数值计算方法 第三章 多项式插值与函数逼近(1)
高中数学中的插值与多项式逼近
高中数学中的插值与多项式逼近在高中数学中，插值和多项式逼近是两个重要的概念和技巧。
它们在数学和工程领域中具有广泛的应用，可以用来解决实际问题，提高计算精度和效率。
本文将对插值和多项式逼近进行介绍和探讨。
一、插值的概念和应用1. 插值的概念插值是指通过已知数据点构造一个函数，使得这个函数在已知数据点上与已知函数或数据完全一致。
插值的目的是为了通过已知的离散数据点来估计未知的数据点，从而实现对数据的预测和补充。
2. 插值的应用插值在实际应用中非常广泛，例如地理信息系统中的地图绘制、图像处理中的图像重建、金融领域中的股票价格预测等。
通过插值方法，可以根据已知数据点的特征和规律，推断出未知数据点的值，从而提供更准确的预测和分析。
二、插值方法1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的插值方法，它通过构造一个多项式函数来逼近已知数据点。
这个多项式函数通过已知数据点的横纵坐标来确定，从而实现对未知数据点的估计。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它利用差商的概念来构造一个多项式函数。
差商是指已知数据点之间的差值与对应函数值之间的比值，通过差商的递归计算，可以得到一个多项式函数，从而实现对未知数据点的估计。
三、多项式逼近的概念和方法1. 多项式逼近的概念多项式逼近是指通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，使得这个多项式函数在已知数据点上与已知函数或数据最接近。
多项式逼近的目的是为了简化计算和分析，提高计算效率和精度。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的多项式逼近方法，它通过最小化已知数据点与多项式函数之间的误差平方和，来确定最优的多项式函数。
最小二乘法可以用来解决数据拟合、曲线拟合等问题，广泛应用于统计学、信号处理等领域。
四、插值与多项式逼近的比较1. 精度比较插值方法可以通过已知数据点完全重构已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度非常高。
而多项式逼近方法则是通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度可能会有一定的误差。
数学中的函数逼近与插值方法
数学中的函数逼近与插值方法函数逼近和插值方法是数学中重要的概念与技术。
在数学与应用领域，我们经常会遇到需要近似计算或者重建一个函数的情况。
函数逼近和插值方法提供了一种有效的手段，能够用一个简单的函数或者曲线来近似代替原函数，并在一定程度上保留原函数的性质与结构。
1. 函数逼近在函数逼近中，我们需要给出一个近似函数，使其能够在原函数的一定范围内进行准确的近似。
这一方法常用于数据分析和拟合，以及在一些数学问题中的近似求解。
常见的函数逼近方法包括最小二乘逼近、Chebyshev逼近和插值型逼近等。
最小二乘逼近是一种通过使残差平方和最小化来确定近似函数的方法。
它的基本思想是将原函数表示为一个线性组合，通过求解线性方程组的最优解来确定系数。
Chebyshev逼近使用Chebyshev多项式来逼近函数。
这种方法的优点是能够在给定的逼近度下，取得最均匀的最小误差。
插值型逼近则是通过在一些数据点上确定一个插值多项式，然后用该多项式来逼近原函数。
这种方法的优点是能够在给定的数据点上实现完全的逼近。
2. 插值方法插值方法是一种通过给定的数据点来确定一个连续函数的方法。
在插值中，我们希望找到一个函数，使其通过给定的数据点，并且能够在这些点之间进行连续的插值。
常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值和样条插值等。
线性插值是一种简单的插值方法，它假设插值函数在两个给定数据点之间是线性的。
通过连接两个邻近点，我们可以得到一个线性函数来近似整个区间上的函数。
拉格朗日插值是一种通过拉格朗日多项式来插值的方法。
它的基本思想是通过在每个数据点上构造一个插值多项式，然后将这些多项式进行线性组合来得到插值函数。
样条插值是一种在给定数据点上通过拟合一系列分段低次多项式来插值的方法。
这样可以在各个小区间上获得更好的逼近效果。
总结起来，函数逼近与插值方法是数学中重要且常用的技术。
