计算方法-插值方法实验
计算方法 1插值方法
1. 插值问题 函数y=f(x)给出一组函数值 yi f ( xi ) ,
x: y: x0 x1 x2 …… xn y0 y1 y2 …… yn
i 0,1,, n
其中x0 ,x1,x2 ,…,xn是区间[a,b]上的互异点，要构造一个简 单的函数 p(x) 作为f (x)的近似表达式，使满足 p(xi ) yi , i 0,1, ,n (插值原则、插值条件 ) 这类问题称为插值问题。 p(x)-----f (x)的插值函数, f (x) -----被插值函数 x0 ,x1,x2 ,…,xn -----插值节点 求插值函数的方法称为插值法。 若x∈[a,b]，需要计算f (x) 的近似值p(x),则称 x为插值点。
同理可得
( x x0 )( x x2 ) l1 ( x ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
( x x0 )( x x1 ) l2 ( x) ( x2 x0 )( x2 x1 )
于是求得
p2 ( x) y0 l0 ( x) y1l1 ( x) y2 l2 ( x)
1 线性插值----n=1时的代数多项式插值
已知f(x0 )=y0 ，f(x1)=y1 , x0≠x1 要构造线性函数 p1(x) ,使它满足插值条件 p1(x0)=y0 , p1(x1)=y1 .
x y x0 y0 x1 y1
y1 y0 p1 ( x ) y0 ( x x0 ) （线性插值多项式） x1 x0 x x0 x x1 p1 ( x ) y0 y0 y0 l0 ( x ) y1 l1 ( x ) x0 x1 x1 x （拉格朗日线性插值多项式）
且lj (x) (j=0,1,2)，是一个二次函数.
插值法实验报告
插值法实验报告插值法实验报告一、引言插值法是一种常用的数值分析方法，用于通过已知数据点的函数值来估计在其他位置的函数值。
它在科学计算、图像处理、工程设计等领域有广泛的应用。
本实验旨在通过实际操作，深入理解插值法的原理和应用。
二、实验目的1. 掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理和计算方法；2. 通过实验比较不同插值方法的精度和效率；3. 分析插值法在实际问题中的应用。
三、实验步骤1. 收集实验数据：在实验室内设置几个测量点，记录它们的坐标和对应的函数值；2. 使用拉格朗日插值法计算其他位置的函数值：根据已知数据点，利用拉格朗日插值公式计算其他位置的函数值；3. 使用牛顿插值法计算其他位置的函数值：根据已知数据点，利用牛顿插值公式计算其他位置的函数值；4. 比较不同插值方法的精度和效率：通过计算误差和运行时间，比较拉格朗日插值法和牛顿插值法的性能差异；5. 分析插值法在实际问题中的应用：结合实验结果，探讨插值法在实际问题中的优势和局限性。
四、实验结果与分析1. 拉格朗日插值法的计算结果：根据已知数据点，利用拉格朗日插值公式计算其他位置的函数值；2. 牛顿插值法的计算结果：根据已知数据点，利用牛顿插值公式计算其他位置的函数值；3. 误差分析：比较插值结果与真实函数值之间的误差，分析误差的来源和影响因素；4. 运行时间分析：比较不同插值方法的运行时间，分析其效率和适用场景。
五、实验结论1. 拉格朗日插值法和牛顿插值法都是常用的插值方法，它们在不同场景下有各自的优势；2. 插值法在实际问题中的应用需要考虑数据的分布、函数的性质和计算效率等因素；3. 本实验结果表明，拉格朗日插值法和牛顿插值法在精度和效率上存在差异，具体选择哪种方法应根据实际需求进行权衡。
六、实验总结通过本次实验，我们深入了解了插值法的原理和应用。
实验结果表明，插值法在科学计算和工程设计中具有重要的作用。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的要求和数据的特点选择合适的插值方法，以达到更好的效果。
插值法与数值积分````计算方法实验3
实验3 插值法与数值积分一、实验目的（1）掌握拉格朗日插值法、牛顿插值法。
（2）掌握数值积分常用算法：逐次分半梯形公式求积。
（3）记录运行结果，回答问题，完成实验报告。
二、实验内容思考问题：插值多项式是否阶次越高越好？数值积分与插值的关系是什么？逐次分半梯形公式求积如何判断误差是否满足要求？1．用拉格朗日插值法求2的平方根。
提示：可以用抛物线插值，f(1.69)=1.3，f(1.96)=1.4，f(2.25)=1.5。
2．用牛顿插值法求2的平方根。
提示：可以用抛物线插值，f(1.69)=1.3，f(1.96)=1.4，f(2.25)=1.5。
3．用逐次分半梯形公式求积计算∫x2dx。
提示：可以用相邻两次求得的结果的差的绝对值来间接判断误差是否满足要求。
