专题4.8：切比雪夫多项式的研究与拓展.pdf
切比雪夫多项式-详细-Chebyshev polynomials
切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。
切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程和相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。
这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定也可以用母函数表示第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出此时母函数为从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。
用显式来表示尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有类似，第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:T0(x) = 1 U − 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) − (1 − x2)Un − 1(x) Un(x) = xUn − 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替xTn(x) − (1 − x2)Un(x)正交性Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.第一类切比雪夫多项式带权即:可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:其正交化后形成的随机变量是Wigner 半圆分布).基本性质对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题
一、引言
在密码学中，困难问题是指难以在有效时间内求解的问题。
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题就是其中之一。
本文将对该问题进行详细介绍。
二、切比雪夫多项式
切比雪夫多项式是指具有最小无穷范数的实系数多项式。
它可以表示为以下形式：
T_n(x) = cos(n \arccos(x))
其中n为正整数，x为实数。
三、离散对数
离散对数是指在一个有限域上，求解给定元素的幂次方等于另一个给定元素的幂次方的问题。
具体地说，设p为一个质数，a和b为模p 意义下的整数，则求解x使得以下等式成立：
a^x \equiv b \pmod{p}
四、切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题就是求解以下等式：
T_n(a^x) \equiv T_n(b) \pmod{p}
其中a和b为模p意义下的整数，n为正整数。
该问题被证明是一个NP难问题，因此没有已知有效算法可以在多项
式时间内求解。
五、应用
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题在密码学中有广泛的应用。
例如，它可以用于构建安全的公钥密码体制，如ElGamal密码体制和Diffe-Hellman密钥交换协议。
六、总结
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题是一个NP难问题，在密码
学中有广泛的应用。
虽然没有已知有效算法可以在多项式时间内求解
该问题，但它仍然为构建安全的公钥密码体制提供了重要的理论支持。
切比雪夫多项式
切比雪夫多项式概述：切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。
切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
基本性质：对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数，在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。
按切比雪夫多项式的展开式：一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下，多项式按切比雪夫多项式的展开可以用Clenshaw 递推公式计算。
第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定。
也可以用母函数表示。
第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出。
此时母函数为Clenshaw递推公式在数值分析中，Clenshaw递推公式(由Charles William Clenshaw发现)是一个求切比雪夫多项式的值的递归方法。
切比雪夫多项式N次切比雪夫多项式，是下面形式的多项式p(x)其中T n是n阶切比雪夫多项式Clenshaw递推公式Clenshaw递推公式可以用来计算切比雪夫多项式的值。
给定我们定义于是(注)上面的公式在N=0,1的情况下无意义。
