数值计算方法第四章插值1
数值计算中的插值方法-教案
数值计算中的插值方法-教案一、引言1.1数值计算与插值方法的背景1.1.1数值计算在现代科学和工程中的重要性1.1.2插值方法在数值计算中的应用1.1.3插值方法的基本概念和分类1.1.4教学目标和意义1.2插值方法的历史发展1.2.1古典插值方法的发展历程1.2.2现代插值方法的发展趋势1.2.3插值方法在不同领域的应用案例1.2.4学生对插值方法历史了解的重要性1.3教学方法和组织形式1.3.1采用的教材和参考资料1.3.2教学方法和策略1.3.3教学活动的组织形式1.3.4学生参与和互动的重要性二、知识点讲解2.1插值函数的构造2.1.1拉格朗日插值多项式2.1.2牛顿插值多项式2.1.3埃尔米特插值多项式2.1.4各种插值方法的优缺点比较2.2插值误差分析2.2.1插值多项式的余项2.2.2插值误差的估计2.2.3插值误差与数据点分布的关系2.2.4提高插值精度的方法2.3插值方法的应用2.3.1数据拟合与逼近2.3.2数值微积分2.3.3工程问题中的插值应用2.3.4学生实际操作和案例分析的必要性三、教学内容3.1拉格朗日插值多项式3.1.1拉格朗日插值多项式的定义3.1.2拉格朗日插值多项式的构造方法3.1.3拉格朗日插值多项式的性质3.1.4拉格朗日插值多项式的应用实例3.2牛顿插值多项式3.2.1牛顿插值多项式的定义3.2.2牛顿插值多项式的构造方法3.2.3牛顿插值多项式的性质3.2.4牛顿插值多项式的应用实例3.3埃尔米特插值多项式3.3.1埃尔米特插值多项式的定义3.3.2埃尔米特插值多项式的构造方法3.3.3埃尔米特插值多项式的性质3.3.4埃尔米特插值多项式的应用实例四、教学目标4.1知识与技能目标4.1.1理解插值方法的基本概念和分类4.1.2掌握拉格朗日、牛顿和埃尔米特插值多项式的构造方法4.1.3学会分析插值误差，并了解提高插值精度的方法4.1.4能够运用插值方法解决实际问题4.2过程与方法目标4.2.1培养学生的数学建模能力4.2.2培养学生的数据分析能力4.2.3培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力4.2.4培养学生的合作与交流能力4.3情感态度与价值观目标4.3.1培养学生对数学学习的兴趣和热情4.3.2培养学生的科学精神和创新意识4.3.3培养学生的团队协作意识和责任感4.3.4培养学生的国际视野和跨文化交流能力五、教学难点与重点5.1教学难点5.1.1插值多项式的构造方法5.1.2插值误差的分析与估计5.1.3插值方法在实际问题中的应用5.1.4学生对插值方法的理解和应用能力5.2教学重点5.2.1插值方法的基本概念和分类5.2.2拉格朗日、牛顿和埃尔米特插值多项式的性质5.2.3插值方法在数值计算中的应用5.2.4学生对插值方法的应用和实践能力六、教具与学具准备6.1教具准备6.1.1多媒体设备6.1.2白板和笔6.1.3教学软件和应用程序6.1.4教学视频和演示文稿6.2学具准备6.2.1笔记本和文具6.2.2计算器和数学软件6.2.3相关教材和参考资料6.2.4学生自主学习的资源七、教学过程7.1导入新课7.1.1引入数值计算和插值方法的背景7.1.2提出问题，激发学生的兴趣7.1.3引导学生回顾相关知识点7.1.4提出教学目标和要求7.2知识讲解与演示7.2.1讲解插值方法的基本概念和分类7.2.2演示拉格朗日、牛顿和埃尔米特插值多项式的构造方法7.2.3分析插值误差，并介绍提高插值精度的方法7.2.4通过实例讲解插值方法在实际问题中的应用7.3学生练习与讨论7.3.1布置练习题，让学生独立完成7.3.2组织学生进行小组讨论和合作7.3.3引导学生提出问题和解决问题的方法7.3.4检查学生的练习情况，并进行点评和指导7.4.2引导学生思考插值方法在其他领域的应用7.4.3提供相关资料和资源，鼓励学生进行深入学习7.4.4布置作业，巩固学生的学习成果八、板书设计8.1板书设计概述8.1.1板书设计的重要性8.1.2板书设计的原则和策略8.1.3板书设计的内容和方法8.1.4学生对板书的理解和记忆能力8.2板书设计的内容8.2.1插值方法的基本概念和分类8.2.2拉格朗日、牛顿和埃