《计算方法》第四章 插值方法
计算方法第四章 插值法
4
3
xi 4 yi 2
9 16 3 4
2
0
4
7
9
16
第4章 插值法
应用背景
造函数表：三角函数、对数 预测：鸡蛋价格、城市用水量
《 计 算 方 法 》
数控加工：造船、飞机机翼骨架、服装 样片、模具加工、刀具 计算机辅助设计：潜水艇、汽车造型
服装样片
第4章 插值法
实际问题中，f (x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散 数据；或者f (x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数 φ(x)来逼近f (x)。
《 计 算 方 法 》
φ (x)= y0
第4章 插值法
§2 线性插值与二次插值
2.1 线性插值
线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设
《 计 算 方 法 》
给定了函数f (x)在两个互异点x0，x1的值,即
x x0值）
y y0 x0
y1
x1
x
第4章 插值法
现要用一线性函数
满足插值条件：
y( xi ) = yi , i = 0,1, 2
22
第4章 插值法 例：已知函数 y=f (x)的观测数据为
x
《 计 算 方 法 》
1 0
2 -5
3 -6
4 3
y
试求拉格朗日插值多项式。
第4章 插值法
《 计 算 方 法 》
( x 2)( x 3)( x 4) 解 ：p3 ( x ) = 0 (1 2)(1 3)(1 4) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 5) (2 1)(2 3)(2 4) ( x 1)( x 2)( x 4) ( 6) (3 1)(3 2)(3 4) ( x 1)( x 2)( x 3) 3 (4 1)(4 2)(4 3) = x3 4 x2 3
计算方法-4插值方法
( xi x j ) 0
i 1 j 0
n
i 1
9
4.2 拉格朗日（Lagerange）插值多项式
4.2.1 基本插值多项式 观察一个两点的插值情况：
a0 a1 x0 y0 a0 a1 x1 y1
可以构造函数P1(x)为
x x1 x x0 P ( x) y0 y1 1 x0 x1 x1 x0
P3’ (x1)=L2’ (x1)+Q’(x1)=m1
可得
22
( x1 x2 ) 2 x1 x0 x2 y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x1 x0 ) y2 A( x1 x0 )( x1 x2 ) m1 ( x2 x0 )( x2 x1 )
10
4.2.1 基本插值多项式
如果令：
x x1 x x0 l0 ( x ) ,l1 ( x ) x0 x1 x1 x0
P ( x ) y0l0 ( x ) y1l1 ( x ) 1
则
显然，l0(x)和l1(x)是满足插值条件的一次插值多项式
l0 ( x0 ) 1 l1 ( x0 ) 0 l0 ( x1 ) 0 l1 ( x1 ) 1
15
4.2.3 插值余项
在节点处
Ln ( x j ) f ( x j ) j 0,1,..., n
在其它点上，均是近似值。记
Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x )
称Rn(x)为插值多项式的余项。
16
定理：设f(n)(x)在[a,b]上连续，f(n+1)(x)在(a,b)内存在 节点， a≤x0<x1<…<xn≤b， Ln(x) 是满足插值条件处 ， Ln(xj) 是=yj(j=0,1,2,…,n)的n次多项式，则对任意x 属于[a,b]，插值余项
计算方法之插值
22
二）操作步骤
Step1 输入数组x[ ]、y[ ]各元素和t、n Step2 z=0.0; /*为 z 赋初值为零*/
/*选取 8个插值点并保证 t 大致处于它们的中间部位*/
Step3 t_pos=0 /* t_pos记录 t 的位置 */ While x[t_pos]< t And t_pos<n Do t_pos=t_pos +1 EndWhile
li ( x ) ( x x0 )( x xi 1 )( x xi 1 )( x xn ) ( xi x0 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xn ) (i 0,1,, n)