此时我们可以用下面的公式：(downward, omit if N=0)这里或者其中是第二类切比雪夫多项式棣莫弗（de Moivre）原理设两个复数（用三角形式表示）Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+i sinθ2），则:Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].解析证：先讲一下复数的三角形式的概念。
在复平面C上，用向量Z(a,b）来表示Z=a+bi.于是，该向量可以分成两个在实轴，虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ，这两个分向量的模分别等于rcosθ,risinθ（r=√a^2+b^2）.所以，复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ）.这里θ称为复数Z的辐角.因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），所以Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1）（cosθ2+isinθ2）=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）]=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].其实该定理可以推广为一般形式：推广设n个复数Z1=r1(co sθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），……，Zn=rn(cosθn+isinθn），则：Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)].解析证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。
切比雪夫多项式递推关系证明
切比雪夫多项式递推关系证明嘿，朋友！今天咱们来聊聊切比雪夫多项式递推关系的证明，这可是个有点意思的事儿。
咱先来说说啥是切比雪夫多项式。
你就把它想象成数学世界里一群特别有规律的小伙伴，它们按照一定的规则排着队，这个规则就是咱们要弄明白的递推关系。
那为啥要搞清楚这个递推关系的证明呢？这就好比你要盖一座漂亮的房子，得先搞清楚每一块砖头怎么摆放，每一根梁柱怎么搭建，对吧？证明了这个递推关系，咱们就能更好地理解和运用切比雪夫多项式，解决好多数学难题，是不是很神奇？咱们来看这个递推关系的式子，一堆符号和数字组合在一起，乍一看是不是有点头疼？别慌！咱们慢慢拆解。
你看，就像拼图一样，一块一块来。
先从简单的情况入手，一点点推导。
这就像你学走路，先迈出一小步，然后再迈一大步。
证明的过程中，要用到一些数学知识和方法。
比如说，巧妙的代数运算，就像是厨师烹饪时恰到好处地调味，让整个式子变得美味可口。
咱们得细心，不能马虎。
一个小错误就可能让整个证明跑偏啦，就像在马拉松比赛中跑错了道，那可就麻烦大了。
再想想，这证明的过程就像是在黑暗中摸索着找钥匙，每一次尝试都是在靠近那把能打开知识大门的钥匙。
经过一番努力，当咱们终于把这个递推关系证明出来的时候，那种成就感，简直无与伦比！就像你登上了山顶，看到了无比美丽的风景，心里那个美呀！所以说，别怕这切比雪夫多项式递推关系证明的难题，只要咱们有耐心，有方法，一步一个脚印，肯定能搞定它！总之，切比雪夫多项式递推关系的证明虽然有点挑战，但只要咱们用心去琢磨，就能揭开它神秘的面纱，收获满满的知识和成就感！。
高中数学竞赛切比雪夫(Chebyshev)多项式知识整理-教学文档
方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余弦的n 倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现cos n α都是关于2cos α的首项系数为1的、次数等于α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到cos n α的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式．在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cos n α是众所周知的偶函数，它的倍角公式如：2cos 22cos 1αα=- ，(1)3cos34cos 3cos ααα=-． (2)它们都是由余弦cos α的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的n 倍角能否用余弦cos α的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得42cos 48cos 8cos 1ααα=-+ ，(3)53cos516cos 20cos 5cos αααα=-+ ．(4)观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cos α的首系数为1的、次数等于公式左边α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测2cos n α也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明．