数值分析_切比雪夫多项式注解
python 切比雪夫多项式寻根
python 切比雪夫多项式寻根切比雪夫多项式（Chebyshev polynomials）是一类特殊的正交多项式，它们在数学和工程领域中具有广泛的应用。
本文将介绍切比雪夫多项式的定义、性质以及如何使用Python寻找其根。
一、切比雪夫多项式的定义切比雪夫多项式是定义在闭区间[-1, 1]上的一组正交多项式。
它们可以通过递归关系式来定义，其中第0阶切比雪夫多项式（T_0(x)）为常数1，第1阶切比雪夫多项式（T_1(x)）为x，而其他阶的切比雪夫多项式可以通过以下递归关系式得到：T_n(x) = 2x * T_{n-1}(x) - T_{n-2}(x)，其中n ≥ 2切比雪夫多项式具有许多重要的性质，如正交性、最佳逼近性等。
其中，最重要的性质之一是切比雪夫多项式的根在闭区间[-1, 1]上均匀分布。
二、切比雪夫多项式的性质1. 正交性：切比雪夫多项式满足正交性质，即在[-1, 1]上的权函数为1/√(1-x^2)，当m≠n时，∫(T_m(x) * T_n(x) * (1/√(1-x^2)))dx = 0。
2. 最佳逼近性：切比雪夫多项式在[-1, 1]上是最佳逼近一类特定函数的多项式，即对于任意给定的函数f(x)，存在唯一的切比雪夫多项式T_n(x)使得∥f(x) - T_n(x)∥_∞ = min。
3. 奇偶性：切比雪夫多项式的奇偶性与其阶数相关。
当n为偶数时，切比雪夫多项式为偶函数；当n为奇数时，切比雪夫多项式为奇函数。
三、使用Python寻找切比雪夫多项式的根在Python中，可以使用numpy库中的chebyshev函数来计算切比雪夫多项式的根。
该函数的使用方法如下：```pythonimport numpy as np# 计算n阶切比雪夫多项式的根def chebyshev_roots(n):return np.polynomial.chebyshev.chebroots([0] * n + [1])# 示例：计算第5阶切比雪夫多项式的根roots = chebyshev_roots(5)print(roots)```在上述代码中，我们使用了numpy库中的chebroots函数来计算切比雪夫多项式的根。
切比雪夫多项式-详细-Chebyshev polynomials
切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。
切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程和相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。
这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定也可以用母函数表示第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出此时母函数为从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。
用显式来表示尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有类似，第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:T0(x) = 1 U − 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) − (1 − x2)Un − 1(x) Un(x) = xUn − 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替xTn(x) − (1 − x2)Un(x)正交性Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.第一类切比雪夫多项式带权即:可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:其正交化后形成的随机变量是Wigner 半圆分布).基本性质对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
高等数值分析拉格朗日插值多项式切比雪夫高斯龙格现象复合梯形辛普森求积公式
高等数值分析拉格朗日插值多项式切比雪夫高斯龙格现象复合梯形辛普森求积公式解答：1.拉格朗日插值函数：function y=lagrange (a,b,x)y=0;if length(a)==length(b)n=length(a);else disp('ERROR!length(a)!=length(b)')return;endfor i=1:nk=1;for j=1:nif j~=ik=k.*(x-a(j))/(a(i)-a(j));endendy=y+k*b(i);end2.问题（a）：function Q_am=100;n=10;x=-1:2/n:1;y=1./(1+9*x.^2);x0=-1:2/m:1;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+9*x0.^2);plot(x0,y0,'--r');hold on;plot(x0,y1,'-b');end3.