第4章 插值法作业
建筑材料第04章 混凝土配合比设计作业及答案解析
试设计该混凝土的初步配合比。
解：（1）确定配制强度
当fcu,k C60时
fcu,0 fcu,k 1.645 40 1.645 5 48.23MPa
（2）确定水胶比
对于碎石混凝土： a 0.53,b 0.20
查附表4，当水胶比为0.4时，砂率为31.5%；当水胶比为0.5时，砂率为34.5%。 采用插值法计算得出当水胶比为0.48时，砂率为33.9%
（6）采用质量法计算砂石用量
C0 S0 G0 W0 0c
S0 S0 G0
SP
406
S0
G0
195
2400
S0 S0 G0
33.9%
Mx ＝3.1～3.7粗砂； Mx ＝2.3～3.0中砂； Mx ＝1.6～2.2细砂； 该砂为中砂，级配不合格
2.采用32.5级普通硅酸盐水泥、碎石和天然砂配制混凝土， 制作3块标准立方体试块，养护28d，测得的破坏荷载分别 是140kN、135kN、142kN。试求该混凝土28d的立方体 抗压强度。（提示：荷载需要求平均值）
S0 610 Kg, G0 1189 Kg
（7）确定配合比 质量表示：水泥406kg、砂610kg、石子1189kg、水195kg 质量比：水泥：砂：石子：水=1:1.5:2.93:0.48
a3 47 / 500 100 9.4
a2 43 / 500 100 8.6 a4 191 / 500 100 38.2
a5 102 / 500 100 20.4
a6 82 / 500 100 16.4
（2）累计筛余计算：
A1 a1 5.4
A2 a1 a2 14
计算方法第四章 插值法
4
3
xi 4 yi 2
9 16 3 4
2
0
4
7
9
16
第4章 插值法
应用背景
造函数表：三角函数、对数 预测：鸡蛋价格、城市用水量
《 计 算 方 法 》
数控加工：造船、飞机机翼骨架、服装 样片、模具加工、刀具 计算机辅助设计：潜水艇、汽车造型
服装样片
第4章 插值法
实际问题中，f (x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散 数据；或者f (x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数 φ(x)来逼近f (x)。
《 计 算 方 法 》
φ (x)= y0
第4章 插值法
§2 线性插值与二次插值
2.1 线性插值
线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设
《 计 算 方 法 》
给定了函数f (x)在两个互异点x0，x1的值,即
x x0值）
y y0 x0
y1
x1
x
第4章 插值法
现要用一线性函数
满足插值条件：
y( xi ) = yi , i = 0,1, 2
22
第4章 插值法 例：已知函数 y=f (x)的观测数据为
x
《 计 算 方 法 》
1 0
2 -5
3 -6
4 3
y
试求拉格朗日插值多项式。
第4章 插值法
《 计 算 方 法 》
( x 2)( x 3)( x 4) 解 ：p3 ( x ) = 0 (1 2)(1 3)(1 4) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 5) (2 1)(2 3)(2 4) ( x 1)( x 2)( x 4) ( 6) (3 1)(3 2)(3 4) ( x 1)( x 2)( x 3) 3 (4 1)(4 2)(4 3) = x3 4 x2 3
数值计算方法第2版 第4章 插值法
则
l ( x ) 1 ( k i ) , k i l ( x ) 0 ( k i ) , i 、 k 0 , 1 , , n k i
lk (x)称为关于节点xi( i=0,1,…,n)的n次插值基函数。
基函数的特点
1. 基函数的个数等于节点数。 2. n+1个节点的基函数是n次代数多项式。 3. 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯 一的确定。 4. 基函数和被插值函数无关。 5. 基函数之和为1。
公式的结构：它是两个一次函数的线性组合 线性插值基函数
x x 1 l ( x ) , 0 x x 0 1 x x 0 l ( x ) 1 x x 1 0
3 线性插值的几何意义 用直线 P ( x ) 近似代替被插值函数 f ( x ) 。
例
造数学用表。平方根表