三、实验步骤1．代码如下：#include<stdio.h>#include<math.h>#define MAXSIZE 50void input(double x[MAXSIZE],double y[MAXSIZE],long n){long i;for(i=0;i<=n-1;i++){printf("请输入插值节点x[%ld],y[%ld]：",i,i);scanf("%lf,%lf",&x[i],&y[i]);}}void main(void){double x[MAXSIZE],y[MAXSIZE],_x,_y,t;long n,i,j;printf("请输入插值节点的个数：");scanf("%ld",&n);input(x,y,n);printf("请输入插值点：");scanf("%lf",&_x);_y = 0;for(i=0;i<=n-1;i++){t = 1;for(j=0;j<=n-1;j++)if(j != i)t *= (_x-x[j]) / (x[i]-x[j]);_y += t * y[i];}printf("插值点(x,y)=(%lf,%lf)。
计算方法实验报告册
实验一——插值方法实验学时：4实验类型：设计 实验要求：必修一 实验目的通过本次上机实习，能够进一步加深对各种插值算法的理解；学会使用用三种类型的插值函数的数学模型、基本算法，结合相应软件（如VC/VB/Delphi/Matlab/JAVA/Turbo C ）编程实现数值方法的求解。
并用该软件的绘图功能来显示插值函数，使其计算结果更加直观和形象化。
二 实验内容通过程序求出插值函数的表达式是比较麻烦的，常用的方法是描出插值曲线上尽量密集的有限个采样点，并用这有限个采样点的连线，即折线，近似插值曲线。
取点越密集，所得折线就越逼近理论上的插值曲线。
本实验中将所取的点的横坐标存放于动态数组[]X n 中，通过插值方法计算得到的对应纵坐标存放于动态数组[]Y n 中。
以Visual C++.Net 2005为例。
本实验将Lagrange 插值、Newton 插值和三次样条插值实现为一个C++类CInterpolation ，并在Button 单击事件中调用该类相应函数，得出插值结果并画出图像。
CInterpolation 类为 class CInterpolation { public :CInterpolation();//构造函数CInterpolation(float *x1, float *y1, int n1);//结点横坐标、纵坐标、下标上限 ~ CInterpolation();//析构函数 ………… …………int n, N;//结点下标上限，采样点下标上限float *x, *y, *X;//分别存放结点横坐标、结点纵坐标、采样点横坐标float *p_H,*p_Alpha,*p_Beta,*p_a,*p_b,*p_c,*p_d,*p_m;//样条插值用到的公有指针，分别存放i h ，i α，i β，i a ，i b ，i c ，i d 和i m};其中，有参数的构造函数为CInterpolation(float *x1, float *y1, int n1) {//动态数组x1，y1中存放结点的横、纵坐标，n1是结点下标上限（即n1+1个结点） n=n1;N=x1[n]-x1[0]; X=new float [N+1]; x=new float [n+1]; y=new float [n+1];for (int i=0;i<=n;i++) {x[i]=x1[i]; y[i]=y1[i]; }for (int i=0;i<=N;i++) X[i]=x[0]+i; }2.1 Lagrange 插值()()nn i i i P x y l x ==∑，其中0,()nj i j j ni jx x l x x x =≠-=-∏对于一个自变量x ，要求插值函数值()n P x ，首先需要计算对应的Lagrange 插值基函数值()i l x float l(float xv,int i) //求插值基函数()i l x 的值 {float t=1;for (int j=0;j<=n;j++) if (j!=i)t=t*(xv-x[j])/(x[i]-x[j]); return t; }调用函数l(float x,int i)，可求出()n P xfloat p_l(float x) //求()n P x 在一个点的插值结果 {float t=0;for (int i=0;i<=n;i++) t+=y[i]*l(x,i); return t; }调用p_l(float x)可实现整个区间的插值float *Lagrange() //求整个插值区间上所有采样点的插值结果 {float *Y=new float [N+1]; for (int k=0;k<=N;k++) Y[k]=p_l(x[0]+k*h); return Y; } 2.2Newton 插值010()(,,)()nn i i i P x f x x x x ω==∑，其中101,0()(),0i i j j i x x x i ω-==⎧⎪=⎨-≠⎪⎩∏，0100,()(,,)()ik i nk k j j j kf x f x x x x x ==≠=-∑∏对于一个自变量x ，要求插值函数值()n P x ，首先需要计算出01(,,)i f x x x 