猜想2,02cos (1)(2cos )m n m n m m n a αα-==-∑，(;n N m N +∈∈) (5)(5)式可改写为：n/312112cos (2cos )(1)(2cos )ent n mm n m n m m n n C mααα----==+-∑ ，(9) (9)式称为n 倍角余弦公式．12424cos 2(cos )(cos )(cos )n n n n n n n αααααα-----=-++…，其中i α为正整数． 因为余弦cos α在[]0,απ∈上单调，对应值为1降到1-，即cos α[]1,1∈-，[]0,απ∈ ．因此存在反函数，若令cos x α=，则arccos x α=，[]1,1x ∈-，[]0,απ∈．因此，在余弦n 倍角公式中令arccos x α=，[]0,απ∈，[]1,1x ∈-，则倍角公式为于是cos(arccos )n x 首项系数为12n -的多项式，各项系数是整数，符号依次变化，x 的幂依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零．若记cos(arccos )n x =()n T x ，则()n T x 满足，12()2()()n n n T x xT x T x --=-，()n T x 称为切比雪夫多项式．从递推关系可以得到：第一类切比雪夫多项式有许多良好的性质，例如：1．(cos )cos(),,n T n R n N θθθ=∈∈．(分析：令cos x θ=，arccos x θ=) 2．()(1)()n n n T x T x -=-，,x C n N ∈∈．这表明()n T x 当n 为奇(偶)数时是奇(偶)函数．3．()1,,1n T x x R x ≤∈≤．4．21(0)0m T +=，2(0)(1),m m T m N =-∈．5．函数列{}()n T x 的生成函数为（分析：生成函数又叫母函数，在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息．使用母函数解决问题的方法称为母函数方法．母函数的思想就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造．母函数是解决组合计数问题的有效工具之一，其思想方法是把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．）6．函数列{}()n T x 满足2阶递推关系（分析：由三角恒等式cos(1)cos(1)2cos cos n n n θθθθ++-=）最小偏差切比雪夫在1857年提出这样一个问题：在最高项系数为1的n 次多项式中，寻求在区间[]1,1-上与零的偏差最小的多项式．换句话说，就是寻求[]1,1n x C ∈-在1n H -中的最佳一致逼近多项式1()n P x *-，这里定理 在区间[]1,1-上所有最高项系数为1的多项式中，与零的偏差最小，其偏差为112n -． ()n U x 称为第n 个第二类切比雪夫多项式，前7个第二类切比雪夫多项式为： 第二类切比雪夫多项式也有许多良好的性质，例如：1．()(1)(),,n n n U x U x x C n N -=-∈∈．即当以为奇(偶)数时是奇(偶)函数． 2．21(0)0m U +=，2(0)(1)m m U =-，(1)1n U n =+,(1)(1)(1)n n U n -=-+，m N ∈．3．函数列{}()n U x 的生成函数为4．()1,,1n U x n x R x ≤+∈≤．5．函数列{}()n U x 满足2阶递推关系两类切比雪夫多项式的关系定理1设()n T x 和()n U x 分别为第一类和第二类切比雪夫多项式，0n ≥为整数，则证明 由两类切比雪夫多项式的定义得而则比较式在子两边n t 项的系数，即有4切比雪夫多项式的应用4.1切比雪夫多项式插值切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用．这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值．相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近． 切比雪夫多项式插值法：定理：设01,,x x …,n x 为区间[],a b 上1n +个互不相同的点，[]1(),n f x C a b +∈，则对任何[],x a b ∈,存在[]01,,,x n x x x ξ∈，使得拉格朗日插值余()()()n R x f x L x =-，满足其中插值多项式的余项极小化：要使拉格朗日插值多项式()n L x 尽量逼近()f x ，就要使余项()n R x 尽量小．在 ()n R x 中，()f x 是固定的，而 x ξ又是未知数，所以要减小()n R x ，只有恰当选择节点集，使得在插值区间内余项的最大值为极小值．为了应用切比雪夫多项式，首先应将插值区间[],a b ,通过简单变换归一化到区间[−1,1],做变换()12k k z b a x b a =-++⎡⎤⎣⎦ 所以插值节点应取为()121cos 222k k z b a b a n π+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦. 其中0,1,2,,1k n =-，所以下面我们只需要讨论区间[−1,1]上的函数的切比雪夫插值法： 当取定第一类切比雪夫点21cos ,0,1,2,,22k k x k n n π+==+后，令()1111max n n x M f x ++-≤≤=，则有()()11max 1max (1)!2(1)!n n n n x R x M M n n ++=≤++∏，故切比雪夫插值法可以使得余项的最大值极小化，得到较佳逼近多项式.。