问题（b）：function Q_bm=100;n=10;x=zeros(1,n+1);for i=1:n+1x(i)=cos((2*i-1)*pi/(2*n+2)); endy=1./(1+9*x.^2);x0=-1:2/m:1;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+9*x0.^2);plot(x0,y0,'--r');hold on;plot(x0,y1,'-b');end4.问题（c）：main.m（m文件）figure(1)Q_a()figure(2)Q_b()syms xy=1/(1+9*x^2);I0=int(y,-1,1);%准确值n=10;x=-1:2/n:1;y=1./(1+9*x.^2);I1=trapz(x,y);%复合梯形x0=zeros(1,n);for i=1:nx0(i)=(x(i)+x(i+1))/2;endy0=2/n*1./(1+9*x0.^2);I2=I1/3+2*sum(y0)/3;%复合辛普森x1=[-0.5384693101 0.5384693101 -0.9061798459 0.9061798459 0];y1=1./(1+9*x1.^2);A=[0.4786286705 0.4786286705 0.2369268851 0.2369268851 0.5688888889]; I3=y1*A'; %高斯5总结：(1).使用等距节点构造的高次拉格朗日插值多项式在正负1附件，插值值与真实值偏差非常大，存在较大的震荡。
切比雪夫多项式的三角函数表示
切比雪夫多项式的三角函数表示切比雪夫多项式是一类重要的数学函数，它可以通过三角函数来表示。
在本文中，我们将介绍切比雪夫多项式的定义、性质以及如何使用三角函数来表示它。
让我们来了解一下切比雪夫多项式的定义。
切比雪夫多项式是由切比雪夫多项式方程所定义的一组多项式。
切比雪夫多项式方程可以表示为T_n(x) = cos(n\arccos(x))，其中n是多项式的阶数，x是自变量。
切比雪夫多项式是一个在区间[-1, 1]上定义的函数，它具有一些特殊的性质。
切比雪夫多项式具有递推关系，即T_n(x) = 2xT_{n-1}(x) - T_{n-2}(x)，其中T_0(x) = 1，T_1(x) = x。
这个递推关系可以用来计算高阶切比雪夫多项式。
切比雪夫多项式的性质非常丰富。
首先，切比雪夫多项式是一个奇函数，即T_n(-x) = -T_n(x)。
其次，切比雪夫多项式在区间[-1, 1]上具有n个不同的实根，这些实根被称为切比雪夫节点，可以用来进行数值计算和插值。
现在让我们来看一下如何使用三角函数来表示切比雪夫多项式。
我们知道，三角函数是一个周期函数，可以用来表示周期性的现象。
而切比雪夫多项式是一个在区间[-1, 1]上定义的函数，因此可以通过三角函数来表示。
具体来说，我们可以使用余弦函数来表示切比雪夫多项式。
根据切比雪夫多项式的定义，可以将cos(n\arccos(x))展开为cos(n\theta)，其中\theta = \arccos(x)。
然后，利用三角函数的和差化积公式，可以将cos(n\theta)表示为余弦函数的线性组合。
例如，切比雪夫多项式T_2(x) = 2x^2 - 1可以表示为cos(2\arccos(x)) = 2\cos^2(\arccos(x)) - 1。
进一步化简，可以得到T_2(x) = 2\cos^2(\arccos(x)) - 1 = 2x^2 - 1。
这就是切比雪夫多项式T_2(x)的三角函数表示形式。
切比雪夫级数分解
算法说明：当一个连续函数定义在区间[-1,1]上时，它可以展开成切比雪夫级数。
即：()()n n n f x f T x ∞==∑ 其中()n T x 为n 次切比雪夫多项式，具体表达可通过递推得出：0()1T x =，1()T x x =11()2n n n T x xT x T x +-=-它们之间满足如下的正交关系：110,,02,0n mn m n m ππ-≠⎧⎪⎪==≠⎨⎪==⎪⎩⎰在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限的项数，切比雪夫级数中的系数由下式决定：101()f x f dx π-=⎰12()()n T x f x f dx π-=⎰在MA TLAB 中编程实现的切比雪夫逼近法函数为：Chebyshev 。
功能：用切比雪夫多项式逼近已知函数。
调用格式：Chebyshev(y,k,x0)f =其中，y 为已知函数；k 为逼近已知函数所需项数；f 是求得的切比雪夫逼近多项式在x0处的逼近值。
程序源代码（m 文件）：function f = Chebyshev(y,k,x0) %用切比雪夫多项式逼近已知函数 %已知函数：y%逼近已知函数所需项数：k %逼近点的x 坐标：x0%求得的切比雪夫逼近多项式或在x0处的逼近值：fsyms t;T(1:k+1) =t;T(1) = sym('1');T(2) = t;c(1:k+1) = sym('0');c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(1)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;c(2)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(2)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;f = c(1)+c(2)*t;for i=3:k+1T(i) = 2*t*T(i-1)-T(i-2);c(i) = 2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/2;f = f + c(i)*T(i);f = vpa(f,6);if(i==k+1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = vpa(f,6);endendend应用实例：切比雪夫应用实例。