和()i x ωfloat *f() {//该函数的返回值是一个长度为n ＋1的动态数组，存放各阶差商 }float w(float x, int i) {//该函数计算()i x ω }在求()n P x 的函数中调用*f()得到各阶差商，然后在循环中调用w(float x)可得出插值结果 float p_n(float x) {//该函数计算()n P x 在一点的值 }调用p_n(float x)可实现整个区间的插值 float *Newton() {//该函数计算出插值区间内所有点的值 }2.3 三次样条插值三次样条插值程序可分为以下四步编写： （1） 计算结点间的步长i hi 、i α、i β；（2） 利用i hi 、i α、i β产生三对角方程组的系数矩阵和常数向量； （3） 通过求解三对角方程组，得出中间结点的导数i m ； （4） 对自变量x ，在对应区间1[,]i i x x +上，使用Hermite 插值； （5）调用上述函数，实现样条插值。
计算方法Chapter01 - 插值方法
若函数族
中的函数 ( x) 满足条件
( xi ) = f ( xi ),
i = 0,1,, n
（ 1）
n ( x ) x f ( x ) 则称 为 在 中关于节点 i i =0 的一个插值函数。
f ( x) ——被插值函数； [a, b] ——插值区间；
xi in=0 ——插值节点； 式（1）——插值条件.
x12 x1n
2 n x2 x2
范德蒙行列式
x
2 n
n n
V=
x
0 i j n
( x j xi )
10
插值多项式的存在唯一性（续）
V= ( x j xi ) 0 i j n
由于 x0 , x1 , x2 , ..., xn 是 n 1 个互异的节点，即：
求插值函数(x)的问题称为插值问题。
5
插值问题
于是人们希望建立一个简单的而便于计算的函数 (x) 使其近似的代替 f (x)。
y 被插值函数 f (x) 插值函数 (x)
插值节点 0 x0 x1 x2 x3
… …… xn x
6
插值区间
多项式插值问题
对于不同的函数族Φ 的选择，得到不同的插值问题
( x0 , y0 ) 0
p2(x)
x0
x1
x2
x
19
抛物线插值（续）
p2 ( x ) = y0l0 ( x ) y1l1 ( x ) y2l2 ( x )
( x x1 )( x x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 )
( x x0 )( x x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
牛顿插值的计算实习报告
一、实习目的通过本次实习，我深入了解了牛顿插值法的基本原理，掌握了其计算方法，并能够熟练运用牛顿插值法解决实际问题。
实习过程中，我结合实际数据，运用牛顿插值法进行计算，分析了插值结果，并对插值方法进行了总结和评价。
二、实习内容1. 牛顿插值法的基本原理牛顿插值法是一种构建插值多项式的方法，通过计算差商（divided differences）来逐步构建插值多项式。
该方法具有较好的计算效率和承袭性，即在添加或删除数据点时，可以基于已有计算结果进行调整，无需完全重新计算。
2. 牛顿插值法的计算步骤（1）初始化差商表，第0列初始化为ypoints。
（2）计算i阶差商，根据差商计算插值多项式。
（3）根据计算出的差商构造最终的插值多项式。
（4）计算x的估计函数值。
3. 实际应用以一组实际数据为例，运用牛顿插值法进行计算。
（1）选取一组已知数据点，计算差商。
（2）根据差商构造牛顿插值多项式。
（3）利用牛顿插值多项式估算未知点的函数值。
三、实习结果与分析1. 插值结果通过对实际数据的计算，牛顿插值法得到了较为准确的插值结果。
与实际值相比，插值值具有较高的精度。
2. 插值误差分析（1）在数据点较少的情况下，牛顿插值法具有较高的精度。
（2）在数据点较多的情况下，牛顿插值法可能会出现误差，但总体上仍具有较高的精度。
（3）插值误差与数据点的分布、差商的计算精度等因素有关。
四、实习总结与评价1. 牛顿插值法是一种有效的插值方法，具有较好的计算效率和承袭性。
2. 在实际应用中，根据数据点的分布和精度要求，选择合适的插值方法。
3. 牛顿插值法在实际应用中具有较高的精度，但在某些情况下可能会出现误差。
4. 在后续的实习中，我将进一步学习其他插值方法，如拉格朗日插值法、样条插值法等，以便在实际问题中灵活运用。
五、实习体会通过本次实习，我对牛顿插值法有了更深入的了解，掌握了其计算方法，并能够将其应用于实际问题。
在实习过程中，我认识到理论知识与实际应用相结合的重要性，以及选择合适的插值方法对于提高计算精度的重要性。
插值运算实验报告
插值运算实验报告通过实验掌握插值运算的原理和方法，并利用插值运算技术对离散数据进行插值和逼近。
实验设备：计算机、Matlab软件实验原理：插值是利用已知数据点之间的关系，使用某种函数表达式来逼近未知点的值。
插值方法可以分为多种，如拉格朗日插值、牛顿插值等。