尔米特插值多项式的构造方法8.2.3插值误差的分析与估计8.2.4插值方法在实际问题中的应用8.3板书设计的策略8.3.1采用图表和示意图进行辅助说明8.3.2使用颜色和标记进行突出和区分8.3.3运用逻辑结构和层次进行组织8.3.4结合多媒体和教具进行补充和拓展九、作业设计9.1作业设计概述9.1.1作业设计的重要性9.1.2作业设计的原则和策略9.1.3作业设计的内容和方法9.1.4学生对作业的理解和完成能力9.2作业设计的内容9.2.1基本概念和分类的回顾题9.2.2插值多项式的构造和应用题9.2.3插值误差的分析和计算题9.2.4实际问题的建模和解决题9.3作业设计的策略9.3.1设计不同难度层次的作业题9.3.2提供相关资料和资源进行辅助9.3.3鼓励学生进行合作和讨论9.3.4安排作业的批改和反馈机制十、课后反思及拓展延伸10.1课后反思10.1.1教学目标的达成情况10.1.2教学难点和重点的处理情况10.1.3教学方法和策略的有效性10.1.4学生的学习情况和反馈意见10.2拓展延伸10.2.1插值方法在其他领域的应用10.2.2相关的数学建模和数据分析方法10.2.3国际视野下的数值计算方法10.2.4学生自主学习和研究的机会重点关注环节及其补充说明：1.教学难点与重点：在讲解插值多项式的构造方法和插值误差分析时，应结合实例和图表进行详细解释，并引导学生进行实际操作和练习，以提高他们的理解和应用能力。
数值计算方法第2版 第4章 插值法
则
l ( x ) 1 ( k i ) , k i l ( x ) 0 ( k i ) , i 、 k 0 , 1 , , n k i
lk (x)称为关于节点xi( i=0,1,…,n)的n次插值基函数。
基函数的特点
1. 基函数的个数等于节点数。 2. n+1个节点的基函数是n次代数多项式。 3. 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯 一的确定。 4. 基函数和被插值函数无关。 5. 基函数之和为1。
公式的结构：它是两个一次函数的线性组合 线性插值基函数
x x 1 l ( x ) , 0 x x 0 1 x x 0 l ( x ) 1 x x 1 0
3 线性插值的几何意义 用直线 P ( x ) 近似代替被插值函数 f ( x ) 。
例
造数学用表。平方根表
给定函数在100、121两点的平方根如下表，试用线性 插值求115的平方根。 x 100 121
其系数行列式
a0 a1 x0 a2 x02 an x0n y0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 y1 2 n a a x a x a x n n yn 0 1 n 2 n
1 x 0 x 02
x 0n
2 n 1 x x x 1 1 ( x x 0 V ( x , x , , x ) 1 i j) 0 1 n 0 j i n
1 xn
x n2 x nn
,a , ,a 0 1 n ，因此P(x)存在且唯一。 方程组有唯一解 a
唯一性说明不论用那种方法构造的插值多 项式只要满足相同的插值条件，其结果都是互 相恒等的。 推论 当f(x)是次数不超过n的多项式时， 其n次插值多项式就是f(x)本身。
数值计算方法教案
数值计算方法教案第一章：数值计算概述1.1 数值计算的定义与特点引言：介绍数值计算的定义和基本概念数值计算的特点：离散化、近似解、误差分析1.2 数值计算方法分类直接方法：高斯消元法、LU分解法等迭代方法：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代等1.3 数值计算的应用领域科学计算：物理、化学、生物学等领域工程计算：结构分析、流体力学、电路模拟等第二章：误差与稳定性分析2.1 误差的概念与来源绝对误差、相对误差和有效数字误差来源：舍入误差、截断误差等2.2 数值方法的稳定性分析线性稳定性分析：特征值分析、李雅普诺夫方法非线性稳定性分析：李模型、指数稳定性分析2.3 提高数值计算精度的方法改进算法：雅可比法、共轭梯度法等增加计算精度：闰塞法、理查森外推法等第三章：线性方程组的数值解法3.1 