它们在数学建模、数据分析以及计算数值方法中都起到了关键的作用。
数学中的函数逼近与插值
数学中的函数逼近与插值数学中的函数逼近与插值是一门重要的数学分支，通过近似求解函数与数据之间的关系，可以快速计算和预测未知的数值。
本文将介绍函数逼近与插值的基本概念和方法，并探讨其在实际应用中的价值和意义。
一、函数逼近函数逼近是指通过一系列已知的数据点来建立一个近似的函数模型，以便于计算和预测未知的数值。
在实际应用中，我们经常需要使用函数逼近来处理大量的数据，从而节省计算和存储资源。
1.1 最小二乘法最小二乘法是函数逼近的常用方法，它通过最小化实际观测数据与模型预测值之间的误差平方和，来确定函数逼近的参数。
最小二乘法可以应用于线性和非线性函数逼近，是一种广泛使用的数学工具。
1.2 插值法插值法是函数逼近的一种常见技术，它通过已知的数据点构建一个多项式函数，以逼近未知的函数模型。
插值法可以根据数据点的特点选择不同的插值多项式，如拉格朗日插值、牛顿插值等。
插值法在图像处理、信号处理等领域有广泛应用。
二、函数插值函数插值是指通过已知的数据点来构建一个连续的函数模型，以便于在任意位置计算函数值。
函数插值在数学、计算机科学和工程领域具有重要的应用价值。
2.1 插值多项式插值多项式是函数插值的一种常用方法，它通过已知的数据点构建一个多项式函数，以逼近未知的函数模型。
插值多项式可以使用拉格朗日插值、牛顿插值等方法进行构造，这些方法在实际应用中具有较好的效果。
2.2 样条插值样条插值是一种更加精确和平滑的插值方法，它通过已知的数据点构建一系列分段连续的多项式函数，以逼近未知的函数模型。
样条插值可以解决插值多项式在几点处不光滑的问题，常用的样条插值方法有线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值等。
三、函数逼近与插值在实际应用中的意义函数逼近与插值在科学研究和工程实践中具有广泛的应用，对于大数据处理、数值计算和机器学习等领域具有重要的作用和意义。
3.1 数据拟合与预测函数逼近与插值可以通过已知的数据点建立一个模型，从而对未知的数据进行拟合和预测。
计算方法第三章(插值法)解答
Aitken（埃特肯）算法 N 0,1,,k , p ( x) L( x) N 0,1,,k ( x)
N 0,1,,k 1, p ( x) N 0,1,,k ( x) x p xk
Neville（列维尔）算法
( x xk )
Ni ,i 1,,k ( x) L( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) Ni 1,i 2,k ( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) xk xi ( x xi )
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 )
容易求出，该函数为：
x x0 x x1 y y0 y1 x0 x1 x1 x0
一般插值问题：求过n+1个点
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ),,( xn , yn )
的不超过n次多项式 Ln ( x )。
Ln ( x) yi li ( x )
例子：求方程 x3-2x-5=0 在(2 , 3)内的根 思路: 设 y = f(x) =x3-2x-5 ，其反函数为 x=f -1(y)，则 根为x* =f -1(0) 。先用3= f -1(16)， 2= f -1(-1)插值，得 N0,1 (y) ≈f -1(y), 计算N0,1 (0)= 2.058823, f(2.058823) = -0.39 ，以-0.39为新的节点，继续……
第三章 插值法
第一节 插值多项式的基本概念
假设已经获得n+1点上的函数值
f xi yi , i 0,1,, n,
即提供了一张数据表
x
y f x
x0
y0
x1
y1
x2
xn
y2
函数逼近与插值
函数逼近与插值函数逼近和插值是数学的两个重要分支，在工程、科学和金融等领域都有广泛的应用。
本文将从数学角度介绍这两个概念，并讨论它们的优缺点和应用领域。
函数逼近函数逼近是指用一个已知的函数来近似另一个函数的过程。
通常情况下，我们会选择一组基函数，将待逼近函数表示为基函数的线性组合形式，然后通过确定基函数的系数，使得逼近函数与原函数的误差最小。
常用的基函数包括多项式、三角函数、指数函数等，其中最为广泛应用的是多项式基函数。
