第一章插值方法
插值方法
插值方法
n次插值
为了计算函数值或分析函数的性态，必 须首先由实验或观测数据找出函数关系 的一个近似表达式.插值与逼近就是用简 单函数为各种离散数据建立连续的数学 模型，使其既能达到精度要求，又使计 算量尽可能小.插值与逼近理论是数值计 算的最基本内容.
插值的概念
已知函数y=f(x)在n+1个互异点x0, x1, …, xn上的函数值分别为y0, y1, …, yn ，构造 一个简单的函数P(x)，满足条件 P(xi) ＝yi (i=0,1,…n) (1) 称这类问题为插值问题，称P(x)为函数 f(x)的插值函数， f(x)为被插值函数，点x0, x1, …, xn为插值节点，称(1)为插值条件.
( x x1 ) l0 ( x) ( x0 x1 )
其中
( x x0 ) l1 ( x) ( x1 x0 )
抛物插值（二次插值）
已知函数y=f(x)在三个互异点x0, x1, x2上的函数值分别 为y0, y1, y2，构造求一个二次式L2(x)，满足条件: L2(x0)= y0 ，L2(x1)= y1 ，L2(x2)= y2. 二次Lagrange插值多项式为 L２(x)= y0l0(x) + y1l1(x) + y2l2(x)
已知
100 10,
121 11,
144 12
，试利用插
值法近似计算
115
.
分析 由题中已知条件本题可利用三点二次Lagrange 插值，也可利用三点二次Newton插值，它们所得结 果相同. 解 利用三点二次Lagrange插值.记 f ( x) x , x0 100, x1 121, x2 144, y0 10, y1 11, y2=12， 则f(x)的二次Lagrange插值多项式为
第一章多元插值
§1. 多元插值问题的提法设 D 是维s 欧氏空间sR 中的有界闭区域。
12,,,kx x x 是D 中k 个互不相同的点。
12(),(),,()kP x P x P x 是定义于D 上的k 个线性无关的s 元实值连续函数（通常取为多元多项式）。
()f x 是定义于D 上的s 元实值连续函数。
所谓多元插值问题，就是要找出实线性组合式1122()()()()kkP x c P x c P x c P x =+++ （1.1）使之满足差之条件()(),1,2,,iiP x f x i k == （1.2）这样求得的()P x 称为函数()f x 的广义插值多项式，()f x 称为被插函数，而插值逼近的误差()()()r x f x P x =- （1.3） 称为插值余项。
今后我们将插值条件（1.2）中所用的点组{}1k ii x =称为插值节点组，而把由12(),(),,()kP x P x P x 的所有实系数线性组合做成的线性空间P 称为插值空间。
若对于任何连续函数()f x ，上述问题（1.1）-（1.2）的解总是存在且唯一的，则说该问题为适定插值问题，并称结点组{}1k ii x =是空间P 的适定结点组。
大家知道，多元插值法在多元函数的列表、外形曲面的设计和有限元法中有着广泛的应用。
而其中经常应用的所谓多元多项式插值，即取上述的{}iP 为s 元的代数多项式的情形。
在本章中我们仅就二元多项式插值问题进行讨论。
其中许多方法和结论都不难推广到变元更多的多项式插值问题中去。
与一元多项式插值不同，二元（或多元）多项式插值的结点组是不能任意选的。
选得不好就会导致插值问题的不适定，从而就找不到所要求的插值多项式。
例如，在平面上任取直线上的三个点做二元一次插值，和取圆内接六边形的六个顶点做二元二次插值，都将出现插值问题不适定的情形。
因此，研究二元多项式插值必须首先解决插值的适定性问题。
为了解决这个问题，我们应该从代数曲线论中的Bezout 定理讲起。
插值法的最简单计算公式
插值法的最简单计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：插值法是一种常用的数值计算方法，用于通过已知数据点推断出未知数据点的值。
在实际问题中，往往会遇到数据点不连续或者缺失的情况，这时就需要通过插值法来填补这些数据点，以便更准确地进行计算和分析。
插值法的最简单计算公式是线性插值法。
