计算方法第4章-多项式插值方法
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计算方法第四章 插值法
《 计 算 方 法 》
4
3
xi 4 yi 2
9 16 3 4
2
0
4
7
9
16
第4章 插值法
应用背景
造函数表：三角函数、对数 预测：鸡蛋价格、城市用水量
《 计 算 方 法 》
数控加工：造船、飞机机翼骨架、服装 样片、模具加工、刀具 计算机辅助设计：潜水艇、汽车造型
服装样片
第4章 插值法
实际问题中，f (x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散 数据；或者f (x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数 φ(x)来逼近f (x)。
《 计 算 方 法 》
φ (x)= y0
第4章 插值法
§2 线性插值与二次插值
2.1 线性插值
线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设
《 计 算 方 法 》
给定了函数f (x)在两个互异点x0，x1的值,即
x x0值）
y y0 x0
y1
x1
x
第4章 插值法
现要用一线性函数
满足插值条件：
y( xi ) = yi , i = 0,1, 2
22
第4章 插值法 例：已知函数 y=f (x)的观测数据为
x
《 计 算 方 法 》
1 0
2 -5
3 -6
4 3
y
试求拉格朗日插值多项式。
第4章 插值法
《 计 算 方 法 》
( x 2)( x 3)( x 4) 解 ：p3 ( x ) = 0 (1 2)(1 3)(1 4) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 5) (2 1)(2 3)(2 4) ( x 1)( x 2)( x 4) ( 6) (3 1)(3 2)(3 4) ( x 1)( x 2)( x 3) 3 (4 1)(4 2)(4 3) = x3 4 x2 3
4
3
xi 4 yi 2
9 16 3 4
2
0
4
7
9
16
第4章 插值法
应用背景
造函数表：三角函数、对数 预测：鸡蛋价格、城市用水量
《 计 算 方 法 》
数控加工：造船、飞机机翼骨架、服装 样片、模具加工、刀具 计算机辅助设计：潜水艇、汽车造型
服装样片
第4章 插值法
实际问题中，f (x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散 数据；或者f (x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数 φ(x)来逼近f (x)。
《 计 算 方 法 》
φ (x)= y0
第4章 插值法
§2 线性插值与二次插值
2.1 线性插值
线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设
《 计 算 方 法 》
给定了函数f (x)在两个互异点x0，x1的值,即
x x0值）
y y0 x0
y1
x1
x
第4章 插值法
现要用一线性函数
满足插值条件：
y( xi ) = yi , i = 0,1, 2
22
第4章 插值法 例：已知函数 y=f (x)的观测数据为
x
《 计 算 方 法 》
1 0
2 -5
3 -6
4 3
y
试求拉格朗日插值多项式。
第4章 插值法
《 计 算 方 法 》
( x 2)( x 3)( x 4) 解 ：p3 ( x ) = 0 (1 2)(1 3)(1 4) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 5) (2 1)(2 3)(2 4) ( x 1)( x 2)( x 4) ( 6) (3 1)(3 2)(3 4) ( x 1)( x 2)( x 3) 3 (4 1)(4 2)(4 3) = x3 4 x2 3
计算方法-4插值方法
( xi x j ) 0
i 1 j 0
n
i 1
9
4.2 拉格朗日（Lagerange）插值多项式
4.2.1 基本插值多项式 观察一个两点的插值情况：
a0 a1 x0 y0 a0 a1 x1 y1
可以构造函数P1(x)为
x x1 x x0 P ( x) y0 y1 1 x0 x1 x1 x0
P3’ (x1)=L2’ (x1)+Q’(x1)=m1
可得
22
( x1 x2 ) 2 x1 x0 x2 y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x1 x0 ) y2 A( x1 x0 )( x1 x2 ) m1 ( x2 x0 )( x2 x1 )
10
4.2.1 基本插值多项式
如果令：
x x1 x x0 l0 ( x ) ,l1 ( x ) x0 x1 x1 x0
P ( x ) y0l0 ( x ) y1l1 ( x ) 1
则
显然，l0(x)和l1(x)是满足插值条件的一次插值多项式
l0 ( x0 ) 1 l1 ( x0 ) 0 l0 ( x1 ) 0 l1 ( x1 ) 1
15
4.2.3 插值余项
在节点处
Ln ( x j ) f ( x j ) j 0,1,..., n
在其它点上，均是近似值。记
Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x )
称Rn(x)为插值多项式的余项。
16
定理：设f(n)(x)在[a,b]上连续，f(n+1)(x)在(a,b)内存在 节点， a≤x0<x1<…<xn≤b， Ln(x) 是满足插值条件处 ， Ln(xj) 是=yj(j=0,1,2,…,n)的n次多项式，则对任意x 属于[a,b]，插值余项
数值计算方法第2版 第4章 插值法
则
l ( x ) 1 ( k i ) , k i l ( x ) 0 ( k i ) , i 、 k 0 , 1 , , n k i
lk (x)称为关于节点xi( i=0,1,…,n)的n次插值基函数。
基函数的特点
1. 基函数的个数等于节点数。 2. n+1个节点的基函数是n次代数多项式。 3. 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯 一的确定。 4. 基函数和被插值函数无关。 5. 基函数之和为1。
公式的结构：它是两个一次函数的线性组合 线性插值基函数
x x 1 l ( x ) , 0 x x 0 1 x x 0 l ( x ) 1 x x 1 0
