第2章 6.插值习题课(一)
数值分析习题集及答案
（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211N dx x +∞+⎰9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝210. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101nn y y-=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12.计算61)f =,1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj jj x l x x k n =≡=∑ii) 0()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)kf x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m lf x l +∆=为正整数). 11. 证明1()k k k k k k fg f g g f +∆=∆+∆.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差. 22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差. 23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式. 8. 如何选取r,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤ 14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n nF x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dxπ+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();bbaaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+.27.用最小二乘拟合求()y f t =.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10xedx-⎰并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰;(2)2()()()()()2b a f f x dx b a f b b a 'η=---⎰; (3)3()()()()()224b a a b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰.6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1xedx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长. 10. 证明等式3524sin3!5!n nnnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误差.()f x 的第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。
数值分析课后习题与解答
课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式()有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式()(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？〔1〕〔2〕解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
〔1〕〔2〕4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1与n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计〔5.8〕。
线性插值时，用0.5与0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式〔5.8〕，令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048与cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式〔5.17〕得其中计算时用Newton后插公式〔 5.18)误差估计由公式〔5.19〕得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
cy_JSJ_02__习题课
η, x]与f’[x0, x]不相等。 不相等。 与 不相等 dx d 若 f[x0, x]与f’[x0, x]相等，即 相等， 与 相等 dx 则有 f(x)=f(x0)+ f’(x0)(x-x0), 即 f(x)为线性函数 为线性函数. 为线性函数
因为 y’(x)＝-e-x，y"(x)＝ e-x ，所以 ＝ ＝
例2． 已知√100＝10， √121＝11， √144＝12，试利用二 ． 已知√ ＝ ， ＝ ， ＝ ， 次插值多项式计算√115的近似值，并估计误差． 的近似值， 次插值多项式计算 的近似值 并估计误差． ＝ ， 解: 记y(x)＝√x， x0＝100, x1＝121, x2＝144, y0＝10, y1 ＝11, y2＝12; 则y(x)以x0、 x1 、 x2为节点的二次插值多 以 项式为
习题课2 习题课 插值法
一、基本内容与学习要求
1. 插值问题、插值基函数、拉格朗日插值公式、差商、 插值问题、插值基函数、拉格朗日插值公式、差商、 差分、牛顿插值公式，插值余项． 差分、牛顿插值公式，插值余项． 2．Runge现象、分段插值、Hermite插值、样条函数、样 现象、 插值、 ． 现象 分段插值、 插值 样条函数、 条插值． 条插值． 3. 常用的求插值函数的方法有 待定系数法 基函数法 基 常用的求插值函数的方法有:待定系数法 基函数法,基 待定系数法,基函数法 于承袭性的递推构造法等. 于承袭性的递推构造法等 要求掌握多项式插值的概念， 要求掌握多项式插值的概念，插值多项式的存在惟一 值多项式，牛顿插值多项式， 性，拉格朗日插 值多项式，牛顿插值多项式，多项式插值 的余项表示， 的余项表示，分段线性插值和分段二 次插值及其余项估计 了解带导数条件的插值，会用三次样条插值． 式。了解带导数条件的插值，会用三次样条插值．
工程经济学洪军课后习题第2-7章
（元）
或用等额分付偿债基金系数查表计算： A=F（A/F,i,n）=10000(A/F,3%,5)=18835(元)
已知P=500万元，i=6%，n=8，求A。 （万元）
1
或查表计算：
2
A=P(A/P,i,n)=500(A/P,6%,8)=80.52(万元）
3
3-10 某人拟投资一投资基金，假定年投资收益率固定为5%，为了在6年后获得20000元的收入，现在应投入多少资金？
解：已知F=20000元，i=5%，n=6，求P.
