切比雪夫多项式-详细-Chebyshev polynomials
德语版切比雪夫多项式讲义 Tschebyschev-Polynome
kπ x = cos , (k = 0,1,2,..., n)；n ≥ 1. n Beweis: Tn ( x) = cos(n ), cos (n ) = ±1,
(e) k
n = kπ (k = 0,1,2,...n), kπ e = , k = (0,1,2,...n),
n
Deshalb sind die Extremwerte von Tn (x) :
3 4 2
......
3 Symmetrie
Sei Tn ( x ) Tschebyscheff-Polynom von Grad ein n, dann gilt:
Tn ( x) = (1) n Tn ( x)
Für gerade n sind die Tn (x) symmetrisch: Tn ( x) = Tn ( x), Für ungerade n sind die Tn (x) punktsymmetrisch zum Ursprung
Tn ( x) = cos(n ), cos(n ) = 0,
n = -
π
2
+ kπ , k ∈ (1,2,3,..., n)
n
1 (k - )π 2 = , n
Deshalb sind die Nullstellen von Tn (x) : 2k 1 π (n) x k = cos( * ), (k = 1,2,..., n); n ≥ 1. n 2 Geometrisch knnen sie als Projektionen von regelmig auf dem Halbkreis mit Radius Eins verteilten Punkten interpretiert werden. y z.B: n=8
一类齐次对称多项式上的切比雪夫不等式
一类齐次对称多项式上的切比雪夫不等式切比雪夫不等式（Chebyshev Inequality）是一类关于齐次对称多项式（homogeneous symmetric polynomials）的重要不等式，主要用于统计学中研究均值和极差之间的关系，估算样本变量偏离均值的程度，从而推断概率分布性质。
本文将具体介绍切比雪夫不等式在一类齐次对称多项式上的应用及其表示和证明，同时也举例说明如何使用切比雪夫不等式来判断一组数据平均和标准差的大小之间的关系。
一、定义切比雪夫不等式（Chebyshev Inequality）是一类名为齐次对称多项式（homogeneous symmetric polynomials）的重要不等式，定义是：对于任意离散随机变量X，有P{| X - E(X) | ≥ a} ≤ [E(X^2) - E[X]^2]/a^2 ，其中a≥0 ，E(X)表示X的期望，E(X^2)表示X的期望值二次方，故满足切比雪夫不等式的必要条件是X是一个离散随机变量，其期望值可以计算二、应用切比雪夫不等式实际上可以表达均值和极差之间的关系，可用于评估样本变量偏离均值的程度。
它可以用来估算概率分布的形状，从而判断一组数据或分布的特性。
具体来说，大量数据中有百分之九十九的数据位于均值的一个极差以内，即P{| X - E(X) | ≤ 1.96σ}= 0.99 ，其中σ是X的标准差，且如果大于这个极差，那么这些数据就很少被应用在实际数据分析中。
三、表示和证明我们来看切比雪夫不等式（Chebyshev Inequality）的表示式和证明：（1）对于任意离散随机变量X，有P{|X- E(X)|≥a}≤[E(X^2)-E[X]^2]/a^2（2）证明：根据一般性不等式，有P{|X-E(X)| ≥ a}=1-P{|X-E(X)| <a}，又根据加法原理，有1-P{|X-E(X)|<a}= 1-[P{ -a<X-E(X)<a}] ≥1-[P(-a<X-E(X)<0]+P(0<X-E(X)<a)]定义： f(X)=X-E(X) ,既有（2）1-[P(-a<f(X)<0)+P(0<f(X)<a)]=1-[P(-a<X-E(X)<0)+P(0<X-E(X)<a)] ≥1-[∫_{-a}^{0}f(X)dX+∫_{0}^{a}f(X)dX]根据偏微分变换积分公式和变量变换，有上式右边积分等于[E(X^2)-E[X]^2]/a^2至此，我们就得出了切比雪夫不等式的数学表达式为： P{|X-E(X)|≥a}≤[E(X^2)-E[X]^2]/a^2, 其中a≥0四、示例考虑等概率定义在[-1，1]区间内的随机变量X，其期望为E(X)=0，标准差为σ=1， X的^2 次幂的期望为：E(X^2)=∫_{-1}^{1}X^2dX=2/3 。
切比雪夫函数
切比雪夫函数,以段落形式开始《切比雪夫函数》一、出现历史切比雪夫函数（Chebyshev Function，又称切比雪夫多项式，Also named Tchebycheff Polynomials）由俄国数学家Pafnuty Lvovich Chebychev于十九世纪40年代著名数学家莱布尼茨夫提出，表征其在数学和物理学领域的特殊性质及历史价值。
他最初的想法，是在众多二次型方程的根都是不真实的情况下，建立一种方法，能够在复数方程中获得接近实数解的近似值。
事实上，他的想法被概括为"最大值与最小值的问题"，这也从另一个角度定义了切比雪夫函数。
他的研究也涉及一些物理学问题，比如分析静电场、磁力场及雷诺条件。
二、函数特性切比雪夫函数是一类二次多项式函数，由Pafnuty Lvovich Chebychev发现。
它是一种特殊的多项式，具有正则边界上的“匹配现象”，即由于具有相关系数，能够和正则线性群进行匹配。
它表示为T(n)(x)，n为多项式的次数，x为多项式的变量，可以看出，T(1)(x) = -1到1之间的最大值或最小值。
此外，它也具有永久的一致性。