拉格朗日插值实用算法
1、待解问题： 已 知 某 函 数 y=f(x) 在 给 定 n+1 个 插 值 点 xi ， （ i=0,1,…,n ）上的函数值 yi=f(xi) ，用拉格朗日插 值公式计算指定插值点t处的函数近似值z=f(t)
10
1、插值条件 设函数y=f(x)定义在[a , b]区间且满足在互异的 两点x0，x1处的函数值分别为y0=f(x0)，y1=f(x1) 2、构造方法 用过两点的直线近 似替代曲线f(x)，此 直线即可作为通过已 知两点的插值函数， 称为线性插值。
y
y=f(x) y0 y1 y=P1(x)
o a x0
0 j i n
(x
i
xj)
1 xn
2 n xn xn
因插值节点互异，故det(A)0，故方程组有唯一 解，于是有下面的结论： 结论： 存在唯一满足插值条件P(xi)=f(xi), (i=0,1,…,n)的 n 次插值多项式。
计算方法-插值方法实验
实验一插值方法一. 实验目的（1）熟悉数值插值方法的基本思想，解决某些实际插值问题，加深对数值插值方法的理解。
（2）熟悉Matlab 编程环境，利用Matlab 实现具体的插值算法，并进行可视化显示。
二. 实验要求用Matlab 软件实现Lagrange 插值、分段线性插值、三次Hermite 插值、Aitken 逐步插值算法，并用实例在计算机上计算和作图。
三. 实验内容1. 实验题目 （1）已知概率积分dxe y xx ⎰-=22π的数据表构造适合该数据表的一次、二次和三次Lagrange 插值公式，输出公式及其图形，并计算x =0.472时的积分值。
答：①一次插值公式：输入下面内容就可以得到一次插值结果 >> X=[0.47,0.48];Y=[0.4937452,0.5027498]; >> x=0.472;>> (x-X(2))/(X(1)-X(2))*Y(1)+(x-X(1))/(X(2)-X(1))*Y(2)ans =0.495546120000000>>②两次插值公式为：输入下面内容就可以得到两次插值结果>> X=[0.46,0.47,0.48];Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498]; >> x=0.472;>>(x-X(2))*(x-X(3))/((X(1)-X(2))*(X(1)-X(3)))*Y(1)+(x-X(1))*(x-X(3))/((X(2)-X(1))*(X(2)-X(3)))*Y(2)+(x-X(2))*(x-X(1))/((X(3)-X(2))*(X(3)-X(1)))*Y(3)i 0123x 0.46 047 0.48 0.49 y0.4846555 0.4937452 0.5027498 0.5116683ans =0.495552928000000>>③三次插值公式为：输入下面内容就可以得到三次插值结果>> X=[0.46,0.47,0.48,0.49];Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498,0.5116683];>> x=0.472;>>(x-X(2))*(x-X(3))*(x-X(4))/((X(1)-X(4))*(X(1)-X(2))*(X(1)-X(3)))*Y(1)+(x-X(4))*( x-X(1))*(x-X(3))/((X(2)-X(4))*(X(2)-X(1))*(X(2)-X(3)))*Y(2)+(x-X(4))*(x-X(2))*( x-X(1))/((X(3)-X(4))*(X(3)-X(2))*(X(3)-X(1)))*Y(3)+(x-X(3))*(x-X(2))*(x-X(1))/(( X(4)-X(1))*(X(4)-X(2))*(X(4)-X(3)))*Y(4)ans =0.495552960000000输入下面内容，绘出三点插值的图：>> X=[0.46,0.47,0.48,0.49];Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498,0.5116683];>> x=linspace(0.46,0.49);>>y=(x-X(2)).*(x-X(3)).