给定函数在100、121两点的平方根如下表，试用线性 插值求115的平方根。 x 100 121
其系数行列式
a0 a1 x0 a2 x02 an x0n y0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 y1 2 n a a x a x a x n n yn 0 1 n 2 n
1 x 0 x 02
x 0n
2 n 1 x x x 1 1 ( x x 0 V ( x , x , , x ) 1 i j) 0 1 n 0 j i n
1 xn
x n2 x nn
,a , ,a 0 1 n ，因此P(x)存在且唯一。 方程组有唯一解 a
唯一性说明不论用那种方法构造的插值多 项式只要满足相同的插值条件，其结果都是互 相恒等的。 推论 当f(x)是次数不超过n的多项式时， 其n次插值多项式就是f(x)本身。
《计算方法》第四章 插值方法
满足插值条件
P n (x ) a 0 a 1 x a n x n
Pn(xi)yi
Return 13
§4.2 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */
1. 构造线性插值基函数的方法:
n= 1
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 L1(x)= a0 +a1x使得 L1( x0 ) y0 , L1( x1) y1
R n(x)f(x)L n(x)
24
➢ Lagrange插值法的插值余项
设节点 ax0x1xnb，且 f 满足条件 f Cn[a,b], f (n1)在[a , b]内存在 , 截断误差(或插值余项):
R n(x)f(x)L n(x)f(( n n 1)1 ()!) n 1(x) , (a,b)
计算方法
第四章 插值方法
计算方法课程组
华中科技大学数学与统计学院
1
§4 插值方法
§4.1多项式插值问题的一般提法 §4.2 拉格朗日(Lagrange)插值 §4.3 差商与差分及其性质 §4.4 牛顿插值公式 §4.5 分段插值法 §4.6曲线拟合的最小二乘法
2
§4.0 引言
插值法是广泛应用于理论研究和生产实践的重 要数值方法, 它是用简单函数(特别是多项式或分 段多项式)为各种离散数组建立连续模型；为各种 非有理函数提供好的逼近方法。众所周知，反映 自然规律的数量关系的函数有三种表示方法：
y0 = f (x0) , …, yn = f (xn)， 由此构造一个简单易算的近似函数
p(x) f(x)，满足条件: p(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 这里的 p(x) 称为f(x) 的插值函数。 最常用的插值函数是 …?
第4章 插值法(3)
第4章 插值逼近
相应也要求样条插值函数s(x)也具有周期性,故在端 点要求满足条件
《 数 值 分 析 》
s′( x0 ) = s′( xn ), s′′( x0 ) = s′′( xn )
(4―50)
第4章 插值逼近
hk uk = hk −1 + hk
《 数 值 分 析 》
6 yk +1 + yk yk − yk −1 λk = ( − ) hk −1 + hk hk hk −1
那么
hk −1 1 − uk = hk −1 + hk
(1 − uk )mk −1 + 2mk Байду номын сангаас uk mk +1 = λk k = 1, 2,L , n − 1
(4―44)
第4章 插值逼近
从而解出Ak和Bk,即
yk +1 − yk hk Ak = − ( mk +1 − mk ) hk 6
《 数 值 分 析 》
(4―45)
hk2 Bk = yk − mk 6
(4―46)
由式(4―43)可看出三次样条插值函数s(x)仅与 mk、m k+1有关系,因此只要求得各个mk,则各个子区 间［xk,x k+1］上的三次样条函数也就确定了。下面 介绍求mk的方法。
① 函数y=f(x)在两端点x0及xn处的导数y′0和y′n为已 知。此时要求
′ s′( x0 ) = y0 ,
′ s′( xn ) = yn
由式(4―48)和(4―49)得到
第4章插值法第2讲
米插值基函数。
计算方法
第四章 函 数 插 值
下面利用拉格朗日插值基函数li(x)(i=0，1，…，n)来构
造ai(x)和βi(x)。