它的周期性是指，如果把它带入一个参数，则对对象多项式的每一次进行匹配，它都能产生相同的结果。
换句话说，它具有许多固有性质，比如函数的收敛性和连续性，不受参数的变化而变化。
三、应用领域因为切比雪夫函数在一定范围内的最大值或最小值性质，所以它应用于各种场合，主要是优化结果的近似算法和实际结果分析模型。
在数值分析方面，它被用于求解数学和物理方程的数值解。
例如，它被用于建模和求解城市规划，建筑规划，飞行器静态飞行，机械运动和物理建模方面的问题。
此外，它也被用于统计学中的估计最佳参数模型和最小二乘模型。
另外，它还被用于信号处理，比如提取图像，滤波器设计，加窗技术和自适应滤波等应用中，用于减少噪声和其他因素影响，减少数据失真。
总之，切比雪夫函数在数学，物理，统计学，和信号处理等领域，有广泛的实际应用，其优势表现在快速准确的求解和近似结果，并提供更多的操作空间。
高中数学竞赛切比雪夫(Chebyshev)多项式知识整理
方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余弦的n 倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现cos n α都是关于2cos α的首项系数为1的、次数等于α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到cos n α的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式．在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cos n α是众所周知的偶函数，它的倍角公式如：2cos 22cos 1αα=- ，(1)3cos34cos 3cos ααα=-． (2)它们都是由余弦cos α的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的n 倍角能否用余弦cos α的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得42cos 48cos 8cos 1ααα=-+ ，(3)53cos516cos 20cos 5cos αααα=-+ ．(4)观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cos α的首系数为1的、次数等于公式左边α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测2cos n α也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明．猜想2,02cos (1)(2cos )m n m n m m n a αα-==-∑，(;n N m N +∈∈) (5)(5)式可改写为：n/312112cos (2cos )(1)(2cos )ent nmm n m n m m n n C mααα----==+-∑，(9) (9)式称为n 倍角余弦公式．12424cos 2(cos )(cos )(cos )n n n n n n n αααααα-----=-++…，其中i α为正整数．因为余弦cos α在[]0,απ∈上单调，对应值为1降到1-，即cos α[]1,1∈-，[]0,απ∈ ．因此存在反函数，若令cos x α=，则arccos x α=，[]1,1x ∈-，[]0,απ∈．因此，在余弦n 倍角公式中令arccos x α=，[]0,απ∈，[]1,1x ∈-，则倍角公式为[][][]24124cos(arccos )2cos(arccos )cos(arccos )cos(arccos )nn n n n n n x x x x αα-----=-++…124242n n n n n n x x x αα-----=-++…．于是cos(arccos )n x 首项系数为12n -的多项式，各项系数是整数，符号依次变化，x 的幂依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零．若记cos(arccos )n x =()n T x ，则()n T x 满足，12()2()()n n n T x xT x T x --=-，()n T x 称为切比雪夫多项式．从递推关系可以得到：0()1T x =，1()T x x =，22()21T x x =-，33()43T x x x =-，424()88+1T x x x =-， 535()1620+5T x x x x =-，6426()3248+181T x x x x =--．第一类切比雪夫多项式有许多良好的性质，例如：1．(cos )cos(),,n T n R n N θθθ=∈∈．(分析：令cos x θ=，arccos x θ=)2．()(1)()n n n T x T x -=-，,x C n N ∈∈．这表明()n T x 当n 为奇(偶)数时是奇(偶)函数．3．()1,,1n T x x R x ≤∈≤．4．21(0)0m T +=，2(0)(1),m m T m N =-∈． 5．函数列{}()n T x 的生成函数为21(),,112n n n xtT x t t R t xt t≥-=∈≤-+∑． （分析：生成函数又叫母函数，在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息．使用母函数解决问题的方法称为母函数方法．母函数的思想就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造．母函数是解决组合计数问题的有效工具之一，其思想方法是把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．）