最佳一致逼近多项式

§3最佳一致逼近多项式2-1 最佳一致逼近多项式的存在性切比雪夫从另一观点研究一致逼近问题，他不让多项式次数n 趋于无穷，而是固定n ，记次数小于等于n 的多项式集合为n H ，显然],[b a C H n ⊂。

记{1,,,}n n H span x x =L , n x x ,,,1L 是],[b a 上一组线性无关的函数组，是n H 中的一组基。

n H 中的元素)(x P n 可表示为01()n n n P x a a x a x =+++L ，其中n a a a ,,,10L 为任意实数。

要在n H 中求)(*x P n 逼近],[)(b a C x f ∈，使其误差)()(max min )()(max *x P x f x P x f n bx a H P n b x a n n −=−≤≤∈≤≤ 这就是通常所谓最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题。

为了说明这一概念，先给出以下定义。

定义1 ],[)(,)(b a C x f H x P n n ∈∈，称)()(max ),(x P x f P f P f n bx a nn −=−=∆≤≤∞ 为)(x f 与)(x P n 在],[b a 上的偏差。

显然),(,0),(n n P f P f ∆≥∆的全体组成一个集合，记为)},({n P f ∆，它有下界0。

若记集合的下确界为,)()(max inf )},({inf x P x f P f E n b x a H P n H P n n n n n −=∆=≤≤∈∈ 则称之为)(x f 在],[b a 上最小偏差。

定义2 假定],[)(b a C x f ∈，若存在n n H x P ∈)(*，n n E P f =∆),(*， 则称)(*x P n 是)(x f 在],[b a 上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。

注意，定义并未说明最佳逼近多项式是否存在，但可证明下面的存在定理。

定理2 若],[)(b a C x f ∈，则总存在n n H x P ∈)(*，使n n E x P x f =−∞)()(*.证明略。

2-2 切比雪夫定理这一节我们要研究最佳逼近多项式的特性，为此先引进偏差点定义。

定义3 设n H x P b a C x f ∈∈)(],,[)(，若在0x x =上有µ=−=−≤≤)()(max )()(00x f x P x f x P bx a ， 则称0x 是)(x P 的偏差点。

若µ=−)()(00x f x P ，称0x 为“正”偏差点。

若µ−=−)()(00x f x P ，称0x 为“负”偏差点。

由于函数)()(x f x P −在],[b a 上连续，因此，至少存在一个点],[0b a x ∈，使µ=−)()(00x f x P ，也就是说)(x P 的偏差点总是存在的。

下面讨论最佳逼近多项式的偏差点性质。

定理3 若n H x P ∈)(是],[)(b a C x f ∈的最佳逼近多项式，则)(x P 同时存在正负偏差点。

证明 因)(x P 是)(x f 的最佳逼近多项式，故n E =µ。

由于)(x P 在],[b a 上总有偏差点存在，用反证法，无妨假定只有正偏差点，没有负偏差点，于是对一切],[b a x ∈都有n E x f x P −>−)()(因)()(x f x P −在],[b a 上连续，故有最小值大于n E −，用h E n 2+−表示，其中0>h 。

于是对一切],[b a x ∈都有2()()n n E h P x f x E −+≤−≤，故 h E x f h x P h E n n −≤−−≥+−)(])([，即 h E x f h x P n −≤−−)(])([.它表示多项式h x P −)(与)(x f 的偏差小于n E ，与n E 是最小偏差的定义矛盾。

同样可证明只有负偏差点没有正偏差点也是不成立的。

定理得证。

定理的证明从几何上看是十分明显的。

下面给出反映最佳逼近多项式特征的切比雪夫定理。

定理4 n H x P ∈)(是],[)(b a C x f ∈的最佳逼近多项式的充分必要条件是)(x P 在],[b a 上至少有2+n 个轮流为“正”、“负”的偏差点，即有2+n 个点L <<≤21x x a b x n ≤<+2，使1,)()()1()()(±=−−=−∞σσx f x P x f x P k k k ， （2.4）这样的点组称为切比雪夫交错点组。

证明 只证充分性。

假定在],[b a 上有2+n 个点使（2.4）成立。

要证明)(x P 是)(x f 在],[b a 上的最佳逼近多项式。

用反证法，若存在n H x Q ∈)(，)()(x P x Q ≡/，使∞∞−<−)()()()(x P x f x Q x f .即 (,)(,)f Q f P ∆<∆由于)]()([)]()([)()(x f x Q x f x P x Q x P −−−=−在点221,,,+n x x x L 上的符号与)2,,1)(()(+=−n k x f x P k k L 一致，故)()(x Q x P −也在2+n 个点上轮流取“+”、“—”号。