*(x-X(4))/((X(1)-X(4))*(X(1)-X(2))*(X(1)-X(3)))*Y(1)+(x-X(4) ).*(x-X(1)).*(x-X(3))/((X(2)-X(4))*(X(2)-X(1))*(X(2)-X(3)))*Y(2)+(x-X(4)).*(x-X(2) ).*(x-X(1))/((X(3)-X(4))*(X(3)-X(2))*(X(3)-X(1)))*Y(3)+(x-X(3)).*(x-X(2)).*(x-X(1) )/((X(4)-X(1))*(X(4)-X(2))*(X(4)-X(3)))*Y(4);>>plot(x,y)（注意上面的“.*”不能用“*”替代）；（2）将区间[-5,5]分为10等份，求作211)(x x f +=的分段线性插值函数，输出函数表达式及其图形，并计算x =3.3152时的函数值。
计算方法拉格朗日插值
计算方法拉格朗日插值拉格朗日插值是一种用于在给定数据点间进行插值的方法，它基于拉格朗日多项式的性质来进行计算。
拉格朗日插值可以用于任何数量的数据点，无论是线性插值还是高阶插值。
拉格朗日插值的基本思想是，使用多个插值点的拉格朗日多项式来逼近给定数据点。
具体而言，对于给定的插值点(x0, y0)，(x1, y1)，...，(xn, yn)，我们需要找到一个多项式P(x)来满足以下条件：P(xi) = yi，其中 i = 0, 1, ..., n。
假设我们要计算的插值点为x，那么根据拉格朗日插值的公式，多项式P(x)可以写为：P(x) = Σyi * Li(x)，其中 i = 0, 1, ..., n。
在上述公式中，Li(x)是拉格朗日基函数，可以用以下公式表示：Li(x) = Π(x - xj) / Π(xi - xj)，其中j ≠ i，i, j = 0,1, ..., n。
现在我们可以根据上述公式进行计算，以下是拉格朗日插值的详细步骤：1. 输入数据点的坐标 (x0, y0)，(x1, y1)，...，(xn, yn) 和待插值点的坐标 x。
2. 对于每个插值点(xi, yi)，计算拉格朗日基函数Li(x)。
3. 对于每个插值点(xi, yi)，计算插值多项式中对应的项 yi *Li(x)。
4.将所有项相加，得到插值多项式P(x)。
5.根据插值多项式P(x)，计算插值点x的函数值，即P(x)=y。
拉格朗日插值的优点是简单易懂，计算过程相对简单，但它也存在一些缺点。
拉格朗日插值的计算复杂度为O(n^2)，这意味着当数据点的数量较多时，计算会变得非常耗时。
此外，拉格朗日插值在边界点附近的插值结果可能会出现较大的误差。
为了减小计算量和提高插值的准确性，还有其他更高效的插值方法，如牛顿插值和样条插值。
这些方法在实际应用中经常被使用，具有更好的性能和更准确的插值结果。
数值计算方法-插值法
a≤x≤b
10
拉格朗日插值
插值多项式的存在性与惟一性
插值多项式的存在性与惟一性
定理 在 n + 1 个互异节点 xi 上满足插值条件
几何意义： 通过 n + 1 个点 (xi, yi)(i = 0, 1, 2, · · · , n) 做一条代数曲线 y = Pn(x)，使其近似于 y = f (x)
代数插值问题
y
y = f (x) y = Pn(x)
x0 x1
xn
x
图 1: 代数插值
几何意义： 通过 n + 1 个点 (xi, yi)(i = 0, 1, 2, · · · , n) 做一条代数曲线 y = Pn(x)，使其近似于 y = f (x)
数值计算方法
插值法
张晓平 2019 年 11 月 4 日
武汉大学数学与统计学院
Table of contents
1. 简介 2. 拉格朗日插值 3. 分段低次插值 4. 差商与牛顿插值多项式 5. 差分与等距节点插值
1
简介
简介
• 在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部 给定的离散数据点。
定义 : 插值余项 称
Rn(x) = f (x) − Pn(x) 为插值多项式的余项，表示用 Pn(x) 去近似 f (x) 的截断误差。
10
代数插值问题
在 [a, b] 上用 Pn(x) 近似 f (x)，除了在插值节点 xi 处 Pn(xi) = f (xi) 外， 在其余点处有误差
数值计算方法第四章插值1
代数插值
代数插值
当f(x)是次数不超过n的多项式时,给定n+1个节点,其n次插值多项式就是f(x)本身.