切比雪夫多项式定理
切比雪夫多项式定理切比雪夫多项式定理（Chebyshev Polynomial Theorem）是一个数学定理，由俄国数学家切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）首先提出。
它是关于多项式的定理，描述了多项式在有界域内的行为。
该定理可以用来证明许多关于多项式的性质，也可以用来解决许多多项式问题。
定理的形式如下：给定函数f(x)在区间[a,b]上单调，其中a<b，假设函数f(x)具有n次可导的连续导数，并且f(x)的n-1次导数在[a,b]上单调。
如果f(x)可以由n 次切比雪夫多项式Pn(x)表示，则有：f(x)=Pn(x)+Rn(x)其中，Pn(x)是n次切比雪夫多项式，Rn(x)是n次余项，称为切比雪夫多项式定理。
从定理可以看出，如果f(x)在[a,b]上可以由n次切比雪夫多项式表示，那么f(x)可以被分解为两部分，一部分是切比雪夫多项式Pn(x)，另一部分是余项Rn(x)。
该定理的重要性在于它提供了一种精确的方法来表示函数f(x)的行为，而不必使用近似解法。
此外，该定理也显示了函数f(x)的收敛性，即当n越大时，Pn(x)越接近f(x)，Rn(x)越小。
根据切比雪夫多项式定理，可以得出一些有用的结论，如：（1）在[a,b]上，所有可导的函数f(x)都可以表示为一组切比雪夫多项式的和；（2）在[a,b]上，函数f(x)的收敛性，即当n越大时，Pn(x)越接近f(x)，Rn(x)越小；（3）在[a,b]上，f(x)的最大值和最小值可以由切比雪夫多项式的绝对值来确定，即f max=max{|Pn(x)|}， f min=min{|Pn(x)|}（4）在[a,b]上，有f'(x)=P'n(x)+R'n(x)其中，P'n(x)是n次切比雪夫多项式的导数，R'n(x)是n次余项的导数。
切比雪夫多项式定理的应用非常广泛，在许多领域都有着广泛的应用，如量子力学、量子物理、量子化学、量子计算机、光电子学、电磁学、可编程逻辑控制器、信号处理、机器人学、计算机图形学、计算几何学、数值分析、系统工程、模式识别等等。
切比雪夫不等式的推广及应用
编号毕业论文（ 2013 届本科）题目：切比雪夫不等式的推广及应用学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学作者姓名：指导教师：职称：完成日期： 2013 年 5 月 24 日二○一三年五月切比雪夫不等式的推广及应用摘要本文给出切比雪夫不等式的三种形式的推广,并利用契比雪夫不等式研究随机变量落入某一区域的概率,求解证明概率方面的不等式,证明切比雪夫大数定理和特殊不等式等四个方面的应用.关键词切比雪夫不等式;推广;应用;实例.中图分类号O211.1The promotion and application of chebyshev inequalitySong Qiaoguo Instructor Zhu Fuguo(No.25,Class 1 of 2013,Specialty of Mathematics and Applied Mathematics,Hexi University,Zhangye,Gansu,734000)Abstract:Chebyshev inequality is presented in this paper the three forms of promotion, and use the chebyshev inequality study random variables into the probability of a certain area, solving the probability of inequality, prove chebyshev theorem of large number and the application of the four aspects, such as special inequalities.Abstract: chebyshev inequality;Promotion;Applications;The instance1引言概率论是一门研究随机现象数量规律的科学,而切比雪夫不等式又是概率论中介绍的极少数的重要不等式之一,尤其是在分布未知时某些事件的概率上下界常用切比雪夫不等式.又如大数定理是概率论极限理论的基础,而切比雪夫不等式又是证明它的重要途径.作为一种理论工具,切比雪夫不等式不等式有很高的地位.虽然它的证明其理论成果相对比较完善,但一般的概率论与数理统计教材对大数定律的介绍篇幅较少,但不够广泛. 我们知道,数学的各门分支之间都是有一定联系的,若我们在学习中能把这些联系点找出来并加以对比分析与应用,则既加深了对知识的理解,贯通了新旧知识的联系,又拓宽了知识的应用范围,同时也活跃了思维,无论从深度上还是从广度上都是一个飞跃.对切比雪夫不等式的应用问题的推广也是一项非常有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅能加深对切比雪夫不等式的理解,而且能使之更为有效的应用其他知识领域中.2 预备知识定义1[]1 (切比雪夫不等式)若随机变量X 有数学期望()E X 和方差()D X ,则对于任意的正数0ε>, 总有:{}2()()D X P X E x εε-≥≤.