多项式函数的优点在于易于计算和控制，同时由于其具有良好的局部逼近性，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
以多项式逼近为例，设待逼近函数为$f(x)$，逼近函数为$p(x)$，则有：$$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$$其中，$a_0,a_1,a_2,...,a_n$为待求系数。
我们可以通过最小二乘法来确定这些系数，即$$\min\limits_{a_0,a_1,...,a_n}\sum\limits_{i=1}^n(f(x_i)-p(x_i))^2$$这个问题可以通过求解线性方程组的方式得到解析解，也可以通过牛顿迭代等数值优化算法得到近似解。
在实际应用中，我们通常会选择适当的基函数来进行逼近，例如在图像处理中，一般采用的是小波基函数，而在金融工程中，常用的则是Gaussian基函数。
不同的基函数对逼近结果的精确度和复杂度有着不同的影响，因此需要根据具体的需求来选择适当的基函数。
函数插值函数插值是指通过已知的样本点来求出一条经过这些点的曲线的过程。
具体来说，就是找到一个函数$p(x)$，使得$p(x_i)=f(x_i)$，其中$x_i$为已知的样本点。
该函数$p(x)$称为插值函数。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、样条插值等。
其中，拉格朗日插值最为简单直观，其基本思想是假设插值函数为一个多项式，并通过已知的样本点来确定该多项式的系数。
例如，在二次插值中，设插值函数为$p(x)=ax^2+bx+c$，则有$p(x_1)=f(x_1),p(x_2)=f(x_2),p(x_3)=f(x_3)$。
插值与逼近
插值与逼近一插值多项式有时候我们只知道函数f(x)在区间［a,b ］上的一系列点的函数值，即知道i i y x f =)(，而不知道它在区间［a,b ］上的具体的函数表达式。
所以，无法研究该函数在其它点上的函数值的变化；也有些时候在［a,b ］区间上的函数)(x f 的表达式十分复杂，不便于利用函数的表达式研究问题。
插值法就是构造插值函数)(x p y =去近似被插值函数)(x f y =，使之满足插值条件)(i i x p y =。
通常我们构造插值多项式。
插值多项式就是利用一些已知的函数值所做的既能反映原来函数的主要性质，又有简单形式的一种较好的替代函数。
求插值多项式的基本思想：设函数)(x f 在区间［a,b ］上连续。
已知它在],[b a 上1+n 个互不相同的点nx x x ,,,10Λ处的值n y y y ,,,10Λ。
如果多项式)(x p 在点i x 上满足),,1,0()(n i y x p ii Λ==则称)(x p 是函数)(x f 的插值多项式。
在本章中讨论拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式、埃尔米特插值多项式和分段插值多项式。
1. 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值法是最基本、最常用的插值方法，也是其他插值方法的基础。
我们讲授的拉格朗日插值多项式包括线性插值多项式、抛物线插值多项式和n 次插值多项式拉格朗日插值多项式的公式为：)())(()()()())(()()()()()()()()()(1101000110n i i i i i i i n ini i i ni i i n n o n x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x y x l y x l y x l y x l x L -⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-='-⋅⋅⋅--='-==+⋅⋅⋅++=+-==∑∑ωωωω其中基函数的公式为：),...,2,1()()()())...()()...()(())...()()...()(()(11101110n i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l i i n i i i i i i i n i i i ='-=----------=+-+-ωω余项公式为),()()!1()()()()(1)1(b a x n f x P x f x R n n n n ∈+=-=++ξωξ其中拉格朗日插值多项式计算步骤:⑴ 准确计算插值基函数。