代数插值几何意义
拉格朗日插值 逐次线性插值 牛顿插值 等距节点插值 反插值 埃尔米特插值 分段插值法 三次样条插值
拉格朗日插值 线性插值
格朗日插值 抛物线插值
基函数之和为1.
拉格朗日插值 n次插值
当插值点x∈(a,b)时称为内插，否则称为外插。
内插的精度高于外插的精度。
拉格朗日插值余项
余项 设函数f(x)在包含节点x0 , x1 ,…, xn的区间[a,b]上有n+1阶导数，则
拉格朗日插值
活动14
写出3次拉格朗日插值多项式及余项
拉格朗日插值
拉格朗日插值
作业5
已知函数表
应用拉格朗日插值公式计算f(1.300)的近似值.
数值计算方法
苏 强
江苏师范大学连云港校区
数学与信息工程学院 E-mail: 412707233@
数值计算方法 第四章 插值与曲线拟合
没有明显的解析表达式
使用不便的解析表达式
简单函数代替
插值问题
插值问题
代数插值 插值函数
被插值函数 插值节点
插值区间
三角多项式插值 有理函数插值
代数插值
抛物线插值
三点插值
拉格朗日插值 抛物线插值
抛物线插值
三点插值
拉格朗日插值 抛物线插值
拉格朗日插值 n次插值
称为关于节点
的n次插值基函数.
拉格朗日插值n次插值
基函数的个数等于节点数.
n+1个节点的基函数是n次代数多项式 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯一的确定。 基函数和被插值函数无关
第4章插值法第2讲
米插值基函数。
计算方法
第四章 函 数 插 值
下面利用拉格朗日插值基函数li(x)(i=0，1，…，n)来构
造ai(x)和βi(x)。
因关于节点x0，x1，…，xn的拉格朗日基函数li(x)满足：
(j≠i, j=0, 1, …，n) 且l2i(x)是2n次多项式，由条件(4.25)式，可设ai(x)为
计算方法
第四章 函 数 插 值
定理4.4 满足插值条件(4.24)式的埃尔米插值多项式是
唯一的。 证明 设H2n+1(x)和 H 2n1 x 都是满足条件(4.24)式的埃 尔米插值多项式，令
x H2n1 x H2n1 x
则每个节点xi(i=0，1，…，n)均为φ(x)的二重根，即φ(x)有 2n+2个根，但φ(x)是个不高于2n+1次的多项式，所以φ(x)≡0，
米(Hermit)插值，它是代数插值问题的推广。
.5.1 一般情形的埃尔米插值问题
已知函数y=f(x)在区间［a, b］上n+1个互异节点x0，
x1，…，xn处的函数值为yi=f(xi)(i=0, 1, 2, …，n)，导数值为 f′(xi)(注意：函数值个数与导数值个数相同)，现要求做一个 次数不超过2n+1次的多项式H2n+1(x)，使其满足下述2n+2个 插值条件:
2 2
2
2
计算方法 例1.
