浅谈切比雪夫多项式
切比雪夫多项式的应用
4 3.5 3 2.5 2
←f(x)
1.5 1 0.5
→L3(x)
0 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
对于连续函数 g ( x) = x 20 , e x , sin(5πx), e − x sin(2πx) ，分别绘出 n = 10,13,20,21 次拉格朗日 插值多项式 Ln ( x) 的图像和原函数的图像如图 1-4 所示
>> k=0:1:10; >> X=cos((2*k+1)*pi/22); >> %求出 10 次切比雪夫多项式的零点 syms x >> F=inline('x.^20'); >> %要插值的原函数 f(x)=x.^20 >> t=linspace(-1,1,100000); >> yt=F(t); y=F(X); yi=interp1(X,y,t,'language'); plot(t,yt,'r--',t,yi,'k-')
k=0:1:20; X=cos((2*k+1)*pi/42); syms x >> F=inline('sin(5*pi*x)'); %要插值的原函数 f(x)=sin(5*pi*x) t=linspace(-1,1,100000); yt=F(t); y=F(X); yi=interp1(X,y,t,'language'); plot(t,yt,'r--',t,yi,'k-')
Rn ( x ) =
1 f ( n +1) (ξ x )ω n ( x) (n + 1)!
关于两类切比雪夫多项式及三角函数的一些恒等式
关于两类切比雪夫多项式及三角函数的一些恒等式
切比雪夫多项式是一类多项式，它们可以用来描述在多维空间中的曲线或曲面。
两类切比雪夫多项式是一类特殊的切比雪夫多项式，它们的形式如下：
$P_n(x)=\sum_{k=0}^n c_kT_k(x)$
其中$T_k(x)$ 是切比雪夫多项式，$c_k$ 是常数。
三角函数是指以弧度制为单位的角度所对应的函数，这些函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
在数学中，恒等式是指两个数学表达式，它们对于任意可以取到的值都相等。
例如，以下是一些有关两类切比雪夫多项式和三角函数的恒等式：
切比雪夫多项式的级数展开：$P_n(x)=\sum_{k=0}^n
c_kT_k(x)=c_0+c_1T_1(x)+c_2T_2(x)+...+c_nT_n(x)$
切比雪夫多项式的级数逆展开：$T_n(x)=\frac{P_n(x)-P_{n-1}(x)}{c_n}$
三角函数的恒等式：$\sin^2 x+\cos^2 x=1$
反三角函数的恒等式：$\sin^{-1} x=\arcsin x$、$\cos^{-1} x=\arccos x$、
$\tan^{-1} x=\arctan x$
这些恒等式在数学中都有广泛应用。
切比雪夫多项式的混沌性
切比雪夫多项式的混沌性
切比雪夫多项式是一种著名的多项式，它有许多有关混沌性的研究。
混沌性是一种复杂的动力系统的性质，它引起系统中的变动会受到其自身历史的影响。
切比雪夫多项式定义为：Pn（x）=∑i=0n (-1)i (n-i)i(2i)!/n!x2i，其中x∈[-1,1] 。
切比雪夫多项式被用于描述多种不同类型的混沌信号，并用于模拟复杂的动态系统，有助
于人们理解复杂的混沌性的生成机制。
由于切比雪夫多项式的轻松定义，模拟起来也比较容易。
多项式的阶数可以增加，以达到更加精确的模拟，由此可以观察被模拟数据之间的强相关性，再将切比雪夫多项式应用到实际混沌系统中。
切比雪夫多项式提供了一种定义和模拟混沌性的新方法，它有助于我们理解复杂系统背后
的机理，也有助于我们更好地掌握混沌性的表现状态。
该多项式能够计算出无数次重复复杂的序列，因而能够更好地描述完全不同的混沌信号。
因此，切比雪夫多项式对那些想要进行混沌研究的人来说，具有重要的启发性意义。
切比雪夫多项式-详细-Chebyshev polynomials
切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。
切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程和相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。
这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定也可以用母函数表示第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出此时母函数为从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。
用显式来表示尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有类似，第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:T0(x) = 1 U − 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) − (1 − x2)Un − 1(x) Un(x) = xUn − 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替xTn(x) − (1 − x2)Un(x)正交性Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.第一类切比雪夫多项式带权即:可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:其正交化后形成的随机变量是Wigner 半圆分布).基本性质对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题