3 线性插值的几何意义 用直线 P ( x ) 近似代替被插值函数 f ( x ) 。
例
造数学用表。平方根表
给定函数在100、121两点的平方根如下表，试用线性 插值求115的平方根。 x 100 121
其系数行列式
a0 a1 x0 a2 x02 an x0n y0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 y1 2 n a a x a x a x n n yn 0 1 n 2 n
1 x 0 x 02
x 0n
2 n 1 x x x 1 1 ( x x 0 V ( x , x , , x ) 1 i j) 0 1 n 0 j i n
1 xn
x n2 x nn
,a , ,a 0 1 n ，因此P(x)存在且唯一。 方程组有唯一解 a
唯一性说明不论用那种方法构造的插值多 项式只要满足相同的插值条件，其结果都是互 相恒等的。 推论 当f(x)是次数不超过n的多项式时， 其n次插值多项式就是f(x)本身。
计算方法4_插值方法
习题44.1 给出概率积分dx ex f xx⎰-=22)(π的数据表：试用二次插值计算)472.0(f .4.3 设j x 为互异节点(n j ,,1,0 =),求证(1)),,1,0()(0n k x x l xnj kj kj=≡∑=(2) ),,1,0(0)()(0n k x l x xnj j kj=≡-∑=4.4 若1)(57++=x x x f ，则=]2,,2,2[710 f ，=]2,,2,2[810 f 。
4.5 若n n y 2=,求n y 2∆和n y 4∆.4.6 设)5,4,3,2,1,0(=i x i 为互异节点，)(x l i 为对应的5次Lagrange 插值基函数，则∑==+++523)()12(i i i i ix l x x x___________________。
4.7 证明两点三次Hermite 插值余项是),(,)())((!41)(1212)4(3++∈--=k k k k x x x x x x fx R ξξ4.8 设ji j nji j i x x x x x l --=∏≠=1)(是Lagrange 基函数，则⎩⎨⎧=)(j i x l 。
4.9求一个次数不超过4次的多项式)(x P ，使它满足,1)2(,1)1()1(,0)0()0(=='=='=P P P P P ，并写出其余项表达式。
4.10 求一个四次插值多项式)(x H ，使0=x 时，2)0(',1)0(-=-=H H ；而1=x 时，20)1(",10)1(',0)1(===H H H ，并写出插值余项的表达式。
4.11 构造适合下列数据表的三次样条插值函数S (x )4.12 已知实验数据试用最小二乘法求经验直线x a a y 10+=。
4.13利用最小二乘法求一个形如2210)(x a x a a x y ++=的经验公式，使它与下列数据拟合：4.14 用最小二乘法求一个形如2bx a y +=的经验公式，使与下列数据相拟合。
第四章插值法
=f (x) 在给定互异的自变量值x0, x1, x2上对 应的函数值为y0, y1, y2，二次插值就是构造一个二次 多项式
P2 ( x) a0 a1 x a2 x 2
使之满足
P2 ( xi ) yi , i 0, 1, 2
计算机科学与工程系 19
令
lk ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) ( x x j )
j 0 j k n
计算机科学与工程系 27
4.2.3 拉格朗日插值多项式
由lk (xk) = 1，得：
1 ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
计算机科学与工程系 25
10
11
4.2.3 拉格朗日插值多项式
插值公式
设连续函数y = f（x）在[a, b]上给定n + 1个不同结 点： x0, x1, …, xn 分别取函数值 y0, y1, …, yn 其中 yi = f (xi) i = 0, 1, 2,…, n 构造一个次数不超过n的插值多项式
因此
( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) P2 ( x ) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) y2 ( x2 x0 )( x2 x1 )
因此有
lk ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
P2 ( x) a0 a1 x a2 x 2
使之满足
P2 ( xi ) yi , i 0, 1, 2
计算机科学与工程系 19
令
lk ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) ( x x j )
j 0 j k n
计算机科学与工程系 27
4.2.3 拉格朗日插值多项式
由lk (xk) = 1，得：
1 ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
计算机科学与工程系 25
10
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4.2.3 拉格朗日插值多项式
插值公式
设连续函数y = f（x）在[a, b]上给定n + 1个不同结 点： x0, x1, …, xn 分别取函数值 y0, y1, …, yn 其中 yi = f (xi) i = 0, 1, 2,…, n 构造一个次数不超过n的插值多项式
因此
( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) P2 ( x ) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) y2 ( x2 x0 )( x2 x1 )
因此有
lk ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
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两点
多项式插值就是直线
， 经过这两点的
称给定
为线性插值多项式。称
为关于点
的线性插值基函数，其在节点处满足：
6
4.2.1 线性插值与二次插值 假定插值节点为 ， ， ，要求二次插值多项式
几何上
是通过三点
可以用基函数的方法求的表源自式，是二次函数，的抛物线.