因关于节点x0，x1，…，xn的拉格朗日基函数li(x)满足：
(j≠i, j=0, 1, …，n) 且l2i(x)是2n次多项式，由条件(4.25)式，可设ai(x)为
计算方法
第四章 函 数 插 值
定理4.4 满足插值条件(4.24)式的埃尔米插值多项式是
唯一的。 证明 设H2n+1(x)和 H 2n1 x 都是满足条件(4.24)式的埃 尔米插值多项式，令
x H2n1 x H2n1 x
则每个节点xi(i=0，1，…，n)均为φ(x)的二重根，即φ(x)有 2n+2个根，但φ(x)是个不高于2n+1次的多项式，所以φ(x)≡0，
米(Hermit)插值，它是代数插值问题的推广。
.5.1 一般情形的埃尔米插值问题
已知函数y=f(x)在区间［a, b］上n+1个互异节点x0，
x1，…，xn处的函数值为yi=f(xi)(i=0, 1, 2, …，n)，导数值为 f′(xi)(注意：函数值个数与导数值个数相同)，现要求做一个 次数不超过2n+1次的多项式H2n+1(x)，使其满足下述2n+2个 插值条件:
2 2
2
2
计算方法 例1.
第四章 函 数 插 值
已知f ( x)在节点1， 2处的函数值为 f (1) 2 , f ( 2 ) 3 f ( x)在节点1， 2处的导数值为 f (1) 0 , f ( 2 ) 1
求f ( x)的两点三次插值多项式 , 及f ( x)在x 1.5,1.7处的函数值 .
插值法例题计算过程
插值法例题计算过程摘要：1.插值法的基本概念和应用场景2.插值法的计算步骤和注意事项3.插值法在财务管理中的实际运用案例4.插值法在实际问题中的优缺点分析正文：插值法是一种数学方法，通过在已知数据点之间构建插值函数来逼近或预测未知数据。
在财务管理等领域具有广泛的应用。
接下来，我们将详细介绍插值法的计算步骤，并通过一个实际案例来说明其应用。
一、插值法的基本概念和应用场景插值法是基于已有的数据点（如(x1, y1)，(x2, y2)，(xn, yn)）来构造一个插值函数，以便在未知点处预测函数值。
插值法可以应用于诸如财务管理等领域，解决诸如净现值计算等问题。
二、插值法的计算步骤和注意事项1.确定插值函数：根据已知数据点选择合适的插值函数，如线性插值、二次插值等。
2.构建插值表：将已知数据点代入插值函数，计算出对应的函数值，并构建插值表。
3.插入未知点：将要求的点的横坐标x代入插值函数，得到所求的函数值。
4.注意事项：在选择插值函数时，应注意数据的分布情况，避免出现龙格现象；同时，插值表的密度和精度也直接影响插值结果的准确性。
三、插值法在财务管理中的实际运用案例假设我们有一个投资项目，其净现值随折现率变化而变化。
已知当折现率为12%时，净现值为116530；当折现率为10%时，净现值为121765。
我们可以使用插值法来计算其他折现率下的净现值。
四、插值法在实际问题中的优缺点分析优点：插值法简单易行，计算速度快，适用于大量数据处理。
缺点：插值法的精度受限于已知数据点的质量和分布，以及所选插值函数的类型。
在某些情况下，插值法可能无法很好地逼近真实函数。
总之，插值法作为一种有效的数学方法，在财务管理等领域具有广泛的应用。
通过掌握插值法的计算步骤和注意事项，我们可以更好地解决实际问题。
第四章插值法
P2 ( x) a0 a1 x a2 x 2
使之满足
P2 ( xi ) yi , i 0, 1, 2
计算机科学与工程系 19
令
lk ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) ( x x j )
j 0 j k n
计算机科学与工程系 27
4.2.3 拉格朗日插值多项式
由lk (xk) = 1，得：
1 ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
计算机科学与工程系 25
10
11
4.2.3 拉格朗日插值多项式
插值公式
设连续函数y = f（x）在[a, b]上给定n + 1个不同结 点： x0, x1, …, xn 分别取函数值 y0, y1, …, yn 其中 yi = f (xi) i = 0, 1, 2,…, n 构造一个次数不超过n的插值多项式
因此
( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) P2 ( x ) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) y2 ( x2 x0 )( x2 x1 )