一、引言
在密码学中，困难问题是指难以在有效时间内求解的问题。
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题就是其中之一。
本文将对该问题进行详细介绍。
二、切比雪夫多项式
切比雪夫多项式是指具有最小无穷范数的实系数多项式。
它可以表示为以下形式：
T_n(x) = cos(n \arccos(x))
其中n为正整数，x为实数。
三、离散对数
离散对数是指在一个有限域上，求解给定元素的幂次方等于另一个给定元素的幂次方的问题。
具体地说，设p为一个质数，a和b为模p 意义下的整数，则求解x使得以下等式成立：
a^x \equiv b \pmod{p}
四、切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题就是求解以下等式：
T_n(a^x) \equiv T_n(b) \pmod{p}
其中a和b为模p意义下的整数，n为正整数。
该问题被证明是一个NP难问题，因此没有已知有效算法可以在多项
式时间内求解。
五、应用
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题在密码学中有广泛的应用。
例如，它可以用于构建安全的公钥密码体制，如ElGamal密码体制和Diffe-Hellman密钥交换协议。
六、总结
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题是一个NP难问题，在密码
学中有广泛的应用。
虽然没有已知有效算法可以在多项式时间内求解
该问题，但它仍然为构建安全的公钥密码体制提供了重要的理论支持。
切比雪夫多项式及其在物理学中的应用
切比雪夫多项式及其在物理学中的应用切比雪夫多项式是数学中的一种特殊类型的多项式，它以俄罗斯数学家彼得·切比雪夫的名字命名。
切比雪夫多项式在数学和物理学中都有广泛的应用，特别是在信号处理、逼近理论和波动现象的研究中。
切比雪夫多项式是通过切比雪夫方程定义的。
切比雪夫方程是一个二阶常微分方程，形式为(1-x^2)y''-xy'+n^2y=0，其中n是一个实数。
它的解就是切比雪夫多项式，通常记作Tn(x)。
切比雪夫多项式具有许多独特的性质。
首先，切比雪夫多项式是正交的，即在区间[-1,1]上的任意两个不同的切比雪夫多项式的积分为0。
这个性质在信号处理和逼近理论中非常有用，可以用来表示信号和函数的展开系数，实现信号的压缩和重构。
其次，切比雪夫多项式是最佳逼近多项式。
这意味着在给定的函数空间中，切比雪夫多项式是与被逼近函数的误差最小的多项式。
这个性质在逼近理论中被广泛应用，例如在数据拟合、函数逼近和图像处理中。
切比雪夫多项式还有一些重要的性质。
例如，它们是对称的，即Tn(x)=Tn(-x)，这使得它们在对称性问题的研究中非常有用。
此外，切比雪夫多项式在微分方程的解和特殊函数的表示中也有应用。
在物理学中，切比雪夫多项式的应用非常广泛。
首先，切比雪夫多项式可以用来描述波动现象。
例如，在光学中，切比雪夫多项式可以用来描述光的干涉和衍射现象。
在声学中，切比雪夫多项式可以用来描述声波的传播和共振现象。
其次，切比雪夫多项式还可以用来解决物理学中的特殊问题。
例如，在量子力学中，切比雪夫多项式可以用来描述量子力学中的谐振子问题。
在统计物理学中，切比雪夫多项式可以用来描述理想气体的分布函数。
此外，切比雪夫多项式还与傅里叶级数有着密切的关系。
通过将切比雪夫多项式展开成傅里叶级数，可以得到切比雪夫多项式的频谱分布，从而更好地理解切比雪夫多项式在信号处理和逼近理论中的应用。
总之，切比雪夫多项式是一种重要的数学工具，在数学和物理学中都有广泛的应用。
切比雪夫多项式-详细-Chebyshev_polynomials
切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。
切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程和相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。
这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定也可以用母函数表示第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出此时母函数为从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。
用显式来表示尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有类似，第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:T0(x) = 1 U − 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) − (1 − x2)Un − 1(x) Un(x) = xUn − 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替xTn(x) − (1 − x2)Un(x)正交性Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.第一类切比雪夫多项式带权即:可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:其正交化后形成的随机变量是Wigner 半圆分布).基本性质对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
用切比雪夫多项式求三角函数对称式之值
切比雪夫多项式是一种用于求解三角函数的公式。
它可以用来求解三角函数的对称式，它可以在给定精度要求的情况下，计算出三角函数值的最佳结果。