定义2[]2 如果函数()f x 和()g x 对于一切12,x x 均成立1212(()())(()())0f x f x g x g x--≥,则称()f x 与()g x 成似序；倘若反向的不等式成立,则称()f x 与()g x 成反序.定义3[]3 设连续型随机变量X 的概率密度函数为()f x ,若积分()x f x dx +∞-∞⎰收敛,则称()xf x dx +∞-∞⎰为X 的数学期望,则22()()()D X E X E X =-为X 的方差.3 主要结论及证明定理1[]2 切比雪夫不等式积分形式如果连续函数()f x 与()g x 在区间[],a b 上成似序,则成立如下不等式()()()()()bb baaaf x dxg x dx b a f x g x dx ≤-⎰⎰⎰相反,如果()f x 与()g x 成反序,则不等号反向.证明 引入辅助函数()()()()()()tttaaaF t t a f x g x dx f x dx g x dx =--⎰⎰⎰,()F t 求导得'()()()()()()()()()()t t taaaF t f x g x dx t a f t g t f t g x dx g t f x dx =+---⎰⎰⎰[]()()()()()()()()ta f x g x f t g t f t g x g t f x dx =+--⎰[][]()()()()taf x f tg x g t dx =--⎰.由于()f x 与与()g x 在区间[],a b 上成似序,故有[][]()()()()0f x f t g x g t --≥,于是'()0F t ≥,因此()F t 在[],a b 上单调递增, 又()0,()0F a F b =∴≥,即()()()()()0bbbaaab a f x g x dx f x dx g x dx --≥⎰⎰⎰,()()()()()b b baaaf x dxg x dx b a f x g x dx ∴≤-⎰⎰⎰.同理反序成立.定理2[]4 切比雪夫不等式有限形式若12(,,,)n l l l l = 和12(,,,)n m m m m = 是两个实序列,且满12n l l l ≤≤≤ ,12n m m m ≤≤≤ ,或12n l l l ≥≥≥ ,12n m m m ≥≥≥ ,则成立如下不等式111111()()n n ni i i i i i i l m l m n n n ===≥∑∑∑. 证明 设12,,,n l l l ,12,,,n m m m 为两个有相同次序的序列,有排序不等式得11221122n n n n l m l m l m l m l m l m ++=+++ , 112212231n n n l m l m l m l m l m l m ++≥+++ , 112213242n n n l m l m l m l m l m l m ++≥+++ ,11221211n n n n n l m l m l m l m l m l m -++≥+++ ,将这n 个式子相加得到111()()nnni i i i i i i n l m l m ===≥∑∑∑,不等式两边同时除以2n ,得111111()()n n ni i i i i i i l m l m n n n ===≥∑∑∑. 定理3[]4 设12(,,,)n a a a a = ,12(,,,)n b b b b R =∈ ,0,i λ≥则当12,n a a a ≤≤≤ 12n b b b ≤≤≤ 或者12,n a a a ≥≥≥ 12n b b b ≥≥≥ 时,有如下不等式成立1111()()()()i i i i i i i i i i i i a b a b λλλλ====⋅≤⋅∑∑∑∑ (1)当12,n a a a ≤≤≤ 12n b b b ≥≥≥ 或者12,n a a a ≥≥≥ 12n b b b ≤≤≤ 时,也有如下不等式成立1111()()()()i i i i i i i i i i i i a b a b λλλλ====⋅≥⋅∑∑∑∑ (2)并且当0i λ≥,对于任意的1,2,,i n = 时,则(1),(2)中等式成立的条件是1212n n a a a b b b ====== 或.证明 先证明1111()()()()k k k ki i i i i i i i i i i i a b a b λλλλ====⋅≤⋅∑∑∑∑成立.用数学归纳法1k =时11111111()()()a b a b λλλλ⋅=⋅则不等式成立.假设k n =时1111()()()()nnnni i i i i i i i i i i i a b a b λλλλ====⋅≤⋅∑∑∑∑成立.