高斯消元法算法原理与步骤高斯消元法的优缺点3.2 LU分解法LU分解的步骤与实现LU分解法的应用与优势3.3 迭代法雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法迭代法的选择与收敛性分析第四章：非线性方程和方程组的数值解法4.1 非线性方程的迭代解法牛顿法、弦截法等收敛性条件与改进方法4.2 非线性方程组的数值解法高斯-赛德尔法、共轭梯度法等方程组解的存在性与唯一性4.3 非线性最小二乘问题的数值解法最小二乘法的原理与方法非线性最小二乘问题的算法实现第五章：插值与逼近方法5.1 插值方法拉格朗日插值、牛顿插值等插值公式的构造与性质5.2 逼近方法最佳逼近问题的定义与方法最小二乘逼近、正交逼近等5.3 数值微积分数值求导与数值积分的方法数值微积分的应用与误差分析第六章：常微分方程的数值解法6.1 初值问题的数值解法欧拉法、改进的欧拉法龙格-库塔法（包括单步和多步法）6.2 边界值问题的数值解法有限差分法、有限元法谱方法与辛普森法6.3 常微分方程组与延迟微分方程的数值解法解耦与耦合方程组的处理方法延迟微分方程的特殊考虑第七章：偏微分方程的数值解法7.1 偏微分方程的弱形式介绍偏微分方程的弱形式应用实例：拉普拉斯方程、波动方程等7.2 有限差分法显式和隐式差分格式稳定性分析与收敛性7.3 有限元法离散化过程与元素形状函数数值求解与误差估计第八章：优化问题的数值方法8.1 优化问题概述引言与基本概念常见优化问题类型8.2 梯度法与共轭梯度法梯度法的基本原理共轭梯度法的实现与特点8.3 序列二次规划法与内点法序列二次规划法的步骤内点法的原理与应用第九章：数值模拟与随机数值方法9.1 蒙特卡洛方法随机数与重要性采样应用实例：黑箱模型、金融衍生品定价等9.2 有限元模拟离散化与求解过程应用实例：结构分析、热传导问题等9.3 分子动力学模拟基本原理与算法应用实例：材料科学、生物物理学等第十章：数值计算软件与应用10.1 常用数值计算软件介绍MATLAB、Python、Mathematica等软件功能与使用方法10.2 数值计算在实际应用中的案例分析工程设计中的数值分析科学研究中的数值模拟10.3 数值计算的展望与挑战高性能计算的发展趋势复杂问题与多尺度模拟的挑战重点解析本教案涵盖了数值计算方法的基本概念、误差分析、线性方程组和非线性方程组的数值解法、插值与逼近方法、常微分方程和偏微分方程的数值解法、优化问题的数值方法、数值模拟与随机数值方法以及数值计算软件与应用等多个方面。
数值计算方法插值法资料
一次插值
当n 1时，求一次多项式P1(x),要求通过 x0, y0 , x1, y1
两点
y
y0 x0
y1 x1
P1(x) f(x)
二次插值
当n 2时，求二次多项式P2 (x),要求通过 x0, y0 , x1, y1 , x2, y2 三点
y
f(x)
y0 x0
y1 x1
y2 x2
P1(x)
知两点。
线性插值
插值函数和插值基函数
由直线的点斜式公式可知：
P1(x)
yk
yk 1 xk 1
yk xk
(x
xk )，把此式按照
yk和yk1写成两项:P1(x)
x xk1 xk xk 1
yk
x xk xk 1 xk
yk
，
1
记l k (x)
x xk1 xk xk 1
, lk1(x)
l
0 ( x)
x 20 10 20
1 10
(x
20)，l1 ( x)
x 10 20 10
1 10
(x
10)
例子
于是，拉格朗日型一次插值多项式为：
P1 ( x)
y0l0 (x)
y1l1 ( x)
1 10
(x
20)
1.3010 10
(x
10)
故P1
(12)
1 10
(12
20)
1.3010 10
(12
决定
1
例子
例1：已知lg10 1 , lg 20 1.3010，利用插值一次 多项式求 lg12的近似值。 解：f (x) lg x，f (x) lg x，f (10) 1，f (20) 1.3010 设x0 10，x1 20，y0 1，y1 1.3010， 则插值基本多项式为：
第四章插值方法_计算方法
l0(x) l1(x) x0 1 0
x x 0 l1( x) x1 x0
x1 0 1
16
n = 2 已知 使得
x0 , x1 , x2 y0 , y1 , y2