多项式插值和最佳逼近简析及比较
多项式插值和最佳逼近简析及比较多项式插值法是将若干离散的数据点用某个规律的多项式的综合函数来拟合表示，适用于已知曲线但未知函数时，利用经过几个点的函数值形成的初等多项式确定曲线上所有点的值。
最佳逼近是以尽量减少离散点与所拟合曲线的均方误差，或者存在一般约束条件下最小化拟合误差的极小曲线为目的。
条件约束的最小曲线常数的综合函数叫做最佳逼近曲线，其特色是在一定条件下准确地逼近离散点，甚至可以精确地逼近实质上的曲线。
比较：
1. 多项式插值更加简单，计算量小，但过拟合的可能性比较大，特别是当数据点分布不够均匀时；
2. 最佳逼近算法比较复杂，耗时较长，但是更拟合数据，并且能够尽量减少离散点与所拟合曲线的均方误差，更能够认型数据分布规律。
多项式插值与数值逼近理论
多项式插值与数值逼近理论多项式插值和数值逼近是数学分析领域中重要的数值计算方法，在科学计算、数据处理和图像处理等领域具有广泛应用。
本文将介绍多项式插值和数值逼近的基本概念、方法和应用。
一、多项式插值多项式插值是一种通过已知数据点来构造一个多项式函数，使该函数在给定点处的函数值与真实值尽可能接近的方法。
插值多项式通过在已知数据点之间“填充”适当的多项式函数，从而实现对未知函数的近似估计。
1.1 基本定义给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，其中x0<x1<...<xn，多项式插值的目标是找到一个n次多项式 P(x)，使得P(xi) = yi 对于所有的 i=0,1,...,n 成立。
1.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式是一种常用的多项式插值方法。
给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，拉格朗日插值多项式可以通过如下公式得到：P(x) = ∑[i=0,n]( yi * li(x) )其中li(x) = ∏[j=0,n,j≠i]( (x-xj)/(xi-xj) )，称为拉格朗日基函数。
1.3 牛顿插值多项式牛顿插值多项式是另一种常用的多项式插值方法。
给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，牛顿插值多项式可以通过如下公式得到：P(x) = ∑[i=0,n]( ci * Ni(x) )其中Ni(x) = ∏[j=0,i-1]( x-xj )，ci 是插值节点上的差商。
二、数值逼近数值逼近是一种利用已知数据点来估计未知函数的方法，数值逼近的目标是找到一个函数近似值，使其与真实值之间的差别尽可能小。
数值逼近可以通过多项式逼近、三角函数逼近等方法实现。
2.1 最小二乘逼近最小二乘逼近是一种常用的数值逼近方法。
给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，最小二乘逼近的目标是找到一个 m 次多项式 P(x)，使得P(x) = ∑[i=0,m]( ai * φi(x) )，其中 ai 是待确定的系数，φi(x) 是 m 个已经确定的基函数。
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b
W ( x )dx
2 ( x ) ( x ) ( x ) f ( x )W ( x )dx
( x) ( x) ( x) f ( x)W ( x)dx (b a ) ( x ) f ( x ) ( x )W ( x )dx 0
上述方程组存在唯一解
设由上述方程组的解确定的广义多项式为：
( x) a00 ( x) a11( x)
对于任意广义多项式
ann ( x) bnn ( x)
2
( x) b00 ( x) b11( x)
下面证明
b 2 b
f ( x) ( x) W ( x)dx f ( x) ( x) W ( x)dx
2
,
1 xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
,x
n
1,cos x,sin x, ,cos nx,sin nx
指数函数系：
e
0 x
,e ,
,e
n x
函数逼近构造思想： 要求构造函数在整个区间上 与已知函数的误差尽可能小
误差度量标准：
（1）
a xb
b
max f ( x ) ( x )
a
（2）
f ( x ) ( x ) W ( x )dx
( x ) 在[a,b]上的最佳平方逼近.