下证1k n =+时1111()()n n i i i i i i a b λλ++==⋅∑∑111111()()n ni i n n i i n n i i a a b b λλλλ++++===+⋅+∑∑211111111111()()n n n ni i i i n n i i n n i i n n n i i i i a b a b b a a b λλλλλλλ+++++++=====⋅+++∑∑∑∑211111111111()()n n n ni i i i n n i i n n i i n n n i i i i a b a b b a a b λλλλλλλ+++++++====≤⋅+++∑∑∑∑211111111111()()nnnni i i i n n i n n i i i n n n i i i i a b a b a b a b λλλλλλλ+++++++====≤⋅+++∑∑∑∑211111111111()()nnnni i i i n n n i n i i i n n n i i i i a b a b a b a b λλλλλλλ+++++++=====⋅+++∑∑∑∑111111()()nnin i i i n n n i i a b a b λλλλ++++===+⋅+∑∑1111()()n n i i i i i i a b λλ++===⋅∑∑.当n →∞时,两边取极限 则有1111()()()()i i i i i i i i i i i i a b a b λλλλ====⋅≤⋅∑∑∑∑成立.同理可证（2）式成立.4 切比雪夫不等式的应用4.1 利用切比雪夫不等式估计随机变量X 落入区间(),a b 内的概率()P a X b << 例1[]5 设随机变量X 的概率密度为()(0)!m xx f x e x m -=≥,用切比雪夫不等式估计[]02(1)P X m <<+解 第一步:求()E X 和()D X()!m x x E X x e dx m +∞-=⎰101!m x x e dx m +∞+-=⎰ 1(1)!(2)!!m m m m +=Γ+=1m =+. []22()()()D X E X E X =-220(1)!m x x x e dx m m +∞-=-+⎰ 21(3)(1)!m m m =Γ+-+ 2(1)(2)(1)m m m =++-+ 1m =+.第二步:将不等式02(1)X m <<+的各端同减去()1E X m =+,把待估概率[]02(1)P X m <<+化成(())P X E X ε-<的形式[][]02(1)(1)(1)1P X m P m X m m <<+=-+<-+<+(1)1P X m m =⎡-+<+⎤⎣⎦()1P X E X m =⎡-<+⎤⎣⎦.第三步:取1m ε=+,利用切比雪夫不等式估计概率[]02(1)()1P X m P X E X m <<+=⎡-<+⎤⎣⎦()P X E X ε=⎡-<⎤⎣⎦ 22()111(1)D X m m ε+≥-=-+ 1mm =+. 4.2 求解或者证明一些有关概率的不等式例2[]6 设在每次试验中,事件A 发生的概率为0.75,利用切比雪夫不等式求:n 需要多大时,才能使得在n 次独立重复试验中,事件A 出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90？解 设X 为n 次试验中,事件A 出现的次数,则X ~(,0.75)B n ,()0.75,()0.750.250.1875E X n D X n n ==⨯=.所求为满足(0.740.76)0.90XP n<<≥的最小的n . (0.740.76)XP n<<可改写为(0.740.76)P n X n <<,则 (0.740.76)(0.010.750.01)P n X n P n X n n <<=-<-<()0.01P X E X n =⎡-<⎤⎣⎦.在切比雪夫不等式中取0.01n ε=,则(0.740.76)XP n<<()0.01P X E X n =⎡-<⎤⎣⎦ 2()1(0.01)D X n ≥-20.187510.0001nn ≥-18751n≥-.依题意,取187510.90n-≥, 解得 18751875010.9n ≥=-.即n 取18750时,可以使得在n 次独立重复试验中,事件A 出现的概率在0.740.76 之间概率至少为0.90.4.3 利用切比雪夫不等式证明切比雪夫大数定理 例3[]7 设1,,n X X 是相互独立的随机事件,其数学期望和方差分分别为()i E X ,()i D X ,1,2,,,i n = 且存在常数c ,使()i D X c ≤(1,2,,,)i n = ,则对于任意给的正数0ε>,有1111lim ()1n ni i n i i p X E X n n ε→∞==⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑∑. 解 设11ni i X X n ==∑则1111()()n ni i i i E X E X n n ===∑∑, 21111()()n ni i i i KD X D X n nn===≤∑∑. 由切比雪夫不等式得:12111()11()1ninni i i i i D XnP X E X nn εε===⎧⎫-<≥-⎨⎬⎩⎭∑∑∑21K n ε≥-.所以211111()1nn i i i i KP X E X nn n εε==⎧⎫≥-<≥-⎨⎬⎩⎭∑∑.另n →∞,由两边夹定理11111()1nni i i i P X E X nn ε==⎧⎫≥-<≥⎨⎬⎩⎭∑∑1111lim ()1n ni i n i i p X E X n n ε→∞==⎧⎫∴-<=⎨⎬⎩⎭∑∑. 4.4 利用切比雪夫不等式证明不等式 例4[]7 证明22211x aaedx a -+-≥-⎰. 证明 构造一个随机变量X ,设(0,1)X N ,则22()x x ϕ-=,()0E X =,()1D X =.且{}220x aap X a dx -+--≤=⎰.