第一类切比雪夫多项式
第一类切比雪夫多项式
切比雪夫多项式，是将切比雪夫函数递归地定义为多项式而得到
的一系列函数。
这些多项式常用于数值分析中，特别是近似函数和插
值函数的构造。
第一类切比雪夫多项式是在单位区间上定义的，其首项系数为1，递归式为T0(x) = 1, T1(x) = x, Tn(x) = 2xTn-1(x) - Tn-2(x)。
这些多项式的根点称为切比雪夫点，它们在数值计算和数值分析中具有
特殊的地位。
第一类切比雪夫多项式在数值计算和数值分析中的应用非常广泛，例如它们常被用来归一化数据，使其在单位区间上呈现出标准的分布。
此外，它们还可以在傅里叶分析中用于近似函数，因为它们在单位区
间上的最大偏差最小。
第一类切比雪夫多项式的一个重要特性是它们的导数具有对称性质，这意味着它们在所有切比雪夫点处的导数值相等。
因此，它们可
以用来构造具有高度对称特征的函数。
总而言之，第一类切比雪夫多项式是数值计算和数值分析中非常
有用的工具，它们被广泛应用于近似函数和插值函数的构造、数据归
一化以及傅里叶分析中。
掌握它们的性质和应用，对于数值计算和数
值分析的相关研究和实践非常重要。
高中数学竞赛切比雪夫(Chebyshev)多项式知识整理-教学文档
方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余弦的n 倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现cos n α都是关于2cos α的首项系数为1的、次数等于α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到cos n α的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式．在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cos n α是众所周知的偶函数，它的倍角公式如：2cos 22cos 1αα=- ，(1)3cos34cos 3cos ααα=-． (2)它们都是由余弦cos α的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的n 倍角能否用余弦cos α的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得42cos 48cos 8cos 1ααα=-+ ，(3)53cos516cos 20cos 5cos αααα=-+ ．(4)观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cos α的首系数为1的、次数等于公式左边α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测2cos n α也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明．猜想2,02cos (1)(2cos )m n m n m m n a αα-==-∑，(;n N m N +∈∈) (5)(5)式可改写为：n/312112cos (2cos )(1)(2cos )ent n mm n m n m m n n C mααα----==+-∑ ，(9) (9)式称为n 倍角余弦公式．12424cos 2(cos )(cos )(cos )n n n n n n n αααααα-----=-++…，其中i α为正整数． 因为余弦cos α在[]0,απ∈上单调，对应值为1降到1-，即cos α[]1,1∈-，[]0,απ∈ ．因此存在反函数，若令cos x α=，则arccos x α=，[]1,1x ∈-，[]0,απ∈．因此，在余弦n 倍角公式中令arccos x α=，[]0,απ∈，[]1,1x ∈-，则倍角公式为于是cos(arccos )n x 首项系数为12n -的多项式，各项系数是整数，符号依次变化，x 的幂依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零．若记cos(arccos )n x =()n T x ，则()n T x 满足，12()2()()n n n T x xT x T x --=-，()n T x 称为切比雪夫多项式．从递推关系可以得到：第一类切比雪夫多项式有许多良好的性质，例如：1．(cos )cos(),,n T n R n N θθθ=∈∈．(分析：令cos x θ=，arccos x θ=) 2．()(1)()n n n T x T x -=-，,x C n N ∈∈．这表明()n T x 当n 为奇(偶)数时是奇(偶)函数．