因此有
lk ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
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第4章 插值法2．证明：n 次拉格朗日插值多项式为：0()()()()nn n j n k k k k k j k j j kx x L x y l x y x x ===≠-==-∑∑∏————（1）现令()()nj j x x x ω==-∏，则00'()()nnjm j j mx x x ω==≠=-∑∏，————2（）将k x 代入'()()nnjm j j mx x x ω==≠=-∑∏，可得0'()()nk k j j j mx x x ω=≠=-∏————————（3）将（3）和（2）代入（1）中命题可证。
5．证明提示：利用线性插值余项可以推出命题。
6．证明：由题意可知，()f x 是n 次多项式并有n 个互异的实根，可令12()()()......()()n n n n f x a x x x x x x a x ω=---=再令()jg x x = 则jnk k=11()'()'()nk k k n n k g x x f x a x ω==∑∑利用均差性质：则[]121()1......'()nk n k n n k ng x g x x x a x a ω==∑ 又由均差与导数的性质可证命题成立。
7．算法提示：利用差商表可求。
8．算法提示：利用求牛顿插值公式。
12．证明提示：参考拉格朗日插值余项的证明方法。
14．算法提示：参考三对角方程组的样条函数的求解过程及例11。
补充习题解题思路1． 设)(x l k (k= 0, 1, 2, …,n)是n 次拉格朗日插值基函数，试证：∑==nk j kjk x x lx 0)( 。
（j = 0, 1, 2, …, n ） 证明：记n k x kk ...2,1,0,==ϕ，则为插值接点的拉格朗日以n k x x x x ,...,,)(10ϕ插值多项式为∑=ni i i kx l x 0)()(ϕ。
插值余项的导数项为0，因此余项为0。
所以得证。
第5章 函数逼近与曲线拟合1、 求解思路：求在给定的区间上，关于默认权()1x ρ=，以23{1,,,}x x x 为基函数的最佳均方逼近多项式。
首先，列出法方程并求解*(0,1,2,3)ia i =；其次，3*0i ii a x=∑即位所求。
2、 求解思路：求在给定的区间上，关于默认权()1x ρ=，以24{1,,}x x 为基函数的最佳均方逼近多项式，思路同上。
3、 求解思路：()f x 与()g x 在[0，1]上带权()1x ρ=正交，内积为0即可；求得1/2a =-。
5、求解思路：首先线性化模型方程，然后求解关于,a b 的法方程即可确定,a b .补充习题解题思路1、确定参数c b a ,,，使积分dx xx c bx ax c b a I 22112211]1[),,(---++=⎰-取得最小值。
求解思路：等价于求()f x =()x ρ=，以2{1,,}x x 为基的最佳均方逼近多项式。
、第6章 数值积分1、 求解思路：利用代数精度确定求积系数，然后再确定公式的达到的最高代数精度. 3、 求解思路：确定机械求积公式是否为插值型有两种方法：利用插值型公式的定义或插值型公式的充要条件.补充习题解题思路1、 确定常数A ，B ，C 及α，使求积公式⎰++-=-)()0()()(11ααCf Bf Af dx x f 为高斯求积公式。
解：令432,,,,1)(x x x x x f =分别代入，令两边相等联立方程组，即可解得：A=C=5/9, B=8/9, 515=a 由求解过程，可知此求积公式至少有四次代数精度。
然后由于5)(x x f =带入也相等，因此有5次代数精度，由定义所求即是高斯求积公式。
2、 设23)(x x f = ，若用复化梯形求积公式求⎰-01)(dx x f 的近似值，要求准确到小数点后第4位，问步长h 应如何取值？求解思路：利用复化梯形余项公式即可。
3、已知下面公式为高斯求积公式：⎰+=--)()(1)(11212x Bf x Af dx xx f试求出A ，B ，及21,x x 。
解：在区间[1,1]-上关于()x ρ=的正交多项实为切比雪夫多项式；二次切比雪夫多项式的零点为：220=x ，221-=x 即为高斯点。