, 求 L2 ( x) ，
L2(x1) = y1 L2(x2) = y2
L2(x0) = y0
显然,
L2(x)是过 (x0, y0) 、 ( x1 , y1 )
、( x2 , y2 ) 三点的一条
抛物线。
y
y=L2(x) y0 O x0 y1 x1 y1 x2 y=f(x) x
17
先求 插值基函数 l 0(x), l1 (x), l 2(x) ,
它们满足
(1) 都是二次函数；
以下的问题：如何分析插值的余项？
24
算例1 已知连续函数 f (x) 的函数表如下： x f (x) -1 0 1 2 -2 -2 1 2
求方程 f (x)=0 在(-1,2)内的近似根。
25
算例1
已知连续函数f (x)的函数表如下：
x f(x)
-1 0 1 2 -2 -2 1 2
求方程 f (x)=0 在(-1,2)内的近似根。
y1 y0 L1 ( x) y0 ( x x0 ) x1 x0
1 x x1 x x0 y0 y1 li ( x) yi i 0 x0 x1 x1 x0
L1(x)是两个线性函数 的线性组合
l0(x)
l1(x)
线性插值 基函数
15
L1( x) y0 l0 ( x) y1 l1( x)
数据插值方法范文
数据插值方法范文数据插值是指利用已知数据点来估算或预测未知数据点的方法。
在实际应用中，数据插值常常用于填补缺失数据、估算缺失数据以及生成光滑曲线等任务。
本文将介绍常用的数据插值方法。
1.线性插值方法：线性插值是数据插值的一种简单且常用方法。
它假设在两个已知数据点之间的未知数据点的取值是线性变化的。
线性插值的计算公式可以表示为：y=y1+(x-x1)*(y2-y1)/(x2-x1)，其中x1和x2是已知数据点的位置，y1和y2是对应的取值，x是待插值点的位置，y是对应的待插值的值。
2.拉格朗日插值方法：拉格朗日插值方法是一种高次插值方法。
它通过构造一个多项式函数来逼近已知数据点，然后利用多项式进行插值。
拉格朗日插值的计算公式可以表示为：y = Σ(yi * L(xi))，其中xi和yi是已知数据点的位置和取值，L(xi)是拉格朗日插值多项式的系数。
3.牛顿插值方法：牛顿插值方法也是一种高次插值方法。
与拉格朗日插值不同的是，牛顿插值使用了差商的概念来构造插值多项式。
牛顿插值的计算公式可以表示为：y=Σ(Di*ωi)，其中Di是差商，ωi是权重。
牛顿插值可以通过迭代计算差商并更新权重来求解。
4.三次样条插值方法：三次样条插值方法是一种光滑插值方法，其主要思想是以每两个已知数据点为节点，通过拟合三次多项式来进行插值。
三次样条插值的计算公式可以表示为：S(x) = ai + bi(x-xi) + ci(x-xi)^2 + di(x-xi)^3，其中ai、bi、ci、di是多项式的系数，xi是已知数据点的位置。
5.克里金插值方法：克里金插值方法是一种空间插值方法，主要用于地质学、气象学等领域。
它假设未知点的取值是由已知点的取值通过一定的权重加权求和得到的。
克里金插值的计算公式可以表示为：Z(x)=Σ(λi*Zi)，其中Z(x)是待插值点的取值，Zi是已知数据点的取值，λi是权重。
除了以上介绍的几种常用的数据插值方法外，还有一些其他的插值方法，如最邻近插值、反距离权重插值、径向基函数插值等。
第四章插值法
P2 ( x) a0 a1 x a2 x 2
使之满足
P2 ( xi ) yi , i 0, 1, 2
计算机科学与工程系 19
令
lk ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) ( x x j )
j 0 j k n
计算机科学与工程系 27
4.2.3 拉格朗日插值多项式
由lk (xk) = 1，得：
1 ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
计算机科学与工程系 25
10
11
4.2.3 拉格朗日插值多项式
插值公式
设连续函数y = f（x）在[a, b]上给定n + 1个不同结 点： x0, x1, …, xn 分别取函数值 y0, y1, …, yn 其中 yi = f (xi) i = 0, 1, 2,…, n 构造一个次数不超过n的插值多项式