切比雪夫多项式是一种基于多项式的求解方法，它可以用来求解三角函数的对称式，以求出三角函数的最佳结果。
它的基本原理是：将三角函数的对称式用切比雪夫多项式表示，然后再利用拟合的多项式来计算三角函数的值。
例如，当我们想要求解cos(x)的对称式时，可以用切比雪夫多项式来实现：cos(x)= 1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+x^8/8!-...这里，x^2/2!表示x的2次方除以2的阶乘，x^4/4!表示x的4次方除以4的阶乘，以此类推。
此外，切比雪夫多项式还可以用来求解sin(x)的对称式：sin(x)= x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-...以上两个公式就是用切比雪夫多项式求解三角函数的对称式的实例。
切比雪夫多项式在求解三角函数的对称式时具有较高的精度，因此它在计算三角函数值时是非常有用的。
此外，由于它是基于多项式的方法，因此它可以在任意精度要求的情况下，计算出三角函数的值。
“智者千虑，必有一失”，这句名言表明，即使是最精确的计算方法也可能会出现误差。
因此，切比雪夫多项式在求解三角函数时，也存在着一定的精度误差，因此只有在精度要求不是非常高的情况下，才能够得到准确的结果。
“非淡泊无以明志，非宁静无以致远”，这句名言告诉我们，只有经过淡泊的思考和宁静的思考，才能够达到理想的目标。
因此，在使用切比雪夫多项式求解三角函数时，需要对精度要求进行认真的思考，以确保能够得到准确的结果。
总之，切比雪夫多项式是一种用于求解三角函数的公式，它可以用来求解三角函数的对称式，它可以在给定精度要求的情况下，计算出三角函数值的最佳结果，但是要注意精度的要求，以保证能够得到准确的结果。
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1,0 1, 2,0 1, 2,1 2 ，
n1,0 n,0 ( n 2 )， (6)
n1,m n,m n1,m1 ( n 2,1 m n / 2 )．(7)
由此易得
n,m
1, 当m 0; n m 1 Cn , 当1 m n / 2; m 1 m 0, 当m n/2.
cos n
也就是
cos n
n ein ein 1 i n e ei ， 2 2
1 n n ． cos i sin cos i sin 2
若考虑 x cos ， sin 1 x 2 ， 于是
cos 2 2cos2 1 ，(1) cos3 4cos3 3cos ． (2)
它们都是由余弦 cos 的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的 n 倍角能否用余弦 cos 的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得
cos 4 8cos4 8cos2 1 ，(3) cos5 16cos5 20cos3 5cos ．(4)
Pn ( x)
n n 1 2 2 ． x x 1 x x 1 2
我们又得到 Pn ( x) 的表达式
Pn ( x) cos(n arccos )
这是第一类切比雪夫多项式，第二类切比雪夫多项式可由n倍角余弦公式得到[4]． 方法二：用复数的方法[4]．
ei cos i sin ， ei cos i sin ，
两边相加可以得 cos 的复数表示
cos
进一步以 n 代替 得
ei ei ， 2
Abstract This paper through the triangle function and complex method obtains chebyshev polynomial and describes two groups of chebyshev polynomial of the definitions and properties in detail. In addition，this paper also studies relationships between the two groups of chebyshev polynomial and further discusses the application of chebyshev polynomial in dealing with practical problems. Key word: orthogonality chebyshev polynomial minimum deviation trigonometric function interpolation Plural he
m 1
记 k 1,m k ,m k 1,m ，那么 2cos(k 1) (1)m k 1,m (2cos ) k 12m ．
m0
即当 n k 1 时猜想也成立．从而对任意正整数n，猜想成立． 以上不仅证明了(5)式对任意正整数 n 成立，而且得到了(5)式中系数 n ,m 的递推公式：
3
苏州大学本科生毕业设计（论文）
1 问题的来源及起源 1.1 前言
以俄国著名数学家切比雪夫(Tschebyscheff，又译契贝雪夫等，182l 一 1894)的名字命 名的重要的特殊函数第一类和第二类切比雪夫多项式 Tn ( x) 和 U n ( x) (简称切比雪夫多项式)， 源起于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣美弗定理有关、以递归方式定义的多 项式序列，是计算数学中的一类特殊函数，对于注入连续函数逼近问题，阻抗变换问题等等 的数学、物理学、技术科学中的近似计算有着非常重要的作用[2]． 在大学的数学中，在数学分析的习题里提到过切比雪夫多项式，对于该多项式并未有过 多的了解．详细探讨了解切比雪夫多项式对即将毕业的我来说是一件不可多得的再次学习机 会，因此着手写这篇论文．本文追溯切比雪夫多项式的起源，从三角函数和复数两个方面导 出切比雪夫多项式，研究两类切比雪夫多项式的性质、关系以及应用．