7
4.2.2 拉格朗日插值多项式
求n+1个次数 满足
且次数不超过n 的多项式，其所给出形式的系数为
称
为牛顿（Newton）均差插值多项式.
系数 就是均差表4-1中主对角线上的各阶均差， 它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计.
25
4.3.2 Newton均差插值多项式 （*）为插值余项，由插值多项式惟一性知，它与
拉格朗日插值多项式的余项应该是等价的. 事实上，利用均差与导数关系式就可以证明这一点. 但（3.7）更有一般性，它在 是由离散点（给3.出7）的
式求 x 的近似值。
解 (1) 选取节点x=2,3,4
xf 一 二 三
kk
(x k)
阶 均
阶 均
阶 均
31
32
4.4 分段低次插值
4.4.1 Runge现象 在次数 增加时逼近 的精度是否也增加?
问题：根据区间 上给出的节点做出的插值多项式
事实上，对于有些函数，插值多项式次数很高时会在某些区 间内产生较大的误差。例如著名的Runge现象。
分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区 间, 然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值.
35
4.4.2 分段低次插值
例如分段线性插值。 所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来
第四讲 多项式插值
( i = 0, 1,L , n)
插值条件的意义？ 插值条件的意义？
多项式插值的几何意义 求经过n+1个点的 次多项式曲线 个点的n次多项式曲线 求经过 个点的 次多项式曲线y=P(x), 用来近似未知或复杂函数
P(x) ≈ f(x)
x x00
xx1 1
x2 x2
x
x3
x xn 4
例如， 时求一个一次多项式P1(x)，直线使其经过已知的两 例如，n=1时求一个一次多项式 时求一个一次多项式 ， 点 ( x 0 , y0 ) , ( x 1 , y 1 )
R n ( x ) = f ( x ) − Ln ( x )
可以证明
f ( n +1) (ξ ) Rn ( x) = ( x − x0 ) L ( x − xn ) (n + 1)!
其中， 其中，
ξ ∈ ( x0 , xn )
利用插值余项估计插值误差（截断误差） 利用插值余项估计插值误差（截断误差） 若 f
f ( x) = x , x ∈ [144,225]
估计利用L 近似f(175)产生的截断误差 估计利用 2(175)近似 近似 产生的截断误差 解：
3 −5 Q f ′′′( x) = x 2 8 3 3 ′′′( x) = 2 ∴ f ≤ = 1.51×10 −6 = M , x ∈ [144,225] 8 x x 8 ×144 2 × 144 M ∴ R2 (175) ≤ (175 − 144)(175 − 169)(175 − 225) ≈ 0.00234 3!
