切比雪夫多项式(下)
关于两类切比雪夫多项式及三角函数的一些恒等式
关于两类切比雪夫多项式及三角函数的一些恒等式
切比雪夫多项式是一类多项式，它们可以用来描述在多维空间中的曲线或曲面。
两类切比雪夫多项式是一类特殊的切比雪夫多项式，它们的形式如下：
$P_n(x)=\sum_{k=0}^n c_kT_k(x)$
其中$T_k(x)$ 是切比雪夫多项式，$c_k$ 是常数。
三角函数是指以弧度制为单位的角度所对应的函数，这些函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
在数学中，恒等式是指两个数学表达式，它们对于任意可以取到的值都相等。
例如，以下是一些有关两类切比雪夫多项式和三角函数的恒等式：
切比雪夫多项式的级数展开：$P_n(x)=\sum_{k=0}^n
c_kT_k(x)=c_0+c_1T_1(x)+c_2T_2(x)+...+c_nT_n(x)$
切比雪夫多项式的级数逆展开：$T_n(x)=\frac{P_n(x)-P_{n-1}(x)}{c_n}$
三角函数的恒等式：$\sin^2 x+\cos^2 x=1$
反三角函数的恒等式：$\sin^{-1} x=\arcsin x$、$\cos^{-1} x=\arccos x$、
$\tan^{-1} x=\arctan x$
这些恒等式在数学中都有广泛应用。
python 切比雪夫多项式寻根
python 切比雪夫多项式寻根切比雪夫多项式（Chebyshev polynomials）是一类特殊的正交多项式，它们在数学和工程领域中具有广泛的应用。
本文将介绍切比雪夫多项式的定义、性质以及如何使用Python寻找其根。
一、切比雪夫多项式的定义切比雪夫多项式是定义在闭区间[-1, 1]上的一组正交多项式。
它们可以通过递归关系式来定义，其中第0阶切比雪夫多项式（T_0(x)）为常数1，第1阶切比雪夫多项式（T_1(x)）为x，而其他阶的切比雪夫多项式可以通过以下递归关系式得到：T_n(x) = 2x * T_{n-1}(x) - T_{n-2}(x)，其中n ≥ 2切比雪夫多项式具有许多重要的性质，如正交性、最佳逼近性等。
其中，最重要的性质之一是切比雪夫多项式的根在闭区间[-1, 1]上均匀分布。
二、切比雪夫多项式的性质1. 正交性：切比雪夫多项式满足正交性质，即在[-1, 1]上的权函数为1/√(1-x^2)，当m≠n时，∫(T_m(x) * T_n(x) * (1/√(1-x^2)))dx = 0。
2. 最佳逼近性：切比雪夫多项式在[-1, 1]上是最佳逼近一类特定函数的多项式，即对于任意给定的函数f(x)，存在唯一的切比雪夫多项式T_n(x)使得∥f(x) - T_n(x)∥_∞ = min。
3. 奇偶性：切比雪夫多项式的奇偶性与其阶数相关。
当n为偶数时，切比雪夫多项式为偶函数；当n为奇数时，切比雪夫多项式为奇函数。
三、使用Python寻找切比雪夫多项式的根在Python中，可以使用numpy库中的chebyshev函数来计算切比雪夫多项式的根。
该函数的使用方法如下：```pythonimport numpy as np# 计算n阶切比雪夫多项式的根def chebyshev_roots(n):return np.polynomial.chebyshev.chebroots([0] * n + [1])# 示例：计算第5阶切比雪夫多项式的根roots = chebyshev_roots(5)print(roots)```在上述代码中，我们使用了numpy库中的chebroots函数来计算切比雪夫多项式的根。
切比雪夫多项式-详细-Chebyshev polynomials
切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。
切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程和相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。
这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定也可以用母函数表示第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出此时母函数为从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。
用显式来表示尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有类似，第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:T0(x) = 1 U − 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) − (1 − x2)Un − 1(x) Un(x) = xUn − 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替xTn(x) − (1 − x2)Un(x)正交性Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.第一类切比雪夫多项式带权即:可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:其正交化后形成的随机变量是Wigner 半圆分布).基本性质对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
切比雪夫多项式 [Chebyshev polynomial]
![切比雪夫多项式 [Chebyshev polynomial]](https://img.taocdn.com/s3/m/bfe7bedf76eeaeaad1f33023.png)
类似地， Un 的n个根分别是：
参看
◾ 切比雪夫节点 ◾ 切比雪夫滤波器
参考
◾ M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Chapter 22. New York: Dover, 1972.