6．函数列{}()n T x 满足2阶递推关系21()2()()n n n T x xT x T x ++=-，,x C n N ∈∈．（分析：由三角恒等式cos(1)cos(1)2cos cos n n n θθθθ++-=）最小偏差切比雪夫在1857年提出这样一个问题：在最高项系数为1的n 次多项式()()()01n x x x x x ω=--…()1()n n n x x x P x --=-中，寻求在区间[]1,1-上与零的偏差最小的多项式．换句话说，就是寻求[]1,1n x C ∈-在1n H -中的最佳一致逼近多项式1()n P x *-，这里{}1111()min()n n n nn n P H x P x xP x --*--∞∞∈-=-．定理 在区间[]1,1-上所有最高项系数为1的多项式中，111()())2(n n n n n x x P x x T ω**--=-=， 与零的偏差最小，其偏差为112n -．()n U x 称为第n 个第二类切比雪夫多项式，前7个第二类切比雪夫多项式为：230123()1,()2,()41,()84U x U x x U x x U x x x ===-=-，424()16121U x x x =-+，535()32326U x x x x =-+，6426()6480241U x x x x =-+-．第二类切比雪夫多项式也有许多良好的性质，例如：1．()(1)(),,n n n U x U x x C n N -=-∈∈．即当以为奇(偶)数时是奇(偶)函数． 2．21(0)0m U +=，2(0)(1)m m U =-，(1)1n U n =+,(1)(1)(1)n n U n -=-+，m N ∈． 3．函数列{}()n U x 的生成函数为2(),,112nn n U x t t R t xt t ≥=∈≤-+∑． 4．()1,,1n U x n x R x ≤+∈≤． 5．函数列{}()n U x 满足2阶递推关系21()2()(),,n n n U x xU x U x x C n N ++=-∈∈．两类切比雪夫多项式的关系定理1设()n T x 和()n U x 分别为第一类和第二类切比雪夫多项式，0n ≥为整数，则0()()nn i n i i U x T x x -==∑.证明 由两类切比雪夫多项式的定义得21),12(n n nT xt t x x t t ∞=-=-+∑ 而2211112121xt xt t xt t xt-=⨯-+-+-, 则(((())))n nnnnnn i n n n i i n n n t tUx T x x T x t x t∞∞∞∞-=======∑∑∑∑∑.比较式在子两边n t 项的系数，即有0(())nn i i n i U x T x x -==∑.4切比雪夫多项式的应用4.1切比雪夫多项式插值切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用．这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值．相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近． 切比雪夫多项式插值法：定理：设01,,x x …,n x 为区间[],a b 上1n +个互不相同的点，[]1(),n f x C a b +∈，则对任何[],x a b ∈,存在[]01,,,x n x x x ξ∈，使得拉格朗日插值余()()()n R x f x L x =-， 满足()()()(1)1(1)!n n x n R x f x n ξω+=+.其中[]{}{}[]010101,,,,min ,,,,,max ,,,,,n n n x x x x x x x x x x x x a b =⊂⎡⎤⎣⎦，()()()()()010nn n j j x x x x x x x x x ω==---=-∏.插值多项式的余项极小化：要使拉格朗日插值多项式()n L x 尽量逼近()f x ，就要使余项()n R x 尽量小．在 ()n R x 中，()f x 是固定的，而 x ξ又是未知数，所以要减小()n R x ，只有恰当选择节点集，使得在插值区间内余项的最大值为极小值．为了应用切比雪夫多项式，首先应将插值区间[],a b ,通过简单变换归一化到区间[−1,1],做变换()12k k z b a x b a =-++⎡⎤⎣⎦ 所以插值节点应取为()121cos 222k k z b a b a n π+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦. 其中0,1,2,,1k n =-，所以下面我们只需要讨论区间[−1,1]上的函数的切比雪夫插值法：当取定第一类切比雪夫点21cos,0,1,2,,22k k x k n n π+==+后，()()()()()010nn n j j x x x x x x x x x ω==---=-∏()12n n T x -+=.令()1111max n n x M f x ++-≤≤=，则有()()11max 1max(1)!2(1)!n n nn x R x M M n n ++=≤++∏，故切比雪夫插值法可以使得余项的最大值极小化，得到较佳逼近多项式.。
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题
一、引言
在密码学中，困难问题是指难以在有效时间内求解的问题。
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题就是其中之一。
本文将对该问题进行详细介绍。
二、切比雪夫多项式
切比雪夫多项式是指具有最小无穷范数的实系数多项式。
它可以表示为以下形式：