第四章 函 数 插 值
已知f ( x)在节点1， 2处的函数值为 f (1) 2 , f ( 2 ) 3 f ( x)在节点1， 2处的导数值为 f (1) 0 , f ( 2 ) 1
求f ( x)的两点三次插值多项式 , 及f ( x)在x 1.5,1.7处的函数值 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
满足插值条件
P n (x ) a 0 a 1 x a n x n
Pn(xi)yi
Return 13
§4.2 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */
1. 构造线性插值基函数的方法:
n= 1
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 L1(x)= a0 +a1x使得 L1( x0 ) y0 , L1( x1) y1
R n(x)f(x)L n(x)
24
➢ Lagrange插值法的插值余项
设节点 ax0x1xnb，且 f 满足条件 f Cn[a,b], f (n1)在[a , b]内存在 , 截断误差(或插值余项):
R n(x)f(x)L n(x)f(( n n 1)1 ()!) n 1(x) , (a,b)
计算方法
第四章 插值方法
计算方法课程组
华中科技大学数学与统计学院
1
§4 插值方法
§4.1多项式插值问题的一般提法 §4.2 拉格朗日(Lagrange)插值 §4.3 差商与差分及其性质 §4.4 牛顿插值公式 §4.5 分段插值法 §4.6曲线拟合的最小二乘法
2
§4.0 引言
插值法是广泛应用于理论研究和生产实践的重 要数值方法, 它是用简单函数(特别是多项式或分 段多项式)为各种离散数组建立连续模型；为各种 非有理函数提供好的逼近方法。众所周知，反映 自然规律的数量关系的函数有三种表示方法：
y0 = f (x0) , …, yn = f (xn)， 由此构造一个简单易算的近似函数
p(x) f(x)，满足条件: p(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 这里的 p(x) 称为f(x) 的插值函数。 最常用的插值函数是 …?
代数多项式、三角多项式、有理分式…
5
插值函数 p (x) 作为 f (x) 的近似，可以选自不同类型的 函数, 如 p (x) 为代数多项式、三角多项式、有理分式； 其函数性态可以是光滑的、亦可以是分段光滑的。其 中，代数多项式类的插值函数占有重要地位：
仿照线性插值基函数的构造方法，令
l0 ( x)
(x (x0
x1 )( x1 )(
x x2) x0 x2)
l1 ( x )
(x ( x1
x 0 )( x x 2 ) x 0 )( x1 x 2 )
l2 ( x)
(x (x2
x 0 )( x 0 )(
x x1) x2 x1)
• 解析表达式 f(x)x32x5 xysiyn • 图象法
• 表格法
3
§4.0 引言
➢ 许多数据都是用表格法给出的(如观测和实验而得到的函数 数据表格)，可是，从一个只提供离散的函数值去进行理论 分析和进行设计，是极不方便的, 甚至是不可能的。因此需 要设法去寻找与已知函数值相符，并且形式简单的插值函 数(或近似函数)。
➢ 另外一种情况是，函数表达式完全给定，但其形式不适宜 计算机使用，因为计算机只能执行算术和逻辑操作，因此 涉及连续变量问题的计算都需要经过离散化以后才能进行。 如数值积分方法、数值微分方法、差分方程以及有限元法
等，都必须直接或间接地应用到插值理论和方法。
4
§4.1 多项式插值问题的一般提法
当精确函数 y = f (x) 非常复杂或未知时，在一系列 节点 x0 … xn 处测得函数值
条件：无重合节点，即 i j xi xj
根据插值条件，有：
P(x0) a0 a1x0 anx0n y0
P(x1)
a0
a1x1
anx1n
y1
P(xn) a0 a1xn anxnn yn
Vandermonde行列式
其系数矩阵的行列式为
1 x0 x0n
Vn(x0, x1,
, xn)
x
y = f (x) •
y = p(x)
(xi, yi)
曲线 P ( x)
近似 f ( x)
0 a=x0 x1 x2 x3
xn=b y
11
§4.2 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */
求 n 次多项式 P n (x ) a 0 a 1 x a n x n
使得: p n(x i)y i,i 0 ,1 ,L,n
由 lk(xk )得1,:
A
1
(xkx0)L(xkxk 1)(xkxk 1)L(xkxn)
k
=
0,
1
,⋯,
n.
lk (x ) (x (k x x x 0 ) 0 ) (( x x k x x k k 1 1 ) )( (x x k x x k k 1 ) 1 ) (( x x kx n x )n )， k = 0, 1 ,⋯, n .