定义
第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定
也可以用母函数表示 第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出
此时母函数为
从三角函数定义
第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定
其中 n = 0, 1, 2, 3, .... .
是关于
的 n次多项式，这个事实可以这么看：
是:
的实部（参见棣莫弗公式），而
从左边二项展开式可以看出实部中出现含 的项中， 都是偶数次的，从而可以表
其正交化后形成的随机变量是 Wigner 半圆分布).
基本性质
对每个非负整数 ，和 Nhomakorabea都为 次多项式。 并且当 为偶（奇）数时，它们
是关于 的偶（奇）函数， 在写成关于 的多项式时只有偶（奇）次项。
时， 的最高次项系数为
，
时系数为 。
最小零偏差
对
，在所有最高次项系数为1的 次多项式中 ，
对零的偏差最
小，即它是使得 在
在微分方程的研究中，切比雪夫提出切比雪夫微分方程
和
切比雪夫多项式-详细-Chebyshev polynomials
切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。
切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程和相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。
这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定也可以用母函数表示第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出此时母函数为从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。
用显式来表示尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有类似，第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:T0(x) = 1 U − 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) − (1 − x2)Un − 1(x) Un(x) = xUn − 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替xTn(x) − (1 − x2)Un(x)正交性Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.第一类切比雪夫多项式带权即:可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:其正交化后形成的随机变量是Wigner 半圆分布).基本性质对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
切比雪夫多项式转化为偶数次多项式
切比雪夫多项式是数学中常见的一类多项式，具有许多重要的性质和应用。
其中一个非常有趣的性质是，我们可以通过一些简单的变换将切比雪夫多项式转化为偶数次多项式。
在本文中，我们将探讨这一转化过程并给出详细的推导过程。
1. 切比雪夫多项式的定义我们来回顾一下切比雪夫多项式的定义。
对于非负整数n，切比雪夫多项式Tn(x)定义为以下形式的多项式：Tn(x) = cos(n arccos(x))可以看出，切比雪夫多项式是一个关于x的多项式，它具有一些特殊的性质，比如在区间[-1, 1]上具有n个不同的零点。
2. 将切比雪夫多项式转化为偶数次多项式的方法现在，我们将介绍如何将切比雪夫多项式转化为偶数次多项式。
具体来说，我们将展示如何通过一些简单的代数运算将Tn(x)转化为一个偶数次的多项式。
我们可以利用三角函数的性质将cos(n arccos(x))表示成x的多项式。
根据复合角公式，我们有：cos(n arccos(x)) = Re[(cos(arccos(x)) + i sin(arccos(x)))^n]= Re[(x + i sqrt(1 - x^2))^n]= Re[x^n + i C(n, 1) x^(n-1) (1 - x^2)^(1/2) + ...]其中C(n, k)表示组合数。
观察上式可以发现，当n为偶数时，所有奇数次幂的系数均为0，因此cos(n arccos(x))的实部是一个偶数次多项式。
我们可以得出结论：切比雪夫多项式Tn(x)可以表示为一个偶数次的多项式，其系数与cos(n arccos(x))的系数有着一一对应的关系。
3. 推导过程和应用接下来，我们将给出更详细的推导过程。
我们可以利用n次多项式的展开式和三角恒等式来逐步化简cos(n arccos(x))，从而得到对应的偶数次多项式表示。
我们将讨论切比雪夫多项式转化为偶数次多项式的一些应用。
这种转化可以帮助我们简化复杂的计算，提高计算的效率，同时也有助于更深入地理解切比雪夫多项式的性质和结构。
切比雪夫多项式观下的最值问题
切比雪夫多项式观下的最值问题
我们要解决一个关于切比雪夫多项式的最值问题。
切比雪夫多项式是一种在数学和物理中常见的函数，它具有一些特殊的性质，例如它的所有根都在实数范围内。
假设我们要找的是第 n 阶切比雪夫多项式的最大值和最小值。
切比雪夫多项式可以表示为 T_n(x)，它满足以下递推关系：
T_0(x) = 1
T_1(x) = x