由切比雪夫不等式知{}2101p X a a-≤≥-. 所以22211x aaedx a-+-≥-⎰.5 总结切比雪夫不等式不等式是概率论中的重要不等式，本文将切比雪夫不等式进行了不同形式的推广，并研究总结了切比雪夫不等式不等式在概率论中的不同应用，通过本文的研究可以将切比雪夫不等式及其推广的不同形式能灵活应用，所以研究切比雪夫不等式有很重要的研究意义.致谢本文撰写过程得到老师的悉心指导,在此对朱老师表示衷心的感谢.参考文献[1]陈希孺.概率论与数理统计[M].合肥:中国科学技术大学出版社.2009.[2]韩生,白岩,刘光清,李茂.契比雪夫不等式的一个新证明[J].长春师范学报.1995,17(1):24-25.[3]万星火.概率论与数理统计[M].北京:科学出版社,2007.[4]楼宇同.契比雪夫不等式的推广[J].曲阜师范大学学报.1992,18(4):49-54.[5]上海交通大学数学系编.概率论与数理统计[M].上海:上海科学技术出版社,2004.[6]周勇,马昀宇,谢尚宇,王晓倩译.理工科概率统计[M].北京:机械工业出版社,2009.[7]陈启浩.概率论与数理统计精讲精练[M].北京:北京师范大学出版社,2010.[8]霍玉洪.切比雪夫不等式及其应用[J].长春工业大学学报.2012,33(6):712-714.。
关于切比雪夫多项式的一些研究
关于切比雪夫多项式的一些研究
切比雪夫多项式是一类重要的函数，在数学中广泛应用。
在1817年，切比雪
夫发现了他著名的“定理”，即任何一个多项式可以被准确的写成一系列的有限条件的和式，即切比雪夫定理--“任何一个多项式可以被一组有限，条件系数的多项式表示出来”。
例如，一个多项式可以写作这样的和式：
P(x) =a0 +a1x+a2x2+a3x3+ …+ adxd
这里，a0, a1, a2，a3，…，ad为多项式的系数，d为该多项式的阶数。
切比雪夫多项式在数学中具有广泛应用，几乎遍及世界各地。
它在微积分、计
算几何学等诸多领域都有广泛应用，而最令人印象深刻的，是在数值分析中，切比雪夫插值方法。
其优点是利用少量数据，克服拟合精度方面的缺陷，实现恒定拟合精度，全面提高了拟合精度。
同时，计算复杂度极低，且不受节点精度的影响。
在更新的大数据时代，切比雪夫多项式也变得越来越重要。
考虑到大数据的特性，切比雪夫多项式的优点更加凸显出来，可以帮助用户建立更加准确的拟合模型，从而更加充分地发挥出大数据的价值。
总之，切比雪夫多项式是一种经典而重要的函数，在不同领域有多种不同的应用。
虽然它仍然有很多需要改进的地方，但它拥有重要的应用价值，在数据分析中的价值也是显而易见的。
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专题4.8：切比雪夫多项式的研究与拓展
【课本溯源】由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式. 再如：
1cos 22cos 2-=x x x 2cos x cos x
x x x x x x x x x x x sin )cos (sin 2cos )1cos 2(sin 2sin cos 2cos )2cos(3cos 2--=-=+=，可见可以表示为的三次多项式. x x x x x x cos 3cos 4cos )cos 1(2cos cos 2323-=---=x 3cos x cos 一般地，存在一个次多项式，使得这些多项式称为切比雪夫（P. L. n )(t P n ),(cos cos x P nx n =)(t P n Tschebyscheff ）多项式.
（1）请尝试求出，即用一个的四次多项式来表示)(4t P x cos x
4cos （2）利用结论：，求出的值（）
x x x cos 3cos 43cos 3-= 18sin 18290183⨯-=⨯本例是一道阅读题，给出切比雪夫多项式的定义，由定义可知：任意一个都可以表示为nx cos x cos 的次多项式.第（1）问利用二倍角公式和完全平方公式即可解决：n .
1)1cos 2(212cos 24cos 222--=-=x x x 1cos 8cos 824+-=x x 第（2）问根据所给提示，自然想到对进行赋值，令 18290183⨯-=⨯x
18=x 化简后可得： 18cos 18sin 2)182sin()18290cos(18cos 318cos 4183cos 3=⨯=⨯-=-=⨯，解得：3)18sin 1(418sin 2318cos 422--==- 41518sin -=
【探究拓展】
探究1：观察下列等式：观察下列等式：
①;
1-cos 22cos 2αα=② ;
42cos 48cos 8cos 1ααα=-+③ ;
642cos 632cos 48cos 18cos 1αααα=-+-④ ;8642cos8128cos
256cos 160cos 32cos 1ααααα=-+-+⑤ .10
8642cos10cos 1280cos 1120cos cos cos 1m n p αααααα=-+++-可以推测，._________=+-p n m 962
=+-p n m 探究2：3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a =
拓展1：已知△ABC 的三边长为有理数
（1）求证cosA 是有理数；
（2）对任意正整数n ，求证cosnA 也是有理数.