将1~4年的现金流量折算为第4年末现金流量，有： （万元）
再根据式（3-13），求出后6年的年值A6： （万元）
某项目现金流量如图所示，求终值、现值、第4年末的等值金额(i=4%)。 现金流量图:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (年)
200
50
80
120
150
80
150
130
100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (年)
3-9 某企业向银行贷款500万元，贷款利率为6%，期限为8年，问： 如果企业到期一次偿还全部本息，应需要偿还多少资金？ 如果企业从第1年起每年末等额偿还本息，则每年需要偿还多少资金？ 解：（1）已知P=500万元，i=6%，n=8，求F。 （万元） 或查表计算： F=P(F/P,i,n)=500(F/P,6%,8)=799（万元）
-20
12
解：求出各年的累积净现金流量，示于下表。
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
净现金 流量
-25
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
人教a版必修5学案：第2章《习题课1-常见的数列求和及应用》(含答案)
第二章 习题课1 常见的数列求和及应用自主学习知识梳理1．等差数列的前n 项和公式：S n ＝____________＝____________.2．等比数列前n 项和公式：①当q ＝1时，S n ＝________；②当q ≠1时，S n ＝____________＝____________.3．常见求和公式有：①1＋2＋…＋n ＝____________.②1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝________.③2＋4＋6＋…＋2n ＝________.*④12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)． *⑤13＋23＋33＋…＋n 3＝14n 2(n ＋1)2.自主探究拆项成差求和经常用到下列拆项公式，请补充完整．①1n (n ＋1)＝________________. ②1(2n －1)(2n ＋1)＝________________. ③1n (n ＋1)(n ＋2)＝____________________. ④1n ＋n ＋1＝________________. ⑤1a ＋b＝________________. 对点讲练知识点一 分组求和例1 求和：S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2.总结 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．变式训练1 求数列1,1＋a,1＋a ＋a 2，…，1＋a ＋a 2＋…＋a n －1，…的前n 项和S n (其中a ≠0)．知识点二 拆项相消例2 求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，(n ≥2)．总结 如果数列的通项公式可转化为f (n ＋1)－f (n )的形式，常采用拆项求和法．变式训练2 求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n.知识点三 奇偶并项例3 求和：S n ＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n (2n －1)．变式训练3 已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n ·(3n －2)，…，求其前n 项和S n .求数列前n 项和，一般有下列几种方法．1．错位相减(前面已复习)适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．2．分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列．3．拆项相消有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．4．奇偶并项当数列通项中出现(－1)n 或(－1)n ＋1时，常常需要对n 取值的奇偶性进行分类讨论．5．倒序相加例如，等差数列前n 项和公式的推导方法.课时作业一、选择题1．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n所确定的数列{b n }的前n 项之和是( )A ．n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.12n (n ＋7) 2．已知数列{a n }为等比数列，前三项为a ，12a ＋12，13a ＋13，则T n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．9⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23nB ．81⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n C ．81⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫49n D.815⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫49n 3．设数列1，(1＋2)，(1＋2＋4)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)的前m 项和为2 036，则m的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．114．在50和350之间末位数是1的所有整数之和是( )A ．5 880B ．5 539C ．5 280D ．4 8725．已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1n ，则S 17＋S 33＋S 50等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2题 号1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝________. 