由定义可以看出，最佳平方逼近问题实际上是个多元极值问题
记
F (a0 , a1 ,
b
, an )
f ( x ) ( x ) W ( x )dx a
b 2
由极值的必要条件
F ak ak
b a
f ( x) ( x) W ( x)dx 0 k 0,1,
p
对于给定的函数系
使得函数 ( x ) （1） （2）
n a x b
b
( x )
j
其中W ( x ) 0为权函数
n
c ( x) 满足
j 0 j j
n
j 0
，寻求一组系数c0 , c1 ,
, cn
lim max f ( x ) ( x ) 0
lim f ( x ) ( x ) W ( x )dx 0
易证Gram矩阵为实对称正定矩阵：
x ( x0 , x1 ,
T T
, xn ) 0
T
x Gn x 0
T
x Gn x x ( , ) x i j ( n1)( n1)
( xk k ( x ), xk k ( x ))
k 0 k 0
n
n
0
将 ( x ) 代入前式：
( i , f ) i ( x ) f ( x )W ( x )dx i 0,1, 2,
令
Gn ( , ) i j ( n1)( n1)
n
i , j 0,1,
,n
称矩阵
Gn 是关于函数系 j ( x ) j 0的Gram(格拉姆)矩阵
a a
即
f ( x) ( x) W ( x)dx min
b 2 a
记
D
f ( x ) ( x ) a
b b
2
W ( x )dx
2
f ( x ) ( x ) a b 2 D ( x ) ( x ) W ( x )dx a
a
b
k 0,1, 2,
b a b
,n
,n ,n
( i , j ) i ( x ) j ( x )W ( x )dx i , j 0,1, 2,
a
( x) a00 ( x) ann ( x ) ( 0 , 0 )a0 ( 0 , 1 )a1 ( 0 , n )an ( 0 , f ) (1 , 0 )a0 (1 , 1 )a1 (1 , n )an (1 , f ) ( n , 0 )a0 ( n , 1 )a1 ( n , n )an ( n , f )
p n a
一致逼近
Lp逼近
二、最佳平方逼近/*Best Approximation in Quadratic Norm*/
假设 f ( x ) C[a, b] ， j ( x )
n j 0
是[a,b]上的一个线性无
关函数系,且 j ( x) C[a, b] , W ( x ) 为[a,b]上的一个权函数 如果存在一组系数 使得广义多项式 满足
§6 函数逼近/* Approximation of Function */
一、函数逼近问题的提法
假设 f ( x ) 是定义在某区间 [a , b]上的函数，现寻求另一个构 造简单、计算量小的函数 ( x )来近似地代替：
n
( x ) c00 ( x )
cn n ( x ) c j j ( x )
b
a0 , a1 , , an ( x) a00 ( x )
2
ann ( x )
f ( x) ( x) W ( x)dx min
a
称函数 ( x )为 f
( x ) 在[a,b]上关于权函数 W ( x ) 的最佳
平方逼近或最小二乘逼近；特别，若W ( x ) 1 ，则称 ( x ) 是f
2 a
,n
f ( x) ( x) ( x)W ( x)dx 0
k
k 0,1,
,n
即：
b
a
( x ) k ( x )W ( x )dx f ( x ) k ( x )W ( x )dx
a
b
k 0,1, 2,
,n
记
b
a
( x ) k ( x )W ( x )dx f ( x ) k ( x )W ( x )dx
j 0
0 ( x),1 ( x), ,n ( x) 为区间[a , b] 上的一个线性无关函数系
c0 , c1 ,
, cn 为一组实常数。
,x
广义多项式
n1
若线性无关函数系取 1, x, x 2 ,
,x
n
就是我们前面讨论的多项式逼近
常用的函数系： 幂 函数系： 1, x, x 三角函数系：