本次实验主要涉及的是拉格朗日插值和牛顿插值。
实验步骤：1. 采集实验数据，得到需要进行插值运算的离散数据。
2. 根据所给的离散数据，选择合适的插值方法，如拉格朗日插值或牛顿插值。
3. 利用Matlab软件进行编程，实现所选择的插值方法。
4. 运行程序，得到插值结果。
5. 根据插值结果，可以确定对未知数据点的函数值，也可以进行曲线拟合和逼近。
实验结果：经过对实验数据的处理和插值运算，得到了以下结果：1. 插值函数的形式，可以通过该函数计算未知数据点的函数值。
2. 插值曲线的图像，可以通过该曲线来拟合和逼近实验数据。
实验分析：通过实验结果的分析，可以得出以下结论：1. 插值方法的选择对结果有重要影响，不同的插值方法适用于不同的数据类型。
2. 插值运算可以有效地处理离散数据，得到连续函数的逼近值。
3. 插值运算的精度也会受到数据点分布和插值方法的影响。
实验总结：通过本次实验，我对插值运算的原理和方法有了更深入的了解。
插值运算是一种常用的数值计算方法，可以在一定程度上解决离散数据的处理问题。
插值运算不仅可以用于求解未知数据点的函数值，还可以用于曲线拟合和逼近。
不同的插值方法适用于不同类型的数据，需要根据实际情况进行选择。
插值运算的精度也会受到数据点分布和插值方法的影响，需要注意选择合适的插值方法以及优化离散数据的分布。
插值数值实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。
2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。
3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。
4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。
二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。
它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。
常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。
三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。
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实验一插值方法
一. 实验目的
（1）熟悉数值插值方法的基本思想，解决某些实际插值问题，加深对数值插值方法
的理解。
（2）熟悉Matlab 编程环境，利用Matlab 实现具体的插值算法，并进行可视化显示。
二. 实验要求
用Matlab 软件实现Lagrange 插值、分段线性插值、三次Hermite 插值、Aitken 逐步插值算法，并用实例在计算机上计算和作图。
三. 实验内容
1. 实验题目 （1
）
已
知概
率积
分dx
e y x
x ⎰-=
2
2
π
的数据表
构造适合该数据表的一次、二次和三次Lagrange 插值公式，输出公式及其图形，并计算x =0.472时的积分值。
答：
①一次插值公式：
输入下面内容就可以得到一次插值结果 >> X=[0.47,0.48];Y=[0.4937452,0.5027498]; >> x=0.472;
>> (x-X(2))/(X(1)-X(2))*Y(1)+(x-X(1))/(X(2)-X(1))*Y(2)
ans =0.495546120000000
>>
②两次插值公式为：
输入下面内容就可以得到两次插值结果
>> X=[0.46,0.47,0.48];Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498]; >> x=0.472;
>>(x-X(2))*(x-X(3))/((X(1)-X(2))*(X(1)-X(3)))*Y(1)+(x-X(1))*(x-X(3))/((X(2)-X(1))*(X(2)-X(3)))*Y(2)+(x-X(2))*(x-X(1))/((X(3)-X(2))*(X(3)-X(1)))*Y(3)
i 0
1
2
3
x 0.46 047 0.48 0.49 y
0.4846555 0.4937452 0.5027498 0.5116683
ans =0.495552928000000
>>
③三次插值公式为：
输入下面内容就可以得到三次插值结果
>> X=[0.46,0.47,0.48,0.49];Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498,0.5116683];
>> x=0.472;
>>