因此
( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) P2 ( x ) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) y2 ( x2 x0 )( x2 x1 )
因此有
lk ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
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两点
多项式插值就是直线
， 经过这两点的
称给定
为线性插值多项式。称
为关于点
的线性插值基函数，其在节点处满足：
6
4.2.1 线性插值与二次插值 假定插值节点为 ， ， ，要求二次插值多项式
几何上
是通过三点
可以用基函数的方法求的表源自式，是二次函数，的抛物线.
7
4.2.2 拉格朗日插值多项式
求n+1个次数 满足
且次数不超过n 的多项式，其所给出形式的系数为
称
为牛顿（Newton）均差插值多项式.
系数 就是均差表4-1中主对角线上的各阶均差， 它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计.
25
4.3.2 Newton均差插值多项式 （*）为插值余项，由插值多项式惟一性知，它与
拉格朗日插值多项式的余项应该是等价的. 事实上，利用均差与导数关系式就可以证明这一点. 但（3.7）更有一般性，它在 是由离散点（给3.出7）的
式求 x 的近似值。
解 (1) 选取节点x=2,3,4
xf 一 二 三
kk
(x k)
阶 均
阶 均
阶 均
31
32
4.4 分段低次插值
4.4.1 Runge现象 在次数 增加时逼近 的精度是否也增加?
问题：根据区间 上给出的节点做出的插值多项式
事实上，对于有些函数，插值多项式次数很高时会在某些区 间内产生较大的误差。例如著名的Runge现象。
分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区 间, 然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值.
35
4.4.2 分段低次插值
例如分段线性插值。 所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来
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代数插值
代数插值
当f(x)是次数不超过n的多项式时,给定n+1个节点,其n次插值多项式就是f(x)本身.
代数插值几何意义
拉格朗日插值 逐次线性插值 牛顿插值 等距节点插值 反插值 埃尔米特插值 分段插值法 三次样条插值
拉格朗日插值 线性插值
格朗日插值 抛物线插值
基函数之和为1.
拉格朗日插值 n次插值
当插值点x∈(a,b)时称为内插，否则称为外插。
内插的精度高于外插的精度。
拉格朗日插值余项
余项 设函数f(x)在包含节点x0 , x1 ,…, xn的区间[a,b]上有n+1阶导数，则
拉格朗日插值
活动14
写出3次拉格朗日插值多项式及余项
拉格朗日插值
拉格朗日插值
作业5
已知函数表
应用拉格朗日插值公式计算f(1.300)的近似值.
数值计算方法
苏 强
江苏师范大学连云港校区
数学与信息工程学院 E-mail: 412707233@
数值计算方法 第四章 插值与曲线拟合
没有明显的解析表达式
使用不便的解析表达式
简单函数代替
插值问题
插值问题
代数插值 插值函数
被插值函数 插值节点
插值区间
三角多项式插值 有理函数插值
代数插值
抛物线插值
三点插值
拉格朗日插值 抛物线插值
抛物线插值
三点插值
拉格朗日插值 抛物线插值
拉格朗日插值 n次插值
称为关于节点
的n次插值基函数.
拉格朗日插值n次插值
基函数的个数等于节点数.
n+1个节点的基函数是n次代数多项式 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯一的确定。 基函数和被插值函数无关