苏州大学本科生毕业设计（论文）
浅谈切比雪夫多项式
数学与应用数学（师范）2008 级 石晓萌 0807402049
指导老师 刘长剑
摘
要 本文通过三角函数和复数方法得到切比雪夫多项式，对两类切比雪夫多项式的定义和性质 做了全面而又简练的概括和说明．除此之外，本文也研究了两类切比雪夫多项式之间的关系， 并进一步讨论了切比雪夫多项式在处理实际问题的应用． 关键词：切比雪夫多项式 三角函数 复数 正交性 最小偏差 插值
6
苏州大学本科生毕业设计（论文）
Pn ( x) cos(n arc cos )
1 x i 1 x2 2
n
x i 1 x2
，
n
此时 x 1,1 ． 而对 x 1时，上式也有意义． 由于 1 x 2 i x 2 1 ，因此
观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2 cos 的首系 数为1的、次数等于公式左边 的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测 2 cos n 也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明． 猜想
2cos n (1)m an,m (2cos )n2 m ，( n N ; m N ) (5)
1.2 切比雪夫多项式的源来
我们用以下几种方法来求得切比雪夫多项式． 方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余 弦的 n 倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现 cos n 都是关 于2 cos 的首项系数为1的、次数等于 的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进 一步得到 cos n 的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进 一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式． 在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦 cos n 是众所周知的偶函数，它 的倍角公式如：
sin k sin sin(k 1) sin cos(k 1) sin sin
s i kn ( 1) s i n kc os
2
c o s (
1 )
s i n
cos(k 1) cos cos k cos cos(k 1) (1 cos2 )
ent n/3 m 1
上式可由数学归纳法证明．从而(5)式可改写为：
2cos n (2cos )n
(1)
5
m
n m1 Cnm1 (2cos ) n 2 m ，(9) mLeabharlann 苏州大学本科生毕业设计（论文）
(9)式称为 n 倍角余弦公式．
cos n 2n1 (cos )n n2 (cos )n2 n4 (cos )n4 …，
1
苏州大学本科生毕业设计（论文）
Discussion on the chebyshev polynomials
Mathematics and Applied Mathematics (normal school) ShiXiaomeng Supervisor 0807402049 Liu Changjian
其中 i 为正整数．
,1 ， 0, ．因 因为余弦 cos 在 0, 上单调，对应值为 1 降到 1 ，即 cos 1
此存在反函数，若令 cos x ，则 arccos x ， x 1,1 ， 0, ．因此，在余弦 n 倍角 公式中令 arccos x ， 0, ， x 1,1 ，则倍角公式为
2
苏州大学本科生毕业设计（论文）
目录 1 问题的来源及起源…………………………………………………………………1 1.1 前言…………………………………………………………………………...4 1.2 切比雪夫多项式的来源……………………………………………………..4 2 切比雪夫多项式的概念及性质…………………………………………………....8 2.1 第一类切比雪夫多项式及性质……………………………………………...8 2.2 第二类切比雪夫多项式及性质……………………………………………10 3 两类切比雪夫多项式的关系……………………………………………………...11 4 切比雪夫多项式的应用…………………………………………………………...13 4.1 切比雪夫多项式插值………………………………………………………13 4.2 幂级数项数的节约…………………………………………………………14 结束语……………………………………………………………………………….15 参考文献…………………………………………………………………………….16
T0 ( x) 1 ， T1 ( x) x ， T2 ( x) 2 x 2 1 ， T3 ( x) 4 x3 3x ， T4 ( x) 8x 4 8x 2 +1，
T5 ( x) 16 x5 20 x3 +5x ， T6 ( x) 32 x6 48x 4 +18x 2 1 ．
cos(n arccos x) 2n1 cos(arccos x) n2 cos(arccos x)
n n 2
n4 cos(arccos x)
n 4
…
2n1 xn n2 xn2 n4 xn4 …．
于是 cos(n arccos x) 首项系数为 2n 1 的多项式，各项系数是整数，符号依次变化， x 的幂 依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零． 若记 cos(n arccos x) = Tn ( x) ，则 Tn ( x) 满足， Tn ( x) 2 xTn1 ( x) Tn2 ( x) ， Tn ( x) 称为切比雪 夫多项式．从递推关系可以得到：