T_n(x) = cos(n \arccos(x))
其中n为正整数，x为实数。
三、离散对数
离散对数是指在一个有限域上，求解给定元素的幂次方等于另一个给定元素的幂次方的问题。
具体地说，设p为一个质数，a和b为模p 意义下的整数，则求解x使得以下等式成立：
a^x \equiv b \pmod{p}
四、切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题就是求解以下等式：
T_n(a^x) \equiv T_n(b) \pmod{p}
其中a和b为模p意义下的整数，n为正整数。
该问题被证明是一个NP难问题，因此没有已知有效算法可以在多项
式时间内求解。
五、应用
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题在密码学中有广泛的应用。
例如，它可以用于构建安全的公钥密码体制，如ElGamal密码体制和Diffe-Hellman密钥交换协议。
六、总结
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题是一个NP难问题，在密码
学中有广泛的应用。
虽然没有已知有效算法可以在多项式时间内求解
该问题，但它仍然为构建安全的公钥密码体制提供了重要的理论支持。
切比雪夫多项式及其在物理学中的应用
切比雪夫多项式及其在物理学中的应用切比雪夫多项式是数学中的一种特殊类型的多项式，它以俄罗斯数学家彼得·切比雪夫的名字命名。
切比雪夫多项式在数学和物理学中都有广泛的应用，特别是在信号处理、逼近理论和波动现象的研究中。
切比雪夫多项式是通过切比雪夫方程定义的。
切比雪夫方程是一个二阶常微分方程，形式为(1-x^2)y''-xy'+n^2y=0，其中n是一个实数。
它的解就是切比雪夫多项式，通常记作Tn(x)。
切比雪夫多项式具有许多独特的性质。
首先，切比雪夫多项式是正交的，即在区间[-1,1]上的任意两个不同的切比雪夫多项式的积分为0。
这个性质在信号处理和逼近理论中非常有用，可以用来表示信号和函数的展开系数，实现信号的压缩和重构。
其次，切比雪夫多项式是最佳逼近多项式。
这意味着在给定的函数空间中，切比雪夫多项式是与被逼近函数的误差最小的多项式。
这个性质在逼近理论中被广泛应用，例如在数据拟合、函数逼近和图像处理中。
切比雪夫多项式还有一些重要的性质。
例如，它们是对称的，即Tn(x)=Tn(-x)，这使得它们在对称性问题的研究中非常有用。
此外，切比雪夫多项式在微分方程的解和特殊函数的表示中也有应用。
在物理学中，切比雪夫多项式的应用非常广泛。
首先，切比雪夫多项式可以用来描述波动现象。
例如，在光学中，切比雪夫多项式可以用来描述光的干涉和衍射现象。
在声学中，切比雪夫多项式可以用来描述声波的传播和共振现象。
其次，切比雪夫多项式还可以用来解决物理学中的特殊问题。
例如，在量子力学中，切比雪夫多项式可以用来描述量子力学中的谐振子问题。
在统计物理学中，切比雪夫多项式可以用来描述理想气体的分布函数。
此外，切比雪夫多项式还与傅里叶级数有着密切的关系。
通过将切比雪夫多项式展开成傅里叶级数，可以得到切比雪夫多项式的频谱分布，从而更好地理解切比雪夫多项式在信号处理和逼近理论中的应用。
总之，切比雪夫多项式是一种重要的数学工具，在数学和物理学中都有广泛的应用。
切比雪夫多项式零点证明
切比雪夫多项式零点证明切比雪夫多项式（Chebyshev polynomial）是一类在数学中具有重要应用的特殊多项式。
在实分析和数值计算中，切比雪夫多项式的零点分布具有独特的性质，可以用于插值、逼近和优化等领域。
本文将详细介绍切比雪夫多项式的零点证明。
首先，我们来定义切比雪夫多项式。
切比雪夫多项式可以用递归的方式定义，如下：T0(x) = 1T1(x) = xTn(x) = 2xTn-1(x) - Tn-2(x) (n ≥ 2)切比雪夫多项式的零点通常被称为切比雪夫节点。
切比雪夫多项式的第n个零点可以表示为：xk = cos(π(k + 0.5)/n) (0 ≤ k < n)为了证明这一结论，我们可以通过数学归纳法来进行证明。
首先，我们可以验证n=1和n=2的情况，这是基本情况。
当n=1时，切比雪夫多项式为T1(x) = x，其零点为x0 = 0，与结论一致。
当n=2时，切比雪夫多项式为T2(x) = 2x^2 - 1，其零点为x0 = -1/√2 和x1 = 1/√2，也与结论一致。
接下来，我们假设对于任意的n≥2，切比雪夫多项式的零点公式成立。
我们要证明对于n+1的情况，也能得到相应的结论。
假设切比雪夫多项式Tn(x)的零点为x0, x1, ..., xn-1。
我们定义新的多项式Un(x) = Tn(x) - λ，其中λ为待确定的常数。
根据切比雪夫多项式的递推关系，我们有：Un+1(x) = 2xUn(x) - Un-1(x)假设Un(x)有m个零点，我们用y0, y1, ..., ym-1来表示。
因为Un(x) = Tn(x) - λ，所以Un(x)的零点与Tn(x)的零点相同。
我们还可以得到：Un+1(yi) = 2yiUn(yi) - Un-1(yi) = 0现在，我们来确定λ的值，使得Un+1(x)的零点为切比雪夫多项式Tn+1(x)的零点。
我们假设Un(x)的零点在[-1,1]之间，因为切比雪夫多项式的定义域为[-1,1]。
chebyshev多项式的由来
chebyshev多项式的由来
切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomials），也叫作切比雪夫混沌映射（Chebyshev Chaotic Map），是计算数学中一类特殊的函数。
它起源于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是计算数学中一类特殊的函数，对于注入连续函数逼近问题、阻抗变换问题等等的数学、物理学、技术科学中的近似计算有着非常重要的作用。