(x-X(2))*(x-X(3))*(x-X(4))/((X(1)-X(4))*(X(1)-X(2))*(X(1)-X(3)))*Y(1)+(x-X(4))*( x-X(1))*(x-X(3))/((X(2)-X(4))*(X(2)-X(1))*(X(2)-X(3)))*Y(2)+(x-X(4))*(x-X(2))*( x-X(1))/((X(3)-X(4))*(X(3)-X(2))*(X(3)-X(1)))*Y(3)+(x-X(3))*(x-X(2))*(x-X(1))/(( X(4)-X(1))*(X(4)-X(2))*(X(4)-X(3)))*Y(4)
ans =0.495552960000000
输入下面内容，绘出三点插值的图：
>> X=[0.46,0.47,0.48,0.49];Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498,0.5116683];
>> x=linspace(0.46,0.49);
>>
y=(x-X(2)).*(x-X(3)).*(x-X(4))/((X(1)-X(4))*(X(1)-X(2))*(X(1)-X(3)))*Y(1)+(x-X(4) ).*(x-X(1)).*(x-X(3))/((X(2)-X(4))*(X(2)-X(1))*(X(2)-X(3)))*Y(2)+(x-X(4)).*(x-X(2) ).*(x-X(1))/((X(3)-X(4))*(X(3)-X(2))*(X(3)-X(1)))*Y(3)+(x-X(3)).*(x-X(2)).*(x-X(1) )/((X(4)-X(1))*(X(4)-X(2))*(X(4)-X(3)))*Y(4);
>>plot(x,y)
（注意上面的“.*”不能用“*”替代）；
（2）将区间[-5,5]分为10等份，求作2
11
)(x x f +=的分段线性插值函数，输出函数表达式及其图形，并计算x =3.3152时的函数值。
答：
编写下面的文件，命名为sectionFun.m,内容如下: function y0=sectionFun(x0) X=zeros(11,1); Y=zeros(11,1);
%X 、Y 矩阵分别存储函数11个插值点的x 和y 值
X(1)=-5;
Y(1)=1/(1+X(1)*X(1)); for i=2:11
X(i)=X(i-1)+1; Y(i)=1/(1+X(i)*X(i));
end
%绘出各分段图形 hold on for i=1:10
x=linspace(X(i),X(i+1),100);
y=(x-X(i+1))/(X(i)-X(i+1))*Y(i)+(x-X(i))/(X(i+1)-X(i))*Y(i+1); plot(x,y);
end hold off %计算x0的函数值 for i=1:10
if x0>=X(i) & x0<=X(i+1) k=i;break ; end
end
y0=(x0-X(k+1))/(X(k)-X(k+1))*Y(k)+(x0-X(k))/(X(k+1)-X(k))*Y(k+1); end
输入>> y0=sectionFun(3.3152) 便得出结果和图形：
y0 = 0.087021176470588
（3）仿照附录C中“文件1.2 逐步插值”程序（Neville算法，课本227页）编写相应的Aitken逐步插值算法的程序，根据下表所给数据分别利用上述两种算法求正弦积分
⎰∞-= x
dt t
t
x f sin
)
(在x=0.462的值，并比较它们的结果。
x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
y 0.29850 0.39646 0.49311 0.58813 0.68122 方法一：采用书本的Neville算法
新建文件Neville.m文件，内容如下所示：
②Aitken逐步插值算法：
编写下面的的Aitken_eval.m文件
③进行计算和验证
先进行验证，其中Lagange_eval函数即为拉格朗日公式（同书本写的程序一样）直接计算出来的值，以本实验中第一个题目中数据为例，结果如下所示：
可见，自己编写的程序是正确的
对本题中的数据进行计算如下所示：
计算结果和拉格朗日公式计算出来的一样，充分利用了5个点数据，是具有比较高的精确度的
（4）运行C中“文件1.3 分段三次Hermite插值”程序（课本228页），要求自行选择实验数据
运行如下所示：
与书本对照，运行正确，
2. 设计思想
要求针对上述题目，详细分析每种算法的设计思想。
答：第一小问是直接根据公式来求；后面再设计上都是遵循一个思想，化复杂为简单的重复，从结构清晰简单，而让计算机去进行繁琐的运算；
四.实验体会
对实验过程进行分析总结，指出每种算法的设计要点及应注意的事项，以及自己通过实验所获得的对插值方法的理解。
答：
⑴通过实验初步了解了matlab的使用，学会了一些基本规律；像怎么写.m文件，函数的命名和参数的引入等等；作图一般使用plot函数，或plotyy函数等，同时输出多个函数的图像，还可以使用hold on命令；再者“.*”和“*”是用区别的，在适当的场合应用不同的形式；
⑵初步领略了编写程序的方法，把复杂化为简单的重复，问题既要化为简单，这种简单也要具有一定的规律，能用一定的循环语句来表达，以便让计算机能自动重复地进行下去，同时让程序变得简单，可读性更强。