假定某地区某天的气温变化记录如下： 假定某地区某天的气温变化记录如下： 时 刻 温 度 时 刻 温 度 0 15 13 31 1 14 14 32 2 14 15 31 3 14 16 29 4 14 17 27 5 15 18 25 6 16 19 24 7 8 9 10 11 12
多项式插值计算方法
多项式插值计算方法引言：在数学和计算机科学中，插值是一种常见的数值计算方法，用于通过已知的数据点来估计未知的数据点。
多项式插值是插值方法中的一种，通过构造一个多项式函数来逼近数据点，从而实现插值的目的。
本文将介绍多项式插值的基本概念、计算方法和应用领域。
一、多项式插值的基本概念多项式插值是指通过已知的n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，构造一个n次多项式函数P(x)来逼近这些数据点。
通过将P(x)代入已知的数据点，可以满足P(xi) = yi，即多项式函数经过已知数据点。
二、多项式插值的计算方法1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的多项式插值计算方法。
通过构造一个满足已知数据点的n次多项式函数P(x)，可以使用拉格朗日插值公式来计算多项式的系数。
具体步骤如下：- 构造插值多项式P(x) = L1(x)y1 + L2(x)y2 + ... + Ln(x)yn，其中Li(x)为拉格朗日基函数。
- 拉格朗日基函数的计算公式为Li(x) = Π(j=1 to n, j ≠ i)(x-xj)/(xi-xj)，即除了第i个数据点外，其他数据点的插值基函数的乘积。
- 将已知数据点代入插值多项式，可以得到相应的系数，进而得到插值多项式P(x)。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的多项式插值计算方法。
通过构造一个满足已知数据点的n次多项式函数P(x)，可以使用牛顿插值公式来计算多项式的系数。
具体步骤如下：- 构造插值多项式P(x) = c0 + c1(x-x0) + c2(x-x0)(x-x1) + ... + cn(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)，其中ci为差商。
- 差商的计算公式为ci = f[x0, x1, ..., xi]/(xi-x0)(xi-x1)...(xi-xi-1)，即已知数据点的函数值的差商。
- 使用差商递推公式可以计算出所有的差商，进而得到插值多项式P(x)。
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1, i j li ( x j ) 0, i j
6
4.2.1
线性插值与二次插值
假定插值节点为 x0 ， x1 ，x2 ，要求二次插值多项式
L2 ( x ),
L2 ( x j ) y j
( j 0, 1, 2 ).
几何上 L2 ( x ) 是通过三点 ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 的抛物线. 可以用基函数的方法求 L2 ( x ) 的表达式，
为 f ( x)的 n 阶均差
（均差也称为差商）.
16
4.3
4.3.1
表2 1 xk x0 x1 x2 x3 x4
Newton插值多项式
均差的定义和性质
利用如下均差表来计算均差：
f ( xk ) （1st）均差 （2nd）均差 f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 ) f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x 2 , x3 ] f [ x3 , x 4 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x 2 , x3 , x 4 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ] （3rd）均差 （4th）均差
Rn ( x ) x k xik li ( x ) 0,
i 0 k k x l ( x ) x , k 0,1, ii i 0 n n
, n.
特别地，当k=1时
l ( x ) 1.
i 0 i
12
n
例4.1：已知函数
x y -1 1.25 0 0.75 1 1.25
第四章 多项式插值方法
4.1 4.2 4.3 4.4 引言 Lagrange插值多项式 Newton插值多项式 分段低次插值
1
4.1
引言
x0 , x1 , xn (a x0 xn b) 上取
定义 4.1 设 y= f(x) 在区间[a,b]上连续，在[a,b]内n+1
个互不相同的点
这性质又称为均差关于自变量的对称性。
（2） 若 Pn ( x) 为n 次多项式，则其k 阶均差函数Pn [ x0 ,, xk 1 , x] 当 k n时为n k 次多项式，当k n时恒为零。
19
4.3
4.3.2
Newton插值多项式
Newton均差插值多项式
根据均差定义，把 x 看成 [a , b] 上一点， 可得
求L2 ( x )
解：
P3 ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 l2 ( x ) y2
( x x1 )( x x2 ) 1 而l0 ( x ) x( x 1) ( x0 x1 )( x0 x2 ) 2 ( x x0 )( x x2 ) l1 ( x ) ( x 1)( x 1) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) 1 l2 ( x ) x( x 1) ( x2 x0 )( x2 x1 ) 2
17
例
给出 f ( x )的如下函数表，
由此计算 f ( x ) 关于点0,2,4,8的三阶均差 f [0, 2, 4, .8]
xk f ( xk )
解
0 10
2 -3
4 -39
8 9
根据给定函数表造出均差表
xk
0 2 4
f ( xk )
10 -3 -39
一阶均差 二阶均差 三阶均差
-6.5 -18 -2.875
函数时，相应的插值法称为分段插值。其中三角插值 主要用于处理周期函数。本章仅介绍最基本的多项式
插值。
定理 4.1 惟一。
4
在 n+1 个互异点
x0 , x1 ,
,上满足插 xn
值条件 (4-1) 的次数不超过n次的插值多项式Pn(x) 存在且
证明： 记实系数多项式
Pn ( x ) ak x kFra bibliotek144.3
Newton插值多项式
缺点？
问题：利用插值基函数得到的拉格朗日插值多项式有何优
优点：结构紧凑，便于理论分析，易于编程求解。
缺点：当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化， 整个公式也将发生变化. 问题：如何改进？
15
4.3
4.3.1
Newton插值多项式
均差的定义和性质
f ( x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ] x1 x0
x x0 x x1 L1 ( x ) y0 y1 x0 x1 x1 x0
称给定 L1 ( x )
为线性插值多项式。称 x x0 x x1 l0 ( x ) , l1 ( x ) x0 x1 x1 x0
为关于点 x0 , x1 的线性插值基函数，其在节点处满足：
n次拉格朗日插值多项式可表示为
Ln ( x ) yi
i 0 n
i ( x ) i ( xi )
10
4.2.2
插值余项与误差估计
误差估计定理
( n1) f ( x) 在[a,b]存在， 定理4.2 设f(x)的n+1阶导数 则对任何 x [a,b]，插值余项满足
f ( n1) ( ) Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ), x [a, b] (n 1)!