把x x f ,1)(=代入，令其准确成立；得2π==B A 。
第7章 矩阵特征值和特征向量的计算1、 求解思路：利用幂法算法过程即可. 9、求解思路：因为x ,λ是A 的一个特征值及其相应的特征向量，则x x A λ=。
已知TA A =，T P P=-1P P PAP λ=-1，再有1e P P PAP T λλ==利用上述关系得证。
补充习题解题思路1、 设有向量Tx )2,1,2(=→，试构造初等反射阵H ，使Tx H )0,0,3(=→解：和H 为两个不相等的向量，且2-范数相等，则令向量2=，所求初等反射阵为Tww E H 2-=.2、 设→→y x ,是n 维列向量，Q 为n 阶正交矩阵，且=→y Q →x=解：矩阵范数1)(||||max 2==Q Q Q T λ由矩阵算子范数相容性条件可得2222||||||||y Qx x ≤≤同理，y Q x 1-=（其中1-Q 为正交阵），可得22||||||||x y ≤ 当0=x 时，显然。
3、 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=212240130A ，试求其QR 分解。
解：把一个矩阵进行QR 分解，一般有3种方法：用平面旋转变换、反射变换以及线性代数中的斯密特正交化方法；如果分解要求R 的对角线元素大于0，则分解唯一。
4、 证明：当||B||<1时，E+B 是可逆矩阵，且||||11||)(||1B B E -≤+- 。
其中||||⋅是指矩阵的算子范数。
证明提示：证明可逆，利用反证法；求证||||11||)(||1B B E -≤+-需要利用矩阵算子范数的相容性条件和矩阵范数的定义。
第8章 常微分方程的数值解法3、求解思路：考察二阶龙格-库塔公式的增量函数满足李普希茨条件即可。
5、解：解初值问题的梯形公式为)],(),([1+1+1++2+=n n n n n n y x f y x f hy yy y x f -=),(][1+1+--2+=∴n n n n y y hy y整理成显式n n y h h y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2-2=1+反复迭代，得到 01+2-31-21+⎪⎭⎫ ⎝⎛+2-2==⎪⎭⎫ ⎝⎛+2-2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2-2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2-2=y h h y h h y h h y h h y n n n n n ...nn h h y y ⎪⎭⎫⎝⎛+2-2=∴1=0若x >0, 为求y (x )的近似值，用梯形公式以步长h 经过n 步计算得到x ，故x =nh ，有)(e ee //)(/2/2-//0→=→⎪⎭⎫⎝⎛2+12-1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2-2=≈-22h h h h h y x y x x x h x hxn8、证明：多次利用Taylor 展开式即可。
...)(!3)(!2)()()()('"3"2'1++++≈+=+n n n n n n x y h x y h x hy x y h x y x y...)(!3)(!2)()()()('"3"2'1+-+-≈-=-n n n n n n x y h x y h x hy x y h x y x y代入原式得局部误差：)34(4)(211111-+++'+'-'-+-n n nn n n y y y hy y y =（)()8321121("'3n x y h -++…根据定义，所以为二阶方法。
补充习题解题思路1、 用尤拉方法求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=<<-='1)0()10(2y x yx y y 步长取0.2,迭代2次。
解：依显式尤拉公式有：)2(1nnn n n y x y h y y -+=+ 取h=0.22、求系数b a ,，使求解常微分方程的初值问题的数值解公式)('1'1-+++=n n n n by ay h y y 的局部截断误差为311()()n n y x y O h ++-=。
解：利用泰勒公式以h 的次数从低到高展开，令常数项、h 和2h 系数为0求得b a ,.。