线性插值法假设数据点之间的变化是线性的，通过已知的两个数据点来推断出中间的未知数据点的值。
其计算公式为：设已知数据点为(x0, y0)和(x1, y1)，需要插值的点为x，其在(x0, x1)之间，且x0 < x < x1，插值公式为：y = y0 + (y1 - y0) * (x - x0) / (x1 - x0)y为插值点x对应的值，y0和y1分别为已知数据点x0和x1对应的值。
通过这个线性插值公式，可以方便地计算出中间未知点的值。
举一个简单的例子来说明线性插值法的应用。
假设有一组数据点为(1, 2)和(3, 6)，现在需要插值得到x=2时的值。
根据线性插值公式，我们可以计算出：y = 2 + (6 - 2) * (2 - 1) / (3 - 1) = 2 + 4 * 1 / 2 = 2 + 2 = 4当x=2时，线性插值法得到的值为4。
通过这个简单的例子，可以看出线性插值法的计算公式的简单易懂，适用于很多实际问题中的插值计算。
除了线性插值法，还有其他更复杂的插值方法，如多项式插值、样条插值等，它们能够更精确地拟合数据并减小误差。
在一些简单的情况下，线性插值法已经足够满足需求，并且计算起来更加直观和方便。
在实际应用中，插值法经常用于图像处理、信号处理、数据分析等领域。
通过插值法，可以将不连续的数据点连接起来，填补缺失的数据，使得数据更加完整和连续，方便后续的处理和分析。
插值法是一种简单而有效的数值计算方法，其中线性插值法是最简单的计算公式之一。
通过这个简单的公式，可以方便地推断出未知数据点的值，并在实际应用中发挥重要作用。
第一章 第一节 Lagrange插值公式.
Rn
x
M n+1 n +1
max ! axb
n+1
x
Lagrange余项定理在理论上有重要价值，它刻画了 Lagrange插值的某些基本特征。
n
注1 余项中含有因子n+1 x x xi ，如果插值点x 偏离插 i0
值节点xi 比较远，插值效果可能不理想。如何选择节点xi ，
可以证明，插值问题1.1、1.2 的解是存在且唯一的。为了
得到 Lagrange 公式的一般形式，我们先从最简单的一次插 值入手。
二、线性插值
已知：
x
x0
x1
y
y0
y1
求一个一次多项式P1(x) ，使满足
P1(xi ) yi ,i 0,1.
即求过点 x0, y0 , x1, y1 的一次曲线
使
Rn x
f x Pn x
f n+1
n +
1!
n+1
x
1.9
记 M n+1
max
a xb
f n+1 x ，于是由1.9 式可得
或者
Rn
x
M n+1
n +1!
n+1 x
，
1.10
max axb
简单才行。如果仅仅给出了一系列节点上的函数值
f xi yi ,i 0,1, 2,L , n ，则应采用 Lagrange 插值。
如果只提供了 f x 的一些离散值，并没给出具体的分析式 子， 就无法利用公式1.9 估计误差了。下面介绍另一种误差
数值分析与计算方法 第一章 插值法
同 理 ： (t) 至 少 有n 个 互 异 零 点；
(t) 至 少 有n 1 个 零 点 ；
(n1) (t ) 至 少 有 一 个 零 点 ； 即 (a ，b)，
(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x)n1(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x) (n
1)!
f (n1) ( ) K ( x) (n 1)! 0
x x0 x1 x2 xn ， y f ( x)？ y y0 y1 y2 yn
（1）有的函数没有表达式，只是一种表格函数，而我们需要的 函数值可能不在该表格中。
（2）如果函数表达式本身比较复杂，计算量会很大；
对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单
的函数 P x来近似代替 f ( x)，求 P x 的方法称为插值法。
Ln1( x)
为此我们考虑对Lagrange插值多项式进行改写； ——由唯一性，仅是形式上的变化
期望：Ln ( x) 的计算只需要对Ln1( x)作一个简单的修正.