7．在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________．8．若1＋3＋5＋…＋(2x －1)11·2＋12·3＋13·4＋…＋1x (x ＋1)＝132 (x ∈N *)，则x ＝________. 三、解答题9．求和S n ＝1＋(1＋12)＋(1＋12＋14)＋…＋(1＋12＋14＋…＋12n －1)．10．设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0. (1)求{a n }的通项；(2)求{nS n }的前n 项和T n .习题课1 常见的数列求和及应用知识梳理1.n (a 1＋a n )2 na 1＋n (n －1)2d 2．na 1 a 1(1－q n )1－q a 1－a n q 1－q 3.n (n ＋1)2n 2 n 2＋n 自主探究①1n －1n ＋1 ②12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ③12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2) ④n ＋1－n ⑤1a －b(a －b) 对点讲练例1 解 当x ≠±1时，S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2 ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋2＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 4＋2＋1x 4＋…＋⎝⎛⎭⎫x 2n ＋2＋1x 2n ＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n )＋2n ＋⎝⎛⎭⎫1x 2＋1x 4＋…＋1x 2n ＝x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －2(1－x －2n )1－x －2＋2n ＝(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n 当x ＝±1时，S n ＝4n.综上知，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ， x ＝±1(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ， x ≠±1. 变式训练1 解 当a ＝1时，则a n ＝n ，于是S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 当a ≠1时，a n ＝1－a n 1－a ＝11－a(1－a n )． ∴S n ＝11－a[n －(a ＋a 2＋…＋a n )] ＝11－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －a (1－a n )1－a ＝n 1－a －a (1－a n )(1－a )2. ∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (a ＝1)，n 1－a －a (1－a n)(1－a )2 (a ≠1). 例2 解 ∵1n 2－1＝1(n －1)(n ＋1) ＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1， ∴原式＝12⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15⎦⎤＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n －1n ＋1＝34－2n ＋12n (n ＋1).变式训练2 解 ∵a n ＝11＋2＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2n n ＋1.例3 解 当n 为奇数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n ＋5)＋(2n －3)]＋(－2n ＋1)＝2·n －12＋(－2n ＋1)＝－n. 当n 为偶数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n ＋3)＋(2n －1)]＝2·n 2＝n. ∴S n ＝(－1)n n (n ∈N *)．变式训练3 解 n 为偶数时，令n ＝2k (k ∈N *)， S n ＝S 2k ＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)n (3n －2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k ＋5)＋(6k －2)]＝3k ＝32n ； 当n 为奇数时，令n ＝2k ＋1 (k ∈N *)．S n ＝S 2k ＋1＝S 2k ＋a 2k ＋1＝3k －(6k ＋1)＝－3n ＋12. ∴S n ＝⎩⎨⎧ －3n ＋12 (n 为奇数)，3n 2 (n 为偶数).课时作业1．C [∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2(2n ＋4)＝n 2＋2n . ∴b n ＝n ＋2，∴b n 的前n 项和S n ＝n (n ＋5)2.] 2．D [由⎝⎛⎭⎫12a ＋122＝a ⎝⎛⎭⎫13a ＋13， 解得a ＝3(a ＝－1舍去)．∴a 1＝3，a 2＝2，a 3＝43，∴{a 2n }是以a 21＝9为首项，以49为公比的等比数列， ∴T n ＝9⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫49n 1－49＝815⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫49n .] 3．C [a n ＝2n －1，S n ＝2n ＋1－n －2，代入选项检验，即得m ＝10.]4．A [S ＝51＋61＋…＋341＝30×(341＋51)2＝5 880.]5．B [S 17＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(15－16)＋17＝9， S 33＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(31－32)＋33＝17， S 50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25，所以S 17＋S 33＋S 50＝1.]6．