i 0 i 0 ji j0 n n n
x xj xi x j
( 4 5)
9
它称为n次拉格朗日插值多项式。
引进 n+1 次与n次多项式函数为
n1( x ) ( x x j )
j 0
n
(4.2.10)
i ( x) n1 ( x) / ( x xi )
13
L2 ( x ) f ( x0 )l0 ( x ) f ( x1 )l1 ( x ) f ( x2 )l2 ( x ) 1.25l0 ( x ) 0.75l1 ( x ) 1.25l2 ( x)
5 5 x ( x 1) 0.75( x 1)( x 1) x ( x 1) 8 8 3 1 2 x 4 2
值 得
。如果存在一性态较好的简单函数 P(x)，使 y yn 0 , y1 ,
P( xi ) yi
(i 0,1,
n)
(4 1)
则称P(x)为f (x)的插值函数。这时，我们称[a,b]为插值 x0 , x1 , xn 区间， 称 为插值节（结）点，称（ 4-1）为 插值条件，f (x)为被插函数。求插值函数P(x)的方法称
其中 ( x ) (a, b).
注 （1）余项公式主要用于理论分析。实际使用时，代 之以误差估计式
M n 1 Rn ( x) n1( x ) ( n 1)!
11
（2）插值节点的选取应尽量靠近插值点，以使 n1 ( x) 尽可能小，以减小误差。
若 f ( x)=x k (k n), 那么f ( n1) ( x) 0,
k 0 n
(4 2)
即有
1 1 1
x0 x1 xn
n a0 y0 x0 n x1 a1 y1 n x n a n yn
(4 2)
因
A Vn ( x0 , x1 ,
(x
ji j0
n
i
xj )
li ( x )
ji j 0
n
(x xj ) ( xi x j )
( i 0,1,
, n)
称为n次拉格朗日（Lagrange）插值基函数 或称为拉格朗日基本插值多项式。(据之，我们可构造 多项式
Ln ( x ) yi li ( x ) yi
7
4.2.2
拉格朗日插值多项式
求的n+1个次数 满足
n 次的插值多项式 li ( x) (i 0,1,, n)
n} (4 4)
1 i j li ( x j ) ij i , j {0,1, 0 i j
解
(a x0
n
xn b)
x0 ,, xi 1 , xi 1 , xn 为li ( x) 的零点
xn ) ( xi x j ) 0
i 1 j 0
n
i 1
所以，解存在且惟一，这说明由式 (4-2) 表示的 Pn(x)存在且惟一，证毕。
5
4.2
Lagrange插值多项式
4.2.1 线性插值与二次插值 设给定函数 y f ( x ) 两点 ( x0 , y0 ),( x1 , y1 ) ， 经过这两点的 多项式插值就是直线
其中 N n ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 )
f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )
, xn ]( x x0 ) , xn ]n1 ( x )
8
9
12
5
0.984375
18
均差的性质：
(1) f [ x0 , x1 , , x k ]
i 0 k
f ( xi )
(x
j i j 0
k
(4 12)
i
xj)
由此知，均差与节点的 排列顺序无关，即有 f [ x0 , x1 , , x k ] f [ xi0 , xi1 , , xik ] (i0 , i1 , ik 为 0， 1， k 的任一排列）