解：因为是有理数，由可知是有理数，A cos 1-cos 22cos 2
A A =A 2cos （这个式子中出现了倍角的正弦的关系，能否转化为余弦的关,sin sin -cos cos )1(cos A nA A nA A n =+系？）
由，
,sin sin cos cos )1-(cos A nA A nA A n +=A nA A n A nA cos cos )1-(cos sin sin -=故，可知的有理性由和的有理性1)A -cos(n -cos cos )1(cos A nA A n =+A n )1(cos +nA cos A n )1cos(-决定，因为，是有理数，从而是有理数，同理可得，A cos A 2cos A 3cos ,6cos ,5cos ,4cos A A A ，
A n )1-(cos 为有理数，命题得证.
nA cos 拓展2：已知三次函数f (x ) = 4x 3＋ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c )
∈R （1）若是奇函数，，过点作图象的切线，求切线的方程；
()f x 3b =-()2,6-()y f x =l l （2）若函数在处取极大值，求的取值范围；
()f x 1x =a （3）如果f (x )是奇函数，过点（2，10）作三条y = f (x )图象的切线l ，求实数b 的取值范围；
（4）当－1≤x ≤1时 f (x )满足－1≤f (x )≤1，求a ，b ，c 的所有可能的取值．
解：（1）因为是奇函数，，所以由，得，
()f x 3b =-()()f x f x -=-0a c ==所以．
()()3243,123f x x x f x x '=-=-设切点为，则切线的方程为：，
()3,43P t t t -l ()()()3243123y t t t x t --=--因为切线过点，所以，
l ()2,6-()()()326431232t t t t ---=--解得或．
0t =3t =所以切线有两条，它们分别为或．
l 30x y +=1052160x y --=（2）2()122f x x ax b
'=++，所以，
(1)1220f a b '=++=122b a =--所以=2()122122f x x ax a '=+--(1)(12122)
x x a -++
所以由得到． 122112
a +->12a <-（3）因为f (x )是奇函数，所以由f (－x ) = －f (x )得a = c = 0，设切点为P (t ，4t 3＋bt )，则切线l 的方程为y －(4t 3＋bt ) = (12t 2＋
b )(x －t )，由于切线l 过点（2，10），所以
10－(4t 3＋bt ) = (12t 2＋b )(2－t )，整理得b = 4t 3－12t 2＋5，
令g (t ) = 4t 3－12t 2＋5－b ，则g ′(t ) = 12t 2－24t = 12t (t －2)，
所以g (t )在(－∞，0)上是增函数，在(0，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，要使切线l 有三条，当且仅当g (t ) = 0有三个实数根，g (t ) = 0有三个实数根当且仅当
g (0)＞0，且g (2)＜0，解得－11＜t ＜5．
（4）由题意，当x = ±1，±时，均有－1≤f (x )≤1，故12
－1≤4＋a ＋b ＋c ≤1， ① －1≤－4＋a －b ＋c ≤1，
即－1≤4－a ＋b －c ≤1， ②
－1≤＋＋＋c ≤1， ③ －1≤－＋－＋c ≤1，12a 4b 212a 4b 2
即－1≤－＋－c ≤1， ④12a 4b 2
①＋②得－2≤8＋2b ≤2，从而b ≤－3；
③＋④得－2≤1＋2b ≤2，从而b ≥－3．
代入①②③④得a ＋c = 0，＋c = 0，从而a = c = 0．a 4
下面证明：f (x ) = 4x 3－3x 满足条件．
事实上，f ′(x ) = 12x 2－3 = 3(2x ＋1)(2x －1)，所以f (x )在[－1， －]上单调递增，在[－， ]上单调递减，121212
在[，1]上单调递增，而f (－1) = －1，f (－) = 1，f () = －1，f (1) = 1，所以当－1≤x ≤1时 f (x )满足－1≤f (x )≤121212
1．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。