考虑 h( x) Ln ( x) Ln1( x) h( x) 是次数 n 的多项式，且有
h( x j ) Ln ( x j ) Ln1( x j ) 0 ，j 0 ，1，2 ，L ，n 1 ；
)
3
)
1 2
(x
(
4
6
6
)( x
)(
4
3
)
3
)
1
(
x
6
)(
x
4
)
2
(
3
6
)(
3
4
)
3 2
插值法数学计算方法
插值法数学计算方法插值法是一种数学计算方法，用于在已知数据点的基础上，通过构建一条插值曲线来估计未知数据点的值。
插值法可以应用于各种数学问题中，例如逼近函数、插值多项式、差值等。
本文将详细介绍插值法的原理和常见的插值方法。
一、插值法的原理插值法的基本思想是通过已知数据点的函数值来构建一个函数表达式，该函数可以通过插值曲线来估计任意点的函数值。
根据已知数据点的数量和分布，插值法可以采用不同的插值方法来构建插值函数。
插值法的原理可以用以下几个步骤来描述：1.收集已知数据点：首先，需要收集一组已知的数据点。
这些数据点可以是实际测量得到的，也可以是其他方式获得的。
2.选择插值方法：根据问题的特性和数据点的分布，选择适合的插值方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。
3.构建插值函数：通过已知数据点，利用选择的插值方法构建插值函数。
这个函数可以拟合已知数据点，并通过插值曲线来估计未知数据点。
4.估计未知数据点：利用构建的插值函数，可以估计任意点的函数值。
通过插值曲线，可以对未知数据点进行预测，获得相应的数值结果。
二、常见的插值方法1.拉格朗日插值法：拉格朗日插值法基于拉格朗日多项式，通过构建一个具有多项式形式的插值函数来逼近已知数据点。
插值函数可以通过拉格朗日基函数计算得到，式子如下：P(x) = ∑[f(xi) * l(x)], i=0 to n其中，P(x)表示插值函数，f(xi)表示已知数据点的函数值，l(x)表示拉格朗日基函数。
2.牛顿插值法：牛顿插值法基于牛顿差商公式，通过构建一个递归的差商表来逼近已知数据点。
插值函数可以通过牛顿插值多项式计算得到，式子如下：P(x) = f(x0) + ∑[(f[x0, x1, ..., xi] * (x - x0) * (x - x1)* ... * (x - xi-1)] , i=1 to n其中，P(x)表示插值函数，f[x0, x1, ..., xi]表示xi对应的差商。
常见的插值方法及其原理
常见的插值方法及其原理1. 拉格朗日插值法（Lagrange Interpolation）拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法，通过n+1个已知点的函数值来构造一个n次多项式。
具体的计算公式如下：L(x) = Σ[yk * lk(x)], k=0 to n其中yk为已知点（xi, yi）的函数值，lk(x)为拉格朗日基函数，定义为：lk(x) = Π[(x - xj)/(xi - xj)], j=0 to n, j≠k拉格朗日插值法的原理是通过构造一个通过已知点的n次多项式，来代替未知函数的近似值。
利用拉格朗日基函数的性质，可以保证插值多项式通过已知点。
2. 牛顿插值法（Newton Interpolation）牛顿插值法是一种递推的插值方法，通过已知点的函数值和差商来逐步构造插值多项式。
差商的定义如下：f[x0]=y0f[x1]=(f[x1]-f[x0])/(x1-x0)f[x2]=(f[x2]-f[x1])/(x2-x1)...f[xn] = (f[xn] - f[xn-1]) / (xn - xn-1)利用差商的定义，可以得到牛顿插值多项式的表达式：N(x) = f[x0] + f[x0, x1](x-x0) + f[x0, x1, x2](x-x0)(x-x1) + ... + f[x0, x1, ..., xn](x-x0)(x-x1)...(x-xn)牛顿插值法的原理是通过递推计算差商来得到插值多项式。
通过使用差商来处理已知点的函数值差异，可以得到更高次的插值多项式。
3. 样条插值法（Spline Interpolation）样条插值法是一种基于分段低次插值函数的插值方法，常用的是三次样条插值。
样条插值法通过寻找一组分段函数，使得满足原函数的插值条件，并要求函数在每个插值点处的函数值、一阶导数和二阶导数连续。
这样可以保证插值函数在每个插值点处的平滑性。
三次样条插值法的原理是将整个插值区间划分为多个小区间，在每个小区间内使用三次多项式进行插值。
1插值法
1 x1
2 x1
1 xn
2 xn
n x0
n x1
n xn
( xi x j )
i 1 j 0
n
i 1
§1.1 引言
（预备知识3 ）泰勒(Taylor)公式
设f ( x)在包含x0的(a, b)内具有直到n阶导数， 当x (a, b)时有： f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) n!