此外，切比雪夫多项式还有两个重要的等价定义：一是设n,x为变量且满足n阶切比雪夫多项式的余弦式定义为Tn(x)=cos(narccosx)，当x=±1时，等价的递归迭代定义为Tn(x)=2xTn−1(x)−Tn−2(x)，其中T0(x)=1,T1(x)=x。
二是设n,x为变量且满足n阶扩展切比雪夫多项式的余弦式定义为Tn(x)=cos(narccosx)，当x=±1时，等价的递归迭代定义为Tn(x)=2xTn−1(x)−Tn−2(x)，其中T0(x)=1,T1(x)=x。
切比雪夫多项式有广泛的数学、物理学、技术科学的应用，例如在逼近理论中有重要的应用。
同时，扩展切比雪夫多项式（Extended Chebyshev Polynomials）也有重要应用，特别是当参数x在区间[-1,1]之外时，仍然具有半群性质并且可以有效抵抗Bergamo攻击。
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切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。
切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程
和
相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。
这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.
定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定
也可以用母函数表示
第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出
此时母函数为
从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定
其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：
是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。
用显式来表示
尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有
类似，第二类切比雪夫多项式满足
以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程
在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:
归递公式
两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:
T0(x) = 1 U − 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) − (1 − x2)Un − 1(x) Un(x) = xUn − 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替
xTn(x) − (1 − x2)Un(x)
正交性
Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.
第一类切比雪夫多项式带权
即:
可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.
类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:
其正交化后形成的随机变量是Wigner 半圆分布).
基本性质
对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数，在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。
时，Tn 的最高次项系数为2n − 1 ，n = 0时系数为1 。
最小零偏差
对，在所有最高次项系数为1的n次多项式中，对零的偏差最小，即它是使得f(x)在[ − 1,1] 上绝对值的最大值最小的多项式。
其绝对值的最大值
为，分别在- 1 、1 及f 的其他n − 1 个极值点上达到。
两类切比雪夫多项式间的关系
两类切比雪夫多项式间还有如下关系：
切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例, 后者是雅可比多项式的特例.
切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出：
例子
前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是T0, T1, T2, T3, T4 T5.
前几个第一类切比雪夫多项式是
前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是U0, U1, U2, U3, U4 U5. 虽然图像中无法显示,我们实际有Un(1)=n+1 以及Un(-1)=(n+1)(-1)n.
前几个第二类切比雪夫多项式是
按切比雪夫多项式的展开式
一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下：
多项式按切比雪夫多项式的展开可以用Clenshaw 递推公式计算。
切比雪夫根
两类的n次切比雪夫多项式在区间[−1,1]上都有n 个不同的根, 称为切比雪夫根, 有时亦称做切比雪夫节点，因为是多项式插值时的插值点. 从三角形式中可看出Tn 的n个根分别是：
类似地，Un 的n个根分别是：。