10.连续函数的多项式一致逼近

附录一 Bernstein 多项式：连续函数的多项式逼近
连续函数可以由多项式一致逼近是分析中的重要定理，直接的证明方法就是用函数的Bernstein 多项式去逼近函数。

通常的教材中的证明比较难于理解，我们选择前苏联数学家Korovkin 在1953年给出证明方法，解决了教学中的这一难点。

Weierstrass 第一逼近定理 设是闭区间[a , b ]上的连续函数，则存在多项式序列{在[a , b ] 上一致收敛于。

也就是对任意给定的)(x f })(x P n )(x f 0>ε，存在多项式，使得
)(x P ε<−)()(x f x P
对一切∈x [a , b ]成立。

Weierstrass 第一逼近定理的证明
证 不失一般性，设[a , b ]为[0, 1]。

设X 是[0, 1]上连续函数全体构成的集合，Y 是多项式全体构成的集合，定义映射
)(t f n B : X Y
→ )(t f 6k n k k n n k n x x C n k f x f B −=−⎟⎠
⎞⎜⎝⎛=∑)1(),(0，
得到{}，表示),(x f B n ),(x f B n X f ∈在映射作用下的像，它是以n B x 为变量的次多项式，称为的n 次Bernstein 多项式。

n f
关于映射，有下述基本性质与基本关系式：
n B (1)线性性：对于任意及X g f ∈,∈βα,R ，成立
),(),(),(x g B x f B x g f B n n n βαβα+=+；
(2)单调性：若（)()(t g t f ≥∈t [a , b ]）
，则 ),(),(x g B x f B n n ≥ （∈x [a , b ]）；
(3)； 1)1(),1(0=−=
−=∑k n k k n n k n x x C x B x x x C n k x t B k n k k n n k n =−=
−=∑)1(),(0； =−=−=∑k n k k n n k n x x C n k x t B )1(),(0222n
x x x 22−+。

函数在2)(s t −n B 映射下的像（视为常数）： s .)(2)
,1(),(2),(),)((22222222s t n x x s sx n x x x x B s x t sB x t B x s t B n n n n −+−=+−−+=+−=−
由于f 在[0, 1]上连续，所以有界，即存在，对于一切[0, 1]，成立
0>M ∈t M t f ≤)(；
根据Cantor 定理，f 在[0, 1]上一致连续，于是对任意给定的0>ε，存在0>δ，
对一切[0, 1]：
∈s t , 当δ<−s t 时，成立
2)()(ε
<−s f t f ； 当δ≥−s t 时，成立
22)(22)()(s t M
M s f t f −≤≤−δ。

于是对一切[0, 1], 成立
∈s t ,)()()(2222s f t f s t M −≤−−−δε22)(22s t M −+≤δ
ε。

对上式的左端，中间，右端三式（视t 为变量，s 为常数）考虑在映射作用下的像，得到对一切n B ∈s x ,[0, 1]，成立
2222()(,)()2n M x x x s B f x f n ε
δ⎡⎤−−−+−≤−⎢⎥⎣⎦s 2
222()2M x x x s n εδ⎡⎤−≤++−⎢⎥⎣⎦， 令x s =，注意4
1)1(≤−x x , 即得 2022)()1(δεn M x f x x C n k f n k k n k k n +≤−−⎟⎠
⎞⎜⎝⎛∑=−。

取⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=εδ2M N ，当时, N n >ε<−−⎟⎠
⎞⎜⎝⎛∑=−n k k n k k n x f x x C n k f 0)()1(
对一切∈x [0, 1]成立。