§1.1 引言
一. 问题提出：
表示两个变量x,
y内在关系，一般由函数式 y = f(x) 表
达。但在实际问题中，有两种情况： 1. 由实验观测而得的一组离散数据(函数表) , 显然这 种函数关系式 y = f(x) 存在且连续, 但未知。 2. 函数解析表达式已知, 但计算复杂, 不便使用。通常
2点L公式
§1.2 Lagrange 插值
容易验证，过点 (x0, y0) 与 (x1, y1) 直线方程就是上 式 ，如下图所示。
y
误差
y (x ) f (x )
f (x ) y (x )
x0
x1
x
§1.2 Lagrange 插值
二. 抛物线插值(三点插值)
已知三个插值节点及其函数值：
§1.1 引言
插值公式
y i yi
n
(1)
(2)
近似关系式 f ( x)
i 0
i 0 n
i
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f MSD
(x,
S)
=
∂PMSD (x, ∂x
S)
5.6
P MSD
(
x,
S
)
=
1
−
P 0
(
x,
S
)
−
P 1
(
x,
S
)
5.4
n
P0 (x, S) = ∏ (1− pi (x, S))
i =1
∑ ∏( ) P1(x, S) =
n
pi1
(
x,
S
)
n
1−
p j (x, S)
i1=1
j =1 j ≠i1
1. 问题的提出
实际问题 数学模型
3
数值问题
高效、可靠的 数值计算方法
包含非有 理函数或 未知函数
需要转化为数值问题，转化的基 本途径是利用函数逼近或离散化
代数问题 不需要转化，本身即为数值问题
1. 问题的提出
4
1. 问题的提出
∫ ( ) µMSD
S
=
+∞ 0
x⋅
fMSD (x,
S )dx
5.8
⋮
Pn
(
x n
)
=
a n
+
a1xn
+
a2
x2 n
+⋯+ a xn nn
=
f(x ) n
问题1 代数插值存在的唯一性
14
方程组的系数矩阵是Vandermonde矩阵
1 x0
2
x0
⋯
n
x0
1 x1 ⋮⋮
∏ 2
x1 ⋮
⋯
n
x1 ⋮
= (xi − xj )
0≤ j<i≤n
≠0
1 xn
2
xn
⋯
n
xn
无重合节点，即i ≠ j xi ≠ x j
i =1
根据 g(x)的特性推测 f (x) 在非观测点处的特性
插值类型
代数插值： g( x) 为多项式函数集
8
有理插值： g( x) 为有理分式函数集
三角插值：g( x) 为三角函数集
g(x)=Pn(x)
令R[x]n+1表示所有的不高于n次的实系数多项式和零多项式构 成的集合，假设函数y=f(x)的已知值(xi，yi) (yi=f(xi)，i=0，1，…，n)， 寻找一个多项式Pn(x) ∈ R[x]n+1，满足：
问题1 代数插值存在的唯一性
13
P n
(
x)
=
a 0
+
a 1
x
+
⋯
+
a n
x
n
Pn ( xi ) = yi , i = 0 , ... , n
P n
(
x0
)
=
a0
P( n
x1)
=
a0
+ a1x0 + a1x1
+ a2x02 + a2x12
+
⋯+
a n
x0n
+⋯+
a n
x1n
= =
f (x0) f (x1)
第一章 插值方法
1
拉格朗日插值公式 艾特金插值 牛顿插值 埃尔米特插值 分段插值 样条插值
历史
2
17世纪，西欧科学探索活动空前活跃，发生了诸如 Colombo发现“新大陆”等一系列重大事件，科学探 索的客观需要强烈的推动了插值方法的深入研究。
我国古代天文学家在制定历法的过程中层深入的研究 过插值方法，并取得了辉煌的成就。例如：中唐僧一 行草成《大衍历》（公元727年），导出了不等距节 点的插值公式；晚唐徐昂制成的《宣明历》（公元 822年），所使用的插值技术正式近代广泛运用的所 谓“有限差分方法”。