由连续函数性质，它在],[b a 内有1+n 个零点。

但因0)()(≡/−x Q x P 是不超过n 次的多项式，它的零点不超过n 。

这矛盾说明假设不对，故)(x P 就是所求最佳逼近多项式。

充分性得证。

必要性证明较繁，但证明思想类似定理3，此处从略。

定理4说明用)(x P 逼近)(x f 的误差曲线)()(x f x P y −=是均匀分布的。

由这定理可得以下重要推论。

推论1 若],[)(b a C x f ∈，则在n H 中存在唯一的最佳逼近多项式。

证明 假设n H 中有两个最佳逼近多项式)(x P 与)(x Q ，则对一切],[b a x ∈，都有n n E x f x P E ≤−≤−)()(，n n E x f x Q E ≤−≤−)()(；于是n n E x f x Q x P E ≤−+≤−)(2)()(. 它表明2)()()(x P x Q x R +=也是n H 中的最佳逼近多项式，因而)()(x f x R −的2+n 个点的交错点组}{k x 满足),2,,2,1()1()()(+=−=−n k E x f x R n k k k L σ)()(k k n x f x R E −=2)()(2)()(k k k k x f x Q x f x P −+−=. （2.5） 由于n k k E x f x P ≤−)()(，n k k E x f x Q ≤−)()(，故当且仅当22)()(2)()(n k k k k E x f x Q x f x P ±=−=− 时（2.5）式才能成立，于是)()()()(k k k k x f x Q x f x P −=−.这就得到)2,,2,1)(()(+==n k x Q x P k k L ，这表明)()(x Q x P −有2+n 个根。

这个矛盾说明)()(x P x Q ≡，推论1得证。

推论2 若],[)(b a C x f ∈，则其最佳逼近多项式n n H x P ∈)(*就是)(x f 的一个拉格朗日插值多项式。

证明 由定理4可知，)()(*x f x P n −在],[b a 上要么恒为0，要么有2+n 个轮流取“正”、“负”的偏差点，于是存在1+n 个点),,1,0(1n k x x x k k k L =≤≤+，使)()(*k k n x f x P − 0=。

以k x 为插值节点的拉格朗日插值多项式就是)(*x P n 。

2-3 最佳一次逼近多项式定理4给出了最佳逼近多项式)(x P 的特性，但要求出)(x P 却相当困难。

下面先讨化1=n 的情形。

假定],[)(2b a C x f ∈，且)(x f ′′在),(b a 内不变号，我们要求最佳一次逼近多项式x a a x P 101)(+=。

根据定理4可知至少有3个点b x x x a ≤<<≤321，使)()(max )1()()(11x f x P x f x P bx a k k k −−=−≤≤σ )3,2,1,1(=±=k σ.由于)(x f ′′在],[b a 上不变号，故)(x f ′单调，1)(a x f −′在),(b a 内只有一个零点，记为2x ，于是0)()()(21221=′−=′−′x f a x f x P ，即12)(a x f =′。

另外两个偏差点必在区间端点，即b x a x ==21,，且满足)]()([)()()()(22111x f x P b f b P a f a P −−=−=−.由此得到+−=−+−+=−+].[)()();()(2102101010x a a x f a f a a a b f b a a a f a a a （2.6） 解出),()()(21x f ab a f b f a ′=−−=（2.7） 代入（2.6），得 .2)()(2)()(220x a a b a f b f x f a f a +−−−+=（2.8） 这就得到最佳一次逼近多项式)(1x P ，其几何意义如图3-8所示。

直线)(1x P y =与弦MN 平行，且通过MQ 的中点D ，其方程为.2)]()([21212+−++=x a x a x f a f y 例1 求21)(x x f +=在]1,0[上的最佳一次逼近多项式。

由（2.7）可算出414.0121≈−=a ， 又21)(x xx f +=′，故121222−=+x x ，解得4551.02122≈−=x ,0986.11)(222≈+=x x f . 由（2.8），得 955.022*******≈−++=x a x a ， 于是得21x +的最佳一次逼近多项式为x x P 414.0955.0)(1+=，即10,414.0955.012≤≤+≈+x x x ； （2.9）误差限为 045.0)(1max 1210≤−+≤≤x P x x . 在（2.9）中若令1≤=ab x ，则可得一个求根式的公式 b a b a 414.0955.022+≈+.2-4 里姆斯算法切比雪夫定理给出了求最佳逼近多项式的充要条件，但2≥n 时求最佳逼近多项式是很困难的，这里介绍的里姆斯（Remes ）算法是一种逐次逼近法。

设],[)(b a C x f ∈的最佳逼近多项式为k k n k nx a x P *0*)(∑==， 其1+n 个系数),,1,0(*n k a k L =及最小偏差n E 和2+n 个偏差点<<<≤L *2*1x x ab x n ≤+*2，一共42+n 个未知数，由定理4应满足方程***0****12()()(1),1,()()[()()]0,1,, 2.n k j k j j n k n j n j a x f x E x a x b f x P x j n σσ=+ −=−=± ′′−−−==+ ∑L （2.10） 这是关于42+n 个未知量的42+n 个非线性方程组，当0)()(=′−′x P x f n 只有n 个实根时b x a x n ==+*2*1,，方程（2.10）是很难解的，因此只能用近似解法，里姆斯算法根据方程（2.10）的特点给出计算步骤如下：步1 选近似偏差点)2,,1()0(+=n k x k L ，满足.)0(2)0(2)0(1b x x x a n =<<<=+L 步2 解2+n 个未知数n a a a ,,,10L 及n E 的线性方程组)()1()()0()0()0(10k n k n k n k x f E x a x a a =−−+++L);2,,2,1(+=n k L从而得到初始逼近多项式k k n k n x a x P ∑==0)(及n E 。