T_{n+1}(x) = 2x T_n(x) - T_{n-1}(x)
为了找到多项式的最大值和最小值，我们需要找到它的根。
由于切比雪夫多项式的所有根都在实数范围内，我们可以使用数值方法来找到这些根。
对于第 n 阶切比雪夫多项式，其最大值为：sqrt(2n + 1)
其最小值为：-sqrt(2n + 1)
因此，对于任何给定的 n，切比雪夫多项式的最大值和最小值分别为
sqrt(2n + 1) 和 -sqrt(2n + 1)。
数值分析切比雪夫多项式
(2k 1)
xk cos( 22 )
( k = 0, 1, 2, ···, 10)
11/18
令, P11(x) = (x – x0)(x – x1)···(x – x10) Q11(x) = (x – t0)(x – t1)···(x – t10)
则有
max
1 x1
|
P11( x)
|
max
1 x1
a22= - 1/3 a21=0
所以,
2(x)
x2
1 3
5/18
切比雪夫多项式:
T0(x)=1, T1(x)= cos = x, T2(x)=cos2 ······
1.递推公式:Tn(x)=cos(n),·········
由 cos(n+1)=2 cos cos(n) – cos(n-1) 得
Tn+1(x) = 2 x Tn(x) – Tn-1(x) (n ≥ 1) 所以, T0(x)=1, T1(x)=x, T2(x)=2x2 – 1 , ···········
88 135
17/18
最佳平方逼近:
P( x) 7 88 ( x 5) 9 135 8
f (x) x
P( x) 7 88 ( x 5) 9 135 8
18/18
0 cos m cos nd 0
所以,切比雪夫多项式在[– 1 , 1]上带权
( x) 1 正交
1 x2
9/18
3.切比雪夫多项式零点
T1=cos=x
n阶Chebyshev多项式: Tn=cos(n),
或, Tn( x ) = cos(n arccos x )
取 narccos x (2k 1) (k=0,1,···,n-1 )
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十二、切比雪夫多项式（下）我们用（126）具体算几个切比雪夫多项式：•••••••••••••t t t t •••••t t t t t T t ••t t t t t t t T ••t t t t t T t ••t T ,81)188(81])1()1(6[81)(,43)34(41])1(3[41)(,21)12(21)]1([21)(,)(242422224433233222221+-=+-=-+--=-=-=--=-=-=--== 再往下算就越来越麻烦. 其实我们可以利用它的母函数，推导出)(t T n 之间的递推关系，使计算变得较为简单.由于)127(,)()()(1)(14443221122•••••x t T x t T x t T •••••••••••x t T x tx x n n n n nn ∑∑∞=∞=+++=+=+--)128(,)()()()(44)4(3121211122•••••x t tT x t tT tx •••••••••••x t tT tx xt tT tx x tx x tx n n n n nn n n n ∑∑∑∞=-∞=-∞=+++=+=+=+--)129(,)(414)(414)44(4)4(322122222••••x t T x •••••••••••x t T x x tx x x n n n n n n∑∑∞=-∞=++=+=+--（127）-（128）+（129），得)130(,)](41)()([41144)4(41)4(4321222222••••••••••x t T t tT t T x x tx x x x tx x •••n n n n n ∑∞=--+-+-=+--+---上式左边的分子显然为)44(411411)4(2222x tx x x tx x +-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--因而（130）可写为∑∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=-32122)(41)()(41411n n n n n x t T t tT t T x x ，即∑∞=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-3210)(41)()(n n n n n x t T t tT t T . 因而n x 的系数都必须为0，于是得计算)(t T n 的递推分式：),5,4,3(,)(41)()(21 ••••••n •••t T t tT t T n n n =-=-- （131）从这个公式计算)(t T n 就比较方便了. 例如从)(3t T ，)(4t T 很容易算出,16545434181)(41)()(35324345t ••t t ••••t t t t t t T t tT t T +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-= 从)(4t T ，)(5t T 又很容易算出)(6t T ：.32116923814116545)(41)()(2462435456••t t t •••••t t t t t t •••••t T t tT t T -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=从递推公式（131）还很容易看出一个事实：所有切比雪夫多项式)(t T n 的最高次项的系数都是1. 