3．()1,,1n T x x R x ≤∈≤．4．21(0)0m T +=，2(0)(1),m m T m N =-∈．5．函数列{}()n T x 的生成函数为（分析：生成函数又叫母函数，在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息．使用母函数解决问题的方法称为母函数方法．母函数的思想就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造．母函数是解决组合计数问题的有效工具之一，其思想方法是把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．）6．函数列{}()n T x 满足2阶递推关系（分析：由三角恒等式cos(1)cos(1)2cos cos n n n θθθθ++-=）最小偏差切比雪夫在1857年提出这样一个问题：在最高项系数为1的n 次多项式中，寻求在区间[]1,1-上与零的偏差最小的多项式．换句话说，就是寻求[]1,1n x C ∈-在1n H -中的最佳一致逼近多项式1()n P x *-，这里定理 在区间[]1,1-上所有最高项系数为1的多项式中，与零的偏差最小，其偏差为112n -． ()n U x 称为第n 个第二类切比雪夫多项式，前7个第二类切比雪夫多项式为： 第二类切比雪夫多项式也有许多良好的性质，例如：1．()(1)(),,n n n U x U x x C n N -=-∈∈．即当以为奇(偶)数时是奇(偶)函数． 2．21(0)0m U +=，2(0)(1)m m U =-，(1)1n U n =+,(1)(1)(1)n n U n -=-+，m N ∈．3．函数列{}()n U x 的生成函数为4．()1,,1n U x n x R x ≤+∈≤．5．函数列{}()n U x 满足2阶递推关系两类切比雪夫多项式的关系定理1设()n T x 和()n U x 分别为第一类和第二类切比雪夫多项式，0n ≥为整数，则证明 由两类切比雪夫多项式的定义得而则比较式在子两边n t 项的系数，即有4切比雪夫多项式的应用4.1切比雪夫多项式插值切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用．这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值．相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近． 切比雪夫多项式插值法：定理：设01,,x x …,n x 为区间[],a b 上1n +个互不相同的点，[]1(),n f x C a b +∈，则对任何[],x a b ∈,存在[]01,,,x n x x x ξ∈，使得拉格朗日插值余()()()n R x f x L x =-，满足其中插值多项式的余项极小化：要使拉格朗日插值多项式()n L x 尽量逼近()f x ，就要使余项()n R x 尽量小．在 ()n R x 中，()f x 是固定的，而 x ξ又是未知数，所以要减小()n R x ，只有恰当选择节点集，使得在插值区间内余项的最大值为极小值．为了应用切比雪夫多项式，首先应将插值区间[],a b ,通过简单变换归一化到区间[−1,1],做变换()12k k z b a x b a =-++⎡⎤⎣⎦ 所以插值节点应取为()121cos 222k k z b a b a n π+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦. 其中0,1,2,,1k n =-，所以下面我们只需要讨论区间[−1,1]上的函数的切比雪夫插值法： 当取定第一类切比雪夫点21cos ,0,1,2,,22k k x k n n π+==+后，令()1111max n n x M f x ++-≤≤=，则有()()11max 1max (1)!2(1)!n n n n x R x M M n n ++=≤++∏，故切比雪夫插值法可以使得余项的最大值极小化，得到较佳逼近多项式.。
关于切比雪夫多项式的一些研究
关于切比雪夫多项式的一些研究
切比雪夫多项式是一类重要的函数，在数学中广泛应用。
在1817年，切比雪
夫发现了他著名的“定理”，即任何一个多项式可以被准确的写成一系列的有限条件的和式，即切比雪夫定理--“任何一个多项式可以被一组有限，条件系数的多项式表示出来”。
例如，一个多项式可以写作这样的和式：
P(x) =a0 +a1x+a2x2+a3x3+ …+ adxd
这里，a0, a1, a2，a3，…，ad为多项式的系数，d为该多项式的阶数。
切比雪夫多项式在数学中具有广泛应用，几乎遍及世界各地。
它在微积分、计
算几何学等诸多领域都有广泛应用，而最令人印象深刻的，是在数值分析中，切比雪夫插值方法。
其优点是利用少量数据，克服拟合精度方面的缺陷，实现恒定拟合精度，全面提高了拟合精度。
同时，计算复杂度极低，且不受节点精度的影响。
在更新的大数据时代，切比雪夫多项式也变得越来越重要。
考虑到大数据的特性，切比雪夫多项式的优点更加凸显出来，可以帮助用户建立更加准确的拟合模型，从而更加充分地发挥出大数据的价值。
总之，切比雪夫多项式是一种经典而重要的函数，在不同领域有多种不同的应用。
虽然它仍然有很多需要改进的地方，但它拥有重要的应用价值，在数据分析中的价值也是显而易见的。