知 ( t ) 在 [ a , b ] 内至少有 n 个零点，依此类推， (n1) (t )
在 [ a , b ] 内至少有一个零点，记为 (a,b)
使得: ( n 1 )() f( n 1 )() ( n 1 ) ! k ( x ) 0
k(x) f(n1)(),(a,b)
x
y = f (x) •
y = p(x)
(xi, yi)
曲线 P ( x)
近似 f ( x)
0 a=x0 x1 x2 x3
xn=b y
10
插值方法的研究问题
（1）满足插值条件的P ( x) 是否存在唯一？ （2）若满足插值条件的P ( x) 存在，如何构造P ( x)？ （3）如何估计用P ( x)近似替代 f ( x) 产生的误差？
i=0
18
一般情形
希望找到 li (x)，i = 0, …, n 使得 li (xj) = ij ；然后令
n
Ln(x） f(xk)lk(x)，则显然有 Pn(xi) = yi 。 k0
每个 li 有 n 个根 x0 ,… xi ,… xn
令 l k ( x ) A ( x x 0 ) ( x x k 1 ) ( x x k 1 ) ( x x n ) ,
1
x1
x1n
1 xn xnn
12
注意到插值节点 xi(i1,2,,n)两两相异，而
V n (x 0 ,x 1 , ,x n ) (x i x j) 0 0 j i n
故方程组(1)有惟一解 a0,a1,an
于是满足插值条件的多项式存在且惟一。
由n+1个不同插值节点 x0,x1,,xn
(唯一性) 可以惟一确定一个n次多项式
22
例题
已知连续函数f (x)的函数表如下：
x -1 0 1 2 f(x) -2 -2 1 2
求方程 f (x)=0 在(-1,2)内的近似根。
解：利用Lagrange插值法有
L3(x)=(-(1 x--00 ))(( -x1--11 ))(( x --1-2)2)(-2)+( (x 0+ +1 1) )( (0 x--1 1) )( (0 x--22 ) )(-2) +(x+21 ?)1 x ((x1) - 2)?1 (2+ (x1) +(2 1)-x(x 0)-(21-)1)?2
可见 L1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
L1(x)y0
y1 x1
y0 x0
(xx0)
xx1 x0 x1
y0
xx0 x1 x0
y1
1
li(x)yi i0
l0(x)
l1(x)
线性插值 基函数
14
线性插值与其基函数示意图
y y f (x)
L 1(x)y0l0(x)y1l1(x) y y0l0(x)
=1[-5x3+9x2+14x- 12] 解方程 5 x 3 9 x 2 1 4 x 1 2 0 6
取初值x=0.5，利用牛顿法求解可得 f (x) 在(-1,2)内的近似根
为0.67433。
23
➢ Lagrange插值法插值余项
设节点 ax0x1xnb，且 f 满足条件 f Cn[a,b], f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差:
其中,
n
lk(x)
j0
xxj xk xj
(k0,1,...n)
.
jk
20
构造插值多项式的方法：
(1) 先求插值基函数. (2) 构造插值多项式.
以下的问题：如何分析插值的余项？
21
例题 已知连续函数 f (x) 的函数表如下： x -1 0 1 2
f (x) -2 -2 1 2 求方程 f (x)=0 在(-1,2)内的近似根。
函数 P(x) 称为函数 y=f(x) 的插值函数， 区间 [a, b] 称为插值区间。
7
例题: 已知函数 f(x) 有如下数据:
求 f(x) 的插值多项式 p(x)， 并求 f(x) 在 x=0.5 处的近似值。
8
9
插值的几何意义
从几何上看，插值就是求一条曲线 y P(x) 使其通过给定的 n 个 1点 (，x i , y i ) (i0,1,L,n) 并且与已知曲线 y 有f (一x)定的近似度。
n
Ln(x） f(xk)lk(x)
k0
19
（Lagrange）插值多项式
设 y f (x) 函数表 (x i,f(x i) )( i 0 ,1 ,...,n )(x i x j,i j), 则满足插值条件的多项式 L n (x i)f(x i)， (i 0 ,1 ...n )
n
Ln(x） f(xk)lk(x) k0
L2(x)
称其为抛物线插值基函数(如上右图所示)。
抛物线基 函数
17