5 050解析 (1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝100＋99＋…＋2＋1＝100×(100＋1)2＝5 050. 7．1 473解析 100内所有能被3整除的数的和为S 1＝3＋6＋…＋99＝33×(3＋99)2＝1 683. 100内所有能被21整除的数的和为S 2＝21＋42＋63＋84＝210. ∴100内能被3整除不能被7整除的所有正整数之和为S 1－S 2＝1 683－210＝1 473.8．11解析 1＋3＋5＋…＋(2x －1)11·2＋12·3＋…＋1x (x ＋1)＝x 21－1x ＋1＝x 2xx ＋1＝x (x ＋1)＝132，∴x ＝11. 9．解 考察通项a n ＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－(12)n 1－12＝2－12n －1 ∴S n ＝(2－120)＋(2－121)＋(2－122)＋…＋(2－12n －1) ＝2n －(1＋121＋122＋…＋12n －1) ＝2n －1－12n 1－12＝2n －2＋12n －1 ∴S n ＝2n －2＋12n －1. 10．解 (1)由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0， 得S 30－S 20S 20－S 10＝1210，设公比为q ， 则a 1(1－q 30)1－q －a 1(1－q 20)1－q a 1(1－q 20)1－q －a 1(1－q 10)1－q＝1210，即q 10＝1210， 所以q ＝12，所以a n ＝12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝12n ， 即a n ＝12n ，n ＝1,2，…. (2)因为{a n }是首项a 1＝12，公比q ＝12的等比数列． 所以S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－12n ，nS n ＝n －n 2n . 则数列{nS n }的前n 项和T n ＝(1＋2＋…＋n )－⎝⎛⎭⎫12＋222＋…＋n 2n ① T n 2＝12(1＋2＋…＋n ) －⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1② ①－②，得T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＋n 2n ＋1＝n (n ＋1)4－12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＋n 2n ＋1， 即T n ＝n (n ＋1)2＋12n －1＋n 2n －2.。
插值法例题计算过程
插值法例题计算过程
【实用版】
目录
1.插值法的概念和应用
2.插值法例题的解题步骤
3.插值法在财务管理中的应用
4.结论
正文
一、插值法的概念和应用
插值法是一种数学方法，通过已知的数据点来预测或计算未知数据点的值。
在财务管理中，插值法常用于计算资金时间价值、债券收益率和股票期权价格等。
插值法的主要优点是能够提高计算精度，弥补单纯使用线性插值法的不足。
二、插值法例题的解题步骤
以下是一个关于插值法计算的例题：
已知某项目的投资额为 100,000 元，预期收益分别为：当利率为 10% 时，收益为 12,176.5 元；当利率为 12% 时，收益为 116,530 元。
假设利率为 i 时，收益为 120,000 元，求 i 的值。
解：我们可以使用插值法来解决这个问题。
首先，根据题意列出方程：（i-12%）/（10%-12%） = （120,000-116,530）/（121,765-116,530）化简得：
（i-12%）/（-2%） = 3,465/4,930
解这个方程，得到 i 的值为 11.76%。
三、插值法在财务管理中的应用
在财务管理中，插值法常用于计算资金的时间价值、债券的收益率和股票期权的价格等。
例如，在计算债券的收益率时，我们可以通过已知的债券价格和到期收益来预测债券的收益率。
四、结论
总之，插值法是一种重要的数学方法，它在财务管理中有广泛的应用。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)(OCR)
根是ｘ，，２…，ｘ－，且Ｖ。ｘ，ｘ…·，ｘ）＝Ｖ，Ｃｘ６，ｘ…·）（ｘ－ｘ）…（ｘ－ｘ）。
Ｖ，（ｘｏ，ｘ，…ｘ－ｘ）＝１１】 －ｘ，）用ａ－ｘ，）
［证明］由
可得求证。
＝Ｖ，（Ｃｘ８，ｘ，…，ｘＸ））１１（ｘ－ｘ）
２、当ｘ＝１－１，２时，ｆ（ｘ）＝０，－３．４，求ｆ（ｘ）的二次插值多项式。
Ｌ，（ｘ）＝ｙ％（（ｘｘ６－－ｘｘ，）（（ｘｘ－２ｘ－ｘ２２））
ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｆ０．５）＝－０．６９３１４７，ｙ２＝ｆ（ｘ）＝ｆ（０．６）＝－０．５１０８２６，则
Ｌ２（ｘ）＝ｙ。 （ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ２）
（ｘ６－ｘ）ｘ－ｘ）
（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）
（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ２）
（ｘ－ｘｏ）（ｘ－ｘ） （ｘ２－ｘｏ）（ｘ２－ｘ）
＝－０．９１６２９１×．（０（．ｘ４－０－．０５．）５（）ｘ（－００．．６４）－０．６－．
３０—＋２—９．ｘ９５８３ｘ３１￣０２＇＝０．８３３６×１０４
１４、试用消元法解方程ｘ组１＋１０＂ｘ＝１００
ｘ＋ｘ２＝２
，假定只有三位数计算，问结果是否
可靠？
［解］精确解为ｘ１＝０１００－＊１ １０＂－２ ，当使用三位数运 算时，得到
ｘ ＝１，ｘ２＝１，结果可靠。
１５、已知三角形面积ｓ＝ｓ去＝ ａｂｓｉｎｃ，其中ｃ为弧度，０＜ｃ＜ 且测量ａ，ｂ，ｃ
位有效数字；ｘ＝５６．４３０有５位有效数字；ｘ＝７×１０有２位有效数字。 ４、利用公式（３．３）求下列各近似值的误差限，其中ｘ，ｘ；，ｘ，ｘ；均为第３题所给
的数。
（１）ｘ＋ｘ２＋ｘ：
ｅ（ｘ＋ｘ写＋ｘ）＝＞
［解］
Ｅ（ｘ）＝Ｅ（ｘ）＋Ｅ（ｘ）＋Ｅ（ｘ；）
３＋ｔｘ１０＝１．０５×１０３
（２）ｘｘｘ；