
x k
cos kπ , (k n
20
当m=n≠0
π cos(mθ)cos(nθ)dθ 1 π [cos(2nθ) 1]dθ π
0
20
2
当m=n=0
π cos(mθ)cos (nθ)dθ π 0
12
（3）奇偶性
Tn(x)当n为奇数时为奇函数，且只含x的奇次幂; 当n为偶数时为偶函数，且只含x的偶次幂.
利用数学归纳法证明： 1）当n 0和n 1时，T0(x) 1x0, T1(x) x，结论成立。