但要从切比雪夫多项式的表达式（126）来作出这一结论并不太简单.切比雪夫多项式有许多有趣的性质，这里只讨论其中较为重要的一个. 为了说清楚这一重要性质，要引进几个新概念.我们把满足不等式b x a ≤≤的实数x 的全体称为一个闭区间，记为[a ，b ]. 例如⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,21•• 表示满足不等式221≤≤-x 的实数x 的全体，[-1，1]表示满足不等式11≤≤-x 的实数x 的全体.把所有首项系数为1的n 次多项式的全体记为n H ，那么对于任意实数110,,,-n •a ••••a •a ，0111)(a x a x a x x P n n n ++++=--都是n H 中的多项式. 我们用)(x P ∈n H 表示)(x P 是n H 中的多项式. 例如53)(24+-+=x x x x Q ，则4)(H x Q ∈. 由于)(t T n 是首项系数为1的n 次多项式，所以)(t T n ∈n H .设)(t f 是定义在[a ，b ]上的任一函数，当t 由a 变到b 时， |)(|t f 也跟着变化，设|)(|t f 的最大值是M ，我们把它记为|)(|max t f M bt a ≤≤=，上式可改写为|0)(|max -=≤≤t f M bt a .因此也称M 为函数)(t f 与0在区间[a ，b ]上的偏差.现在设)(t P 是n H 中任一多项式，)(t P 与0在[-1，1]上的偏差设为P M ，即|)(|max 11t P M t P ≤≤-=.显然，P M 是随着多项式)(t P 的不同而变化的一个正数，即对于不同的)(t P ，它与0的偏差也是不同的. 我们问，n H 中哪一个多项式与0的偏差最小？下面将要证明，这个与0偏差最小的多项式就是用切比雪夫多项式.定理15 在最高次项系数为1的所有n 次多项式中，在闭区间[-1，1]上与0有最小偏差的多项式是切比雪夫多项式)arccos cos(21)(1t n t T n n -=.证明 我们先研究一下，在[-1，1]上)(t T n 与0的偏差等于什么，令,0,,•,•π•,2,π1,210•••••nk n nn ••n n ••n k =-=-=-==θπθθθπθ那么),,2,1,0(,)1(π)cos(cos •n •••••••k ••••k n n k n k =-=-=-θ取k k t θcos =，则有1110=<<<<=-n k t t t t ，这时k k t arccos =θ，于是)132(),,2,1,0(,2)1(cos 21)arccos cos(21)(111••••••••••••••••n •••••••k ••••••••••n t n t T n k n kn k n k n =-===----θ因而 ),,2,1,0(,21|)(|1•n •••••••k ••••t T n k n ==-另一方面，对于[-1，1]中所有t ，都有,21|)arccos cos(|21|)(|11•t n t T n n n --≤=所以 121|)(|m a x-≤≤=n n bt a t T ，即)(t T n 在[-1，1]上与0的偏差是121-n . 如果存在n H t Q ∈)(，而且它与0的偏差比)(t T n 与0的偏差更小，即11121|)(|max -≤≤-<n t t Q ，我们要由此推出矛盾. 事实上，由于11121|)(|max |)(|-≤≤-<≤n t t Q t Q ，而121|)(|-=n k n t T ，所以)()(tk Q t T k n -与)(k n t T 的符号是一致的. 由（132）知道，)(,,)(,)(10n n n n t •T •••t •T •t T中的任何相邻两项都是异号的，因而)()(,,)()(,)()(1100n n n n n t Q t •T •••t Q t ••T •t Q t T ---的任何相邻两项也是异号的. 如果记)()()(t Q t T t h n -=，那么 )(,,)(,)(10n t •h •••t •h •t h的任何相邻两项是异号的. 由于当t 从0t 变到1t 时，)(t h 是连续变化的，既然)()(10t h t h 和异号，那么或者)(t h 由正的)(0t h 变到负的)(1t h ，或者由负的)(0t h 变到正的)(1t h ，不论何者发生，)(t h 在由负到正或由正到负，中间必须经过零值，即在],[10•t •t 中必有1c ，使0)(1=c h ；同样道理，在],[21•t •t 中必有2c ，使0)(2=c h ，…，在],[1n n •t •t -中有n c ，使0)(=n c h . 换句话说， 我们找到了代数方程式0)(=t h 的n 个不同的根：••c ••••c c n ,,,21 . 再来看一下0)(=t h 是多少次的代数方程式. 由于)()(t Q t T n 和都是首项系数为1的n 次多项式，因而)()()(t Q t T t h n -=便是1-n 次多项式，它不可能有n 个不同的根，这是矛盾. 这个矛盾的得来是因为我们假定了存在与0的偏差比)(t T n 与0的偏差更小的)(t Q ，从而证明了)(t T n 是n H 中与0偏差最小的多项式. 证毕.从这个定理马上得到下在的推论：对于任意最高次项系数为1的n 次多项式)(x P ，必有11121|)(|max -≤≤-≥n x t P .例如，当n =3时，我们便有这样的结论： 对于任意的210,,•a ••a •a ，必有41||max 122311≥++≤≤-x a x a x x . 要直接证明这样的结果并不是很容易的.。