Pn(xi)=f(xi) (i=0，1，…，n)
(*)
无重合节点，即i ≠ j xi ≠ x j
三类典型问题
9
问题1：设函数y=f(x)定义域为[a，b]，x0，x1，…，xn是[a，b] 上的n+1个互异点，且yi=f(xi)已知，要构造一个函数g(x)，使得 g(xi)=yi(i=0,1, … ,n)。
p(x, S) = ∫ x f (τ , S)dτ 0
f (τ , S)=
1
−
1
τ
−
µ
(
S
)
2
e 2 σ (S)
σ (S) 2π
µ
5.2 5.0 4.8 4.6 4.4
50
µ (S ), σ (S ), n 已知
5
µ(S)
µ of fatigue life for single detail µ of fatigue life for MSD
插值计算目的在于：通过尽可能简便的方法，利用所给数据表加工出插值点x 上具有足够精度的插值结果y。——插值的过程是个数据加工的过程。
1. 问题的提出
7
拟合的基本思想
已知数据表
xi
x1
x2
…
xn
f(xi)
f(x1)
f(x2)
…
f(xn)
求一个经验函数 y=g(x) ，使
n
∑ error= ( g(xi )-f (xi ))2 = min
几何意义：
g(x) ≈ f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
y = f (x) y = g(x)
问题1
基本概念
12
点x为插值点；
内插——用g(x)计算f(x)在x在插值区间内的插值点处的近似值 的插值过程；
外插——用g(x)计算f(x)在x在插值区间外的插值点处的近似值 的插值过程，也叫外推。
要求： 效率高 精度高 插值函数形式简单——多项式、有理分式
问题2：求做n次多项式pn(x)，使满足条件：
p
(k n
)
(
x
0
)
=
y (k ) 0
k = 0,1,⋯, n
y (k ) 0
(k
=
0,1,⋯, n)
为一组已给数据。
问题3：=问题1+问题2：即过给定点，也要求导数相同。
问题1
基本概念
10
问题1：设函数y=f(x)定义域为[a，b]，x0，x1，…，xn是[a，b] 上的n+1个互异点，且yi=f(xi)已知，要构造一个函数g(x)，使得 g(xi)=yi(i=0,1, … ,n)；
方程组存在唯一解，因此满足插值条件(*) 的不超过n次的插值多项式是唯一存在的.
问题1
代数插值
15
Lagrange插值公式 Aitken插求 n 次多项式
µMSD (S )
60
70
80 90 100 110 120 130 140 150
stress level S
1. 问题的提出
6
插值的基本思想
已知数据表
xi
x1
x2
…
xn
f(xi)
f(x1)
f(x2)
…
f(xn)
求一个经验函数 y=g(x) ，使
g(xi )=f (xi ), i=1,2,⋯n
根据 g(x)的特性推测 f (x) 在非观测点处的特性
依据(xi，yi)构造出插值函数g(x)，然后在任意点x计算g(x)作为 f(x)的近似值——插值；
几何意义：
g(x) ≈ f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
y = f (x) y = g(x)
问题1
基本概念
11
点x0，x1，…，xn为插值基点(插值节点)，简称基点(节点)； [min(x0，x1，…，xn)，max(x0，x1，…，xn )]为插值区间； f(x)为求插函数；g(x)为插值函数；r(x)为插值公式的余项； f(x)=g(x)+r(x)为(带余项的)插值公式。